4.3.2等比数列的前n项和公式（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.3.2等比数列的前n项和公式 目录 知识点01 求等比数列前n项和 知识点02 等比数列前n项和的基本量计算 知识点03 等比数列片段和性质及应用 知识点04 等比数列奇、偶项和的性质及应用 知识点05 等比数列前n项和的其他性质 知识点06 等比数列中Sn与an的关系 知识点07 等比数列的应用 知识点08 等差数列与等比数列综合应用 知识点09 数列不等式恒成立问题 知识点10 数列不等式能成立（有解）问题 知识点01 求等比数列前n项和 1．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列中，，，则数列的前项和的值为（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）等比数列 中，，． (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，求数列 的前 项和 及 ． 知识点02 等比数列前n项和的基本量计算 4．（26-27高三上·江西赣州·开学考试）等比数列的前n项和为，若，则公比______. 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 6．（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 知识点03 等比数列片段和性质及应用 7．（26-27高二上·全国·期中）等比数列 中，前 项和为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·专题练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 9．（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 知识点04 等比数列奇、偶项和的性质及应用 10．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 11．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 12．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 知识点05 等比数列前n项和的其他性质 13．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 14．（24-25高二下·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 15．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 知识点06 等比数列中Sn与an的关系 16．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 17．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 知识点07 等比数列的应用 19．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 20．（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 21．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 知识点08 等差数列与等比数列综合应用 22．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列中，公差，，且，，依次构成等比数列，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 23．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 知识点09 数列不等式恒成立问题 25．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 26．（专项练—不等式3）已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 知识点10 数列不等式能成立（有解）问题 28．（25-26高二上·重庆·期末）在等差数列中，数列前项和为，若，当 时的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 29．（2025·北京大兴·三模）已知数列为无穷等比数列，为其前项和，“存在，对于任意的，”是“存在，对于任意的”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的可能取值有哪些？ 一、单选题 1．等比数列的前项和为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球第一分钟内上升 米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到 米至少要经过（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 3．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，数列满足，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，若，则使得成立的n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 7．已知等比数列的公比为，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等比数列，公比，，且.记的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则数列的前项之积有最大值 9．记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D．若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 三、填空题 10．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 11．已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 12．已知数列满足，，若为数列的前n项和，则________________________． 四、解答题 13．已知数列满足，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 14．已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 1．已知数列由若干个和组成，，且在第个和第个之间有个，即，，，，，，，，，，，，…，则数列的前2026项的和为（     ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，且.设，数列的前项和为，则__________. 3．（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A．若，则为“封闭数列” B．若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C．若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D．若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 4．一个圆形项链有颗珠子，每颗为红色或蓝色．若任意将这串项链分割成段，每段连续颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为好分链，正整数对为分链数对． (1)现有甲乙两串项链，如图所示，表示红色，表示蓝色．请判断它们是否为好分链（给出判断即可，不必说明理由）； (2)证明：对任意给定的，是分链数对； (3)对给定的，求所有的正整数，使得是分链数对． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.2等比数列的前n项和公式 目录 知识点01 求等比数列前n项和 知识点02 等比数列前n项和的基本量计算 知识点03 等比数列片段和性质及应用 知识点04 等比数列奇、偶项和的性质及应用 知识点05 等比数列前n项和的其他性质 知识点06 等比数列中Sn与an的关系 知识点07 等比数列的应用 知识点08 等差数列与等比数列综合应用 知识点09 数列不等式恒成立问题 知识点10 数列不等式能成立（有解）问题 知识点01 求等比数列前n项和 1．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列中，，，则数列的前项和的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与联立求首项与公比，再求前项和． 【详解】由，，两式相除可得， 代入可得，，解得，； 则． 2．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列前项和公式直接计算即可． 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意， 所以，由得，， 解得或（舍去）， 故． 3．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）等比数列 中，，． (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，求数列 的前 项和 及 ． 【答案】(1)， (2)，；． 【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）根据可知，数列是由一个等比数列和一个常数列相加而成的，因此用分组法求的前项和，即等比数列的前项和加上即可求得，再将代入即可求得． 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 由等比数列的定义可知：，所以， 故数列的通项公式为，； （2）设等比数列的前项和为，则，， 所以数列的前项和 ， 当时，． 知识点02 等比数列前n项和的基本量计算 4．（26-27高三上·江西赣州·开学考试）等比数列的前n项和为，若，则公比______. 【答案】或 【详解】因为为等比数列，且， 所以， 因为，所以， 解得或， 综上所述，或. 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】D 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 6．（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 【答案】 8 【详解】由题知数列为等比数列，公比且，由，得， 解得，故． 知识点03 等比数列片段和性质及应用 7．（26-27高二上·全国·期中）等比数列 中，前 项和为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在等比数列 中，、、成等比数列， 又因为， 所以. 8．（2026高二·全国·专题练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 【答案】30 【分析】先联立方程求出与的值，再利用等比数列前项和的性质​成等比数列列方程求解​，结合正项数列舍去负根． 【详解】由题意知数列的公比，，，成等比数列， 若，，则，， 所以， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：30． 9．（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由于为等比数列，所以， 令，则，从而， 从而. 知识点04 等比数列奇、偶项和的性质及应用 10．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 11．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【答案】4 【详解】， 因此， 而，所以， 该数列前项的和为，解得. 12．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为 . 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 知识点05 等比数列前n项和的其他性质 13．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则 不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 14．（24-25高二下·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 15．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 【答案】ABD 【分析】由、均为非零常数即可判断AB；由即可判断C；由为常数即可判断D. 【详解】数列是正项等比数列，则，可设公比为， 则为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，A正确； 为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，B正确； 是的前n项和， 则当时，，所以不成等比数列； 当时，， 所以， ， 令得， 即，解得，与矛盾， 所以，所以不成等比数列，C错误； 因为为常数， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，D正确. 知识点06 等比数列中Sn与an的关系 16．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证. 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 17．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 18．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) 因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； (2) 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以. 知识点07 等比数列的应用 19．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 20．（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】C 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 21．（26-27高三上·北京西城·开学考试）现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（    ） A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 【答案】D 【详解】小明误按复利进行计算，每一年的本息和=上一年本息和(1年利率)，利息=本息和-本金， ,,,,, 所以小明误按复利进行计算，5年后的利息是元. 知识点08 等差数列与等比数列综合应用 22．（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列中，公差，，且，，依次构成等比数列，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，， 因为，，依次构成等比数列，则， 展开并整理得，又因为，所以， 所以. 23．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 24．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. （2）由（1）可知， 则. 知识点09 数列不等式恒成立问题 25．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 26．（专项练—不等式3）已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系得，从而，利用作差法求得的单调性、最值即可求解. 【详解】，，， 当时，，． 又且， ，得， 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为，， 故选：D． 27．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案； （2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求； （3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. （2）, 所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以 . 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 知识点10 数列不等式能成立（有解）问题 28．（25-26高二上·重庆·期末）在等差数列中，数列前项和为，若，当 时的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合，可得关于n的不等式，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为等差数列，， 由于，即得， 即，解得或， 由于n为正整数，故，则的最小值为10， 故选：C 29．（2025·北京大兴·三模）已知数列为无穷等比数列，为其前项和，“存在，对于任意的，”是“存在，对于任意的”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用反例法，可得判定充分性不成立；结合，取，得到均有，所以必要性成立，即可得到答案. 【详解】若，则对于任意的，均有， 此时，对于任意的，不存在，使得，所以充分性不成立； 若对于任意的，存在，使得， 则，取， 则对于任意的，均有，所以必要性成立， 所以“存在，对于”是“存在，对于”的必要不充分条件. 故选：B. 30．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的可能取值有哪些？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据已知求出，，再根据等差数列通项公式即可求解. （2）由等差数列的求和公式求得，由，得，求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由=，解得：， 又因为，所以，， 数列的通项公式为：. （2）由等差数列的前n项和公式可得：， 则不等式，即：，整理可得：， 解得：，又为正整数，故或. 一、单选题 1．等比数列的前项和为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：由等比数列 的前 项和为 ，公比为q， 当时，，但，故； 、、是等比数列，公比为， ， 故公比为，，， 法2：由题设有，解得， . 2．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球第一分钟内上升 米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到 米至少要经过（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】等比数列求和，超过 米求项数. 【详解】各分钟上升高度为 ，构成首项 、公比 的等比数列. 分钟内共上升 . 需 ，则，则，即 ， 故该气球上升到 米至少要经过分钟. 3．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先探究函数的性质，推导出自变量互为倒数时函数值之和为；再利用等比数列下标和性质，得到首尾对称两项乘积为，即互为倒数，据此两两分组配对，每组函数值的和为，统计组数即可求出总和. 【详解】由等比数列的下表和性质可知， ...， 又∵ ，则 ， ∴ ， 同理 ，共 组，每组和为 ， 故原式. 4．已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等比中项性质求出等差数列的公差，再确定子数列的首项和公比，最后用等比数列前n项和公式计算前10项和. 【详解】由题意得等差数列的通项公式为，其中，. 由子数列为等比数列，且，取前三项得：， ，. 根据等比数列的等比中项性质，，代入得：， 展开整理得，解得（舍去）. 因此，， 即是首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列前项和公式得. 5．已知数列的前项和为，且，数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用前n项和的递推关系求出数列的通项，进而得到的通项，最后用裂项相消法计算求和式即可. 【详解】已知，且当时，，即， 设，展开得，对比原式得，即， 因此是首项为、公比为3的等比数列， 所以，整理得前项和， 当时，由得， ，因此， 由， 时，，时，， 即，， 因此 . 6．已知数列的前n项和为，若，则使得成立的n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】将通项裂项，利用裂项相消求出前项和，再解关于正整数的不等式，比较最小满足值． 【详解】由， 得． 因为为正整数，故． 当时，； 当时，，且随正整数增大而增大，所以满足条件的最小值为． 二、多选题 7．已知等比数列的公比为，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题可知，解得，故A正确； ，故B错误； ， 则，，故C正确，D错误． 8．已知等比数列，公比，，且.记的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则数列的前项之积有最大值 【答案】AD 【分析】先利用等比数列通项公式求出公比，再逐个分析四个选项的正误. 【详解】选项A，由，，得. 因为，所以，解得或. 又，所以，故A正确； 选项B，，符号随的奇偶性交替变换，故B错误； 选项C，，符号随的奇偶性交替变换，故C错误； 选项D，当时，，前三项依次为32，8，2，第四项为，其后各项均小于1， 所以前项之积在时取得最大值，故D正确. 9．记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D．若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 【答案】ABD 【分析】A选项：结合无穷正整数数列的约束，递推所得各项必须为正奇数，排除取4的可能，递推得到，验证结论成立. B选项：构造差数列，将原递推转化为的等比型放缩关系，累乘得上界，再利用等比数列求和公式推导的上界，验证等号成立条件. C选项：采用反证法，假设存在公比不为1的等比数列，设公比为既约分数，结合正整数整除性质推出公比只能为1，矛盾，判定结论不成立. D选项：分和两类讨论，时利用等差数列性质和递推式得，反向递推得上界为3且存在可行构造；时通过反向递推归纳的放缩公式，结合等差数列性质推出，综合得最大值为3. 【详解】由题设，是无穷正整数数列，且，即. ∵ ， ∴ 必为偶数，即所有均为奇数，否则非整数，与无穷数列矛盾. 对于选项： ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∴ ，正确. 对于选项： 令，则递推式变形为，即. ∴ 要么，要么. 两种情况均满足，故， 即. ∴ ，正确. 对于选项： 假设存在，成公比的等比数列，则. 由递推式，，，代入得： . 展开后仅当时等式成立，此时，公比，与矛盾，故不存在这样的，错误. 对于选项： ∵ ， 递推得. 设成等差数列，则. 当时： ∵ ，，∴ ， 又∵ ，故， 取，则，验证，，满足递推要求，构造可行. 当时： ∵ ，， ∴ ， 整理得，∵ 时，∴ . 综上，的最大值为3，故D正确. 【点睛】方法归纳：正整数约束的递推数列问题，优先挖掘奇偶性、整除等隐含性质，反向递推的不等式放缩是处理跨项等差/等比关系的常用技巧，多情况分类讨论时先验证简单边界再处理复杂情况. 三、填空题 10．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 【答案】7 【分析】根据等比数列通项公式计算得出公比，再结合等比数列求和计算得解. 【详解】设等比数列公比为， 由得， 即，解得，（舍去）， 所以. 11．已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】/ 【分析】利用等比数列的前项和公式计算. 【详解】若等比数列的公比为，则，这与题设矛盾， 故等比数列的前项和，其中为公比， 所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 12．已知数列满足，，若为数列的前n项和，则________________________． 【答案】 【分析】根据题意，需要将递推公式分奇数项和偶数项分别找规律，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再分组求和. 【详解】当时，，得，得奇数项是首项，公差的等差数列， 前项中奇数项共15项，； 当时，，得，得偶数项是首项，公比的等比数列， 前项中偶数项共15项，，则. 四、解答题 13．已知数列满足，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由，两边同加得： ； 故是以为首项、为公比的等比数列， ，即． (2)． 【分析】（1）两边同加构造等比，利用等比数列的证明方法即可得证，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）根据分组求和法，代入等比数列前项和公式计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，根据分组求和法可知， ． 14．已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用即可求； （2）由题意得，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 15．已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列，所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答． 【详解】（1）依题意有， 因为，所以， 因为，所以，则， 因为数列是等差数列，设其公差为，，解得，； （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以； （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， ， 又，恒成立，即， 说明数列中的前项都包含在数列的前项中，剩余的项取自数列中， 即数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 ． 1．已知数列由若干个和组成，，且在第个和第个之间有个，即，，，，，，，，，，，，…，则数列的前2026项的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探究数列的规律，确定项数，用到了等比数列求和公式. 【详解】第个为数列的第项． 当时，； 当时，． 所以的前项有个和个，因此． 2．已知数列的前项和为，且.设，数列的前项和为，则__________. 【答案】（） 【分析】先利用与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和. 【详解】因为， 当时， . 当时，，， 两式相减得，， 两边同乘以得，. 又， 所以数列是以2为首项，以4为公差的等差数列， 所以 . 所以 ， 所以 ，. 3．（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A．若，则为“封闭数列” B．若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C．若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D．若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 【答案】AB 【分析】A.验证等差数列的前项和可表示为数列的某一项，利用连续整数乘积为偶数保证为正整数；B.代入=1，2，3建立方程，利用2的幂次的奇偶性推出矛盾，证明不存在满足条件的常数；C.构造两个均为封闭数列的等差数列，验证其和数列存在前项和无法对应数列项的反例；D.以已知的封闭数列为基础，验证其前项和组成的数列存在前项和无法对应数列项的反例. 【详解】选项A，若，则是首项为3、公差为3的等差数列，其前项和， 令，解得， 由于与是连续正整数，乘积必为偶数，因此恒为正整数，满足封闭数列的定义，A正确； 选项B，若，则其前项和， 若为封闭数列，则对任意正整数，存在正整数使得，即， 当时，，得，恒成立， 当时，，即（为正整数）， 当时，，两边除以2得（为正整数）， 将代入上式，得， 等式右侧1是奇数；左侧是两个2的正整数次幂相减，因，故是偶数，也必为偶数， 偶数减偶数结果为偶数，不可能等于奇数1，等式无正整数解， 因此不存在常数使得为封闭数列，B正确； 选项C，举反例，设，其前项和，令（正整数），满足，故是封闭数列， 设，其前项和，令（为正整数），满足，故是封闭数列， 两数列之和，其前项和， 令，得，当时，，不是正整数， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，C错误； 选项D，举反例，取选项A中的封闭数列，其前项和， 设的前项和为， ， 所以 ， 若是封闭数列，则对任意，存在正整数使得， 即， 当时，右侧，即，无正整数解， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，D错误. 4．一个圆形项链有颗珠子，每颗为红色或蓝色．若任意将这串项链分割成段，每段连续颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为好分链，正整数对为分链数对． (1)现有甲乙两串项链，如图所示，表示红色，表示蓝色．请判断它们是否为好分链（给出判断即可，不必说明理由）； (2)证明：对任意给定的，是分链数对； (3)对给定的，求所有的正整数，使得是分链数对． 【答案】(1)甲是−好分链，乙不是−好分链． (2)对任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能为中的某一个数字，所以最多只能产生段，每段颗珠子，且各段中红色珠子数均互不相同． 可以构造如下−好分链： 用表示从左到右的第i颗珠子， 这串项链共有n种分段方式． 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； …… 方式：从开始，各段R的个数为，，，，1； 可以逐一验证无论将该串项链怎么分成段连续的n颗珠子，各段红色珠子数分别为，互不相同． 因此，可由这颗珠子构造出−好分链， 所以是分链数对． (3)的取值可以是，． 【分析】（1）按好分链定义检查：把圆链分成四段，每段三颗，看是否两两不同，据此可完成判断； （2）由题设可得红珠数的可能性为，共种，构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，证明该项链可从任意位置分成段，且每段红珠数为的每个排列即可完成证明； （3）由题设结合反证法可得，再由（2）去掉末尾连续的段，可得到 好分链，据此可得答案. 【详解】（1）甲是−好分链，乙不是−好分链. 理由如下：甲串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，刚好可以分成段，一段颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子，符合好分链定义，因此甲是−好分链； 乙串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，若可以分成段，使每段中红色珠子的个数互不相同，至少需要颗红色珠子，显然红色珠子不够，因此乙不是−好分链. （2）略 （3）由于任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能分别为中的某一个，共有种情况． 因此若，则段的颗珠子必有两段及以上有相同的红色珠子个数，不符合题意．因此． 由（2）知，可构造出“−好分链”，若去掉这个“−好分链”的第段，类似（2）可证剩余的为“−好分链”； 类似地，去掉其第段和第段（后面两段），剩余的为“−好分链”； …… 如此一直下去，去掉后面连续的n段，剩余的为“−好分链”． 所以的取值可以是，． 【点睛】本题关键为读懂题干中的定义，并巧妙构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，为此可先考虑较小时的情况，再类比推广到较大的情况. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.2等比数列的前n项和公式 知识点01 求等比数列前n项和 1． 【答案】B 2． 【答案】A 3． 【答案】(1)， (2)，；． 【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）根据可知，数列是由一个等比数列和一个常数列相加而成的，因此用分组法求的前项和，即等比数列的前项和加上即可求得，再将代入即可求得． 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 由等比数列的定义可知：，所以， 故数列的通项公式为，； （2）设等比数列的前项和为，则，， 所以数列的前项和 ， 当时，． 知识点02 等比数列前n项和的基本量计算 4． 【答案】或 5． 【答案】D 6． 【答案】 8 知识点03 等比数列片段和性质及应用 7． 【答案】A 8． 【答案】30 9． 【答案】C 知识点04 等比数列奇、偶项和的性质及应用 10． 【答案】B 11． 【答案】4 12． 【答案】C 知识点05 等比数列前n项和的其他性质 13． 【答案】 14． 【答案】A 15． 【答案】ABD 知识点06 等比数列中Sn与an的关系 16． 【答案】B 17． 【答案】A 18． 【答案】(1) 因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； (2) 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以. 知识点07 等比数列的应用 19． 【答案】C 20． 【答案】C 21． 【答案】D 知识点08 等差数列与等比数列综合应用 22． 【答案】A 23． 【答案】B 24． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. （2）由（1）可知， 则. 知识点09 数列不等式恒成立问题 25． 【答案】C 26． 【答案】D 27． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案； （2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求； （3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. （2）, 所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以 . 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 知识点10 数列不等式能成立（有解）问题 28． 【答案】C 29． 【答案】B 30． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据已知求出，，再根据等差数列通项公式即可求解. （2）由等差数列的求和公式求得，由，得，求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由=，解得：， 又因为，所以，， 数列的通项公式为：. （2）由等差数列的前n项和公式可得：， 则不等式，即：，整理可得：， 解得：，又为正整数，故或. 1． 【答案】A 2． 【答案】C 3． 【答案】C 4． 【答案】D 5． 【答案】C 6． 【答案】B 7． 【答案】AC 8． 【答案】AD 9． 【答案】ABD 10． 【答案】7 11． 【答案】/ 12． 【答案】 13． 【答案】(1)由，两边同加得： ； 故是以为首项、为公比的等比数列， ，即． (2)． 【分析】（1）两边同加构造等比，利用等比数列的证明方法即可得证，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）根据分组求和法，代入等比数列前项和公式计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，根据分组求和法可知， ． 14． 【答案】(1)由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用即可求； （2）由题意得，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 15． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列，所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答． 【详解】（1）依题意有， 因为，所以， 因为，所以，则， 因为数列是等差数列，设其公差为，，解得，； （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以； （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， ， 又，恒成立，即， 说明数列中的前项都包含在数列的前项中，剩余的项取自数列中， 即数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 ． 1． 【答案】D 2． 【答案】（） 3． 【答案】AB 4． 【答案】(1)甲是−好分链，乙不是−好分链． (2)对任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能为中的某一个数字，所以最多只能产生段，每段颗珠子，且各段中红色珠子数均互不相同． 可以构造如下−好分链： 用表示从左到右的第i颗珠子， 这串项链共有n种分段方式． 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； …… 方式：从开始，各段R的个数为，，，，1； 可以逐一验证无论将该串项链怎么分成段连续的n颗珠子，各段红色珠子数分别为，互不相同． 因此，可由这颗珠子构造出−好分链， 所以是分链数对． (3)的取值可以是，． 【分析】（1）按好分链定义检查：把圆链分成四段，每段三颗，看是否两两不同，据此可完成判断； （2）由题设可得红珠数的可能性为，共种，构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，证明该项链可从任意位置分成段，且每段红珠数为的每个排列即可完成证明； （3）由题设结合反证法可得，再由（2）去掉末尾连续的段，可得到 好分链，据此可得答案. 【详解】（1）甲是−好分链，乙不是−好分链. 理由如下：甲串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，刚好可以分成段，一段颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子，符合好分链定义，因此甲是−好分链； 乙串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，若可以分成段，使每段中红色珠子的个数互不相同，至少需要颗红色珠子，显然红色珠子不够，因此乙不是−好分链. （2）略 （3）由于任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能分别为中的某一个，共有种情况． 因此若，则段的颗珠子必有两段及以上有相同的红色珠子个数，不符合题意．因此． 由（2）知，可构造出“−好分链”，若去掉这个“−好分链”的第段，类似（2）可证剩余的为“−好分链”； 类似地，去掉其第段和第段（后面两段），剩余的为“−好分链”； …… 如此一直下去，去掉后面连续的n段，剩余的为“−好分链”． 所以的取值可以是，． 【点睛】本题关键为读懂题干中的定义，并巧妙构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，为此可先考虑较小时的情况，再类比推广到较大的情况. / 学科网（北京）股份有限公司 $