3.1.2排列与排列数（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第二章 排列、组合与二项式定理 3.1.2排列与排列数 3.1排列与组合 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 3 通过实例理解排列、排列数的定义，抓住排列"元素不同、有顺序"两个核心特征；会用分步乘法计数原理推导排列数公式，认识全排列与阶乘，掌握排列数两种形式的公式与规定 ，0!=1。 能辨析是否为排列问题，会书写简单排列、计算排列数，能解决基础的排列实际问题；提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。 重点：排列概念、排列数公式；难点：判断有序性、公式推导、阶乘理解。 生活情境 问题：从甲、乙、丙3名同学中选出2人，分别担任班长和副班长，一共有多少种不同的安排方法？ 竞选班长 共同枚举：甲班长乙副班长、甲班长丙副班长、乙班长甲副班长、乙班长丙副班长、丙班长甲副班长、丙班长乙副班长，共6种。 追问思考：如果只是选出2名同学，不分工，有几种选法？ 对比发现：分工有先后顺序，结果不一样；只选人不安排顺序，结果一样。 小结引子：生活里很多计数问题和顺序有关，这类"选出来、排顺序"的计数模型，就是今天要学习的排列。 目标一：排列 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 试解答下列三个计数问题： (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2)在3名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方式？ (3)学校要在3名教师中指派2人，分别去上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？ 它们的答案是否一致？ 不难看出，以上三个问题虽然实际背景不同，但所求的本质上都是“从3个不同对象中选出2个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”，因此它们的答案肯定是一致的。事实上，根据分步计数原理可知，方法种数都是 3×2=6。 5 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，从 n 个不同对象中，任取 m(m≤n) 个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个排列。 对排列定义的理解 (1)定义的两个重要因素：一是“取出对象”，二是“将对象按照一定的顺序排列”，“一定顺序”说明与位置有关，这两个因素是判断一个问题是不是排列问题的重要依据。 (2)每一个排列不仅与选取的对象有关，而且还与对象的排列顺序有关。选取的对象不同或虽对象相同但对象的排列顺序不同时都是不同的排列，只有当两个排列的对象完全相同且对象的顺序完全一样时才是相同的排列。 6 判断方法 知识讲解 互动探究 新课引入 如何判定一个具体问题是排列问题 (1)要保证对象的无重复性，即是从 n 个不同对象中取出 m(m≤n) 个对象，否则不是排列问题。 (2)要保证对象的有序性，即安排这 m 个对象时是有顺序的，有序的就是排列，无序的则不是排列。检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序。 7 对点体验 (多选)下列问题中是排列问题的有( )。 A.某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果 B.从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数字分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值 C.有12个车站，共需准备多少种车票 D.某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法 解 A中，因为选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以A是排列问题。 B中，因为对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关，所以B是排列问题。 C中，因为起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关，所以C是排列问题。 D中，因为只是选出3个座位，与顺序无关，所以D不是排列问题。 答 ABC 点评：判断一个问题是否为排列问题，抓住一个关键：“有序且不重复”。 目标二：排列数 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下：前面的计数问题实际上求 ，我们已经知道，，一般情况下 等于多少？ 等于从 个不同对象中取出 1 个的方法种数，显然 。 等于从 个不同对象中取出 2 个并排成先后顺序的方法种数。 分两步完成： 第一步，选一个排在第一个位置，有 种选法； 第二步，在剩下的对象中选一个排在第二个位置，有 种选法。因此共有 种选法， 即 。 用类似的方法可知 ， ， 10 排列数的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有排列的个数，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数，用符表示。 注意：符号 中，总是要求 n 和 m 都是正整数，且 m≤n，以后不再声明。 对排列数的理解 ①从集合的角度理解排列数的概念：从 a,b,c 这三个不同元素中任取两个元素的排列数问题，就是集合 A={ab,ac,ba,bc,ca,cb} 的元素个数问题，显然 card(A)=6。这里，由排列的定义知，集合 A 中的元素 ab 与 ba 应视为不同的元素。 ②“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同对象中任取 m 个对象，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是指“从 n 个不同对象中任取 m 个对象的所有排列的个数”，它是一个数。 11 知识讲解 互动探究 新课引入 排列数公式及其推导 ①公式：=n(n-1)⋯(n-m+1)。 ②公式的推导：一般情况下，求 的值，可以分成 m 个步骤完成： 第一步，从 n 个不同对象中任取一个占据第一个位置，有 n 种不同的方法； 第二步，从余下的 (n-1) 个对象中任取一个占据第二个位置，有 (n-1) 种不同的方法； 第三步，从余下的 (n-2) 个对象中任取一个占据第三个位置，有 (n-2) 种不同的方法； 依此类推…… 第 m 步是前一步余下的 [n-(m-1)] 个对象中任取一个占据第 m 个位置，有 [n-(m-1)] 种不同的方法。 根据分步乘法计数原理，得到公式： =n(n-1)⋯[n-(m-1)]=n(n-1)⋯(n-m+1)。 这个公式称为排列数公式。公式右边是 m 个由大到小排列的连续正整数之积，其中最大的因数是 n，最小的因数是 (n-m+1)。 12 知识讲解 互动探究 新课引入 全排列、阶乘的概念 一般地，n 个不同对象全部取出的一个排列，称为 n 个不同对象的一个全排列。这时在排列数公式中 m=n，则有 =n×(n-1)×⋯×2×1。我们把正整数由 1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n! 表示。所以 n 个不同对象的全排列数公式可以写成 =n!。 特别地，规定 0!=1。 排列数公式的阶乘表示 =n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1) =， 即 13 对点体验 (1) 。 A. B. C. D. (2) 设 ，且 ，则 可化简为 。 A. B. C. D. 解 (1) 18×17×16×⋯×。 (2)先确定最大数，即 n，再确定因式的个数，即 m，易知 n=x-2，m=(x-2)-(x-15)+1=14，所以原式 =。 答 (1)A (2)B 对点体验 解下列方程或不等式： (1) ； (2) 。 答 (1)由 ， 得 。 因为 ，且 ， 所以 。 化简整理得 ， 解得 （舍去）， 所以 。 (2)由题意得 ， 化简得 ， 即 ， 解得 。 由题意知 ，且 ，所以不等式的解集为 。 对点体验 证明： (1) ； (2) 。 答 (1) 。 (2) 。 目标三：无限制条件的排列应用题的解法 ❶解排列应用题的方法、流程 解应用题时，首先必须认真分析、理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序。如果有的话，再进一步分析这里 n 个不同的元素指的是什么，以及从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解。 ❷ 无限制条件的排列问题 (1) 可直接用排列数表示的排列问题 求解有关排列的实际应用问题时，第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题是否涉及顺序，也即看当选出的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数。 (2) 排列与两个计数原理的综合问题 ①无限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制，这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可，一般情况下涉及的“大数”是元素数，“小数”是位置数。必要时，要明确完成这件事是分类还是分步进行解决。 ②多类元素的排列问题，对于多类元素被安排到同一个位置上的问题，我们可以分步对各类元素按要求进行安排，然后分别求出每一步的排列数，最后利用分步乘法计数原理求出方法数。 题型1 无限制条件 例1 (1) 利用 1,2,3,4 这四个数字，可以组成______个没有重复数字的三位数； (2) 一天有 6 节课，安排 6 门学科，一天的课程表有______种排法。 典例分析 牛刀小试 解 (1) 本题实际上是求从 1,2,3,4 四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故不同排法有 =4×3×2=24（种），即可以组成 24 个没有重复数字的三位数。 (2) 这是 6 个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有 =6×5×4×3×2×1=720（种）。 答 (1)24 (2)720 题型1 无限制条件 例2 某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号。 典例分析 牛刀小试 解 解决这个问题可以分三类完成： 第 1 类，挂 1 面旗，可以表示 种不同的信号； 第 2 类，挂 2 面旗，可以表示 种不同的信号； 第 3 类，挂 3 面旗，可以表示 种不同的信号。 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有 =3+3×2+3×2×1=15（种）。 目标四：有限制条件的排列应用题的解法 ❶ 有限制条件的排列问题的常用解法 (1) 位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑。有两个以上的约束条件，往往在考虑一个条件的同时，要兼顾其他条件。 (2) 元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素。有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素。 第二张图： (3) 间接法(也叫排异法)：直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题。在此方法中，对立面要“不重不漏”。 题型2 有限制条件 例3 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的数，则： (1)可以组成多少个六位奇数？ (2)可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？ 典例分析 牛刀小试 答 (1)方法一(位置分析法)：分三步完成：第一步，填末位，有 种填法；第二步，填首位，有 A_4^1 种填法；第三步，填其他位，有 种填法。故可以组成的无重复数字的六位奇数共有 =288(个)。 题型2 有限制条件 例3 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的数，则： (1)可以组成多少个六位奇数？ (2)可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？ 典例分析 牛刀小试 方法二(元素分析法)：0不在首位也不在末位，有 种排法；从1,3,5中任选一个排在末位，有 种排法；其他各位上用剩下的数字进行排列，有 种排法。故可以组成的无重复数字的六位奇数共有 (个)。 方法三(排除法)：六个数字共有 种排法，数字0,2,4在末位上共有 种排法，数字1,3,5在末位上且0在首位上共有 种排法，故可以组成的无重复数字的六位奇数共有 (个)。 题型2 有限制条件 例3 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的数，则： (1)可以组成多少个六位奇数？ (2)可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？ 典例分析 牛刀小试 (2)①当千位上排1,3时，从0,2,4中任选一个排在个位，其他各位上从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有 种排法；②当千位上排2时，从0,4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有 种排法；③当千位上排4时，形如4 0xx,4 2xx的偶数各有 个，形如4 1xx的偶数有 个，形如4 3xx的符合要求的偶数只有4 310和4 302这两个。故可以组成的不大于4 310的四位偶数共有 (个)。 题型2 有限制条件 例4 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )。 504种 B. 960种 C. 1 008种 D. 1 108种 典例分析 牛刀小试 解 依题意，满足甲、乙两人安排在相邻两天的方案共有 =1440(种)，其中满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙安排在10月1日的方案共有 =240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天且丁安排在10月7日的方案共有 =240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙安排在10月1日、丁安排在10月7日的方案共有 =48(种)。 因此，满足题意的方案共有 1440-2×240+48=1008(种)。 答 C 几类常见排列模型的求解方法 (1)“在”与“不在”问题 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先。一般从以下思路考虑： 元素分析法：以元素为主，优先考虑特殊元素 或位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置 间接法：若解题时分类太多，用直接法求解较为麻烦，往往采用间接法 , 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决。 几类常见排列模型的求解方法 (2)“邻”与“不邻”问题 ①解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将 个不同元素排成一排，其中某 个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数。解决这类问题的方法是：先将这 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排法。根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种。 ②解决“间隔”问题的方法为“插空法”，即将 个不同的元素排成一排，其中 个元素互不相邻()，求不同的排法种数。解决这类问题的方法是：先将没有不相邻要求的元素共 个排成一排，其排列方法有 种；然后将要求两两不相邻的 个元素插入 个空当中，相当于从 个空当中选出 个分别配给两两不相邻的 个元素，其排列方法有 种。根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排列方法有 种。 几类常见排列模型的求解方法 (3)数字的排列问题 含有数字“0”的排列问题，隐含了数字“0”不能在首位(即最高位)的条件，应将其视为有限制条件的元素优先进行排列。若在一个题目中除了数字“0”以外还有其他受限制的数字，应考虑其他受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择，若有影响，应分类考虑。 题型2 有限制条件 例5 有3位男生和2位女生，在某风景点前站成一排拍合照，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？ 典例分析 牛刀小试 分成两步来完成： 第一步，先让两位女生站好，有 种方法； 第二步，把两位女生当成一个整体，与3位男生去站成一排，有 种方法. 根据分步乘法计数原理可知，共有 种不同的站法. 相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为“捆绑法”。 题型2 有限制条件 例6 某晚会要安排3个歌唱节目（记为A，B，C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？ 典例分析 牛刀小试 分成两步来完成： 第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序（不考虑舞蹈节目），总共有 种排法； 第二步，歌唱节目的先后顺序确定之后，舞蹈节目共有 种排法（例如，如果第一步确定的歌唱节目先后顺序为ABC，则舞蹈节目只能安排在如图所示的4个空格中）. （如下图） 由分步乘法计数原理可知，共有 =6×12=72 种不同的安排方法. 值得注意的是，例中所有符合条件的安排方法都可用解法中的方式得到，如“AB甲C乙”，只要在上图中的第三个、第四个空格分别填上甲、乙即可.这种解题方法通常称为“插空法”.在解决类似的要求不相邻的问题中，用插空法往往简单、有效. 目标五：针对训练 举一反三 1.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是() A.96 B.192 C.384 D.768 解析：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有 种排法， 再排其余4节，有 =24 种排法， 根据乘法原理，共有 8×24=192 种排法，故选：B 2.若 为正整数，则 等于() A. B. C. D. 解析：因为 . 选D. 举一反三 3.如图，△ABC 三边 AB,BC,CA 的中点分别为 D,E,F，将 1,2,3,4,5,6 六个数字全部标注在 A,B,C,D,E,F 六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有() A.36种 B.48种 C.60种 D.72种 解析：由题意可得顶点标注只能为4，5，6或3，5，6，其余情况不满足题意. 若顶点标注4，5，6，则1，2，3标注在中点处，此时有 ， 若顶点标注3，5，6，则4只能标注在5，6之间的边的中点，此时有 种，所以不同的标注方法有 种. 举一反三 4.下列问题不属于排列问题的是() A.从10个人中选2人分别去种树和扫地 B.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C.从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 解析：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意.故选：B. 举一反三 5.某校 A,B,C,D,E 五名学生分别上台演讲，若 A 须在 B 前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有() A.18种 B.36种 C.60种 D.72种 解析：因为 A 在 B 的前面出场，且 A,B 都不在3号位置，则情况如下： ①A 在1号位置，B 有2，4，5号三种选择，有 =18 种出场次序； ②A 在2号位置，B 有4，5号两种选择，有 =12 种出场次序； ③A 在4号位置，B 有5号一种选择，有 =6 种出场次序，故不同的出场次序共有 18+12+6=36 种.故选：B. 目标六：小结 学海拾贝 知识小结 排列：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列；关键点：元素互不相同、与顺序有关，顺序变则排列不同。 排列数：所有排列的个数，记作 A_n^m；由分步乘法计数原理推导出： 全排列：m=n，；规定 0!=1。 学海拾贝 解题第一步先判断：是否与顺序有关，有序才是排列问题；无序后续是组合问题。 思想方法：以分步乘法计数原理为根基，从具体枚举到抽象公式，由特殊到一般。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $