小升初奥数培优14：完全平方数的特征与应用（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优14：完全平方数的特征与应用 学习目标 1. 认识完全平方数，熟记完全平方数的定义，掌握完全平方数的常见特征（个位特征、余数特征、因数个数特征、质因数分解特征）。 2. 能够利用质因数分解判断一个数是不是完全平方数，掌握补因数使之成为完全平方数的方法。 3. 会结合完全平方数的性质解决最值问题、数字问题、不定方程类奥数题。 4. 区分易混结论，熟练在数论综合题中识别完全平方数条件。 知识精讲 （一）定义 一个整数的平方叫做完全平方数（平方数）。若 是整数，则 ， 就是完全平方数。 例： 常用小平方数（建议熟记）： (1) (2) (3) (4) （二）完全平方数核心特征 特征1：个位数字特征 完全平方数的个位只能是：0、1、4、5、6、9；个位不可能是：2、3、7、8。 用途：快速排除不是平方数的数。例如个位是3，一定不是完全平方数。 补充规律： (1) 个位是0：平方数末尾0一定是偶数个； (2) 个位是5：十位一定是2； (3) 个位是6：十位一定是奇数； (4) 个位是1、4、9：十位可奇可偶。 特征2：质因数分解特征（最重要） 把一个完全平方数分解质因数后，每一个质因数的指数都是偶数。反过来：如果一个正整数分解质因数后，所有质因数指数都是偶数，这个数就是完全平方数。 例：，指数2、2都是偶数 → 是平方数；，质因数2指数是1（奇数）→ 不是平方数。 题型套路：给一个数，乘/除以最小整数，使结果为完全平方数——找出分解式里指数为奇数的质因数，把它们相乘，就是要补的最小因数。 特征3：因数个数特征 完全平方数的正因数总个数是奇数；非完全平方数的因数个数是偶数。 原理：因数成对出现，只有平方数有一个因数重复（平方根），所以总数为奇数。 逆命题也成立：一个正整数因数个数为奇数 ⇔ 它是完全平方数。 特征4：余数特征（奥数高频） (1) 完全平方数除以4，余数只能是0或1；除以4余2、余3的数一定不是平方数。 (2) 完全平方数除以3，余数只能是0或1。 (3) 完全平方数除以8，余数只能是0、1、4。 特征5：相邻平方数之间没有其他平方数 若 ，则 一定不是完全平方数。常用于估值。 （三）常见题型分类 (1) 判断一个数是否为完全平方数； (2) 求最小正整数 ，使得 （或 ）是完全平方数； (3) 已知某个条件，求满足条件的平方数； (4) 平方数与不定方程、数字和结合的数论问题。 例题讲解 【典型例题1】 题目：下面哪些数是完全平方数？ 【详解】 第一步：先用个位特征初步筛选。222个位2、323个位3、657个位7，直接排除；剩下：121、256、529。 第二步：验证。，，，所以这三个是完全平方数。 【答案】完全平方数：121、256、529 【跟踪训练1】 题目：判断下列数哪些是完全平方数。 【详解】 个位筛选：243个位3、518个位8，排除；剩余196、364、441、729。 验算：，，；，，364介于中间，不是平方数。 【答案】完全平方数：196、441、729 【典型例题2】 题目：自然数 乘上一个最小的自然数 ，乘积是一个完全平方数，求 和这个完全平方数。 【详解】 第一步：分解质因数。。 完全平方数要求所有质因数指数为偶数： 需要补1个2 → 需要补1个3 → 需要补1个5 → 所以最小的 。 乘积：。验证：，。 【答案】k=30，完全平方数为 57600 【跟踪训练2】 题目：自然数 乘一个最小自然数 ，积是完全平方数，求 和乘积。 【详解】 分解质因数：。 补1个2； 补1个3；故 。 乘积：。验算：。 【答案】k=6，完全平方数为 2916 【典型例题3】 题目：一个自然数有15个不同的正因数，这个自然数是不是完全平方数？请说明理由。 【详解】 知识点：完全平方数的因数个数是奇数；非平方数因数个数为偶数。 15是奇数，因此这个数一定是完全平方数。 拓展补充：因数个数公式，若 ，因数个数 。，对应指数为14或4、2，都是偶数，符合平方数要求。 【答案】是完全平方数，因为因数个数15是奇数。 【跟踪训练3】 题目：一个自然数有12个不同正因数，它一定是完全平方数吗？ 【详解】 完全平方数因数个数必须是奇数，本题因数个数12是偶数，所以一定不是完全平方数。 【答案】不是，因数个数12是偶数，所以一定不是完全平方数。 【典型例题4】 题目：一个完全平方数除以4余3，是否存在这样的数？说明理由。 【详解】 完全平方数除以4的余数只能是0或者1： 偶数：，除以4余0； 奇数：，除以4余1。 不可能余3，因此不存在。 【答案】不存在。 【跟踪训练4】 题目：判断：是否存在一个完全平方数，除以3余2？ 【详解】 整数按除以3分类： ，除以3余0； ，除以3余1； ，除以3余1。 平方数除以3只能余0或1，不可能余2。 【答案】不存在。 【典型例题5】 题目：已知 是一个三位数，且十位数字是7，求所有满足条件的完全平方数。 【详解】 第一步：三位数范围 ，即 。 第二步：平方数十位为7（奇数），根据特征，个位一定是6；只有个位4、6的数平方后个位为6。 枚举 中个位为4、6的数： 。 检查十位：576十位7，676十位7，符合条件。 【答案】满足条件的完全平方数：576、676 【跟踪训练5】 题目：一个完全平方数是三位数，十位数字是2，求出所有符合条件的数。 【详解】 ，平方数十位为2。逐个验算筛选： 、、、、、，十位数字均为2，符合条件；其余三位平方数的十位均不为2。 【答案】121、225、324、529、625、729 奥数练习 第 1 题 完全平方数 是一个三位数，且它的个位数字是 6。求所有满足条件的 中，最大数与最小数的差。 【详解】 三位完全平方数介于 100 与 999 之间，故底数 满足 。平方数个数位为 6，由个位特征可知底数 的个位只能是 4 或 6。 在 10 至 31 中个位为 4、6 的数有：14、16、24、26，其平方分别为 196、256、576、676，均为三位数且个位为 6。 最大数为 676，最小数为 196，差 。 【答案】480 第 2 题 自然数 945 乘以一个最小的自然数 ，使乘积成为完全平方数。求 及这个完全平方数。 【详解】 分解质因数：。其中 3 的指数 3、5 的指数 1、7 的指数 1 均为奇数。 要使乘积为完全平方数，各质因数指数都应为偶数，故需各补一个 3、5、7：。 乘积 。 【答案】，完全平方数为 99225（） 第 3 题 一个完全平方数共有 45 个不同的正因数。求满足条件的最小完全平方数。 【详解】 因数个数公式：若 ，则因数个数 。这里需 。 ，对应指数组合（为使数尽量小，最大指数配给最小质数）： 单质因数：指数 44，最小为 （过大）； 双质因数：、、； 三质因数：指数取 2、2、4，把 4 给 2 → 。 比较各方案，3600 最小，且 ，因数个数 ，符合要求。 【答案】3600 第 4 题 证明：不存在正整数 ，使得 是完全平方数。 【详解】 方法一（互质）： 与 互质。若其积为完全平方数，则由质因数分解特征， 与 都必须是完全平方数。但两个连续正整数不可能同为完全平方数（相邻平方数之差 ），矛盾。 方法二（夹逼）：，即 严格夹在两个相邻平方数之间，故不可能是完全平方数。 【答案】不存在这样的 第 5 题 求最小的正整数 ，使 360 为完全平方数。 【详解】 分解质因数：。指数分别为：2 的指数 3（奇数）、3 的指数 2（偶数）、5 的指数 1（奇数）。 把奇指数补成偶指数，需补一个 2 和一个 5，故 。 验证：。 【答案】 第 6 题 证明：对任意正整数 ， 恒为完全平方数，并写出这个平方数。 【详解】 。 令 ，则原式 。 因为 是整数，所以原式恒为完全平方数。 【答案】等于 第 7 题 求所有正整数对 ，使 是完全平方数，且 。 【详解】 由质因数分解特征，要使 为完全平方数，、 必须都是偶数。 又 ，且 、 为正整数，故 取 2、4、6、8、10 时， 分别取 10、8、6、4、2，共 5 组。 【答案】 第 8 题 求形如 （、 为数字，）的四位完全平方数。 【详解】 四位完全平方数的底数在 32 至 99 之间。逐一对 32 至 99 的平方数进行筛选，形如 （千位与百位相同、十位与个位相同）的平方数： 检验 88² = 7744，恰为 型（，）。对 32² 至 99² 逐一核对，其余均不满足该形状，故只有 7744。 【答案】7744（） 第 9 题 求满足 的正整数解 。 【详解】 。29 为质数，且 ，故只能 ，。 两式相加得 ，；两式相减得 ，。 【答案】 第 10 题 求最小的正整数 ，使 4008 为完全平方数。 【详解】 相邻平方数估位：，。4008 介于 3969 与 4096 之间。 比 4008 大的最小完全平方数是 4096，故 。 【答案】 第 11 题 求正整数 ，使 为完全平方数。 【详解】 。设其为 ，则 ，即 。 因 ，且 ，所以 ，。相加得 ，；相减得 ，。 验证：。 【答案】 第 12 题 判断：是否存在完全平方数，使得它除以 8 的余数是 3？请说明理由。 【详解】 设整数 。 若 为偶数，，则 ： 偶时 ， 奇时 。 若 为奇数，，则 ，因 为偶数，故 。 综上，完全平方数除以 8 的余数只能是 0、1、4，不可能为 3。 【答案】不存在 第 13 题 求所有能被 17 整除的三位完全平方数。 【详解】 设三位完全平方数为 。若 ，因 17 为质数，由质因数分解特征得 。 三位平方数满足 ，其中 17 的倍数只有 17，故 ，。 【答案】289 第 14 题 求满足 的所有正整数解 。 【详解】 。对 逐个检验，看 是否为平方数： 时，； 时，。其余 值均不满足。 故正整数解为 与 。 【答案】、 第 15 题 求正整数 ，使 为完全平方数。 【详解】 。设其为 ，则 ，即 。 由 分两类： ，：相加得 ，；相减得 ，。验证 。 ，：相加得 ，；相减得 ，。验证 。 【答案】 或 第 16 题 在 1 到 500 的自然数中，是完全平方数但不是完全立方数的数有多少个？ 【详解】 完全平方数：（，），共 22 个。 完全立方数：（，），共 7 个。 既是平方又是立方的数 ⇔ 是完全六次方：，，，共 2 个。 故是平方但不是立方的数有 个。 【答案】20 个 第 17 题 求正整数 ，使 与 都是完全平方数。 【详解】 设 ，（）。两式相减：，即 。 。因 与 同奇偶，只能取 ，。解得 ，。 。验证：，。 【答案】 第 18 题 求所有末两位数字是 44 的四位完全平方数。 【详解】 设四位完全平方数为 ，则 。要使 末位为 4， 的个位只能是 2 或 8。 检验 32 至 99 中个位为 2 或 8 的数：，，，其末两位均为 44；其余不满足。 故共 3 个。 【答案】1444、3844、7744 第 19 题 若 为自然数，且 3 与 都是完全平方数。求 。 【详解】 设 ，。由 得 ，故 （ 为整数），于是 ，代入得 。 再由 得 ，即 。但完全平方数除以 3 的余数只能是 0 或 1，不可能为 2，矛盾。 故不存在这样的 。 【答案】不存在这样的 第 20 题 求正整数 、，使 且 是完全平方数。 【详解】 当 时，，，符合；当 时同理，得 。 对 枚举： 分别为 30、42、52、60、66、70、72、72、70、66、60、52、42、30，均不是完全平方数。 故只有 与 。 【答案】、 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优14：完全平方数的特征与应用 学习目标 1. 认识完全平方数，熟记完全平方数的定义，掌握完全平方数的常见特征（个位特征、余数特征、因数个数特征、质因数分解特征）。 2. 能够利用质因数分解判断一个数是不是完全平方数，掌握补因数使之成为完全平方数的方法。 3. 会结合完全平方数的性质解决最值问题、数字问题、不定方程类奥数题。 4. 区分易混结论，熟练在数论综合题中识别完全平方数条件。 知识精讲 （一）定义 一个整数的平方叫做完全平方数（平方数）。若 是整数，则 ， 就是完全平方数。 例： 常用小平方数（建议熟记）： (1) (2) (3) (4) （二）完全平方数核心特征 特征1：个位数字特征 完全平方数的个位只能是：0、1、4、5、6、9；个位不可能是：2、3、7、8。 用途：快速排除不是平方数的数。例如个位是3，一定不是完全平方数。 补充规律： (1) 个位是0：平方数末尾0一定是偶数个； (2) 个位是5：十位一定是2； (3) 个位是6：十位一定是奇数； (4) 个位是1、4、9：十位可奇可偶。 特征2：质因数分解特征（最重要） 把一个完全平方数分解质因数后，每一个质因数的指数都是偶数。反过来：如果一个正整数分解质因数后，所有质因数指数都是偶数，这个数就是完全平方数。 例：，指数2、2都是偶数 → 是平方数；，质因数2指数是1（奇数）→ 不是平方数。 题型套路：给一个数，乘/除以最小整数，使结果为完全平方数——找出分解式里指数为奇数的质因数，把它们相乘，就是要补的最小因数。 特征3：因数个数特征 完全平方数的正因数总个数是奇数；非完全平方数的因数个数是偶数。 原理：因数成对出现，只有平方数有一个因数重复（平方根），所以总数为奇数。 逆命题也成立：一个正整数因数个数为奇数 ⇔ 它是完全平方数。 特征4：余数特征（奥数高频） (1) 完全平方数除以4，余数只能是0或1；除以4余2、余3的数一定不是平方数。 (2) 完全平方数除以3，余数只能是0或1。 (3) 完全平方数除以8，余数只能是0、1、4。 特征5：相邻平方数之间没有其他平方数 若 ，则 一定不是完全平方数。常用于估值。 （三）常见题型分类 (1) 判断一个数是否为完全平方数； (2) 求最小正整数 ，使得 （或 ）是完全平方数； (3) 已知某个条件，求满足条件的平方数； (4) 平方数与不定方程、数字和结合的数论问题。 例题讲解 【典型例题1】 题目：下面哪些数是完全平方数？ 【跟踪训练1】 题目：判断下列数哪些是完全平方数。 【典型例题2】 题目：自然数 乘上一个最小的自然数 ，乘积是一个完全平方数，求 和这个完全平方数。 【跟踪训练2】 题目：自然数 乘一个最小自然数 ，积是完全平方数，求 和乘积。 【典型例题3】 题目：一个自然数有15个不同的正因数，这个自然数是不是完全平方数？请说明理由。 【跟踪训练3】 题目：一个自然数有12个不同正因数，它一定是完全平方数吗？ 【典型例题4】 题目：一个完全平方数除以4余3，是否存在这样的数？说明理由。 【跟踪训练4】 题目：判断：是否存在一个完全平方数，除以3余2？ 【典型例题5】 题目：已知 是一个三位数，且十位数字是7，求所有满足条件的完全平方数。 【跟踪训练5】 题目：一个完全平方数是三位数，十位数字是2，求出所有符合条件的数。 奥数练习 第 1 题 完全平方数 是一个三位数，且它的个位数字是 6。求所有满足条件的 中，最大数与最小数的差。 第 2 题 自然数 945 乘以一个最小的自然数 ，使乘积成为完全平方数。求 及这个完全平方数。 第 3 题 一个完全平方数共有 45 个不同的正因数。求满足条件的最小完全平方数。 第 4 题 证明：不存在正整数 ，使得 是完全平方数。 第 5 题 求最小的正整数 ，使 360 为完全平方数。 第 6 题 证明：对任意正整数 ， 恒为完全平方数，并写出这个平方数。 第 7 题 求所有正整数对 ，使 是完全平方数，且 。 第 8 题 求形如 （、 为数字，）的四位完全平方数。 第 9 题 求满足 的正整数解 。 第 10 题 求最小的正整数 ，使 4008 为完全平方数。 第 11 题 求正整数 ，使 为完全平方数。 第 12 题 判断：是否存在完全平方数，使得它除以 8 的余数是 3？请说明理由。 第 13 题 求所有能被 17 整除的三位完全平方数。 第 14 题 求满足 的所有正整数解 。 第 15 题 求正整数 ，使 为完全平方数。 第 16 题 在 1 到 500 的自然数中，是完全平方数但不是完全立方数的数有多少个？ 第 17 题 求正整数 ，使 与 都是完全平方数。 第 18 题 求所有末两位数字是 44 的四位完全平方数。 第 19 题 若 为自然数，且 3 与 都是完全平方数。求 。 第 20 题 求正整数 、，使 且 是完全平方数。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $