精品解析：上海市曹杨第二中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2026学年度第一学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再结合直线所过的定点，通过点斜式推导并整理为一般式方程． 【详解】直线的斜率， 设所求直线的斜率为，得， 已知所求直线过定点，根据直线的点斜式方程得，整理成一般式方程为． 2. 若圆锥的底面半径为1，高为，则其侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理由圆锥的底面半径和高求出母线长，再代入圆锥侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】由题干可知，该圆锥底面半径，高， 则圆锥母线长， 所以圆锥侧面积． 3. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为________. 【答案】 ##0.8 【解析】 【详解】点到直线的距离. 4. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 5. 设，已知向量，，.若、、共面，则________. 【答案】 【解析】 【详解】向量，，， 由、、共面，得， 则， 因此，解得， 所以. 6. 已知圆与半径为1的圆内切于点，则圆的圆心坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，再利用两圆内切时圆心与切点共线、圆心距等于半径差的性质，结合三点共线条件求解圆的圆心坐标. 【详解】由圆，可得圆心，半径； 设两圆内切于点， 两圆内切时、、三点共线，且圆心距； 直线过和，斜率，故直线方程为； 设圆的圆心为，因在直线上，故满足； 结合，由两点间距离公式得 ， 将代入上式，化简得 若，则，此时圆心到切点的距离为， 不符合点在圆上的要求，舍去； 若，则，此时圆心到切点的距离为， 符合内切于点的条件； 因此，圆的圆心坐标为. 7. 设，则直线的倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则有，，再根据正切函数的性质即可求得答案． 【详解】解：因为直线，， 所以直线的斜率， 所以， 设直线的倾斜角为， 则有， 又因为， 所以． 8. 已知圆柱的底面半径为1，高为4；是该圆柱的一条母线.若一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面绕两周到达点，则蚂蚁爬行的最短路程为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开即可求得结果. 【详解】 把圆柱沿母线剪开后展开，其中为底面圆周的2倍，点展开后的对应点， 由于圆柱的底面半径为1，所以， 则蚂蚁从点绕圆柱侧面两周到达点经过的最短路程为. 9. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 10. 在正三棱台中，，，，底面上有一动点.若，则点的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】设满足题意的动点为，求得点在平面上的投影点，并结合几何关系，求得的长度，即可判断的轨迹为圆弧，再根据弧长公式计算即可. 【详解】设平面的中心分别为，连接， 作图如下： 因为为正三棱台，故面，且， 在中，； 在中，； 取中点为，则，且， 故四边形为平行四边形，故，则面； 所以， 连接，又面，故； 在中，，则， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，如图所示，也即弧； 又底面为等边三角形，故， 又在以为圆心，为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为， 由弧长公式可知弧的长度为. 也即点的轨迹长度是. 11. 如图，在四面体中，，.当二面角的大小在内变化时，异面直线与所成的角的余弦值的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则为二面角的平面角，设，设为异面直线所成的角，将用表示，则可根据的范围求出的最大值． 【详解】取的中点，连结，结合，， 则，则为二面角的平面角， 设，，， 在中，由余弦定理可得，， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则， 因为，所以， 当时，有最大值，故的最大值是． 12. 在平面直角坐标系中，对任意实数m，始终不在直线上的所有点构成的图形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为关于的方程根的问题，分类讨论计算即可. 【详解】直线方程可化为， 不在直线上的点构成的集合即不满足直线方程的点构成的集合， 所以方程无实数根， 若，则无解，所以，故满足题意； 若，则，整理得， 即以为圆心，1为半径的圆的内部所有点也满足题意； 综上符合题意的点构成的集合为， 其围成的图形的面积为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 14. 在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，.设到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的表达式，根据a的范围得出的取值范围． 【详解】设，， 则，，，且B到平面的距离为． ， 由于平面，平面，故， 又在堑堵中，，故， 而平面， 故平面，平面，故， 故， ， 又， ， ， ，， ，即的取值范围是. 15. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 16. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设，已知直线． （1）若直线与平行，求的值； （2）若，直线经过点，且与的夹角大小为，求的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先根据两直线平行的系数关系求出的值，再排除两直线重合的情况即可得到答案； （2）分类的斜率是否存在分类讨论后结合夹角公式可求直线方程. 【小问1详解】 由，，且， 则，解得，或， 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，即，此时与重合，不符合题意． 综上，． 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，，若，则， 则此直线的斜率为且， 又与的夹角为，则，且，所以， 若的斜率不存在，则其方程为，此时与的夹角的正切值为，符合题意； 若的斜率存在，设此斜率为，因两直线不垂直， 则，解得， 此时的方程为，即． 综上，的方程为和． 18. 已知圆经过点,，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求圆的方程即可； （2）先确定点在圆外，从而得到存在两条切线，再分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论，进而结合切线的性质即可求解． 【小问1详解】 设圆的标准方程为，其中为圆心，为半径， 则，解得， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 结合（1）得圆的方程为，则其圆心为，半径为， 又，则点在圆外，故存在两条过点的切线， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到该直线的距离，即该直线不是圆的切线； 故过点的直线的斜率存在，设其方程为，即， 由圆心到该直线的距离，整理得，解得，或， 当时，该直线方程为，即； 当时，该直线方程为，即． 综上，切线的方程为和． 19. 在四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若.在棱上（含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明如下： 在中，由，，，得，即， 因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面； 因为底面，底面，所以， 又，且，平面，所以平面； 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）存在，； 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明平面，所以，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，表示出点和的坐标，利用线面角的正弦公式列方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，且，所以，又底面， 因此，，故以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由，，，可得各点坐标： ，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 假设在棱上存在一点满足条件，设，即，其中， 因为， 所以，，， 设直线与平面所成的角为，则 ， 整理得，，解得或，又因，所以， 故存在满足条件的点，． 20. 三棱锥中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面，且三棱锥的体积为，求点到平面的距离； （3）若，点在平面上的投影在线段上（含端点），求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又，为的中点，所以， 又平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理进行证明； （2）利用等体积法求解； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，根据函数的单调性研究余弦值的取值范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，为的中点， 所以，， 若平面，且三棱锥的体积为， 所以，，， 在中，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为； 【小问3详解】 以点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线得轴，建立空间直角坐标系： 则， 因为点在平面上的投影在线段上（含端点）， 所以设， 因为，所以，所以， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以， 又平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 令，则，， 则, 当时，， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以二面角的余弦值的取值范围为. 21. 在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. （1）求曲线的方程； （2）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； （3）设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 【答案】（1） （2）是；定点坐标为. （3）由，，，， 得，，. 由直线的方程与圆的方程联立得 ，消去得. ， 所以， 因为，所以，，即都不在轴上. 所以. 又因为，即， 所以. 所以存在常数，使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）设，利用得到，化简即可得到曲线的方程； （2）设，，，利用过圆上一点的切线方程得到两条切线、的方程即可得的方程，再利用直线方程的特点即可得直线过定点； （3）由，，，，可得，，，由直线的方程与圆的方程联立消去，利用韦达定理得到，将其代入化简即可得，从而证明结论成立. 【小问1详解】 设， 又因为、，， 所以， 整理得. 所以曲线是以原点为圆心，半径的圆，方程为. 【小问2详解】 设，， 因为，所以点恒在圆外. 设切点，则切线方程为，将点代入，得； 同理，对切点，有. 所以直线的方程为，即. 则，解得. 所以直线恒过定点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨二中2026学年度第一学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为________． 2. 若圆锥的底面半径为1，高为，则其侧面积为________． 3. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为________. 4. 已知球的体积为，则球的表面积为______. 5. 设，已知向量，，.若、、共面，则________. 6. 已知圆与半径为1的圆内切于点，则圆的圆心坐标为________. 7. 设，则直线的倾斜角的取值范围是________. 8. 已知圆柱的底面半径为1，高为4；是该圆柱的一条母线.若一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面绕两周到达点，则蚂蚁爬行的最短路程为________. 9. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 10. 在正三棱台中，，，，底面上有一动点.若，则点的轨迹长度为________. 11. 如图，在四面体中，，.当二面角的大小在内变化时，异面直线与所成的角的余弦值的最大值为________. 12. 在平面直角坐标系中，对任意实数m，始终不在直线上的所有点构成的图形的面积为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 14. 在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，.设到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设，已知直线． （1）若直线与平行，求的值； （2）若，直线经过点，且与的夹角大小为，求的方程． 18. 已知圆经过点,，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 19. 在四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若.在棱上（含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 三棱锥中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面，且三棱锥的体积为，求点到平面的距离； （3）若，点在平面上的投影在线段上（含端点），求二面角的余弦值的取值范围. 21. 在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. （1）求曲线的方程； （2）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； （3）设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $