第3章 一元一次方程（举一反三单元测试·培优卷）数学新教材沪教版五四制六年级上册

第3章 一元一次方程·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项． 【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意； B.中未知数最高次数为2，不符合题意； C.符合一元一次方程的要求，符合题意； D.不是等式，不属于方程，不符合要求． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 4．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 5．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键． 设被污染的常数为，将代入方程，得到关于的方程，从而可求得的值． 【详解】解：设被污染的常数为， ∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得，， 解得， 故被污染的常数是2． 故选：B． 6．（25-26七年级上·全国·期末）某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是梳理调动人员后两个队伍的人数，再根据题目给出的等量关系列方程． 【详解】解：∵把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中 ∴调动后，安全维护志愿者剩余人数为，交通引导志愿者人数变为． 根据题意，调动后安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，可得方程 ． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念以及换元法的应用，熟练掌握换元法和方程解的对应关系是解题的关键． 通过观察两个方程的结构，发现可以用换元的思路，将第二个方程中的看作第一个方程中的，从而直接利用已知方程的解来求解新方程． 【详解】解：∵关于的方程的解为，且关于的方程与前者形式一致， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据两个解相差4分两种情况列方程，即可求出a的值． 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 9．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程及根据解的性质反推参数的取值．关键在于正确解方程，理解“非负整数解”的含义，结合分数形式分析分母与分子的关系，找出满足条件的整数，并验证每个解是否符合条件．最终求和得出结果． 【详解】解： 题目要求是非负整数，即且为整数． ，且为整数． ∴是的负因数，即或或， 解得或或， 所以的可能取值为： 整数的所有可能的取值的和为： 故选：A 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 【答案】D 【分析】设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 再分别列方程求解 再检验即可. 【详解】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 当 则 故A不符合题意； 当 则 故B不符合题意； 当 则 而680，是数列中最后一列的数，故C不符合题意 当 则 而，是数列中第86行第2列中的数，故D符合题意. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 12．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是___________． 【答案】小明 【分析】本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故答案为：小明． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ． 14．（25-26七年级上·北京·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为___________． x 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，正确得出一元一次方程是解题的关键． 通过表格数据确定整式的系数，然后求解方程． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，即． 当时，，即，解得：． ∴， 当时，，解得：． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【答案】8 【详解】解：根据题意得，， 解得． 16．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设市到市相距千米，则、两市相距千米，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】解：设市到市相距千米， 依题意、两市相距千米， 依题意得： ， 解得：， 、两市相距：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26六年级下·山东淄博·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) ． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 18．（6分）（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，灵活求含参数的一元一次方程的解是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据解相同可得关于m的一元一次方程，即可求出m值； （2）将m的值代入求解即可． 【详解】（1）解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 19．（6分）（25-26七年级上·全国·期末）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一同学给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下： 一元一次方程： 同学：同学：同学：同学：同学：． (1)任务一： 填空：①A同学计算的依据是 ； ②计算出现了错误的同学有 ． (2)任务二：请直接写出本题的正确结果． 解： ． 【答案】(1) ①等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立）；②A同学、C同学 (2) 【详解】（1）解：①A同学对原方程两边同时乘4去分母，该操作的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； ②原方程为， 去分母时方程每一项都要乘最小公倍数4，正确结果应为， A同学的结果中常数项漏乘4，计算错误； 对A同学的式子去括号可得，B同学计算正确； 对B同学的结果移项时，左边的移到右边需要变为，正确结果应为，C同学的结果中没有变号，计算错误， 因此计算出错的同学是A同学和C同学； （2）解： 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 20．（8分）（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． (1)求线段的长； (2)线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下： ∵M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴，． ∴， ∴线段的长与点P在线段上的位置无关． 【分析】本题主要考查的是中点的有关计算，由一元一次方程解的情况求参数，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）由关于的方程无解，可得，从而可求得n的值； （2）根据线段中点的定义可知，，从而得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵关于的方程无解． ∴， 解得：． ∴； （2）略 21．（8分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是和解方程； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：． 22．（9分）（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1) 填表如下： 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2) 解：设有两银子． 根据题意得 ∴ ∴ ∴ 则 ∴有个人，有两银子． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∴， ∴， 解得， ∴ ∴有个人，有两银子． （2）略 23．（9分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 24．（10分）（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 【答案】(1) (2)3或8 【分析】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可； （2）用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定的值即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ， 去小括号，得：， 去中括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∵方程的解是正整数， ∴能被整除， 又∵为正整数， ∴或， 解得：或； 故答案为：3或8． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换． 25．（10分）（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别求出方程的解，再判断，即可求解； （2）分别解出方程，再代入，求出k即可； （3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值． 【详解】（1）的解为，的解为， ， 方程与方程不是“智能匹配指令”； 故答案为：不是； （2）∵的解为， 解为， ， 或； （3） 的解为， ∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“智能匹配指令”， ∴，即， ∴或， 的解为或， 即关于x的方程，无论为何值，方程的解恒为或， ①若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； ②若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； 综上，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级上·全国·期末）某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 9．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 12．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是___________． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 14．（25-26七年级上·北京·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为___________． x 0 1 2 1 4 15．（25-26七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 16．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）汽车从市到市有一天的路程，某摄制组计划上午比下午多走到沿途的市吃午饭，由于堵车，只行驶了上午原计划的三分之一，中午才到途中的一个小镇，过了小镇，汽车赶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走市到这里路程的一半就到达目的地，则，两市相距______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26六年级下·山东淄博·期中）解下列方程： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 19．（6分）（25-26七年级上·全国·期末）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一同学给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下： 一元一次方程： 同学：同学：同学：同学：同学：． (1)任务一： 填空：①A同学计算的依据是 ； ②计算出现了错误的同学有 ． (2)任务二：请直接写出本题的正确结果． 解： ． 20．（8分）（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． (1)求线段的长； (2)线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 21．（8分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 22．（9分）（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 23．（9分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 24．（10分）（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 25．（10分）（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $