4.3.2等比数列的前n项和公式（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.3.2等比数列的前n项和公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等比数列前n项和的基本量计算 题型02 求等比数列的前n项和 题型03 等比数列的片段和性质应用 题型04 等比数列Sn与an的关系 题型05 与等比数列有关的数列求和 题型06 等比数列前n项和的最值 B组 能力进阶 题型01 等比数列前n项和的性质 题型02 等比数列奇偶项和性质应用 题型03 等比数列前n项和的函数特性 题型04 等差、等比数列的综合应用 题型05 等比数列前n项和的实际应用 C组 思维拔高 题型01 等比数列与不等式综合 题型02 新定义问题 等比数列前n项和的基本量计算题型01 1．（26-27高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】D 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 2．（25-26高三上·江苏南京·联考）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的定义和性质可化简得到，再将其代入即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，则，； 将，，代入中，得，化简得； 所以. 故选：B. 3．已知等比数列中，，为前项和，，则可能为（      ） A．7 B．9 C．15 D．30 【答案】C 【分析】设公比为，根据条件列出方程求解，再由求和公式得解. 【详解】等比数列中，设公比为， ，为前项和，， 如果，可得，矛盾，， 如果，可得，符合题意，此时，没有选项； 若，可得， 解得，即或， 所以当时，． 当时，．没有选项． 故选：C． 4．（2025·河北·一模）已知正项等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】48 【分析】用基本量法，求出首项和公比，再求. 【详解】设等比数列的公比为,易知， 因为，所以，， 所以，解得或（舍）， 则.所以. 故答案为：48. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·质检）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 求等比数列的前n项和题型02 1．（24-25高二下·安徽·联考）等比数列的公比，前项和为，若成等差数列，则（   ） A．32 B．62 C．124 D．248 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质结合等比数列通项公式求出首项，再根据等比数列前项和公式求值. 【详解】由题意，成等差数列，则，即， 因为，所以，解得. 则. 故选：B. 2．（25-26高二·上海·期末）已知数列为等比数列，且 ，公比 ，则该数列的前5项的和等于______. 【答案】93 【详解】由等比数列的前项和公式， 得. 3．已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】121 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 4．设是公比为q的等比数列. (1)推导的前n项和公式; (2)设q≠1, 证明数列不是等比数列. 【答案】(1)设等比数列的公比为q，其前n项和为 （1）， 将（1）式两边分别乘以q得 （2）， （1）-（2）得 当 时或 当时，，所以； (2)方法一： 均与题设矛盾，故数列不可能为等比数列. 方法二： 均与题设矛盾，故数列不可能为等比数列. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等比数列前项和公式的推导，涉及参数q分类讨论及错位相减法，体现高考题型源于教材的基本理念.而在第二问中要求证明数列不是等比数列，既考查了对等比数列概念的理解，又涉及到了反证法的应用；知识有机结合，考查综合能力.问中对数列的证明可以采取特殊代替一般的方法，也可以通行通法的解题思想.判断一个数列是否是等比数列一定要关注首项的验证，负责容易错误. 5．已知数列中，，且点（）在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）对任意的，将数列落入区间内的项的个数记为，求的通项公式； （3）对于（2）中，记，数列前项和为，求使等式成立的所有正整数、的值. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）根据在直线上可知数列为等差数列,结合即可求得通项公式. （2）根据等差数列的通项公式,代入区间即可求得中间的项数,即可求得的通项公式； （3）将的通项公式代入,求得数列的通项公式,根据数列为等比数列可求得,代入等式即可求得正整数、的值. 【详解】（1）因为点在直线上 所以即 所以数列为等差数列,且公差 又因为 即 所以 所以数列的通项公式为 所以 （2）因为 数列落入区间内的项的个数记为 所以即 所以项数为 即 （3）因为,代入 可得 所以 所以数列是以为公比的等比数列 则前项和 因为等式成立 所以 化简可得 所以当且仅当时成立 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前n项和的求和公式的应用,对数列综合性质的应用,对理解能力要求较高,属于难题. 等比数列的片段和性质应用题型03 1．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前n项和为， 故为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】由也成等比数列进行求解. 【详解】在等比数列中，显然公比， 可得也成等比数列， 所以， 由，得， 则，由于， 解得， 得， 故选：D. 3．已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质及等比数列前n项和公式，结合已知条件对各选项进行逐一分析判断． 【详解】是等比数列，设首项是，公比为， ，，， 当时，， 令，且，则 ， ， 选项A：，，且， ，故不恒成立，故A错误； 选项B：，， 不恒成立，故B错误； 选项C：当时，，， ， 当时，， ，故， 综上，恒成立，故C正确； 选项D：， 不成立，故D错误． 故选：C． 4．已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________. 【答案】## 【分析】利用等比数列部分和的性质求出，然后利用等差中项求解答案. 【详解】设，因为为等比数列，所以，，成等比数列. 因为，，所以，解得或（舍去）. 所以，的等差中项为. 故答案为：. 5．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，且． （1）求证：，并由推导的值； （2）若数列共有项，前项的和为，其后的项的和为，再其后的项的和为，求的比值． （3）若数列的前项，前项、前项的和分别为，试用含字母的式子来表示（即，且不含字母） 【答案】 （1）已知，，，，， 由可知，因此， 由可得：，且， 因此可得不等式组：． 又因为， 因此； （2）； （3） 【分析】（1）根据题意可知，，，，则由可证，再根据列出不等式组求解即可。 （2）根据等差数列通项公式和前项和公式，可得，，，得出的关系，代入求解即可。 （3）根据等比数列通项公式和前项和公式得出，，，进而求解三者关系即可。 【详解】（1）略 （2）数列的通项为，前项和， ，，， ， 可得， 可得， 因此； （3）数列的通项为． 因此，，． 所以， 因此． 【点睛】本题主要考查数列的知识，要求同学们熟记等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，灵活运用 解决问题。 等比数列Sn与an的关系题型04 1．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．364 B．362 C．121 D．120 【答案】A 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：A. 2．数列的前项和为，若，则_______. 【答案】9 【分析】由计算求解即可. 【详解】依题意，. 故答案为：9. 【点睛】本题考查和的关系，注意仔细审题，认真计算，属基础题. 3．已知数列的前n项和，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解. 【详解】已知，令，则，解得， 当时，， 两式相减，得，即， 数列是首项为，公比为的等比数列， ，则，， 当n为偶数时，； 当n为奇数时，. ，即的最大值为. 故答案为： 【点睛】已知求步骤： 1、先利用求出. 2、用n-1替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式. 3、对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写. 4．记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) 因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； (2) 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以. 5．为数列的前n项和满足：（）. （1）设，证明是等比数列； （2）求的值. 【答案】（1）证明：依题意，，，① ② ②-①得， ， ， 即数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2） 【分析】（1）由，可得，相减得，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知，则，两式相减得，再利用累加法可得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，则， 两式相减得， 则， 累加得 【点睛】本题考查数列与的前n项和之间的关系、等比数列的定义及累加法的应用，属于中档题. 与等比数列有关的数列求和题型05 1．已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 2．设是数列的前项和，已知，，，数列的项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得出数列是等比数列，求得其通项公式后，可得，再由错位相减法求和和． 【详解】因为，所以时，， 所以，即， 又，，，所以是等比数列，首项和公比都是3， 所以， ， 则， 所以， 两式相减得， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握由求的方法及注意点．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是特殊的数列求和方法，注意它们的应用类型． 3．（24-25高三上·海南·月考）数列的前项和，若，则______. 【答案】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 4．（25-26高三上·河北·联考）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 5．已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【分析】(1)利用公式，求出，再结合即可求出的值，再利用公式即可求出数列的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； (2)去掉绝对值可得，再对分和讨论求和即可. 【详解】(1)当时，， 由，得，即， 当时，，当时，， 所以； 设正项等比数列的公比为，则， 所以，解得或(舍)， 所以. (2)， 所以当时,， 当时，， 即 等比数列前n项和的最值题型06 1．等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由题意可得an=512•，则|an|=512•，|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小．所有n为偶数的an为负，故所有n为奇数的an为正，由此能求出最大的是Π9． 详解：∵在等比数列{an}中，a1=512，公比q=﹣，∴an=512•，则|an|=512•． 令|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小． ∴n为偶数时，an为负，n为奇数时，an为正． ∵Πn=a1a2…an，∴Πn 的最大值要么是Π10，要么是Π9． ∵Π10  中有奇数个小于零的项，即a2，a4，a6，a8，a10，则Π10＜0， 而 Π9 中有偶数个项小于零，即a2，a4，a6，a8，故 Π9 最大， 故答案为：C 点睛：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行转化，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律． 2．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题数列的前项和且，对一切正整数都成立，则 当 时， ① 当 时，得 ② ②-①得， ③ 结合，可解得 可得 则 ，它是一个等比数列，故 当为奇数时，随的增大而增大，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 综上，当时，总有 故选A 【点睛】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据的奇偶判断的单调性是解题的关键 3．已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则当 ________________时， 有最小值． 【答案】11 【分析】利用等比数列的前项和公式可得，利用对数的运算性质及其等差数列的前项和公式可得，再利用二次函数的性质即得． 【详解】当时，不满足条件，故舍去， 当时，∵， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当时，取得最小值． 故答案为：11. 4．已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由. （） 【答案】(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2)，n=15， 由（1）知：，得， 从而； 解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值. 【分析】（1）当n=1时，a1=S1=1﹣5a1﹣85，求出a1﹣1=﹣15，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，从而6an=5an﹣1+1，由此能证明{an﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列； （2）由an﹣1=﹣15•（）n﹣1，得Sn=n+75•（）n﹣1﹣90.由此能求出n=15时，Sn取得最小值. 【详解】（1）当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； （2）由（1）知：，得， 从而； 解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值. 5．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而求出通项公式； （2）根据等比数列求和公式得到，换元后，利用函数单调性求出最大值. 【详解】（1）由题意得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 故； （2），故， 所以， 令， 由对勾函数可知在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 故. 数列的最大项为 等比数列前n项和的性质题型01 1．（24-25高三上·天津·质检）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据下标和性质求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式计算可得. 【详解】因为等比数列单调递增，，则，又， 解得或（舍去），所以， 所以. 故选：D. 2．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（    ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】C 【分析】对于①举反例即可．对于②举反例即可．对于③是正确的命题，时可证恒成立，时有有无穷多项为0；对于④利用③的结论即可反证；对于⑤利用反证即可. 【详解】是由实数构成的无穷等比数列， 对于①，令，则时，故结论是不正确的 对于②令，则恒成立，故结论不正确 对于③，当时，恒成立， 当且时，恒成立 当时，时，，时，恒成立． 综上可得结论是正确的． 对于④，由①可知结论是不正确的． 对于⑤，若，则，，， 可知结论是正确的． 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是要善于举反例，同时也要灵活运用反证法来推敲、判断. 3．设是首项为，公比为q的等比数列的前n项和，且，令，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论． 【详解】由，得，即，而， 有，，则，解得，AB错误； 由，且，得，则， ，因此，C正确； 取，，符合题意，而，，D错误. 故选：C 4．（24-25高二下·浙江·联考）已知等比数列的前项和是，则__________. 【答案】 【分析】利用与通项的关系求出数列通项，由首项得到方程，计算即得. 【详解】因，当时， 当时，， 因数列为等比数列，故当时，，解得. 故答案为： 5．记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 【答案】(1) (2)因为，所以， 所以，，成等差数列，理由如下： 因为，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列； 【分析】（1）设数列的首项为，公比为，利用已知条件得到方程组求出首项与公比，然后求解通项公式． （2）利用等比数列前项和公式求出，再根据等差数列的性质判断证明即可． 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 因为，， 所以，解得， 所以． （2）略 等比数列奇偶项和性质应用题型02 1．（25-26高二下·江西·月考）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 2．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数. 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 3．已知等比数列的公比，且，则___________. 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 4．在等比数列{}中， (1)，，求； (2)，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可， （2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解 【详解】（1）. （2）方法1： . ∴. 方法2：，整理得： 又 5．记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为 若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求； 若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列． 【答案】（1）305； （2）当时，对应的数列为； 当时，对应的数列为： 【分析】（1）是等差数列，则求出，再利用等差数列前项和公式计算． （2）根据与的固有关系，得出，借助于等比数列性质解决． 【详解】解：若数列项数为偶数，由已知，得， 解得，． 在中， 令，得， 可得 减去得：，且， ， ，当时，数列为显然不合题意 所以，是首项，公比的等比数列，且公比， 设项数，， ，解得或舍， 由解得，， 所以，当时，对应的数列为 设数列为无穷数列， 由题意，得，， ， ， ， 由解得， 当时，对应的数列为： 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于难题． 等比数列前n项和的函数特性题型03 1．已知数列为等比数列，，，且，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和公式的特点可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，所以也为等比数列， 设数列的公比为，则， 因为，所以，， 所以， 故选：D 2．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 3．已知数列为等比数列，公比为（）．若数列的前项和为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用等比数列通项求出，并判断数列的特征，再求出前项和，结合已知求解即得. 【详解】等比数列公比为，则，，于是， 即数列是等比数列，其首项为，公比为， 因此数列的前项和， 显然的结构特征为指数式的系数与常数项互为相反数，从而，且， 所以，. 故选：B 4．记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据等比数列前项的和公式，分和两种情况讨论的表达式，再结合充分条件和必要条件的定义判断“公比”与“对任意，存在正整数，当时，”之间的关系. 【详解】当时，等比数列前项的和， 因为，所以随着的增大而增大，且时，， 那么对于任意，一定存在正整数，当时，； 当时，等比数列前项的和， 若，则随着的增大而增大，且时，， 那么也会随着的增大而增大，且时，， 所以对于任意，存在正整数，当时，； 若，则随着的增大而减小，且时，， 那么随着的增大而增大，且时，， 此时，若，则不存在正整数，使得当时，； 综上所述，当公比时，若，存在，使得不存在正整数，当时，，所以“公比”不能推出“对任意，存在正整数，当时，”，故充分性不成立； 若对任意，存在正整数，当时，，则必须单调递增且无界，此时必有，而能推出，故必要性成立. 所以“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的必要不充分条件. 故选：B 5．若等比数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】先求出的值，然后由得出在时的表达式，然后由满足，可求出的值. 【详解】等比数列的前项和，则. 当且，. 适合，则，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查了利用等比数列的前项和表达式求参数，主要考查公式的运用和处理能力，考查计算能力，属于中等题． 等差、等比数列的综合应用题型04 1．已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设首项为，由题可知，则数列为等差数列，后由， 可得，即可得答案. 【详解】设首项为，因等比数列各项为正，则，，则数列为等差数列. ，又由题可得，则 ，即数列为递减等差数列. 则数列前7项为正数，则当取得最大值时，n等于7. 故选：B 2．已知等比数列及等差数列，其中，公差.将这两个数列的对应项相加，得一新数列，则等比数列的前10项之和为________. 【答案】1023 【分析】由所得新数列的前3项列出方程求解，q，d，即可求得等比数列的基本量及通项公式，从而求得的前10项之和. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意可得， 解得， 所以，等比数列的前10项和为. 故答案为：1023 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，等比数列基本量求解及前n项和公式，属于基础题. 3．已知等差数列中公差，若成等比数列，且成等比数列，若对任意，恒有，则_________． 【答案】1或2 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得：， 即：， 结合整理可得：， 由可得：，数列的通项公式：， 则：，即数列是首项为公比为的等比数列， 则：， 据此可得：， 结合数列的单调性可得或. 4．已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和； （3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解 【详解】（1）当时， 得.    由已知① 当时，, ②                               ①-②得.                             所以 .                                     所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以.              设数列公差为，       由得                               所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. （2）设，前项和 （3）   即，即，解得 5．已知是数列的前项和，且满足，等差数列的前项和为,且，. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列的通项公式为，问是否存在互不相等的正整数，， 使得，， 成等差数列，且 ， ，成等比数列？若存在，求出，， ；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用可求得数为等比数列，公比为，由此求得数列的通项公式.利用基本元的思想将转化为的方程组，解出，由此求得数列的通项公式. （2）由（1）求得数列的表达式.先假设存在，利用和列方程组，求得，化简后得到，这与矛盾，故不存在这样的数. 【详解】（1）由，令可知， 当时，有，两式相减得， ∴ ， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列，∴. 设等差数列的公差为，依题意得，，解得， ∴. （2）由（1）可知，假设存在互不相等的正整数，， ，使得，， 成等差数列，且 ， ，成等比数列.则，即. 由，， 成等差数列，得所以.所以由得.即，又所以, 即，即即.  这与矛盾,所以，不存在满足条件的正整数，， ，使得，， 成等差数列，且 ， ，成等比数列. 等比数列前n项和的实际应用题型05 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】由题意可知：5年后本利和是元. 2．谢尔宾斯基三角形（Sierpinski  triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.如图1，先取一个面积为1的实心等边三角形，挖去一个“中位三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图2中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中位三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3，⋯，若继续这样操作下去后，得到图2025，则在图2025中所有被挖去的白色三角形的面积和是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点，观察规律，即可归纳出阴影部分的面积组成等比数列,即可求解. 【详解】图1阴影的面积为，图2阴影面积为图1的，故， 图3阴影面积为图2的，故， 按此规律：图中阴影部分的面积组成等比数列：,公比为． 故图2025（阴影部分）的面积为，故被挖去的白色面积为， 故选：A 3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·云南保山·期末）某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 【答案】(1)2210，2331 (2) 由题意可得，所以． 因为，所以， 所以是以1000为首项，为公比的等比数列， (3)第9年 【分析】（1）根据题意先求出，进而求得. （2）根据题意列出的递推关系式，然后变形化简得到是以1000为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的通项公式计算即可. （3）根据（2）的结论列出不等式，然后求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得，则， ， ． （2）则，即． （3）由（2）得，则，即2， 两边取常用对数得， 所以， 则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000． 5．贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元) (1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？ (2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元） (3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）. 【答案】(1)41850元 (2)元 (3) 每月等额偿还本金，共还款为万元； 每月还款金额相等，共还款为万元. 【分析】（1）分别计算各个月份的还款金额； （2）根据题干确定地推公式，进而得解； （3）分别计算前项和即可. 【详解】（1）假设程先生在第个月的还款金额是万元， 第个月还款金额：万元， 第个月还款金额：万元， 第个月还款金额：万元， 所以，第3个月还款金额为41850元. （2）设程先生在第个月时还欠银行贷款万元，每月固定还款万元， 则，，令， 则，所以， 所以是公比为的等比数列， 即 由，得万元，故每月应还款元. （3）每月等额偿还本金，由（1）知：， 所以共还款为万元； 每月还款金额相等，共还款为万元. 等比数列与不等式综合题型01 1．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依题意可得：数列是首项、公比为的等比数列，即可得到通项公式及前项和公式，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：由题设可得：数列是首项、公比为的等比数列， ∴，， 又由可得：，解得：， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26高二下·湖北沙·月考）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 3．已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为_______________________． 【答案】 【分析】由题设、的递推关系可得是首项为3，公比为的等比数列，进而写出的公式，结合已知不等关系，讨论为奇数、偶数分别求n值，即可知取值集合. 【详解】由题意知：，即， 当时，，即， ∴是首项为3，公比为的等比数列，则， ∴知：， 当为奇数时，，得， 当为偶数时，，得， ∴的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据、的递推关系，等比数列的定义判断数列为等比数列，进而写出前n项和公式，由绝对值不等式讨论n奇偶性，并求出n值. 4．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大正整数． 【答案】(1)由,得,则 又，， 所以数列是以首项，以为公比的等比数列. (2)1011 【分析】（1）由已知递推关系两边取倒数，再构造数列即可，注意验证. （2）由上问求出，再由等比数列的前项和求出不等式左边，最后结合复合函数的单调性求出结果即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ， 所以， 则， ，得，即， 由复合函数的单调性可知为单调递增函数， 所以满足的最大正整数为. 5．已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得，后分奇偶情况可得； （2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案. 【详解】（1），. ，，. 又，，，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列. 当时，；当时，. 综上，， （2）方法一：， . ，. 方法二：， ， ， ， ∴时，为递增数列， 时，为递减数列， 若，都有成立，只需使，则且，则. 新定义问题题型02 1．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 2．（25-26高三下·安徽淮北·质检）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 【答案】 ； 【详解】； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 3．若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ． 4．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列”． (1)若数列的前项和满足，且，试判断是否为“跳动数列”并证明你的结论 (2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围； (3)若“跳动数列”满足，证明：或． 【答案】(1)是“跳动数列”，证明如下： 因为且， 当时，解得， 当时，所以， 即，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为 ， 所以位于与之间，所以是“跳动数列”； (2) (3) 由，可得， 所以 则 ， 由是“跳动数列”， 可得， 即， 即， 即， 所以，又， 所以， 即，解得或，故命题成立. 【分析】（1）利用递推关系求出通项公式，结合“跳动数列”的定义可得答案； （2）利用“跳动数列”相邻项的大小关系可求答案； （3）根据“跳动数列”相邻项的大小关系和的递推关系求解不等式组可得答案. 【详解】（1）略 （2）由 “跳动数列”的定义可知：是“跳动数列”， 若公比为的等比数列是“跳动数列”， 则， 即，所以， 即，解得， 即的取值范围为. （3）略 5．已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设公差为，利用等差数列的基本量运算求出，再由通项公式与前项和公式计算即得； （2）（i）根据数列的一阶“拓展”的要求，推理得到数列递推式，构造法证明是以为首项，3为公比的等比数列，求出数列的通项公式即可；（ii）先化简求得，利用倒序相加法推出，从而可得，再利用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）在等差数列中，设公差为， 依题意，可得，解得. 故，. （2）（i）由已知，， 则 于是，可得是以为首项，3为公比的等比数列. 故，故； （ii）因. 则. 而中，共有项. 注意到； ∴； ； … 于是 . ∴原式， 记， 则， 两式相减，可得， 则， 即，故得， 即 . 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.2等比数列的前n项和公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等比数列前n项和的基本量计算 题型02 求等比数列的前n项和 题型03 等比数列的片段和性质应用 题型04 等比数列Sn与an的关系 题型05 与等比数列有关的数列求和 题型06 等比数列前n项和的最值 B组 能力进阶 题型01 等比数列前n项和的性质 题型02 等比数列奇偶项和性质应用 题型03 等比数列前n项和的函数特性 题型04 等差、等比数列的综合应用 题型05 等比数列前n项和的实际应用 C组 思维拔高 题型01 等比数列与不等式综合 题型02 新定义问题 等比数列前n项和的基本量计算题型01 1．（26-27高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 2．（25-26高三上·江苏南京·联考）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C．7 D．14 3．已知等比数列中，，为前项和，，则可能为（      ） A．7 B．9 C．15 D．30 4．（2025·河北·一模）已知正项等比数列的前项和为，且，则__________. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·质检）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 求等比数列的前n项和题型02 1．（24-25高二下·安徽·联考）等比数列的公比，前项和为，若成等差数列，则（   ） A．32 B．62 C．124 D．248 2．（25-26高二·上海·期末）已知数列为等比数列，且 ，公比 ，则该数列的前5项的和等于______. 3．已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 4．设是公比为q的等比数列. (1)推导的前n项和公式; (2)设q≠1, 证明数列不是等比数列. 5．已知数列中，，且点（）在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）对任意的，将数列落入区间内的项的个数记为，求的通项公式； （3）对于（2）中，记，数列前项和为，求使等式成立的所有正整数、的值. 等比数列的片段和性质应用题型03 1．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 3．已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________. 5．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，且． （1）求证：，并由推导的值； （2）若数列共有项，前项的和为，其后的项的和为，再其后的项的和为，求的比值． （3）若数列的前项，前项、前项的和分别为，试用含字母的式子来表示（即，且不含字母） 等比数列Sn与an的关系题型04 1．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．364 B．362 C．121 D．120 2．数列的前项和为，若，则_______. 3．已知数列的前n项和，则的最大值为___________. 4．记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 5．为数列的前n项和满足：（）. （1）设，证明是等比数列； （2）求的值. 与等比数列有关的数列求和题型05 1．已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．设是数列的前项和，已知，，，数列的项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·海南·月考）数列的前项和，若，则______. 4．（25-26高三上·河北·联考）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 等比数列前n项和的最值题型06 1．等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 3．已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则当 ________________时， 有最小值． 4．已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由. （） 5．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 等比数列前n项和的性质题型01 1．（24-25高三上·天津·质检）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（    ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 3．设是首项为，公比为q的等比数列的前n项和，且，令，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·联考）已知等比数列的前项和是，则__________. 5．记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 等比数列奇偶项和性质应用题型02 1．（25-26高二下·江西·月考）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 2．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比，且，则___________. 4．在等比数列{}中， (1)，，求； (2)，，求的值. 5．记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为 若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求； 若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列． 等比数列前n项和的函数特性题型03 1．已知数列为等比数列，，，且，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 2．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知数列为等比数列，公比为（）．若数列的前项和为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若等比数列的前项和，则______． 等差、等比数列的综合应用题型04 1．已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知等比数列及等差数列，其中，公差.将这两个数列的对应项相加，得一新数列，则等比数列的前10项之和为________. 3．已知等差数列中公差，若成等比数列，且成等比数列，若对任意，恒有，则_________． 4．已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 5．已知是数列的前项和，且满足，等差数列的前项和为,且，. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列的通项公式为，问是否存在互不相等的正整数，， 使得，， 成等差数列，且 ， ，成等比数列？若存在，求出，， ；若不存在，说明理由. 等比数列前n项和的实际应用题型05 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．谢尔宾斯基三角形（Sierpinski  triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.如图1，先取一个面积为1的实心等边三角形，挖去一个“中位三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图2中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中位三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3，⋯，若继续这样操作下去后，得到图2025，则在图2025中所有被挖去的白色三角形的面积和是（   ）    A． B． C． D． 3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 4．（25-26高二上·云南保山·期末）某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 5．贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元) (1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？ (2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元） (3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）. 等比数列与不等式综合题型01 1．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二下·湖北沙·月考）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为_______________________． 4．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大正整数． 5．已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 新定义问题题型02 1．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 2．（25-26高三下·安徽淮北·质检）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 3．若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（24-25高二下·辽宁·期中）定义：如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列”． (1)若数列的前项和满足，且，试判断是否为“跳动数列”并证明你的结论 (2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围； (3)若“跳动数列”满足，证明：或． 5．已知等差数列满足，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $