圆锥曲线的中点弦问题专项练-2027届高三数学一轮复习

▣贤弱▣互薄 圆锥曲线的中点弦问题高考专题复习 白斯 一、单选题 1.（225广东湛江二模）已知抛物线C:y=2pxp>0与直线1：x-y-3=0交于A:B两点，且线段 AB中点的横坐标为7，则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025河北模拟预测)过双曲线X2_y 音卡=1a>0,b>0,的右焦点p的直线与双曲线右支交于A,B两 点，弦AB的垂直平分线交X轴于点P,若AB=PF,则该双曲线的离心率=() A.V2 B.V3 C.2 D.3 3.(2025-河北秦皇岛·模拟预测)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点到准线的距离为2：Ax,y,小 Bx,y,是C上关于直线x=y+4|k≠0对称的两个点，若直线AB与x轴交于点EX,0则x的取值范 围是() A.-2,+∞ B.-00,2 C.-2,2 D.-2,0 4.(2024河北秦皇岛·二模)已知A,B为椭圆C: 丈+上=1上两个不同的点（直线AB与y轴不平行）， 95 F为C的右焦点，且AF+BF=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则FP=() 4 A.3 B.3 c. 5 3 D.2 (2024湖南邵阻：二模)》已知直践x=2v-2=0专精圆C:。+为1(a>b>0相交于A,B两点若 弦AB被直线m:x+2y=0平分，则椭圆C的离心率为() 1 V2 A.2 3 B.4 c.2 D 4 6.(2026高三·全国专题练习)如图，双曲线的右顶点为A,左右焦点为F1,F2,点P是双曲线右支上 b 一点，PF交左支于点Q,交渐近线y=x于点R,M是PQ的中点，若RF2⊥PF1,且AM⊥PF1, a 则双曲线的离心率为() 试卷第1页（共3页） A.2 B.3 C.2 D.V5 7.(2026安徽合肥·模拟预测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F且不与坐标轴垂直的直线！与C 交于A,B两点，M为线段AB的中点，过M作C的准线的垂线，垂足为N,若△FMN为等腰三角形， 则直线的斜率的绝对值为() a婴 B.V2 C.1 D.3 5高上调北瘦阳开学考试)已知双曲线C:士-1a>0,b>0的左、右焦点 F2,过F,且倾斜角为0的直线与C交于A,B两点，若c0s日=2(e为C的离心率)，O为坐标原点，G e 为△AOB的重心，则OG斜率的最小值为() A.3V6 B.4V3 c.3V3 D.25 二、多选题 9.(2026江西九江一模)在平面直角坐标系X0y中，已知双曲线C:丈-兰=1a>0,b>0的左，右 焦点分别为F:F:且|F,F,=8过F,的直线与双曲线的右支交于P,Q两点（P在第一象限)，与y 轴交于点M,N为PQ的中点，PF,=MF,=14,r1,r,分别为△PF,F,△QF,E,内切圆的半径，则 () A.C的离心率为2 B.M与C上点的距离的最小值为3V5 C.kpo'KoN=3 试卷第2页（共3页） 28V/5 D.r1+r2= 15 10.(25-26高三上·福建漳州阶段检测)设0为坐标原点，直线y=-3x-2过抛物线 C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于MN两点，则() A.p=4 B.MN=8 C.线段MN的垂直平分线为3x-33y-22=0D.△OMN不是等腰三角形 1.(2025湖南永州模拟预测)斜率为2的直线1与双曲线-兰=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于 a2 b2 A(x1,yBX,y,两点，与双曲线交于C,D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是() A.丈-y=0是双曲线两条渐近线所构成的“形图象的方程 a b2 B.P也是线段CD的中点 C.若I过双曲线的焦点，则直线Op的斜率是_b a2 D.若1过双曲线的焦点，点P的坐标为2,1)，则a=b 三、填空题 12.（2026河南开封模拟预测)已知圆M:x-1+y-2?=r2r>0与抛物线C:X=2y恰有两个公共 点A、B,且AB为圆M的直径，则r的值为 13.(2026山东菏泽.一模)已知抛物线C:y=4x,O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A,B 两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为 42025装班极拟预》如图.率为的直线写苍+0<b<2交于AR两真 、2 与x轴、y轴分别交于点M,N,若AN=|NM=|MB,则椭圆C的焦距为， 试卷第3页（共3页） M 四、解答题 15.(2026安徽：模拟预测)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为卫，A,B是C上不同的两点（其中 第一象限)，点M-卫 当A,B关于x轴对称，且1AB=2p时，|AM=22 (1)求C的方程： (2)已知Q为x轴上一点（点Q与F不重合)，D,E是C上不同的两点（其中D在第一象限），且 DQ=EQ,若D,E,F三点共线，ME⊥DE,求证：DQ∥y轴. 16.(26-27高三上河南叶县期中)已知椭圆C:+号=1a>b>0的离心率为}左顶点为A-2,0时 a2 b2 (1)求C的标准方程： (2)设P、Q两点在C上，且线段PQ的中点为M1,m. (i)当m=1时，求直线PQ的方程： (i)当直线PQ的斜率存在时，证明：直线AM与直线PQ的斜率之积为定值. 试卷第4页（共3页） 圆锥曲线的中点弦问题高考专题复习 一、单选题 1．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 2．（2025·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 4．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，，求出和，由条件得，依次求得线段的中点坐标和其中垂线斜率，写出中垂线方程，令，求得点横坐标即得. 【详解】 如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A. 5．（2024·湖南邵阳·二模）已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法解出，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可. 【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标， 所以，① 因为点在直线上，代入可得 ，两式相减可得，② 又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得， 代入①②可得，又椭圆中， 所以离心率， 故选：C 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，为线段的中点，过作的准线的垂线，垂足为，若为等腰三角形，则直线的斜率的绝对值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出中点坐标，即可得点坐标，利用斜率乘积可知，即可求出直线倾斜角，直线斜率得解. 【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为， 由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图， 设，直线的方程为， 由，可得， 则， 所以， 即，故， 所以，又，所以， 所以，又为等腰三角形， 所以，所以， 所以，结合抛物线的对称性可知直线的斜率的绝对值为1. 8．（25-26高三上·湖北襄阳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. 二、多选题 9．（2026·江西九江·一模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（    ） A．的离心率为2 B．与上点的距离的最小值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题知为中点，进而得，代入双曲线方程得，结合，求得，，，，再求解离心率判断A；设为上的点，结合距离公式，二次函数性质求解判断B；结合点差法判断C；根据等面积法求解内切圆的半径判断D. 【详解】由题意知，，，， 因为，所以为中点， 所以，代入双曲线方程得， 所以 因为，故，所以， 因为，所以， 整理得，解得或， 因为，所以，所以，， 所以，，双曲线的方程为 对于A，双曲线的离心率为，A选项正确； 对于B，设为上点，则， 则 ， 所以当时，有最小值，故B错误； 对于C，设，由为的中点得， 因为，，所以， 即， 所以，即，故C选项正确； 对于D选项，由，得， 所以直线的方程为，联立方程得 所以，又，所以，所以，即 所以，在中，， ，， 所以， 根据等面积法得，即 所以，内切圆的半径， 在中，，，， 所以， 根据等面积法得，即 所以，内切圆的半径， 所以，故D选项正确； 故选：ACD 10．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则（    ） A． B． C．线段MN的垂直平分线为 D．△不是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】根据直线过抛物线的焦点可以得到抛物线方程为，即可得到，与直线联立可以解得交点，即可求出弦长，得到；根据交点坐标即可得到中点，进一步得出垂直平分线的方程，可判断；分别求出三条边长即可判断. 【详解】因为直线过抛物线的焦点， 所以，所以，即,故A正确。 所以抛物线的方程为，与直线方程联立可得： ，即，化简得， 解得和，代入直线得，. 交点，所以. 故B错误。 M，N两点的中点为， 直线的斜率为，垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为：，即，所以C正确。 所以，所以△不是等腰三角形，故正确. 故选：ACD 11．（2025·湖南永州·模拟预测）斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程 B．P也是线段的中点 C．若l过双曲线的焦点，则直线的斜率是 D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为，则 【答案】ABD 【分析】由双曲线渐近线求法即可判断A；分别联立直线l与双曲线和渐近线方程结合韦达定理即可判断B；由点差法即可求解判断CD. 【详解】对于A.，或，这恰为双曲线两条渐近线，故A正确； 对于B.设直线方程为，分别联立与， 得和， 这两式的两根之和都是，所以，中点为同一个，故B正确； 对于C.因为，， 所以， 所以直线的斜率是，故C错误； 对于D.由C选项可知，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·河南开封·模拟预测）已知圆与抛物线恰有两个公共点、，且为圆的直径，则的值为________． 【答案】 【分析】分析可知、关于圆心对称，即点为线段的中点，利用点差法求出直线的方程，再将该直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式可得出的值，即可得解. 【详解】由题意可知点、关于圆心对称，即点为线段的中点， 设点、，则，可得， 若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 由题意可得，这两个等式作差得， 所以直线的斜率为，故直线的方程为，即， 联立得，， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得，故. 13．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 【答案】 【分析】先根据题意设出直线的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理求出中点的坐标，进而求出直线斜率，分类讨论求斜率最大值. 【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， ，则由韦达定理得，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 综上，直线OM的斜率的最大值为. 14．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______. 【答案】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，A，B是C上不同的两点（其中A在第一象限），点．当A，B关于x轴对称，且时，． (1)求C的方程； (2)已知Q为轴上一点（点Q与F不重合），D，E是C上不同的两点（其中D在第一象限），且，若D，E，F三点共线，，求证：轴． 【答案】(1) (2)由题意得，与轴不垂直，不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则， 所以，．取中点，连接，则，，由，，得，又，则， 所以，即，则，因为， 则，则，则轴，即轴． 【分析】（1）根据，关于轴对称得到轴，结合得到点纵坐标，进而得到直线过焦点，结合勾股定理求解即可. （2）设直线，，与抛物线联立，取中点，求出，结合几何关系得到，进而得到，代入推出，得到轴，即可得证. 【详解】（1）因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在中，，， 则，解得， 故的方程为． （2）略. 16．（26-27高三上·河南叶县·期中）已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在， 由（i）可知， 因为，， 所以. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）利用点差法可求得直线的方程； （ii）利用点差法推导出，再由斜率公式可得出，由此可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. （2）（i）设点、，则，， 所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； （ii）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $