专题08 二次函数图像与性质的综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题08二次函数图像与性质的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图象与各项系数符号 题型二、一次函数、二次函数图象综合判断 题型三、根据二次函数的对称性求函数值 题型四、二次函数图象的平移 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数图像与性质的综合题型是初中代数与几何融合的核心重难点，所有问题均围绕抛物线形状位置随系数变化、代数表达式的几何意义、函数图象的动态特征三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有系数符号、顶点坐标、对称轴必须通过图象特征或代数推导准确确定，二是涉及图象平移、翻折、旋转或与直线交点等问题时必须考虑变换方向和参数取值范围，所有结论最终均需结合图象实际位置进行验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图象与各项系数符号 典例1 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 题型模版 变式1-1二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论： ； ； ．其中正确的有______．（填序号） 变式1-3 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 类型二、一次函数、二次函数图象综合判断 典例2 在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 题型模版 题型特征 题干在同一坐标系中给出一次函数 和二次函数 的图象（或部分图象），要求判断两类函数系数之间的关系、交点情况、函数值大小比较，或根据已知条件推断另一函数图象的大致位置。核心特征是"两类图象共存，系数相互关联"，解题关键是分别掌握两类函数的图象性质，再通过公共点、公共系数或位置关系建立联系。 变式2-1在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式2-2在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式2-3 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 类型三、根据二次函数的对称性求函数值 典例3 若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 题型模版 一、题型特征 题干给出二次函数  （）的部分信息（如对称轴方程、部分点的坐标、函数值等），要求求出另一点的函数值，或比较不同点的函数值大小。核心特征是 "已知对称轴，利用对称点函数值相等" ，解题关键是熟练掌握"关于对称轴对称的两点，函数值相等"这一性质，并能快速找到对称点。 二、核心性质（必背） 二次函数的图象是抛物线，关于对称轴   对称。由此可得以下重要结论： 1. 对称点函数值相等：若两点   和   关于对称轴   对称，则  。 2. 对称点的横坐标关系：若两点关于   对称，则  ，即  ，或  。 3. 距离对称轴越远，函数值偏离顶点越远： 当  （开口向上）时，点离对称轴越远，函数值越大； 当  （开口向下）时，点离对称轴越远，函数值越小。 变式3-1已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 变式3-2抛物线上有两点、，若，则________． 变式3-3已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 类型四、二次函数图象的平移: 典例 4将二次函数的图象向左平移个单位后经过点，则m的值为________． 题型模版 二次函数图象的平移是初中数学函数章节中的高频考点，也是连接函数解析式与几何变换的桥梁。这类题目看似变化多端，实则万变不离其宗。为了帮助同学们从“凭感觉做题”转向“按逻辑解题”，我们总结了二次函数平移的通用题型模板与解题策略。 核心法则：八字口诀与代数本质 在深入题型之前，必须夯实基础。二次函数平移的核心法则浓缩为八字口诀：“左加右减，上加下减”。 这八个字并非简单的文字游戏，而是对应着严格的代数操作： 上加下减（针对常数项/整体）：图象在   轴方向移动，直接改变函数值。向上平移   个单位，解析式末尾  ；向下平移   个单位，解析式末尾  。 左加右减（针对自变量  ）：图象在   轴方向移动，改变的是自变量。向左平移   个单位，将   替换为  ；向右平移   个单位，将   替换为  。 变式4-1将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 变式4-2抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 变式4-3将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 2．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 3．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．将抛物线沿轴平移个单位长度，当自变量满足时，与其对应的函数值的最小值是，则的值是________． 7．①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 8．如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 9．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 10．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，抛物线与轴交于、两点（在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是______．（填序号） 11．已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 12．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 13．定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 14．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 15．已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08二次函数图像与性质的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图象与各项系数符号 题型二、一次函数、二次函数图象综合判断 题型三、根据二次函数的对称性求函数值 题型四、二次函数图象的平移 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数图像与性质的综合题型是初中代数与几何融合的核心重难点，所有问题均围绕抛物线形状位置随系数变化、代数表达式的几何意义、函数图象的动态特征三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有系数符号、顶点坐标、对称轴必须通过图象特征或代数推导准确确定，二是涉及图象平移、翻折、旋转或与直线交点等问题时必须考虑变换方向和参数取值范围，所有结论最终均需结合图象实际位置进行验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图象与各项系数符号 典例1 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 题型模版 变式1-1二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象开口方向、对称轴、与 轴的交点确定 ，， 的符号与关系，再用图象的对称性和最值判断各结论． 【详解】由图象开口向下知；对称轴，得； 图象过，得，即． ∴，①正确； ∵图象过，对称轴， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴，②错误； ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下，距离越大函数值越小， ∴，③错误； ∵顶点纵坐标为，开口向下时它是最大值， ∴当时，成立，④正确； ，⑤正确． ∴正确的有个． 变式1-2已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论： ； ； ．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断． 【详解】解：∵当时，图象在轴下方， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∴，故结论错误； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 变式1-3 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 【答案】 ①②③ 【分析】二次函数图象开口向下，，函数有最大值；与y轴交于正半轴，；二次函数图象具有对称性，对称轴为；逐个分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，取最大值， 当时，， ，故③正确； 1到的距离为2，到的距离为2，根据二次函数图象的对称性可知，时，， 当时，，故④错误． 类型二、一次函数、二次函数图象综合判断 典例2 在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正负，分别判断二次函数开口方向和一次函数经过的象限及与轴交点位置； 【详解】解：当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为， ∴直线从左向右上升，且与轴交于点，即交点在轴正半轴，观察选项，D 选项符合题意； 当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为，直线从左向右下降，且与轴交于点，即交点在轴正半轴， 观察选项，A 选项中直线与轴交于负半轴，B 选项中直线与轴交于负半轴，C选项中抛物线开口向上，均不符合题意，分析选项可得，只有 D 选项符合题意． 题型模版 题型特征 题干在同一坐标系中给出一次函数 和二次函数 的图象（或部分图象），要求判断两类函数系数之间的关系、交点情况、函数值大小比较，或根据已知条件推断另一函数图象的大致位置。核心特征是"两类图象共存，系数相互关联"，解题关键是分别掌握两类函数的图象性质，再通过公共点、公共系数或位置关系建立联系。 变式2-1在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 变式2-2在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 变式2-3 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察选项可知二次函数可以从开口方向以及与轴的交点考虑，一次函数可以从直线所经过的象限考虑；如选项， 当，时，的开口向上，对称轴为轴，经过第一、三象限，此选项不符合；同理再分析其他情况即可． 【详解】解：当的开口向上，对称轴为轴时， ， ，经过第一、三象限，A选项不符合； 当的开口向上，对称轴在y轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，B选项不符合； 当的开口向上，对称轴在轴右侧时，，，经过第一、三、四象限，C选项符合； 当的开口向上，对称轴在轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，D选项不符合． 类型三、根据二次函数的对称性求函数值 典例3 若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 【答案】5 【分析】确定二次函数的对称轴为y轴，利用函数值相等的两个不同自变量对应的点关于对称轴对称的性质，推导得到的取值，再代入解析式计算对应函数值 【详解】解：在中，其对称轴为直线， 当取、时对应的函数值相等， ∴、对应的点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当时，代入解析式得，． 题型模版 一、题型特征 题干给出二次函数  （）的部分信息（如对称轴方程、部分点的坐标、函数值等），要求求出另一点的函数值，或比较不同点的函数值大小。核心特征是 "已知对称轴，利用对称点函数值相等" ，解题关键是熟练掌握"关于对称轴对称的两点，函数值相等"这一性质，并能快速找到对称点。 二、核心性质（必背） 二次函数的图象是抛物线，关于对称轴   对称。由此可得以下重要结论： 1. 对称点函数值相等：若两点   和   关于对称轴   对称，则  。 2. 对称点的横坐标关系：若两点关于   对称，则  ，即  ，或  。 3. 距离对称轴越远，函数值偏离顶点越远： 当  （开口向上）时，点离对称轴越远，函数值越大； 当  （开口向下）时，点离对称轴越远，函数值越小。 变式3-1已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】首先确定函数图象的对称轴，其次利用对称性，将时的函数值转化为时的函数值，结合图象进行判断． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， 由函数图象可知当时，， ∴当时，， ∴． 变式3-2抛物线上有两点、，若，则________． 【答案】 【分析】先求得抛物线的对称轴为，利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称列式计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和关于直线对称， ∴， 解得：． 变式3-3已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．先算出点到对称轴的距离，由得到点到对称轴距离小于点到对称轴距离，列绝对值不等式求解． 【详解】解：抛物线，，开口向上， 对称轴：． 点到对称轴的距离：． 因为开口向上，，说明点离对称轴更近， ， ， ， ， ． 类型四、二次函数图象的平移: 典例 4将二次函数的图象向左平移个单位后经过点，则m的值为________． 【答案】3 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位后为， 代入，得， 解得， 又， ∴． 题型模版 二次函数图象的平移是初中数学函数章节中的高频考点，也是连接函数解析式与几何变换的桥梁。这类题目看似变化多端，实则万变不离其宗。为了帮助同学们从“凭感觉做题”转向“按逻辑解题”，我们总结了二次函数平移的通用题型模板与解题策略。 核心法则：八字口诀与代数本质 在深入题型之前，必须夯实基础。二次函数平移的核心法则浓缩为八字口诀：“左加右减，上加下减”。 这八个字并非简单的文字游戏，而是对应着严格的代数操作： 上加下减（针对常数项/整体）：图象在   轴方向移动，直接改变函数值。向上平移   个单位，解析式末尾  ；向下平移   个单位，解析式末尾  。 左加右减（针对自变量  ）：图象在   轴方向移动，改变的是自变量。向左平移   个单位，将   替换为  ；向右平移   个单位，将   替换为  。 变式4-1将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得． 变式4-2抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将抛物线用配方法配为顶点式，然后确定抛物线向右平移个单位后的函数表达式，再令，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移2个单位后，解析式为， 令，得，即． 变式4-3将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 【答案】 【分析】先将原抛物线的一般式配方为顶点式，再依据抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则逐步计算，平移过程中二次项系数保持不变． 【详解】解：∵， ∴将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 2．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 3．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 4．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 5．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到上方得到的，据此即可判断①；求出抛物线的对称轴为直线，则，即可判断③；分和两种情况讨论即可判断②；直线与x轴的交点在的左侧，直线与y轴的交点在正半轴上，画出一次函数的大致图象，即可判断④． 【详解】解：∵的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到上方得到的， 仅凭图象无法确定的正负， 故①错误； ∵抛物线与轴相交于和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，③正确； 若，抛物线开口向下，则，抛物线与轴交于点，即， ∴此时； 若，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于点，即， ∴此时； 综上可知，， 故②正确； 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与x轴的交点坐标为， ∵的取值范围是， ∴ 故直线与x轴的交点在的左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为，且， 故直线与y轴的交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④正确， 综上可知，②③④正确． 6．将抛物线沿轴平移个单位长度，当自变量满足时，与其对应的函数值的最小值是，则的值是________． 【答案】或 【分析】先将原抛物线化为顶点式，再分析平移后的抛物线解析式，结合对称轴与自变量区间的关系分情况讨论，确定最小值出现的位置，进而求解的值． 【详解】解：原抛物线可用配方法化为顶点式 ， 抛物线的顶点为，开口向上． 抛物线沿轴平移个单位长度，有两种情况，向左平移或向右平移， 若向左平移个单位，顶点横坐标变为，纵坐标仍为． 解析式变为， 若向右平移个单位，顶点横坐标变为，纵坐标仍为． 解析式变为． 抛物线开口向上， 最小值出现在顶点或区间端点上，需结合对称轴与区间的位置关系分析． 对称轴在区间内时，函数值的最小值为，与函数值的最小值是矛盾， 平移后对称轴不可能在区间内． 情况一：向左平移个单位 当对称轴移动到区间左侧时，，即，函数值在区间内随的增大而增大，因此，最小值出现在区间左端点处． 将代入向左平移后的解析式得， 解得或（舍去）． 情况二：向右平移个单位 当对称轴移动到区间右侧时，，即，函数值在区间内随的增大而减小，因此，最小值出现在区间右端点处． 将代入向右平移后的解析式得， 解得或（舍去）． 综上所述，的值为或． 7．①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 【答案】 2 1或 【分析】①根据抛物线平移的上加下减法则，可直接得到平移单位； ②联立抛物线与直线的解析式，转化为一元二次方程在上只有一个解的问题，分判别式为0（相切）和只有一个根在内两种情况讨论，求解得到的取值范围． 【详解】① 原抛物线解析式为，平移后抛物线解析式为，根据抛物线平移“上加下减”的规律，可得向上平移了个单位； ② 联立抛物线与直线的解析式得： ， 消去整理得： ， 问题转化为在上只有一个解， 情况一：当，方程有两个相等的实数根，抛物线与直线相切， 此时： ，解得，此时方程的根为，满足，故符合题意； 情况二：当，方程有两个不相等的实数根，同时方程有且只有一个根在内： ， ， 解得， ①当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 解得； ②当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 此时，无解， 综上，的取值范围是或． 8．如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 9．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键． （1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围； （2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 10．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，抛物线与轴交于、两点（在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④错误． 【详解】解：∵点的坐标分别为和， ∴线段与轴的交点坐标为， 又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ∴，（顶点在轴上时取“”）故①正确； ∵抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， ∴只有当时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点的横坐标最小值为，此时抛物线的对称轴为直线， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得，故④错误； 综上，正确的是①③． 11．已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 【答案】 或或 【分析】不存在等价于抛物线对称轴不在所有可能的的取值范围内，据此列不等式求解，排除不符合题意的即可． 【详解】解：∵抛物线是二次函数， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 若抛物线上存在，则满足， ∵，， ∴的取值范围为， 整理得， 两边同除以2得：， ∵要使不存在，则， 即与无公共部分，且m不在内， 对于与无公共部分， ∴或， 解得：或， 对于：由于，则或， 对于m不在内，此时分两种情况讨论： ①： 两边同乘2得：，解得， 结合，得； ②： 两边同乘2得：，解得； 综上，m的取值范围是或或． 12．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 13．定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 14．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键． （1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案； （2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式； （3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴直线上的“好点”坐标为， 故答案为： （2）解：当时，， ∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是, ∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”， ∴， ∴“好点二次函数”为， ∵是“好点二次函数”，顶点为， ∴， 解得或， ∴这个“好点二次函数”的表达式为或； （3）∵“好点二次函数”的图象过点， ∴， 解得，， ∴或 ∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去， ∴， ∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 此时 当，即时，函数的最小值为2， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴ 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， ∴ 综上所述， 15．已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $