2.5.2 圆与圆的位置关系导讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学教学笔记 圆与圆的位置关系 湖北天门 薛德斌 基本知识： 1．已知圆的半径为，圆的半径为，则 圆和圆外离圆和圆有4条公切线； 圆和圆外切圆和圆有3条公切线； 圆和圆相交圆和圆有2条公切线； 圆和圆内切圆和圆有1条公切线； 圆和圆内含圆和圆无公切线． 2．当两圆相交时，两圆方程相减即为两圆的公共弦所在直线的方程． 练习题： 1．判断下列各题中两圆的位置关系及公切线条数． （1）圆：，圆：； （2）圆：，圆：； （3）圆：，圆：． 【答案】（1）两圆外离，有4条公切线．（2）两圆相交，有2条公切线． （3）圆内切于圆，有1条公切线． 【详解】（1），圆：，， ，，圆和圆外离，有4条公切线． （2）圆：，， 圆：，， ，，圆和圆相交，有2条公切线． （3）圆：，， 圆：，， ，圆内切于圆，有1条公切线． 2．【高中数学选修第一册（A版）P98习题2.5T9】圆与圆的公共弦的长度为______． 【答案】 【详解】两圆方程相减即为两圆的公共弦所在直线的方程为， 公共弦即直线与圆的相交弦， 长度为． 3．已知圆：，圆：，点在圆上运动，点在圆上运动，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】，两圆外离， 的取值范围是，即． 4．已知圆：，圆：，点在圆上运动，点，在圆上运动，且，为的中点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由，可得， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上． ，的取值范围是． 5．若圆：（）上存在点，其关于轴的对称点在圆：上，则的取值范围为__________． 【答案】 解：圆关于轴的对称圆为圆：，依题意，圆与圆有公共点，∴，即，∴． 6．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为________． 【答案】 解：由题意可知四边形为正方形，∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上， 又也在圆上，∴两圆有公共点，∴，， ∴，． 7．已知圆：，圆：，点在圆上运动，过 点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值是______． 【答案】 【详解】圆：， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 8．（多项选择题）已知点，，圆：．若圆上存在点，使得，则实数的值可能为 （ ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BC 【详解】设，由，得， 即， 依题意，圆与圆有公共点， ∴，即，∴．故选BC． 9．（多项选择题）已知圆：与圆：相交于，两点．若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D．6 【答案】ABC 【详解】由题意知，直线为， 当或时，设到的距离为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以，解得； 当时，经过圆心C1，则，即． 故选ABC． 10．【高中数学选修第一册（A版）P99习题2.5T15改编】过点作圆：的两条切线，切点为，，求直线的方程． 【答案】 【详解】∵，，∴点，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：， 两圆方程相减，得， ∴直线的方程为． 11．已知直线：，圆：，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标． 【答案】直线过定点 【详解】∵，，∴点，在以为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的方程为， 即， 圆：， 两圆方程相减，得， ∴直线的方程为，即， 令，得，∴直线过定点． 12．已知点为圆（）上的动点，点，点是线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，，曲线上存在点，使得，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）设，，则，∴， ∵点在圆上，∴， ∴，即， ∴曲线的方程为． （2）设，∵，∴， 整理得， 由题意知圆与圆有公共点， ∴，解得， ∴的取值范围是． 13．【高中数学选修第一册（A版）P98习题2.5T10】求经过点，且与圆：相切于点的圆的方程． 【答案】 【详解】 圆：，，：， 的中垂线：， 由，得，∴所求圆的圆心为， ， ∴所求圆的方程为． 14．已知圆与直线相切，且与圆：相切于点，求圆的标准方程． 【答案】或 解：圆：，， ，，三点共线，∴圆心在轴上． 设圆的半径为， 若两圆外切，则，∵圆与直线相切，∴，解之得，圆的方程为；. 若两圆内切，则圆内切于圆，，∵圆与直线相切， ∴，解之得，圆的方程为， 综上所述，圆的标准方程为或． 15．求与圆：和圆：都相切的直线的方程． 【答案】，， 【答案】（或，） 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，故两圆外切． ①求内公切线的方程： 解法一：（两圆方程相减） 两圆方程相减，得，即，即为两圆的内公切线的方程． 解法二：（几何法） 如图，设内公切线为，则，∵，∴， 设：，O到l的距离，解得， ∴：，即． 解法三：（列方程组解方程组） 设内公切线的方程为，即， 则有，∴，， 解，得，公切线方程为； 解，得，公切线方程为， 由图可得，内公切线的方程为，即． ②求外公切线的方程： 与两圆相切，∴外公切线：． 解法一： ：，直线与的交点为， 依题意，点在外公切线上，设：，即， 则有，解之得， ∴外公切线：，即． 解法二：（列方程组解方程组） 设外公切线的方程为，即， 则有，∴，， 解，得，公切线方程为； 解，得，公切线方程为， 由图可得，外公切线：，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学教学笔记 圆与圆的位置关系 湖北天门 薛德斌 基本知识： 1．已知圆的半径为，圆的半径为，则 圆和圆外离________________圆和圆有___条公切线； 圆和圆外切________________圆和圆有___条公切线； 圆和圆相交________________圆和圆有___条公切线； 圆和圆内切________________圆和圆有___条公切线； 圆和圆内含________________圆和圆有___条公切线． 2．当两圆相交时，________________即为两圆的公共弦所在直线的方程． 练习题： 1．判断下列各题中两圆的位置关系及公切线条数． （1）圆：，圆：； （2）圆：，圆：； （3）圆：，圆：． 2．【高中数学选修第一册（A版）P98习题2.5T9】圆与圆的公共弦的长度为______． 3．已知圆：，圆：，点在圆上运动，点在圆上运动，则的取值范围是______． 4．已知圆：，圆：，点在圆上运动，点，在圆上运动，且，为的中点，则的取值范围是______． 5．若圆：（）上存在点，其关于轴的对称点在圆：上，则的取值范围为__________． 6．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为________． 7．已知圆：，圆：，点在圆上运动，过 点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值是______． 8．（多项选择题）已知点，，圆：．若圆上存在点，使得，则实数的值可能为 （ ） A． B．0 C．2 D．4 9．（多项选择题）已知圆：与圆：相交于，两点．若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D．6 10．【高中数学选修第一册（A版）P99习题2.5T15改编】过点作圆：的两条切线，切点为，，求直线的方程． 11．已知直线：，圆：，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标． 12．已知点为圆（）上的动点，点，点是线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，，曲线上存在点，使得，求的取值范围． 13．【高中数学选修第一册（A版）P98习题2.5T10】求经过点，且与圆：相切于点的圆的方程． 14．已知圆与直线相切，且与圆：相切于点，求圆的标准方程． 15．求与圆：和圆：都相切的直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $