上海市曹杨中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期高二数学期中试卷

一、填空题（本大题共12小题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）

1. 若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的小圆半径为________．

2. 已知复数z满足，则________．

3. 正四棱柱的底面边长为10，侧面积为40，则这个棱柱的体积为_____________．

4. 用斜二测画法画出水平放置的的直观图如图所示，已知，，则AB边的实际长度为________．

5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________.

6. 已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________．

7. 设直线与平面斜交于点A，动点且不与A重合，若直线与平面所成角为，则直线AB与直线所成角的取值范围是________．

8. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

 

9. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________.

10. 在三棱锥中，平面BCD，，若点均在球O的表面上，且，则球O的体积为________．

11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包

括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________．

12. 已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为______．

二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）

13. 两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

14. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

15. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点M，N，设，给出下列三个结论：①四边形一定为菱形；②若四边形的面积为，，则有最大值；③若四棱锥的体积为，，则为常值函数.其中正确结论有多少个?（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17. 已知函数．

（1）若，求的值域；

（2）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积．

18. 如图，在四棱锥中，平面，，，．

（1）若平面，证明：；

（2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出并证明本题图中的一个鳖臑，然后计算它的体积和表面积．

19. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点