2.2.1基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式 2.2.1 人教A版 Basic Inequality 2024年10月 如何证明重要不等式？ 证明： 重要不等式 复习回顾 等周问题 用一根长度相同的绳子来划定一个矩形的土地。 长方形 正方形 等周问题 问题1 如何表示并比较两个人所围的土地面积大小呢？ 作差法比较面积大小： 当时等号成立 当时等号成立 降次 基本不等式 当且仅当，等号成立） 几何平均值 算数平均值 基本不等式成立条件 （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形： ① ② 代数证明 2.分析法 要证【去分母并调换方向】 只要证【移项】 只要证【配方】 只要证此式显然成立。 当且仅当时，等号成立。 把这个过程倒过来，就是证明的过程。 1.作差法 执 果 索 因 要证明的结论 逐步寻求条件 显然成立的结论或已知条件 几何证明 演示文稿是一种实用的工具，可以是演示，演讲，报告等 文章 背景 是半圆的直径， 点在上，且，过点作的垂线， 交于点，连接 几何证明 演示文稿是一种实用的工具，可以是演示，演讲，报告等 文章 背景 问题1 几何证明 演示文稿是一种实用的工具，可以是演示，演讲，报告等 文章 背景 问题1 问题2 相似三角形 几何证明 三角形相似: 从而： 问题1 即(当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立) 利用基本不等式求最值 题【1】 【解】 因为，所以 已知，求的最小值. 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值是4 利用基本不等式求最值 题【1】 【解】 在本题的解答中，我们不仅明确了,有，而且给出了当且仅当，即时，等号成立。这是为了说明4是（）的一个取值。想一想，成立吗？这时能说1是（）的最小值吗？ 已知，求的最小值. 利用基本不等式求最值 题【2】 【解】 因为，所以, 已知，求的最大值. 当且仅当，即时，等号成立， 的最大值是4 利用基本不等式求最值 已知，求的最值. 利用基本不等式求最值 【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等. 一正：各项必须为正 二定：各项之和或各项之积为定值 三相等：必须验证取等号时的条件十分具备 【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. 【3】基本不等式求最值模型：若，，则有 ，当且仅当时等号成立 重要不等式 A B C D E F G H 令 重要不等式 基本不等式 降次 基本不等式架起了和与积的桥梁，能够实现和积转化的功能 利用基本不等式求最值 题【2】已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 【证明】所以 （1）等于定值P时， ，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 （2）时， ，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 利用基本不等式求最值 题【2】 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小 （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大 利用基本不等式求最值 题【2】已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 积定和最小 和定积最大 练习②：已知都是正数，且，求证： （1） （2） 【证明】（1）∵ ， ，∴ ， ∴ ， 由于，等号取不到，所以 （2）∵ ， ， ，∴， ∴ ，∴ ， ∴ 基本不等式的实际应用 【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长 为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？ 【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以米 当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米 基本不等式链 调和均值 几何均值 算术均值 平方均值 $