第1章 因式分解（举一反三单元复习讲义）数学新教材湘教版八年级上册

第1章 因式分解（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 因式分解的定义】 1 【题型2 提取公因式法分解因式】 3 【题型3 利用公式法分解因式】 4 【题型4 先提公因式再用公式法】 5 【题型5 十字相乘法分解因式】 7 【题型6 利用因式分解求值】 8 【进阶拔高】 10 【题型7 分组分解法分解因式】 10 【题型8 利用因式分解进行简算】 12 【题型9 因式分解与乘法公式逆用】 14 【题型10 因式分解化简求值】 16 【题型11 换元法进行因式分解】 19 【题型12 因式分解中的新定义问题】 23 【创新思辨】 25 【题型13 多次运用公式法分解因式】 25 【题型14 因式分解与整体代入综合】 27 【题型15 因式分解构造非负式求值】 31 【题型16 因式分解与几何综合】 37 【题型17 含参因式分解分类讨论】 41 【题型18 因式分解证明整除问题】 44 【夯实基础】 【题型1 因式分解的定义】 【例1】（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）下列式子从左到右变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除等式右边不是整式积形式的选项，再验证剩余选项是否符合要求． 【详解】解：A选项，的右边不是整式的积的形式，不是因式分解． B选项，的右边含分式，不是整式的积的形式，不是因式分解． C选项，的变形是因式分解． D选项，的变形是整式乘法，不是因式分解． 【变式1-1】（25-26八年级上·新疆·阶段检测）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 【题型2 提取公因式法分解因式】 【例2】（2026九年级·新疆·专题练习）分解因式：＝__________. 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，确定公因式是，然后提取公因式即可． 【详解】解：． 【变式2-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）单项式和的公因式是______． 【答案】 【详解】解：首先确定系数的最大公约数，和的最大公约数是； 再确定两个单项式都含有的相同字母，可得都含有和； 接着取相同字母的最低次幂，的次数分别为和，取次数，的次数分别为和，取次数； 将三部分结果相乘，得到公因式为． 【变式2-2】（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）因式分解___________． 【答案】 【分析】先变形，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 【变式2-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 【题型3 利用公式法分解因式】 【例3】（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 【变式3-1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 【详解】解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 【变式3-2】（2026七年级上·全国·专题练习）因式分解：________． 【答案】 【分析】根据多项式特点，进行分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）计算：________． 【答案】 【分析】根据，计算即可． 【详解】解： ． 【题型4 先提公因式再用公式法】 【例4】（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）分解因式：__________． 【答案】 【分析】先变形得到公因式，提取公因式后利用平方差公式分解到不能再分解． 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 【答案】C 【分析】先对原式因式分解，再将分解得到的因式对应题目给出的汉字，即可得到结果，解题用到提公因式法和平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 根据题意，对应关系为：对应数，对应学，对应夯，对应爆， ∴结果呈现的信息可能是数学夯爆． 【变式4-2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 【变式4-3】（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式，最后再提公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型5 十字相乘法分解因式】 【例5】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 【题型6 利用因式分解求值】 【例6】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将因式分解为，代入求值即可． 【详解】解： ，， ， 原式 ． 【变式6-1】（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先将所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ． 【变式6-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p． 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 【进阶拔高】 【题型7 分组分解法分解因式】 【例7】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用平方差公式分解，再提取公因式完成分组分解； （2）先把化成完全平方式，再利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C． 无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 【变式7-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【题型8 利用因式分解进行简算】 【例8】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 【变式8-3】（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)13600 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 因式分解与乘法公式逆用】 【例9】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 【变式9-1】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 【变式9-2】（25-26七年级下·河北承德·期末）【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)17 (3)当，时，该多项式有最小值，这个最小值为 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）利用题干提供的方法，先配方，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式的非负性求最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为 ， 所以当时，的值最大，最大值是17. （3） ， 取等号时，有， 解得， 所以当，时，该多项式有最小值，这个最小值为． 【题型10 因式分解化简求值】 【例10】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 【答案】 【分析】设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数，由题意得的十位数字为，个位数字为，表示出，先整理的表达式，再求出最大时对应的值，计算；再利用平方差公式化简，结合的条件分类讨论，求出符合条件的即可． 【详解】解：设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 由题意得，的十位数字为，个位数字为， ，， 要使最大，需使和同时最大， ， 当时，取得最大值， 为个位数字，最大值为， 当最大时，，，即，， ， 当时，，解得，故， 由平方差公式得： ， 是正整数， 为立方数，且，， ①当时，，区间内无立方数，无解； ②当时，，区间内只有，不是整数，无解； ③当时，，区间内无立方数，无解； ④当时，，区间内只有，解方程，得，符合条件， 此时，得正整数． 【变式10-1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 【变式10-2】（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值为（     ） A．与a值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】所求代数式可变形为，通过两已知等式作差消去，求出的值后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵. ∴. ∴. ∴． 【变式10-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 【答案】D 【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可． 【详解】解：由题意可知：原式， ∴为三个连续的正整数的积， ∴可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数， ∴是一个偶数． 故选：D． 【题型11 换元法进行因式分解】 【例11】（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 【变式11-1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察到原式两个括号中均含，可将其整体代换为，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式换元后为． 【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)，；；； (2)． 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； （2）解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 【变式11-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 【题型12 因式分解中的新定义问题】 【例12】（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式12-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1) ， 是“双一次可分解式”； (2) ， 是“双一次可分解式”； (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 【创新思辨】 【题型13 多次运用公式法分解因式】 【例13】因式分解：． 【答案】 【分析】先根据三项完全平方公式，化简得，再继续应用完全平方公式化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式13-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）分别求出，，把作为一个整体，进行多项式乘以多项式的计算，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）将作为一个整体，进行多项式乘以多项式的计算，完全平方公式的计算，进而得到，把转化为，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式13-2】（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 【答案】C 【分析】本题运用平方差公式对进行因式分解，得到原式的因数，即可判断出不能整除它的数． 【详解】解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． 【变式13-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 【题型14 因式分解与整体代入综合】 【例14】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键． 设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， 将还原可得原式， 故答案为：． 【变式14-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）先阅读下列材料，再解答问题．材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果： （1）________； （2）________； （3）________. 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法因式分解的综合运用，以及整式乘法，理解整体思想，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）把看作一个整体，利用完全平方公式分解即可； （2）把看作一个整体，利用完全平方公式分解即可； （3）把看作一个整体，先去括号，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）设，则原式； 将代入，得原式， 故答案为：； （2）设，则原式； 将代入，得原式， 故答案为：； （3）设，则原式； 将代入，得原式， 故答案为：． 【变式14-2】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 【答案】(1) (2)证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的值一定是正数． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）设，利用完全平方公式原式可变形为，根据平方的非负数的性质即可证明代数式的值一定是正数． 【详解】（1）解： ． （2）解：略 【变式14-3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 【题型15 因式分解构造非负式求值】 【例15】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 【变式15-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______． (2)用配方法因式分解：． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解（配方法+平方差公式）、代数式的最值问题，熟练掌握配方法的应用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的结构，确定中间项系数与首尾项的关系，进而求出的值． （2）通过配凑常数项，将多项式转化为完全平方式与常数的差，再用平方差公式因式分解． （3）先提取二次项系数，再配凑完全平方式，利用平方的非负性求最小值． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 即， 故． （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴，即的最小值为． 【变式15-2】（25-26八年级下·山东枣庄·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：． 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值； ； ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：； (3)若，求的最小值是多少． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用； （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可． 【详解】（1）解：， 常数项为． 故答案为：． （2）（2） ； （3） ， ∵， ∴的最小值为； 【变式15-3】（25-26八年级上·广西来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． (1)因式分解：； (2)求二次三项式的最小值； (3)已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)与的最值的和为 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给配方法得到，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （3）由题意易得，，然后同理（2）可求最值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 因此的最小值为； （3）解：当，时， 则， ， 最小值为， 最大值为， ； 因此，与的最值的和为． 【题型16 因式分解与几何综合】 【例16】（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【答案】(1) (2) ，画图表示如下： 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； 画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可． 【详解】（1）解：图形（2）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（2）可以验证多项式的因式分解为． （2）解：图形（3）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（3）可以验证多项式的因式分解为． 详解见答案． 【变式16-1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，有边长分别为，（）的A，B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张． (1)取1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，将这4张纸片（不留空隙、不重叠）拼成一个正方形，请你据此写出一个多项式的因式分解__________； (2)若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A，B，C三类纸片共__________张（所有纸片不剩余、不留空隙、不重叠）； (3)现有A类纸片1张，B类纸片3张，C类纸片4张，将这8张纸片（不留空隙、不重叠）拼接成一个长方形，则长方形的长为__________，宽为__________． 【答案】(1) (2)6 (3)，. 【分析】（1）根据题意，得到大正方形的面积为，边长为，即可得出结果； （2）求出多项式乘以多项式的积，进而求出需要A，B，C三类纸片的数量，即可得出结果； （3）根据题意，求出长方形的面积，因式分解后，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为，边长为， 故； （2）解：， 故需要A，B，C三类纸片的数量分别为1，2，3张， ； （3）解：由题意，大长方形的面积为， ∵， ∴长方形的长为，宽为． 【变式16-2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 【变式16-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1) (2) (3)， 如图所示． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）略 【题型17 含参因式分解分类讨论】 【例17】（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 【答案】5，14， 【分析】因为M是平方数，根据完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项． 【详解】解：完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项； 情况1：是中间项，此时两个平方项为和， ∴，即，得． 验证：，符合要求． 情况2：是中间项， 此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得． 验证：，符合要求． 情况3：是中间项，此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得， 验证：，符合要求． 综上，的取值为或或． 【变式17-1】（25-26九年级上·北京·期中）若是自然数，和都是完全平方数，那么_____． 【答案】 52或388 【分析】本题主要考查“完全平方数的定义”“因式分解”，用字母分别表示这两个完全平方数，找到这两个数的联系是解题关键． 设 ，（其中 、 是自然数），则 ，即 ．由于 ，且 的正整数因子对为 和 ，分别解方程组求 和 ，再代入求 即可． 【详解】设 ，（、 为自然数），则 ， 即 ． 由于 ，且 和 均为正整数， 则可能的情况为： ① ② 解方程组①：相加得 ，；相减得 ，． 则 ． 解方程组②：相加得 ，；相减得 ，． 则 ，故 或 ． 经检验， 时，，； 时，，，均满足条件． 故答案为 ：52 或 388． 【变式17-2】（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 【变式17-3】（25-26八年级下·江西九江·期中）如果为完全平方数，则正整数n为______． 【答案】2或14或11 【分析】分情况讨论，分别设为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可． 【详解】设为首项的平方，则末项为，中间项为乘积两倍为=2×， ∴首项为2，首项平方为， ∴n=2； 设为末项的平方，则首项为，乘积两倍为=2××， ∴末项为，末项平方为， ∴n=14； 设为中间项，则=2××=， ∴n=11， 综上所述，正整数n的值为2或14或11， 故答案为：2或14或11． 【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 【题型18 因式分解证明整除问题】 【例18】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 【变式18-1】（25-26八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”， 理由：设， 解得， ∴40是“和谐数”； (2)“和谐数”能被8整除， 理由：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； (3)是 “和谐数”， 理由：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式18-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】(1)是，不是 (2)能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； (3)； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数， 即， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； （2）略； （3）解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 【变式18-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）阅读下列材料． 材料一：任意一个三位自然数m，若百位数字不大于4，则称m为“潜力数” 材料二：在“潜力数”m的左边放一个奇数a，得到一个多位数； 在“潜力数”m的右边放一个0，得到一个四位数， 规定：． 例如：， （1）计算：__________，___________； （2）已知“潜力数”（其中，x、y是整数），若能被26整除，求m的值． 【答案】（1）483；1126；（2）143或247 【分析】（1）根据材料定义直接计算即可； （2）首先结合定义求出，然后根据“能被26整除”列出表达式，并分离整数部分，对剩余部分结合数字的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：483；1126； （2）根据“潜力数”的定义知为三位数， ∴，， ∴ ， ∵能被26整除， ∴应为整数， 分离整数部分，整理得：， 由题意知，，，均为整数， ∴为整数，则满足为整数即可， ∵26为偶数， ∴应满足为偶数， 又由题意，为奇数，为偶数，12为偶数， ∴要使得为偶数，则应满足为奇数， ∵， ∴可取的数为：1；3；5；7， 由“潜力数”定义知的百位数字不超过4， ∴， ∴， ∴可取的数为：0；1；2；3， 分类讨论如下： ①当，时，， 此时，任意奇数均能满足为整数，即满足能被26整除， 此时，； 当，时，， ∵要使得为整数，即为整数， ∴不妨设，其中为整数，则， 由于为整数，则此时不可能为整数，与为奇数矛盾，假设不成立，排除； 同理，当，时，； 当，时，； 此时，以上两种情况均不存在奇数使得为整数，排除； ②当，时，， 当，时，， 此时，不存在奇数使得为整数，排除； 当，时，， 此时，任意奇数均能满足为整数，满足题意， 此时，； 当，时，， 此时，不存在奇数使得为整数，排除； ③当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 此时，以上四种情况均不存在奇数使得为整数，排除； ④当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 此时，以上四种情况均不存在奇数使得为整数，排除； 综上分析，有，或，时，满足能被26整除，且为奇数， ∴的值为143或247． 【点睛】本题考查因式分解和列举分类讨论，掌握讨论整除相关问题时，常用分离整数的方法，并熟练运用分类讨论的方法是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 因式分解的定义】 1 【题型2 提取公因式法分解因式】 2 【题型3 利用公式法分解因式】 2 【题型4 先提公因式再用公式法】 2 【题型5 十字相乘法分解因式】 3 【题型6 利用因式分解求值】 3 【进阶拔高】 3 【题型7 分组分解法分解因式】 3 【题型8 利用因式分解进行简算】 4 【题型9 因式分解与乘法公式逆用】 4 【题型10 因式分解化简求值】 5 【题型11 换元法进行因式分解】 6 【题型12 因式分解中的新定义问题】 7 【创新思辨】 8 【题型13 多次运用公式法分解因式】 8 【题型14 因式分解与整体代入综合】 8 【题型15 因式分解构造非负式求值】 10 【题型16 因式分解与几何综合】 12 【题型17 含参因式分解分类讨论】 14 【题型18 因式分解证明整除问题】 14 【夯实基础】 【题型1 因式分解的定义】 【例1】（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）下列式子从左到右变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·新疆·阶段检测）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【题型2 提取公因式法分解因式】 【例2】（2026九年级·新疆·专题练习）分解因式：＝__________. 【变式2-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）单项式和的公因式是______． 【变式2-2】（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）因式分解___________． 【变式2-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则代数式的值为____________． 【题型3 利用公式法分解因式】 【例3】（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【变式3-2】（2026七年级上·全国·专题练习）因式分解：________． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）计算：________． 【题型4 先提公因式再用公式法】 【例4】（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）分解因式：__________． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 【变式4-2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【变式4-3】（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【题型5 十字相乘法分解因式】 【例5】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【变式5-3】（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【题型6 利用因式分解求值】 【例6】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，则代数式的值为______． 【变式6-1】（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，，则代数式的值是______． 【变式6-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，满足，则的值为_______． 【变式6-3】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【进阶拔高】 【题型7 分组分解法分解因式】 【例7】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【题型8 利用因式分解进行简算】 【例8】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为_____． 【变式8-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算：_______． 【变式8-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型9 因式分解与乘法公式逆用】 【例9】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【变式9-1】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【变式9-2】（25-26七年级下·河北承德·期末）【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【变式9-3】（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【题型10 因式分解化简求值】 【例10】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 【变式10-1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【变式10-2】（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值为（     ） A．与a值有关 B．4 C．8 D．16 【变式10-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 【题型11 换元法进行因式分解】 【例11】（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【变式11-1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【变式11-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【题型12 因式分解中的新定义问题】 【例12】（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 【变式12-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 【变式12-3】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【创新思辨】 【题型13 多次运用公式法分解因式】 【例13】因式分解：． 【变式13-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）因式分解 (1)； (2)． 【变式13-2】（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 【变式13-3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型14 因式分解与整体代入综合】 【例14】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：______． 【变式14-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）先阅读下列材料，再解答问题．材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果： （1）________； （2）________； （3）________. 【变式14-2】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 【变式14-3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【题型15 因式分解构造非负式求值】 【例15】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【变式15-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______． (2)用配方法因式分解：． (3)求的最小值． 【变式15-2】（25-26八年级下·山东枣庄·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：． 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值； ； ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：； (3)若，求的最小值是多少． 【变式15-3】（25-26八年级上·广西来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． (1)因式分解：； (2)求二次三项式的最小值； (3)已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 【题型16 因式分解与几何综合】 【例16】（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【变式16-1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，有边长分别为，（）的A，B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张． (1)取1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，将这4张纸片（不留空隙、不重叠）拼成一个正方形，请你据此写出一个多项式的因式分解__________； (2)若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A，B，C三类纸片共__________张（所有纸片不剩余、不留空隙、不重叠）； (3)现有A类纸片1张，B类纸片3张，C类纸片4张，将这8张纸片（不留空隙、不重叠）拼接成一个长方形，则长方形的长为__________，宽为__________． 【变式16-2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【变式16-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【题型17 含参因式分解分类讨论】 【例17】（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 【变式17-1】（25-26九年级上·北京·期中）若是自然数，和都是完全平方数，那么_____． 【变式17-2】（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【变式17-3】（25-26八年级下·江西九江·期中）如果为完全平方数，则正整数n为______． 【题型18 因式分解证明整除问题】 【例18】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【变式18-1】（25-26八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【变式18-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【变式18-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）阅读下列材料． 材料一：任意一个三位自然数m，若百位数字不大于4，则称m为“潜力数” 材料二：在“潜力数”m的左边放一个奇数a，得到一个多位数； 在“潜力数”m的右边放一个0，得到一个四位数， 规定：． 例如：， （1）计算：__________，___________； （2）已知“潜力数”（其中，x、y是整数），若能被26整除，求m的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $