甘肃定西市渭源县第二中学2026-2027学年第一学期期中考试高三数学试题

定西市渭源二中2026-2027学年第一学期期中考试试题学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高三 数学． 1． 选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1．设全集，集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，含的项的系数为，记数列的前项和为．若不等式恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，且与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，若点在上且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．为研究青年熬夜与肥胖是否有关联，某科研团队调查了名高中生的熬夜情况与肥胖情况.零假设：熬夜与肥胖相互独立，根据收集到的数据计算得到，依据独立性检验，下列说法正确的是（参考数据：独立性检验临界值，）（    ） A．根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 B．根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 C．根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 D．根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 7．在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，点为平面上一点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．B．C． D． 8．下面命题错误的是（   ） A．某射击运动员8次的训练成绩依次为：85，86，87，88，89，88，90，88，则这8次成绩的第80百分位数为89 B．对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为11 C．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 D．样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 二．多选题（每题6分，共18分） 9．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（     ） A．的最小值为 B．存在点，使得 C．若，则直线与有两个交点 D．若点在轴上，则 10．已知正实数，满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为2 C．没有最大值 D． 11．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．是周期函数 D． 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12．记 为钝角三角形，其内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _____． 13．若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是________. 14．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为_______． 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15（13分）．已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16（15分）．学校举办“书香校园”读书节，现场进行抽奖活动．一等奖的奖品是“精装典藏版”书签，二等奖的奖品是“平装普及版”书签（平装书签根据内容又分为“文言文”及“现代文”两类）．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖标签中又有n个标记“文言文”，其余标记“现代文”，所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好获得的奖品是一枚标有“文言文”和一枚标有“现代文”的书签的概率是获得2枚均标有“文言文”书签概率的3倍． (1)求n的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．X表示甲三次抽奖中每次恰好获得一枚“精装典藏版”书签和一枚“平装普及版”书签的次数，求X的分布列及数学期望； (3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少获得一枚“平装普及版现代文”书签，求获得的3枚书签中恰有两枚“精装典藏版”的概率． 17．如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求锐二面角的余弦值； 18（17分）．已知椭圆的方程为，已知动点在椭圆外，连接交椭圆于点，始终有． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知，为椭圆上两点，，分别为线段，的中点且都是椭圆上的点，设点 （i）判断过，两点的直线与直线的位置关系并证明； （ii）设，两点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 19（17分）．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并求在上的零点个数； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：（） 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C A B D AD ACD 题号 11 答案 ABC 12． 13． 14． 15．(1)由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有：， 所以. 16．（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“文言文”一个标有“现代文”的概率为，抽到2个均为“文言文”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以，解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好获得一枚“精装典藏版”书签和一枚“平装普及版”书签的概率为， 因为随机变量可以取， 其中，， ，， 所以的分布列如下, 0 1 2 3 所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一枚是“平装普及版现代文”书签， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两枚“精装典藏版”． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“文言文”，有3个标记“现代文”， 则，， 所以， 所以已知其中至少有一枚“平装普及版现代文”书签，抽到的3个签中恰有两枚“精装典藏版”的概率为. 17．(1)证明：在直三棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 在中，，且点是线段的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）在直三棱柱中，可得平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得，且， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以； 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 18． 【详解】（1）设 ，因为 ，所以，故， 由于点在椭圆 上，代入 得， 化简：， 所以动点 的轨迹方程为； (2)（i）平行，证明：设 ， 因为是的中点，所以， 又在椭圆上，故， 即， 整理得， 由（1）知 ；又在上，， 代入可得：，即， 同理，对点 可得. 因此 两点都在直线上， 由于，过 两点的直线就是， 因此直线 与平行. （ii）由（i）知 是直线与椭圆的两个交点， 记，联立， 当时，由直线得， 代入椭圆得到关于的二次方程：， 由韦达定理及可得 ，， 故； 利用 消去 可得. 由 且 ，得，于是， 当 时，，直线化为，得， 此时，， 或者，，    代入得 ， 综上可得. 19．【详解】（1），定义域为， ， 且， 所以函数是奇函数，的图象关于原点对称. . 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以在上有唯一零点，即； 所以在上没有零点； 当时， 因为，， 所以， 所以在上没有零点. 所以在上没有零点. 综上所述，函数在上的零点个数为. （2）令， 则. 令，则. 所以在上单调递增， 所以. 若，即，则恒成立，在上单调递增， 所以恒成立， 即对任意，都有； 若，即，则存在，使得当时，， 此时单调递减，所以，不合题意； 若，即，则在上恒成立，在上单调递减， 所以恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是 (3)当时，令，， 所以在上单调递增，所以，即. 故， 令，则. 因为在上单调递减，且，， 所以存在，使得， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，（）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $