3.1 勾股定理的探究 知识清单 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

 

3.1　勾股定理的探究

课堂知识清单

2026—2027学年　苏科版　八年级数学（上册）　第三章　勾股定理

本课知识点：数格子与割补 · 勾股定理 · 弦图证明 · 求第三边 · 建模应用 · 拓展：勾股数、斜边上的高

 

　学习目标　

▸ 经历“数格子—猜想—证明”的过程，知道勾股定理是怎么被发现、又怎样被确认的；

▸ 记住勾股定理的内容，会用符号语言书写，能正确辨认直角边和斜边；

▸ 会用赵爽弦图（面积法）证明勾股定理，理解“同一个图形算两次”的道理；

▸ 已知直角三角形的两边会求第三边，结果能化简、能按要求取近似值；

▸ 会把梯子靠墙一类问题画成直角三角形，用定理求解并检验结果。

　一、知识梳理　

【1】从数格子到猜想

在方格纸上画一个直角三角形，分别以三条边为边向外作正方形，数一数每个正方形里含有多少个小方格。等腰直角三角形最好数：两条直角边上的正方形各含 1 格，斜边上的正方形含 2 格，1 + 1 = 2。把直角边换成 3 格和 4 格再数一遍，两个小正方形分别是 9 格、16 格，斜边上那个是 25 格，9 + 16 = 25。两次数的结果一样：两条直角边上的正方形面积之和，正好等于斜边上的正方形面积。

图1　数格子：两个小正方形的面积之和，恰好等于斜边上大正方形的面积

斜边上的正方形斜着放，斜边把格线切成半格和碎块，一块一块数容易数乱。办法是“补”：把它放进一个更大的方框，先算方框的格数，再减掉多出来的四个直角三角形。直角边为 2、3 时，方框是 5 × 5 = 25 格，四个角上的三角形每个 3 格、共 12 格，斜边上的正方形就是 25 - 12 = 13 格。而 13 恰好是 22 + 32。

把小方格的边长看作 1，三角形的三边记作 a、b、c，数出来的关系就是 a2 + b2 = c2。可方格纸上只画得出有限的几个三角形，数得再多也只是举例；要断定它对所有直角三角形都成立，必须给出证明。

【2】勾股定理

 

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的叫做“股”，斜边叫做“弦”，定理因此得名“勾股定理”，也称商高定理；西方叫毕达哥拉斯定理。名称不同，说的是同一个结论。

符号语言：在 Rt△ABC 中，如果 ∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2。这里的 a、b 是夹着直角的两条边（BC、AC），c 是直角所对的边（AB）。写式子之前先看直角在哪——哪个角是直角，它对面的那条边才是 c。

图2　勾股定理的符号语言：∠C = 90°，a、b 是直角边，c 是斜边

同一个式子可以移项成三种形式：求斜边，c2 = a2 + b2；求直角边，a2 = c2 - b2 或 b2 = c2 - a2。三条式子其实是一条，不必分别背，认准“平方和”与“平方差”即可。

※ 记住　勾股定理只管直角三角形；不是直角三角形，三边之间没有这个关系。

【3】拼图证明：同一块面积算两次

三国时期的赵爽用一张“弦图”给出了证明：把四个全等的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）围成一圈，拼成边长为 a + b 的大正方形，中间正好留下一个小正方形。