圆锥曲线的面积问题专项练-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线的面积问题高考专题复习 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由椭圆与双曲线共焦点得到与的关系，再联立两曲线方程求出交点纵坐标，结合焦距计算三角形面积. 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 4．（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 5．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 6．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点．若四边形的面积是的面积的3倍，则的方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面积关系得到，从而确定关系，再逐项判断即可. 【详解】将代入椭圆方程， 得​，因在第一象限，故坐标为： 已知​， 而​， 因此得， ， 中在轴上，高为的横坐标，故， 代入面积关系化简得：，约去得， 将代入​，约去平方得： ， A： ，，满足； B： ，，满足； C：化为标准形式， ， ，不满足； D：化为标准形式， ，，满足； 因此椭圆方程不可能为. 7．（2026·河北保定·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点E，过点 E且斜率为负的直线交C于A，B两点(点A在点B的左侧)，若 点D(8，8)，△DBF 的面积为 ，△ABF 的面积为，则 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设，由共线可得， 整理得， 所以，根据的斜率分别为， ，即， 可得 ，解得或， 因为的斜率相反且在左侧，所以， 而的斜率，故有三点共线， 将的方程与抛物线方程联立得， 整理得，一个解即为点横坐标，则另一个解为， 即点横坐标为，所以. 8．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】由条件先判断四边形为梯形，设出直线的方程，与椭圆方程联立求出，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【点睛】对于形如的根式，可以利用三角换元处理. 二、多选题 9．（2027·江西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，，O为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B． C．的最小值为 D．的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标公式可判断B选项；利用抛物线的定义可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A，由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，故A正确； 对于B，显然直线的斜率不为0，设的方程为，、， 联立，得， 则，且，， 所以， 则，故B正确； 对于C，分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时， 则的最小值为3，故C错误； 对于D，的面积， 当时，的面积取得最小值，故D正确． 10．（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．面积的最小值为 D．直线，的倾斜角之和为 【答案】ACD 【分析】根据求出，设，，利用点到直线距离公式求出到两条渐近线的距离，由题意列式即可求出，可判断A；根据求出，可判断B；设直线，将直线方程与双曲线方程联立求出，，进而求出，根据函数的单调性即可判断C；设直线，的倾斜角分别为，，证明即可判断D. 【详解】由，得， 设，，则点到渐近线的距离分别为，， 所以， 所以，故的渐近线方程为，故A正确； ，所以，故B错误； 由上知，设直线， 将其代入，得， 则，， 所以 ， 函数在上单调递增， 所以当时取得最小值，故C正确； 设直线，的倾斜角分别为，， 易知，，，， ， 又，所以，D正确． 三、填空题 12．（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 13．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【答案】1 【分析】由题意可得直线的方程，设点坐标为，求解到直线的距离，再求的最小值即可求解. 【详解】由题意直线的方程为，. 设点坐标为（）， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号，此时. 于是面积的最小值为. 14．（2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【分析】切线，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解. 【详解】方法一：由题意可知直线的斜率存在，设切线， 联立，消去整理得， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 方法二： 设切点为,延长交于, 由光学性质可得关于切线对称， , 同理， 四、解答题 15．（2026·浙江杭州·一模）已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． (1)求的方程； (2)设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设直线的斜率为，则，， 所以． 又， 所以，所以．   （ⅱ）8 【分析】（1）根据离心率及椭圆长轴长求解即可； （2）（ⅰ）求出的斜率，利用求证；（ⅱ）设直线方程，联立椭圆方程，分别求出，可化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题知的最大值为，即， 又，所以，所以， 所以． （2）设，，则，． （ⅰ）略 （ii）设直线的方程为， 联立，解得， 所以 直线的方程为． 由，得， 则，即， 所以， 所以， （当且仅当时等号成立） 设外接圆半径为，外接圆半径为， 则，， 所以，即的最小值为8． 16．（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； (2) 【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可； （2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积. 【详解】（1）略 （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $可只互薄 圆锥曲线的面积问题高考专题复习 器动 控培讲诊 一、单选题 白然熙题断 1.（2026湖南邵阳模拟预测)已知直线1：y=kx与双曲线-士=1相交于 68 A,B两点，且A,B两点的横坐标之积为-9，F1,F2为此双曲线的左、右焦点，则△AF1F2的面积为 () A.V14 B.2V14 c.V2 D.22 2.(2026江苏连云港模拟预测椭圆C:士+兰-1与双曲线E:士号-1有公共的焦点F,F,Q m 2 n2 为C与E的交点，则△QF,F,的面积为（） A.m+n B.m+n C.2 D.1 2 3。（2026安微桢拟预测)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为R,过点F且倾斜角为120。的直线1 与地物线C交于让。N两点。O为华标原点，若MN-5,则△OMN的面积为() 4V3 A. B.83 c.23 D.4V3 3 3 3 4.(2026浙江二模)已知椭圆C:+兰=1，F1,F,为稀因C的左.右焦点，点P为椭圆C上在第一家 43 3 限内的一点，且△F1PF,的面积为2则上FPF,的角平分线所在的直线方程为(） A.2x-2y+1=0 B.4x-2y-1=0 C.8x-2y-5=0 D.3x-2y=0 5.(2026河南驻马店·模拟预测)已知M是一个动点，过点M分别作直线y=3x,y=-3x的垂线， V3 垂足分别为A,B.若△MAB的面积为 8 则动点M的轨迹方程为() =1 -=1或-=1 D.26 62 试卷第1页（共3页） 6,(2026江苏徐州模拟预测)已知椭圆C:+兰=1a>b>0)的左顶点为A:上顶点为B:直线 a b2 y=x与C交于第一象限内的点P,若四边形OABP的面积是△OPB的面积的3倍，则C的方程不可能为 () B. +=1 93 C.2x+4y=1 D.x2+3y2=1 7.(2026河北保定·模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,其准线与x轴交于点E,过点E且 斜率为负的直线交C于A,B两点（点A在点B的左侧.若an∠AFB=号，点DS,,△DBP的面 积为S,△MBF的面积为S,则S1=() S, A.5 B.4 C.3 D.2 8,(2026渐江杭州：二模)设椭圆c:兰+兰=1a>b>0点A12,0和B0,1均为桃圆C的顾点，点 M,N在椭圆C上.若MN∥AB,则四边形ABMN面积的最大值为() A.4V/2 B.4 c.2V2 D.2 二、多选题 9.(2027江西·模拟预测)己知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，D2,1, O为坐标原点，则() A.C的准线方程为x=-1 B.OA·OB=-3 C.AD+AF的最小值为2 D.△OAB的面积的最小值为2 10.(2026河南消口横拟预测)已知F,上是杨C:X+兰-1m>0的两个焦点.点A2,3在稀 圆C上，B是椭圆C上的动点，BN⊥X轴，垂足为N,且点P为BN的中点，BM⊥y轴，垂足为M,且 点Q为BM的中点，则() 试卷第2页（共3页） A.AF+AF2=4 B.AP的最小值为2 C.△POA面积的最大值为T国 4 D.△POQ面积的最大值为 3 1,(2026河北沧州一模)己知双曲线C:-广=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F:F,左、 'a b2 右顶点分别为A1,A2,过点0,1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点(B在第一象限内)，O 为原点，若A1A=2,点B到两条渐近线的距离之积为2则（） A.C的渐近线方程为y=±X B.C的离心率为2 C.△AOB面积的最小值为2 D.直线A,A,A,B的倾斜角之和为 三、填空题 1.(2026广东佛山：二模)已知R,F分别为双曲线H:兰-上=1的左、右焦点，AB两点均在双 46 曲线H,且满足AE,=入EB(入>0)，cos∠AF,B=,则△AE,B的内切圆半径为 13.(2026广东湛江·二模)已知抛物线C:y=4x,点A-2,0,B0,-2,点P在C上运动，则 △PAB面积的最小值为一· 26广东一模)如图，O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:X+y=1的两个焦点，过F, 椭圆C的切线的垂线，垂足分别为H1,H2.当OH1⊥OH2时，△OHH2的面积为. VA 四、解答题 试卷第3页（共3页） 15.（2026浙江杭州一模)已知椭圆：￥+兰=1a>b>0的离心率为2，过坐标原点的直线交r于 2 M,N两点，且MN的最大值为4. (1)求Γ的方程： (2)设点M在第一象限，作ME⊥x轴，垂足为E,连结NE并延长交T于点G. (i)证明：MN⊥MG: (i)记△MNE外接圆面积为S,'△MEC外接圆面积为S,:求S的最小值. S, 16.(2026安徽模拟预测)设抛物线C:y=4x的焦点为F,O为坐标原点，过点4,0的直线l交C于A, B两点 (1)证明：点O在以AB为直径的圆上： (2)若函·FB=-31,求△AB的面积. 试卷第4页（共3页）