专题12一元一次方程的应用复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题12一元一次方程的应用复习讲义 1.掌握列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能完整规范书写解题过程。 2.熟练解决等积变形问题，抓住形变体积不变的等量关系，正确列出方程。 3.掌握行程问题基本量关系：路程 = 速度 × 时间，能解决相遇、追及、环形跑道等常见行程题型。 4.理解销售问题中的基本概念：进价、售价、标价、利润、利润率、打折，能根据等量关系列方程求解。 5.掌握配套问题、分配问题的分析方法，找准配套比例或总量不变的等量关系。 6.能处理工程问题、储蓄利息问题、数字问题、日历问题等常见实际题型。 7.学会用线段图、表格辅助分析题意，理清数量关系，避免列错方程。 8.养成检验习惯，解完后核对结果是否符合实际意义，规避单位不统一、设未知数不带单位、漏写答语等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★ 题型十 比例分配 ★★ 题型十一 日历问题 ★★ 题型十二 古代问题 ★★ 题型十三 配套问题 ★★ 题型十四 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 步骤 操作内容 书写规范 / 核心要点 高频易错 1. 审（审题） 通读题目，圈画已知量、未知量，找出等量关系 标记数字、关键词：一共、比… 多、比… 少、几倍、相等、剩余、提前、延后 找错等量关系，左右写反 2. 设（设未知数） 直接设：求什么设什么；间接设：直接设难计算时，设中间量 规范书写：设 ×× 为x（带单位） 漏写单位；设两个未知数（只能一元） 3. 列（列方程） 用含x的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程 等式左右两边单位统一 代数式漏括号、等量颠倒 4. 解（解方程） 按五步完整解一元一次方程，求出x的值 步骤完整，不随意跳步 计算符号、去分母漏乘常数项 5. 验（双重检验） ①代入方程，检验左右相等；②检验结果符合实际生活意义（人数、物品不能为小数 / 负数） 应用题必须检验，不能省略 只验方程，忽略实际合理性 6. 答（写答句） 完整回应题目提问，带上对应单位 语句通顺，对应问题 漏单位、答非所问 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 细分类型 核心等量关系 典型关键词 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 相向而行、同时出发、两地相距 追及问题 快路程 − 慢路程 = 路程差 同向、落后、提前出发 航行 / 飞行 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度逆水速度 = 静水速度−水流速度 顺水、逆水、顺风、逆风 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量:乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点07:高频易错点（阅卷扣分重点） 1.设未知数、答句遗漏单位，代数式中单位重复书写； 2.行程、工程问题等量左右颠倒，相遇 / 追及路程混淆； 3 打折计算错误：直接用标价 × 折扣数，忘记除以 10； 3.数字问题直接把两位数写成xy，不用10x+y； 4.解方程后只检验方程，忽略实际意义（人数、时间不能为负数、小数）； 5.工程问题忘记总量设为 1，直接用天数计算； 6.配套比例交叉相乘出错，前后零件数量比写反； 7.分段收费只算一段，漏掉基础固定费用； 8.年龄问题忘记两人同时增减岁数，只单独加减一人年龄； 9.应用题不按六步完整书写，省略检验、答句。 题型一：工程问题 1．工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 2．整理一批图书，甲单独整理需6小时完成，乙单独整理需4小时完成．现由甲先单独整理1小时，然后甲、乙两人合作整理剩下的部分，问甲、乙合作还需几小时才能整理完这批图书？ 3．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 题型二：销售盈亏 4．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 九折优惠 300元以上 其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠 (1)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于300元但不低于100时，他应付款多少元，当x大于或等于300元时，他应付款多少元（用含x的代数式表示）； (2)若顾客实际付款310元，则他优惠前购买了多少元的物品？ 5．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 6．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 题型三：比赛积分 7．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 8．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 9．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 题型四：方案选择 10．列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 11．张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛．一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张．张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 12．凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件．已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元． (1)求每套工具包和每个摆件的售价分别是多少？（列一元一次方程解答） (2)该文创店计划购买100套工具包和个摆件．现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折． ①请用含m的代数式分别表示出到甲店和乙店购买商品所花的费用； ②若文创店的预算是12000元，选择在哪家店购买的摆件更多？ 题型五：数字问题 13．一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 14．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即 ； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即 ； 步骤3：计算3a与b的和，即 ； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即 ； 步骤5：计算与的差就是校验码x，即 ． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为31，计算步骤中的 ，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和______，______； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 15．观察下面有规律排列三行数： (1)第一行数中，第个数是 ，第个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第个数是 ，第三行数中，第个数是 ； ②取每行数的第个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． 题型六：几何问题 16．如图，在水平桌面上有两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为和，且容器装满水，容器是空的．若将中的水全部倒入中，则中的水面高度比原先容器的水面高度高了，求容器的水面高度． 17．a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定数 a， b； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)若点 C 在数轴上，点C 到点B 的距离是点 C 到点 A 距离的 ，写出点 C 表示的数； (4)点P 从点A 出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025 次后，求点P 表示的数． 18．如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠地摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，． (1)如图2，若，直接写出的面积 ，的面积 ；（用含m的式子表示） (2)如图2，大长方形的两邻边，求出和的周长和； (3)如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是3，分别求大长方形的两邻边的长． 题型七：动点问题 19．如图，数轴上一点M沿数轴向右移动4个单位长度到达点N，再向左移动10个单位长度到达点P． (1)若点M与数轴原点重合，求点M，N，P所表示的数的和； (2)若点M，点P所表示的数互为相反数，求点N表示的数． 20．如图，已知数轴上两点对应的数分别为， (1)点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、点的距离相等，则_________； ②若点到点、点的距离之和为10，则_________； ③设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (2)若将数轴折叠，使与3表示的点重合． ①则表示的点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2022，且两点经过折叠后互相重合（M在的左侧），求两点表示的数． 21．定义：若A，B，C为数轴上三点，点C满足，我们就称点C是【A，B】的追随点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．，那么点C是【A，B】的追随点；，，，点D是【B，A】的追随点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的追随点的是点_____； (2)求出【N，M】的追随点H所表示的数． (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达M停止运动．当t为何值时，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点？ 题型八：电费和水费问题 22．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 23．为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 24．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 题型九：行程问题 25．2025年9月3日，中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在盛大的阅兵仪式上，陆军方队和海军方队依次通过天安门城楼接受检阅．已知陆军方队以每分钟80米的速度匀速前进，海军方队在陆军后方400米处同时出发，以每分钟90米的速度匀速前进．按照阅兵方案要求，海军方队需在陆军方队通过检阅台后1分钟到达检阅台（忽略方队长度及检阅台长度）．为满足该要求，陆军方队应在距离检阅台多少米的位置出发？ 26．甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 27．粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的点，，表示的有理数分别是，，，不带电粒子从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，带电粒子从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动． 两个粒子同时开始运动，设为粒子的运动时间．设，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． 在原点处放置了一台粒子加速器，点处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． (1)点与点的距离______， (2)设为两粒子第一次相遇的时刻， ①求的值． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为时，直接写出t的值． 题型十：比例分配 28．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 29．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 30．数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 ________ 正八面体 ________ 8 12 正十二面体 20 12 30 我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________ (1)完成以上解答． (2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？ (3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种． 题型十一：日历问题 31．观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 32．在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数． (1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号． (2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由． 33．在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； (2)在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； (3)小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 题型十二：古代问题 34．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 35．“曹冲称象”是中国古代经典故事其中蕴含着物理学浮力知识．根据曹冲提出的解决方案，将大象放在船上，在水面所达到的地方做上标记，然后将大象牵下来，再往船上抬入28块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为．求每块条形石的质量与大象的质量． 36．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 题型十三：配套问题 37．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 38．六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个． (1)六年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 39．综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 题型十四：和差倍分问题 40．看图列方程并解答 41． 饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成；馅饼用一张大圆形面皮包馅制作而成．元旦当天，小盛和爸爸、妈妈一起制作饺子和馅饼，小盛向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了80张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有面皮．小盛发现饺子的数量比馅饼数量的4倍多5个．求所包饺子和馅饼各多少个． 42．根据表中的素材，完成下面两个任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支元，笔记本每本5元． 素材2 学校用元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满元送1张兑换券，满元送2张兑换券，以此类推．学校花费元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 兑换券凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本 问题解决 任务1 求兑换前分别购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 求用于兑换钢笔的兑换券的张数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次方程的应用复习讲义 1.掌握列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能完整规范书写解题过程。 2.熟练解决等积变形问题，抓住形变体积不变的等量关系，正确列出方程。 3.掌握行程问题基本量关系：路程 = 速度 × 时间，能解决相遇、追及、环形跑道等常见行程题型。 4.理解销售问题中的基本概念：进价、售价、标价、利润、利润率、打折，能根据等量关系列方程求解。 5.掌握配套问题、分配问题的分析方法，找准配套比例或总量不变的等量关系。 6.能处理工程问题、储蓄利息问题、数字问题、日历问题等常见实际题型。 7.学会用线段图、表格辅助分析题意，理清数量关系，避免列错方程。 8.养成检验习惯，解完后核对结果是否符合实际意义，规避单位不统一、设未知数不带单位、漏写答语等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★ 题型十 比例分配 ★★ 题型十一 日历问题 ★★ 题型十二 古代问题 ★★ 题型十三 配套问题 ★★ 题型十四 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 步骤 操作内容 书写规范 / 核心要点 高频易错 1. 审（审题） 通读题目，圈画已知量、未知量，找出等量关系 标记数字、关键词：一共、比… 多、比… 少、几倍、相等、剩余、提前、延后 找错等量关系，左右写反 2. 设（设未知数） 直接设：求什么设什么；间接设：直接设难计算时，设中间量 规范书写：设 ×× 为x（带单位） 漏写单位；设两个未知数（只能一元） 3. 列（列方程） 用含x的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程 等式左右两边单位统一 代数式漏括号、等量颠倒 4. 解（解方程） 按五步完整解一元一次方程，求出x的值 步骤完整，不随意跳步 计算符号、去分母漏乘常数项 5. 验（双重检验） ①代入方程，检验左右相等；②检验结果符合实际生活意义（人数、物品不能为小数 / 负数） 应用题必须检验，不能省略 只验方程，忽略实际合理性 6. 答（写答句） 完整回应题目提问，带上对应单位 语句通顺，对应问题 漏单位、答非所问 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 细分类型 核心等量关系 典型关键词 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 相向而行、同时出发、两地相距 追及问题 快路程 − 慢路程 = 路程差 同向、落后、提前出发 航行 / 飞行 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度逆水速度 = 静水速度−水流速度 顺水、逆水、顺风、逆风 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量:乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点07:高频易错点（阅卷扣分重点） 1.设未知数、答句遗漏单位，代数式中单位重复书写； 2.行程、工程问题等量左右颠倒，相遇 / 追及路程混淆； 3 打折计算错误：直接用标价 × 折扣数，忘记除以 10； 3.数字问题直接把两位数写成xy，不用10x+y； 4.解方程后只检验方程，忽略实际意义（人数、时间不能为负数、小数）； 5.工程问题忘记总量设为 1，直接用天数计算； 6.配套比例交叉相乘出错，前后零件数量比写反； 7.分段收费只算一段，漏掉基础固定费用； 8.年龄问题忘记两人同时增减岁数，只单独加减一人年龄； 9.应用题不按六步完整书写，省略检验、答句。 题型一：工程问题 1．工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 【答案】这项工程总修路长度为3000米 【分析】设原计划完成任务需要天，则实际用时天，实际每天修路：（米），再根据工作总量不变建立方程求解． 【详解】解：设原计划完成任务需要天，则实际用时天． 实际每天修路：（米） 由题意得： 解得 总长度：（米） 答：这项工程总修路长度为3000米． 2．整理一批图书，甲单独整理需6小时完成，乙单独整理需4小时完成．现由甲先单独整理1小时，然后甲、乙两人合作整理剩下的部分，问甲、乙合作还需几小时才能整理完这批图书？ 【答案】甲、乙合作还需小时才能整理完这批图书 【分析】把整理这批图书的工作总量看作单位1，甲的工作效率为，乙的工作效率为．设甲、乙合作还需x小时才能整理完，则甲一共整理了小时，根据两人工作量总和为1列方程求解即可. 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能整理完，则甲一共整理了小时，依题意得 ． 两边乘12，得，即，解得． 答：甲、乙合作还需小时才能整理完这批图书． 3．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】（1）甲、乙合作6天才能把该工程完成；（2）由甲、乙合作18天完成更省钱． 【分析】（1）设甲、乙两队合作天，甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，列出方程，解答即可； （2）把在工期内的情况进行比较即可. 【详解】解：（1）设甲、乙合作天才能把该工程完成． ， 解得． 答：甲、乙合作6天才能把该工程完成． （2）当甲队独做时：万元 乙队单独完成超时，所以乙队不能独做． 当甲、乙两队全程合作时：设甲、乙合作天完成全工程． ， 解得：    万元． 105万元>99万元． 答：由甲、乙合作18天完成更省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 题型二：销售盈亏 4．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 九折优惠 300元以上 其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠 (1)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于300元但不低于100时，他应付款多少元，当x大于或等于300元时，他应付款多少元（用含x的代数式表示）； (2)若顾客实际付款310元，则他优惠前购买了多少元的物品？ 【答案】(1) 元，元 (2) 元 【分析】本题考查了代数式、一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，应付款元； 当时，应付款元； （2）解：由（1）知，令， 解得． 答：他优惠前购买了350元的物品． 5．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 【答案】这种课桌每套的成本价是70元 【详解】解：设这种课桌每套的成本价是x元， 根据题意得：， 解得． 答：这种课桌每套的成本价是70元． 6．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 【答案】(1)购买这种商品250件 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的档，并能根据不同的档计算花费是解决本题的关键． （1）先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费； （2）根据：购买件商品的花费，列出关于n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买这种商品x件， 购买100件的费用为（元），购买300件的费用为（元）， ∵， ∴， 根据题意，， 解得， 答：购买这种商品250件； （2）解：当时， 根据题意，得 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 根据题意，得 解得：． 答：n的值为1000． 题型三：比赛积分 7．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【分析】设该班胜了x场比赛，根据积分规则列方程求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 8．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 9．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2) 胜场总积分不能等于负场总积分．理由如下： 设胜场，则负场． 依题意得， 解得． 因为为整数，所以不符合题意． 故胜场总积分不能等于负场总积分． 【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据表格中的数据列出方程组，解之即可；（2）设胜场数是，则负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于负场总积分，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分．根据题意， 得， 解得， 所以． 故胜一场积2分，负一场积1分． （2）略 【点睛】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键． 题型四：方案选择 10．列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 【答案】(1)他们中一共有成年人12人，学生6人 (2)按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设他们中一共有成年人x人，那么学生有人，根据成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，结合按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设他们中一共有成年人x人，那么学生有人， 根据题意得： 解得： 答：他们中一共有成年人12人，学生6人． （2）解：∵按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元， ∴（元）． ． 按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱． 11．张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛．一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张．张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价单价数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 根据题意可以列方程 解得 （张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 12．凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件．已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元． (1)求每套工具包和每个摆件的售价分别是多少？（列一元一次方程解答） (2)该文创店计划购买100套工具包和个摆件．现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折． ①请用含m的代数式分别表示出到甲店和乙店购买商品所花的费用； ②若文创店的预算是12000元，选择在哪家店购买的摆件更多？ 【答案】(1)每套工具包的售价为100元，每个摆件的售价为80元； (2)①到甲店购买所花的费用为：元，到乙店购买所花的费用为：元；②在甲店购买的摆件更多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套工具包的售价为x元，则每个摆件的售价为元，根据买一套工具包和一个摆件共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设每套工具包的售价为x元，则每个摆件的售价为元， ∴， 解得， ∴， 答：每套工具包的售价为100元，每个摆件的售价为80元； （2）解：①到甲店购买所花的费用为： 元， 到乙店购买所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买摆件的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲店购买的摆件更多． 题型五：数字问题 13．一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 【答案】x的值是3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，原数为，新数为，根据新的两位数比原两位数小18建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 答：x的值是3． 14．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即 ； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即 ； 步骤3：计算3a与b的和，即 ； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即 ； 步骤5：计算与的差就是校验码x，即 ． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为31，计算步骤中的 ，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和______，______； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 【答案】(1)133，34 (2)3 【分析】（1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可； （2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值． 【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 所以， 解得： 所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和， 故答案为：34； （2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y， 则左边被污染的数字是， 因为校验码是9， 所以， 所以， 又是10的倍数， 所以是10的倍数， 即c的个位数字是1， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 前12位数字中偶数位数字之和为， ， 所以， 所以， 因为c的个位数字是1， 所以的个位数字是1， 所以的个位数字是6， 所以y是3或8， 若y是8，则，不符合， 所以， 此时，符合， 所以右边被污染的数字是3． 15．观察下面有规律排列三行数： (1)第一行数中，第个数是 ，第个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第个数是 ，第三行数中，第个数是 ； ②取每行数的第个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②；③这四个数中最左边的数为 【分析】（1）根据已知数据都是前一个数乘2得到的，再利用第奇数个系数为负求解即可； （2）①根据第二行的数比第一行的数小1，第三行的数等于第二行的数乘以，即可求解； ②根据第一行的第个数为，第二行的数为，第三行的数为，可得，再进行求解即可； ③设第二行最左边的数为，则其第二个数为，第三行第一个数为，第二个数为，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第个数是，第个数是； （2）解：①由题意得，， 第二行数中，第个数是，第三行数中，第个数是； ②第一行的第个数为，第二行的数为，第三行的数为， 第一行的第个数为，第二行的第个数为，第三行的第个数为， ； ③存在框住的个数的和为， 设第二行最左边的数为，则其第二个数为，第三行第一个数为，第二个数为， ， 解得， ， 这四个数中最左边的数为． 题型六：几何问题 16．如图，在水平桌面上有两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为和，且容器装满水，容器是空的．若将中的水全部倒入中，则中的水面高度比原先容器的水面高度高了，求容器的水面高度． 【答案】 【分析】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的关键．据立体图形的体积的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设容器的水面高度为，则容器中水面的高度为， 由题意得， 解得， 答：容器的水面高度． 17．a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定数 a， b； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)若点 C 在数轴上，点C 到点B 的距离是点 C 到点 A 距离的 ，写出点 C 表示的数； (4)点P 从点A 出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025 次后，求点P 表示的数． 【答案】(1)， (2)3个单位 (3)C表示或 (4) 【分析】（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a、b的符号即可得； （2）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （3）设C点表示的数为x,分以下两种情况：点C在A、B之间、点C在点A左侧，利用两点间距离公式列方程求解； （4）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， 由数轴可知，， ∴，； （2）解：表示A、B两点之间的距离为； （3）解：设C点表示的数为x， 当点C在A、B之间时，根据题意有：, 解得：； 当点C在点A左侧时，根据题意有：, 解得：（舍弃）； 当点C在点B的右侧时，， 解得， ∴C点表示的数为或． （4）解： ． 18．如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠地摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，． (1)如图2，若，直接写出的面积 ，的面积 ；（用含m的式子表示） (2)如图2，大长方形的两邻边，求出和的周长和； (3)如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是3，分别求大长方形的两邻边的长． 【答案】(1)， (2)96 (3)， 【分析】（1）先根据图2的摆放方式确定、的长和宽与、、的关系，再用长方形面积公式列表达式即可． （2）定义P，Q两点，已知的、，求出，即可计算阴影的周长和． （3）设右下角两个相等的正方形边长为未知数，根据正方形边长的大小关系与最小正方形边长为3的条件，推导其他正方形的边长表达式，再利用大长方形对边相等的性质列方程求解． 【详解】（1）解：观察图2： 是长方形，它的竖直边长等于减去小长方形的长，水平边长等于４个小长方形的宽， ∵， ∴的面积． 是长方形，它的竖直边长等于减去４个小长方形的宽，水平边长等于小长方形的长， ∴的面积． （2）解：∵， ∴； 如图，定义P，Q两点， ∵， ∴， ∴阴影的周长和为． （3）解：设右下角两个相等的正方形边长为，根据相邻正方形的边长差为最小正方形的边长3，可依次表示其余正方形的边长： 左下角正方形边长为 左上角正方形边长为 右上角正方形边长为 ∵大长方形的水平对边长度相等， 上边水平长度：， 下边水平长度：, ∴， 解得． 代入计算大长方形边长： ， ． 题型七：动点问题 19．如图，数轴上一点M沿数轴向右移动4个单位长度到达点N，再向左移动10个单位长度到达点P． (1)若点M与数轴原点重合，求点M，N，P所表示的数的和； (2)若点M，点P所表示的数互为相反数，求点N表示的数． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先根据数轴的特征求出点M，N，P所表示的数，再求和即可； （2）设点M表示的数为，由题意得，则点N表示的数为，点P表示的数为，再由相反数的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点M表示的数为0， 则点N表示的数为， 点P表示的数为， ∴点M，N，P所表示的数的和为； （2）解：设点M表示的数为， 由题意得，则点N表示的数为， 点P表示的数为， ∵点M，点P所表示的数互为相反数， ∴ 解得 ∴点N表示的数为． 20．如图，已知数轴上两点对应的数分别为， (1)点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、点的距离相等，则_________； ②若点到点、点的距离之和为10，则_________； ③设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (2)若将数轴折叠，使与3表示的点重合． ①则表示的点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2022，且两点经过折叠后互相重合（M在的左侧），求两点表示的数． 【答案】(1)①1，②6或，③存在最大值，最大值为4 (2)①5；②两点表示的数分别为 【分析】（1）①根据题意列出方程，求解即可； ②根据题意，分两种情况讨论：当P点在A点的左侧时，，当P点在B点的右侧时，； ③由数轴上两点距离可分当数轴表示x的数在数轴表示数的左侧时，当数轴表示x的数在数轴表示和3数的之间时，当数轴表示x的数在数轴表示3数的右侧时，然后问题可求解； （2）①先利用中点公式求出折痕点表示的数，再求解即可； ②设点M表示的数是a，则N点表示的数是，根据题意可得方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：①∵点P到点A、点B的距离相等，点A、B对应的数分别为、3， ∴点P为线段上， ∴， 解得， ∴点P对应的数为1； ②∵点到点、点的距离之和为10，， ∴所以P在A左边或者B右边， 当P点在A点的左侧时，， 解得， 当P点在B点的右侧时，， 解得； 综上所述：x的值为6或； ③由数轴上两点距离可分当数轴表示x的数在数轴表示数的左侧时，则有： ； 当数轴表示x的数在数轴表示和3数的之间时（包括和3），则有： ， 当,， 当时,，此时最大值为4； 当数轴表示x的数在数轴表示3数的右侧时，则有： ； 综上所述：存在最大值，最大值为4； （2）解：①∵将数轴折叠，使与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为， ∴表示的点与数重合； ②设点M表示的数是a，则N点表示的数是， ∵两点经过折叠后互相重合， ∴， 解得， ∴， ∴两点表示的数分别是． 21．定义：若A，B，C为数轴上三点，点C满足，我们就称点C是【A，B】的追随点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．，那么点C是【A，B】的追随点；，，，点D是【B，A】的追随点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的追随点的是点_____； (2)求出【N，M】的追随点H所表示的数． (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达M停止运动．当t为何值时，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点？ 【答案】(1)G (2)-4或-16 (3)当t为或3或时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的追随点 【分析】（1）分别求出三点到点M和点N的距离，再根据追随点的定义判断即可得到答案； （2）设点H表示的数为h，则，再根据追随点的定义建立方程求解即可； （3）求出t的取值范围，分四种情况根据追随点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ∴， ∴点G是【M，N】的追随点； （2）解：设点H表示的数为h，则， ∵点H是【N，M】的追随点， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴【N，M】的追随点H所表示的数是或； （3）解：点P表示的数为，当P在线段上时，，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点，有以下几种情况： ①如果P是【M，N】的追随点时，则， ∴， 解得； ②如果P是【N，M】的追随点时，则， ∴， 解得； ③如果N是【M，P】的追随点时，则， ∴， 解得； ④如果M是【N，P】的追随点时，则， 所以， 解得； 综上所述：当t为或3或时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的追随点． 题型八：电费和水费问题 22．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 23．为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 24．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)（5.4a－63） (3)6月份用水15吨，7月份用水25吨 【分析】（1）根据第一阶梯每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，第二阶梯10吨以上至20吨的部分收费标准是2.7元/吨列式计算即可； （2）根据三个阶梯的收费标准，列式化简即可； （3）设小华家6月份用水x吨， 7月份用水吨， 7月份用水量超过6月份，得，则,根据两月共交纳水费103.5元，分当时， 当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，10吨以上至20吨的部分的收费标准为2.7元/吨， 小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费 （元）； 故答案为：31.5； （2）解：∵小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费， 第三阶梯20吨以上的部分收费标准为5.4元/吨， ∴ 故答案为：； （3）解：设小华家6月份用水x吨，则7月份用水吨， ∵7月份用水量超过6月份， ∴， 解得，则, 当时，， 解得，舍去； 当时，， 解得，符合题意， ∴， 答：小华家6月份，7月份各用水15吨、25吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用——阶梯收费，熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键． 题型九：行程问题 25．2025年9月3日，中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在盛大的阅兵仪式上，陆军方队和海军方队依次通过天安门城楼接受检阅．已知陆军方队以每分钟80米的速度匀速前进，海军方队在陆军后方400米处同时出发，以每分钟90米的速度匀速前进．按照阅兵方案要求，海军方队需在陆军方队通过检阅台后1分钟到达检阅台（忽略方队长度及检阅台长度）．为满足该要求，陆军方队应在距离检阅台多少米的位置出发？ 【答案】陆军方队应在距离检阅台米的位置出发 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题的关键是找到等量关系，根据海军方队到达检阅台的时间陆军方队到达检阅台的时间分钟． 【详解】解：设陆军方队应在距离检阅台x米的位置出发， ， 解得：， 答：陆军方队应在距离检阅台米的位置出发． 26．甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【答案】(1)3小时后相遇 (2)出发小时或小时后两车相距40千米 【分析】（1）设两车出发x小时后相遇，根据题意列方程求解即可； （2）设两车出发x小时后相距40千米，根据题意分为相遇前和相遇后进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车出发x小时后相遇， 由题意得， 解得， 答：3小时后相遇； （2）解：设两车出发x小时后相距40千米， 由题意得，相遇前： 解得； 相遇后：， 解得． 答：出发小时或小时后两车相距40千米． 27．粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的点，，表示的有理数分别是，，，不带电粒子从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，带电粒子从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动． 两个粒子同时开始运动，设为粒子的运动时间．设，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． 在原点处放置了一台粒子加速器，点处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． (1)点与点的距离______， (2)设为两粒子第一次相遇的时刻， ①求的值． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为时，直接写出t的值． 【答案】(1)16 (2)①②结论：不会发生变化，； (3)，，，， 【分析】（1）根据两点之间的距离公式列式计算即可； （2）①根据追及问题列一元一次方程求解即可； ②先根据分别得到表示的数为，表示的数为， 进而表示出，，即可解答； （3）根据题意分情况表示出、，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点，表示的有理数分别是，， ∴点与点的距离； （2）解：①由于不带电，所以经过加速器不变速， 根据题意得，当两粒子第一次相遇时，表示的数为，表示的数为， ∴，解得， ②由①可知，当两粒子第一次相遇时，，、表示的数为， 当时，表示的数为，表示的数为， ∴当时，、在线段上，此时表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴，为定值， ∴当时，的值不会发生变化，为； （3）解：，，，， 由（2）知，当时，表示的数为，此时弹回； 当时，此时弹回； 当时，此时在原点处，在点右侧，的速度为每秒个单位长度，在点左侧，的速度为每秒个单位长度； 当时，表示的数为，表示的数为， ∴， ∴或； 当时，表示的数为，表示的数为， ∴ ， ∴（不符合题意，故舍去）或； 当时，表示的数为，表示的数为， ∴ ， ∴或，均不符合题意，故舍去； 当时，表示的数为，表示的数为， ∴ ， ∴或； 综上，当或或或或时，与的距离为． 题型十：比例分配 28．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 29．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 30．数学课上，鲍老师提出问题：观察下面几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 ________ 正八面体 ________ 8 12 正十二面体 20 12 30 我通过观察，根据表格数据猜想V、E、F之间的数量关系式是________ (1)完成以上解答． (2)某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值，那么这个玻璃饰品是几面体？ (3)如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有________种． 【答案】(1)12；6； (2)这个玻璃饰品是二十面体 (3)5 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2； （2）根据题意得到，，将其代入即可求解； （3）各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，然后根据这些特征去列举出所有可能的正多面体，据此判断即可． 【详解】（1）解：； ； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：12；6；； （2）解：设这个玻璃饰品的面数为F，顶点数为V， 已知面数与顶点数的比值为，则可得，即， 因为该多面体外表面是由三角形构成，每个三角形有3条边，每一条棱被两个面共用，所以棱数， 根据欧拉公式，得， 解得， 答：这个玻璃饰品是二十面体； （3）解：1、正四面体：正四面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的定义； 2、正六面体(正方体)：正六面体的每个面都是正方形，每个顶点处有3个面相交，符合正多面体的条件； 3、正八面体：正八面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有4个面相交，是正多面体的一种； 4、正十二面体：正十二面体的每个面都是正五边形，每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的要求； 5、正二十面体：正二十面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有5个面相交，属于正多面体； 综上，柏拉图立体共有5种； 故答案为：5． 题型十一：日历问题 31．观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 【答案】(1)，， (2) 这5个数分别是，，，，，如图， 【分析】本题考查了数字类规律探索，列代数式，日历问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）结合日历填写即可； （2）根据题意列出方程求解，再求得其余四个数即可． 【详解】（1）解：中间的数用y表示，左边的数是，下面的数是，方框中5个数的和是． 故答案为：，，； （2）设中间的数用y表示， 则， 解得：， 左边的数是，上面的数是，下面的数是，右边的数是， 故这5个数分别是，，，， 32．在如图所示的某年9月份日历中，用一个方框框住9个数． (1)如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数的和为51，那么这9个数的和为______，在这9个日期中，最后一天是______号． (2)在这个月的日历中，用方框能否框出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)153；25 (2)30号． 【分析】（1）设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、，然后根据3个数字的和为51就可以列出方程求解，最后就可以求出最后一天； （2）设中间的数为x，那么根据表中规律可以用x分别表示其余的八个数，再利用总和为198即可列出方程，解方程就可以解答． 【详解】（1）解：设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、， 依题意得， ∴， ∴其余两个数是：11，23， ∴9个数分别是9、10、11、16、17、18、23、24、25， ∴这9个数的和为153，最后一天是25号； （2）能．设中间的数为x，依题意得： ， ∴ ∴， ∴框出的9个日期最后一天是30号． 33．在学习课本132页的数学探究《月历中的方程问题》后，小明和小红对2026年1月份的月历进行探究，小明用如图1所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数，设“T”字形框中的五个数分别为，，，，． (1)若，则__________； 若，则__________（用含的代数式表示）； (2)在移动“T”字形框的过程中小明说被框住的5个数之和可能为46，小红说被框住的5个数之和可能为71，他们的说法对吗？请说明理由； (3)小丽设计了如图2所示的“倒T”字形框，框住的五个数分别为，，，，，当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的五个数与“T”字形框中的五个数有且仅有两个数对应相等，若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6； (2) 小明说法正确，小红说法不正确， 理由：由日历可知，，，，， 由题意可得 解得，成立，所以小明说法正确； 解得，根据提供月历，不能框住5个数，故舍去，所以小红说法不正确； (3)存在，b的值为16或26或30 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）直接结合日历作答即可； （2）分别表示出，，，与的关系，进而列方程求解的值，判断在日历上是否成立即可； （3）分别表示出，，，与的关系，找出所有对应情况，列方程求解的值，进而得到的值，判断在日历上是否成立即可． 【详解】（1）解：由日历可知，若，则；若，则； 故答案为：6；； （2）略 （3）解：由（2）知，，，， ∵， 由日历可知，，，，， 若有且仅有两个数对应相等， 则对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即， 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上成立； 或对应且对应 即 解得， 此时，在日历上不成立； 综上所述，存在，b的值为16或26或30． 题型十二：古代问题 34．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 【答案】 这批住店的客人共人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x间，根据每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；每一间客房住9个人，就会多出来一间房，列方程求解即可． 【详解】解：设间房有x间，根据题意得， 解得， 则（人）． 答：这批住店的客人共人． 35．“曹冲称象”是中国古代经典故事其中蕴含着物理学浮力知识．根据曹冲提出的解决方案，将大象放在船上，在水面所达到的地方做上标记，然后将大象牵下来，再往船上抬入28块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为．求每块条形石的质量与大象的质量． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题的关键． 设每块条形石的重量为，根据题意列方程求解即可；由求得每块条形石的质量为，根据题意即可求出大象的质量． 【详解】解：设每块条形石的质量为． 根据题意，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得，所以每块条形石的质量为， 所以大象的质量为． 36．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 题型十三：配套问题 37．今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【答案】用60张卡纸做底面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面． 根据题意，得 解得 答：用60张卡纸做底面． 38．六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个． (1)六年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1) 男生人，女生人 (2) 名 【分析】（1）设出女生人数，则可表示出男生人数，根据“全班总人数为人”列出一元一次方程，求解即可得到男女生人数； （2）设出去支援女生的男生人数，则可表示出做盒身和做盒底的人数，根据配套要求“盒底总数量是盒身总数量的倍”列出一元一次方程，求解即可得到去支援的男生人数． 【详解】（1）解：设六年级一班有女生人，则男生有人， 根据题意得， 解得， ． 答：六年级一班有男生人，女生人； （2）解：设有名男生去支援女生，才能使盒身和盒底刚好配套，此时做盒身的总人数为人，做盒底的总人数为人， 根据题意得， 化简得， 整理得， 解得． 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 39．综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)一共做了8个无盖长方体纸盒； (2)大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； (3) 解：该说法正确，理由如下： 设按图①方式裁剪的大长方形纸板有张，按图②方式裁剪的大长方形纸板有张，按图③方式裁剪的大长方形纸板有张(为自然数)， 根据裁剪规律，裁剪得到的小长方形总数为，正方形总数为， ∵制作纸盒恰好用完所有材料， ∴，展开整理得， ∵按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张， ∴设(为正整数)， 将其代入得， ∵为正整数， ∴为正整数，即是4的倍数， ∴按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料，故该说法正确． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及方案设计的数学问题，核心是根据三种裁剪方式得到的小长方形、正方形数量，结合无盖长方体纸盒的制作要求建立数量等量关系，通过设未知数、列方程、分析数量需求和代数推理解决问题． （1）设出两种裁剪方式的纸板张数，分别表示出小长方形和正方形的总数，根据纸盒制作的数量关系列一元一次方程求解； （2）先明确制作14个纸盒所需的小长方形和正方形数量，再分别分析任选两种裁剪方式的三种组合，计算每种组合所需的大长方形纸板总数，对比后确定耗材最少的方案； （3）设出三种裁剪方式的纸板张数，列出小长方形总数与正方形总数的等量关系，化简得到三者的代数关系式，结合图②裁剪纸板张数为偶数的条件，通过代数变形推导出图①裁剪纸板张数为4的倍数． 【详解】（1）解：设将张大长方形纸板按图①方式裁剪，则张大长方形纸板按图②方式裁剪，则小长方形总数为，正方形总数为， 根据题意，列方程， 解得， 则正方形个数为，即为无盖长方体纸盒的个数， 答：一共做了8个无盖长方体纸盒； （2）解：制作14个无盖纸盒，根据制作要求可知至少需要14个正方形纸板和个小长方形纸板， ①采取图①、图②方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪，此方式同时得到个小长方形纸板，还需要小长方形纸板个， 故需要张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ②若采取图①、图③方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图③裁剪得到， ∴需要张，即需3张大长方形纸板按图③裁剪， 张，即需19张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ③若采取图②、图③方式裁剪， ∵小长方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪； ∵， ∴大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； （3）略 题型十四：和差倍分问题 40．看图列方程并解答 【答案】解：由图可知连环画x本，故事书320本，且故事书比连环画本数的4倍还多28本， ∴， ， ， ． 【详解】略． 41． 饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成；馅饼用一张大圆形面皮包馅制作而成．元旦当天，小盛和爸爸、妈妈一起制作饺子和馅饼，小盛向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了80张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有面皮．小盛发现饺子的数量比馅饼数量的4倍多5个．求所包饺子和馅饼各多少个． 【答案】包馅饼15个，饺子65个 【详解】解：设馅饼有x个，则饺子个， 根据面皮总数得：， 解得，则， 答：包馅饼15个，饺子65个． 42．根据表中的素材，完成下面两个任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支元，笔记本每本5元． 素材2 学校用元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满元送1张兑换券，满元送2张兑换券，以此类推．学校花费元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 兑换券凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本 问题解决 任务1 求兑换前分别购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 求用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【答案】任务1：兑换前购买钢笔支，笔记本本； 任务2：用于兑换钢笔的兑换券的张数是2张 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系建立方程求解． 任务1：根据钢笔和笔记本的数量比设未知数，结合总花费为元的等量关系列一元一次方程求解； 任务2：先计算出元可获得的兑换券总数，再设用于兑换钢笔的兑换券张数为未知数，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同的等量关系列方程求解． 【详解】任务1： 解：设兑换前购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本， 根据题意得：， 解得：， 则钢笔的数量为支，笔记本的数量为本； 答：兑换前购买钢笔支，笔记本本． 任务2： 解：， 可获得8张兑换券． 设用于兑换钢笔的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 兑换后钢笔的数量为支，笔记本的数量为本， 根据题意列方程：， 解得：； 答；用于兑换钢笔的兑换券的张数是2张． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $