课题学习《数学广角-鸽巢问题》「易错题专项讲练」导图知识卡片+易错点拨+3个易错考点讲练+真题汇编拔尖练 共32题-2026-2027学年人教版数学新教材六年级上册培优讲练

2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 2026-2027学年人教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 课题学习《数学广角-鸽巢问题》「易错题专项讲练」 （思维导图+知识梳理+3个高频易错考点讲练+实战演练 共32题●原卷版） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习易错讲练培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 易错点拨：强化巩固易错点细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 易错考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 【导图指引 易错点拨】 2 【知识梳理 易错指引】 2 一、读题：三个关键词必须读准 2 二、核心结论：一条除法，两种情形 3 三、八个高频易错点 4 四、四类常考变式与对应易错 6 五、解题四步与答题模板 7 【易错讲练 真题汇总】 8 高频考点一 鸽巣问题初歩 8 高频考点二 鸽巢问题进阶 8 高频考点三 最不利原则 9 【能力提升 真题拔尖】 9 一、读题：三个关键词必须读准 （一）"总有"是存在性，不是"每一个" 教材原句是"7 只鸽子飞进 3 个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进 3 只鸽子"。这句话断定的是"其中必有某一个鸽笼，它的鸽子数不少于 3"，而不是"每个鸽笼都有 3 只"。后者根本不可能：3 个鸽笼各 3 只要 9 只鸽子。教材枚举表里的第一种分法 (0,0,7) 就说明了这一点——第一个、第二个鸽笼一只也没有，结论照样成立。 错解：总有一个鸽笼至少飞进 3 只，就是说每个鸽笼里至少有 3 只鸽子。 正解：至少有某一个鸽笼，里面的鸽子不少于 3 只；其余鸽笼可以是 0 只。 （二）"至少"是下限，不是平均数，也不是最多 教材借学生之口给出解释："至少就是使每个鸽笼的鸽子数都尽可能少。"换句话说，把 7 只鸽子怎么分都行，把所有分法里"最挤的那个笼子"的鸽子数逐个记下来，其中最小的那个数就是"至少"。它回答的是"最少也会有这么多"，不是"平均每笼多少"，也不是"最多能有多少"。 错解：7÷3 ≈ 2.3，所以平均每个鸽笼 2 只多，至少 2 只。 正解：无论怎么分，总有一个鸽笼不少于 3 只，"至少"是 3 只。 把"至少"当成平均数的后果很严重：算出来的 2 只恰恰是"最理想、最均匀"时的每笼数量，而结论要的正是"最均匀也挡不住的那一档"。这也是后面"为什么要尽量平均"的伏笔。 （三）"鸽巢"是按什么分类，就先定什么 鸽巢问题里，"鸽子"是被分的物体，"鸽笼"是分类的类目。判断谁是谁，只需问一句：题目按什么标准分类？按属相分，属相是鸽笼、人是鸽子；按颜色分，颜色是鸽笼、球是鸽子；按奇偶分，奇偶两类是鸽笼、数是鸽子。类目数就是除数，物体数就是被除数。 错解：13 位同学、12 种属相，所以 13÷2 = 6……1，至少有 7 人属相相同。 正解：按属相分类，属相 12 类是鸽笼，13 人是鸽子，13÷12 = 1……1，至少有 2 人属相相同。 二、核心结论：一条除法，两种情形 把 n 个物体放进 m 个鸽笼（n 大于 m），用 n÷m 得到的商和余数来判断"至少数"：有余数时，至少数 = 商 + 1；没有余数（正好分完）时，至少数 = 商。这是本单元唯一需要记的结论，也是错得最多的结论。 （一）有余数：商加 1 7÷3 = 2……1。先让每个鸽笼放 2 只，用掉 6 只，还剩 1 只；这 1 只无论放进哪个鸽笼，都会使那个鸽笼达到 3 只。所以至少 3 只。教材的除法算式与"余下 1 只不管飞进哪个鸽笼"的说明，讲的就是这个"加 1"的来源：加的不是余数，而是"必然被打破平均的那一只"。 （二）整除：不加 1 12 只鸽子飞进 3 个鸽笼，12÷3 = 4，没有余数。每笼正好 4 只，这已经是最均匀的分法，结论是"总有一个鸽笼至少飞进 4 只"，不是 5 只。判断标志很简单：余数是 0，就不加 1。教材的例题恰好是有余数的情形，学生练熟了"商 + 1"，一遇到整除题就条件反射地加 1，这是本单元第一大失分点。 （三）三条路径殊途同归，平均分是"最不利"的那一条 三条路：一是枚举，把 (0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、(1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3) 逐行列出来；二是平均分，先给每个鸽笼放 2 只，再把剩下的 1 只放进去；三是反证，"如果每个鸽笼最多飞进 2 只，那么 3 个鸽笼最多飞进 6 只，可现在有 7 只，所以总有一个鸽笼……"。三条路结论相同，但作用不同：枚举用来看清"有没有更均匀的分法"，平均分用来快速算出答案，反证用来说清"为什么不可能更少"。 教材末尾那句"想一想：小亮为什么要尽量平均"，问的正是这个道理。平均分让每个鸽笼的只数尽可能接近，也就让"最多的那个笼子"尽可能小。如果连这种最均匀的分法都会出现 3 只，那么任何别的分法只会更挤，结论自然成立。所以"尽量平均"不是为了让分得好看，而是为了找到对结论最不利的那种分法——最不利的情形都成立，结论才可靠。这就是最不利原则的雏形。 三、八个高频易错点 （一）用"商 + 余数"代替"商 + 1" 这是最隐蔽的一种错法，因为算式写得整整齐齐，只有答案是错的。8 只鸽子飞进 3 个鸽笼，8÷3 = 2……2，余数是 2，于是答"2 + 2 = 4 只"。但余下的 2 只不可能都塞进同一个已经装了 2 只的笼子才叫"至少"——把两只分别放进两个笼子，每个笼子就只有 3 只，比 4 只更少。所以正确答案是 3 只。 错解：8÷3 = 2……2，至少 2 + 2 = 4 只。 正解：8÷3 = 2……2，至少 2 + 1 = 3 只。 记住一句话：余数只说明"还有剩下的"，不说明"剩下的有多少"；剩下 1 只也好、剩下 2 只也好，都只能让某一个鸽笼多出 1 只。 （二）整除时也加 1 9 只鸽子飞进 3 个鸽笼，9÷3 = 3，余数为 0，正确答案是 3 只；若写成 3 + 1 = 4 只，等于把"正好分完"当成了"还有剩余"。12÷3 = 4 答 5、100÷20 = 5 答 6，都是同一个错误。 错解：9 只鸽子 3 个鸽笼，至少 3 + 1 = 4 只。 正解：9÷3 = 3，没有余数，至少 3 只。 （三）把商直接当答案，忘掉余数 7÷3 = 2……1，答"至少 2 只"。学生看到了商，就把商当结论，忽略余下那 1 只必然挤进某个鸽笼。凡是除法有余数，答案一定要在商的基础上加 1。 错解：7÷3 = 2……1，所以至少 2 只。 正解：2 + 1 = 3 只。 （四）鸽子和鸽笼颠倒，除数取错 任意找 13 位同学，其中至少有几人的属相相同？属相有 12 种，把 12 种属相当作 12 个鸽笼，13 位同学是 13 只鸽子，13÷12 = 1……1，所以至少有 2 人的属相相同。 错解：13÷2 = 6……1，至少 7 人属相相同；或答"至少有 1 人属相相同"。 正解：13÷12 = 1……1，至少有 2 人属相相同。 答"至少 1 人"表面上没错，但它没有提供任何新信息——13 个人本来每人都有一个属相，说"至少 1 人属相相同"等于没说。这类"正确但无用"的答案在考试中同样不得分。判断标准是：答案必须体现出"重复"，也就是至少数为 2 或更大。 （五）抽屉构造不完整，类目漏了一类 用鸽巢问题解题，第一步是把"分类标准"找全。类目必须穷尽所有情况、彼此不重叠，漏一类，除数就小一类，答案就会偏大。常见类目数量如下：属相 12 种，月份 12 个，一年天数按 365 天算，颜色按题目给定的种数，自然数按奇偶分 2 类，按除以 4 的余数分则有余 0、1、2、3 共 4 类。 任意给出 3 个不同的自然数，其中一定有 2 个数的和是偶数。这里的分法不是按大小，而是按奇偶：3 个数分别落入"奇数""偶数"两个鸽笼，3÷2 = 1……1，必有两个数同属一类。两个奇数相加是偶数，两个偶数相加也是偶数，所以这两个数的和一定是偶数。 错解：把 3 个数按"大、中、小"分类，或者只讨论"3 个连续自然数"。 正解：按奇偶分成 2 类，3 个数必有 2 个同奇偶，同奇偶两数之和为偶数。 注意题目里"不同的自然数"这个条件并不影响结论，它只是排除"两个数相同"的干扰；即使 3 个数相同，结论仍然成立。学生常把"不同"误当成分类依据，越想越乱。 （六）枚举没列全就下结论 枚举表按第一个鸽笼的只数从小到大、第二个鸽笼的只数从小到大排列：(0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、(1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3)。这个顺序保证了不重不漏，最后一行 (2,2,3) 正是"最均匀"的那一档。学生枚举时常只挑几种"看起来合理"的分法，比如只写 (3,3,1) 和 (2,2,3)，就断言"最少也是 2 只"，把 (0,0,7) 这种极端分法漏掉了。 错解：只列 (3,3,1)、(2,2,3)、(4,2,1)，看最小是 2，答至少 2 只。 正解：按顺序列全，最均匀的一档是 (2,2,3)，至少 3 只。 枚举在这里的作用不是"把所有情况都数完"，而是"找到最均匀的那一档"。所以列到 (2,2,3) 就可以停：再往下分只会更不均匀，最大笼子的数量只会更大。 （七）把"保证"当成"可能" "至少摸出几个球，才能保证有 2 个同色"，问的是"无论怎么摸都一定出现"，要按最不利的情况算：先让每种颜色各摸 1 个，一个同色都没有；此时再摸 1 个，它必然与前面某个球同色。所以红、黄、蓝 3 色时，答案是 3 + 1 = 4 个。学生常答"2 个"，理由是"运气好第一次就摸到两个同色"——那是"可能"，不是"保证"。 错解：摸 2 个就可能同色，所以至少摸 2 个。 正解：3 种颜色各摸 1 个仍无同色，第 4 个必然与前 3 个之一同色，故至少摸 4 个。 （八）逆向题：已知"至少数"，求物体数最少是多少 正问题给物体数求至少数，逆问题给至少数求物体数。方法是：先把每个鸽笼都放到"差一个就达标"的状态，即每笼放"至少数 − 1"个，再把最后 1 个放进去。公式是：物体数 = 鸽笼数 ×（至少数 − 1）+ 1。 例：红、黄、蓝、白 4 种颜色的球，要保证有 5 个同色，至少摸出多少个？每个颜色先摸 4 个，共 4×4 = 16 个，此时还没有 5 个同色；再摸 1 个，无论什么颜色都能凑够 5 个，所以至少 17 个。 错解：4 × 5 = 20 个；或 4 × 5 + 1 = 21 个。 正解：4 ×（5 − 1）+ 1 = 17 个。 四、四类常考变式与对应易错 （一）属相、月份、生日：鸽笼都是 12（或 365） 属相 12 种、月份 12 个，是最好用的两个鸽笼。13 人 → 至少 2 人同属相；13 人 → 至少 2 人同月；50 人 → 50÷12 = 4……2 → 至少 5 人同月。生日问题按一年 365 天算，366 人才能保证至少 2 人同一天生日。易错点在于把"12"写成"13"或把人数当成鸽笼：看到"13 位同学"就除以 13，等于把人和属相混为一谈。 （二）颜色球与扑克牌：先数清"类"到底有几类 颜色球的鸽笼数就是颜色种数。3 色保证 2 个同色 → 3 + 1 = 4 个；3 色保证 3 个同色 → 3×2 + 1 = 7 个。规律是"颜色数 ×（保证数 − 1）+ 1"。 扑克牌要格外小心大小王。一副 54 张牌有 4 种花色，但大王、小王不属于任何花色。要保证有 2 张同花色，最坏的情况是先把 2 张王都抽到，再把 4 种花色各抽 1 张，共 6 张仍无同花色，第 7 张才必然与某一张同花色，所以答案是 7 张，而不是 5 张。若题目明确"去掉大小王"，一共 52 张，答案才是 4 + 1 = 5 张。 错解：54 张牌保证 2 张同花色，4 + 1 = 5 张。 正解：含大小王时为 2 + 4 + 1 = 7 张；去掉大小王时为 5 张。 （三）奇偶与余数：分类标准藏在"和""差"里 题目问"和是偶数"，就按奇偶分 2 类；问"差是 4 的倍数"，就按除以 4 的余数分 4 类（余 0、1、2、3），因为同余两数之差必是 4 的倍数。5 个自然数 → 5÷4 = 1……1 → 至少有 2 个数余数相同 → 它们的差是 4 的倍数。易错点是没有把"和""差"的条件翻译成分类标准，直接拿个数去除以题目里出现的数字。 （四）书本、椅子、座位：最朴素的模型 教材"反思"里给的例子是"把 3 本书放进 2 个抽屉，总有 1 个抽屉至少放 2 本"，还有"4 个人坐 3 把椅子，总有 1 把椅子至少坐 2 人"。这类题的鸽笼一眼可见，出错多在结论表述上，把"总有一个抽屉至少 2 本"说成"每个抽屉都有 2 本"。 五、解题四步与答题模板 第一步，找：读题后先写清"把什么当作鸽子、把什么当作鸽笼、鸽笼一共有几类"，这一步写成一句话即可，例如"按属相分类，12 种属相是 12 个鸽笼"。 第二步，算：用鸽子数除以鸽笼数，写成带余数的除法算式，商和余数都要写出来。 第三步，断：看余数。有余数就在商上加 1，余数为 0 就直接取商。 第四步，答：套用完整句式"总有一个（鸽笼）里至少有（几）个（鸽子）"，"总有""同一个""至少"三个词一个都不能少。 以教材原题为例，规范答案可以写成：7÷3 = 2（只）……1（只），2 + 1 = 3（只）。因为每个鸽笼先放 2 只，还剩 1 只，这 1 只无论放进哪个鸽笼，总有一个鸽笼至少有 3 只鸽子。先列式、再说理、最后落结论，是这类题唯一稳妥的写法。 高频考点一 鸽巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·云南文山·期末）文兴小学开展垃圾分类回收活动，六（1）班同学一共收集了42个塑料瓶，放进4个回收箱里，不管怎么放，总有1个回收箱里至少放了( )个塑料瓶。 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·阶段检测）在2024年出生的1000个孩子中，至少有__________人在同一天过生日。 【变式训练2】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 【变式训练3】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）为落实五育并举，促进融合育人，博爱小学开展了丰富多彩的社团活动。六（1）班有19名同学参加了手工社团、舞蹈社团和羽毛球社团，每人可以参加一个社团、两个社团或三个社团。这些同学中至少有( )名同学参加的社团情况完全相同。 高频考点二 鸽巢问题进阶 【典例精讲】（24-25六年级下·广东佛山·期末）根据《国家学生体质健康标准》，六年级女生一分钟跳绳达到152下及以上为优秀。某校六年级进行一分钟跳绳测试，有90名女生获得优秀，这些获得优秀的女生一分钟跳绳次数最少的是160下，最多的是190下。这些获得优秀的女生中至少有( )人的跳绳成绩是相同的。 【变式训练1】（2024·陕西商洛·小升初真题）杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有________人是同一个月生日。 【变式训练2】（2026·河南新乡·小升初真题）小学生知识竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，打错一题倒扣1分，若有2026人参加，至少有( )人得分相同。 【变式训练3】（25-26六年级下·山东济南·期末）六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 高频考点三 最不利原则 【典例精讲】（25-26六年级下·内蒙古赤峰·期末）把黑、红、蓝三种颜色的袜子（除颜色外，其他都相同）各10只放入袋中。最少拿出_______只才能保证一定有同色的袜子。至少要拿出_______只才能保证一定有不同色的袜子。 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·阶段检测）抽屉里有10只黑袜子、6只白袜子、8只蓝袜子，那么需从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑袜子。 【变式训练2】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）一把钥匙开一把锁，李师傅将7把钥匙和7把锁放乱了，他最多要试( )次才能保证找到对应的钥匙和锁。 【变式训练3】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）把红、黄、蓝三种颜色的袜子各6只混在一起。如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（    ）只才能保证一定有2双不同色的袜子。（指一双袜子为其中一种颜色，另一双袜子为另一种颜色。） A．8 B．9 C．10 D．11 1．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）一副纸牌除掉大小王共有52张牌，四种花色，每种花色13张。假设从这52张牌中随机抽取13张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。 A．4 B．2 C．3 D．5 2．（24-25六年级下·四川绵阳·期末）在任意的40个人中，至少有（    ）人的属相相同。 A．2 B．4 C．6 D．9 3．（25-26六年级下·新疆省直辖县级单位·期末）端午节有拴五彩绳的习俗。盒子里有白珠绳、粉珠绳、红珠绳三种：白珠绳有5根，粉珠绳有8根，红珠绳有4根。至少拿出（    ）根，才能保证一定拿到2根粉珠的五彩绳。 A．15 B．10 C．11 D．17 4．（25-26六年级下·陕西西安·期末）把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放（    ）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26六年级下·新疆阿勒泰·期末）一个不透明的纸箱里装有5个红球、6个蓝球和7个白球（球除颜色外均相同），每次摸出1个球，摸后不放回。要想确保摸出2个同色的球，至少要摸（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·重庆九龙坡·小升初真题）某小学一年级共有121名学生，至少有（    ）名学生在同一个月出生。 A．2 B．9 C．10 D．11 7．（25-26六年级上·山东潍坊·阶段检测）某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情况是：有买一本的、两本的、三本或四本的。问至少要去（    ）位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ A．14 B．15 C．16 D．17 8．（26-27六年级上·四川宜宾·期中）某小学一共有6个年级，一天放学时，8位小朋友一起走出校门，他们中至少有( )人是同一年级的。 9．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）一个不透明的盒子里装有10颗红球、12颗蓝球和14颗绿球。为了确保能同时满足“至少取出2颗红球”和“至少取出3颗蓝球”这两个条件，那么一次性至少需要从中摸出______颗球。 10．（2026·山东济宁·小升初真题）把若干只鸽子放进6个鸽笼里，要保证总有一个鸽笼里至少有4只鸽子，那么最少一共有( )只鸽子。 11．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）小琪的笔记本电脑的开机密码是一个八位数，密码包含1，2，3，4，5，6，7这七个数字（无其他数字、字母或符号）。那么，小琪的笔记本电脑开机密码一共有______种可能情况。 12．（25-26五年级上·四川乐山·期中）袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的5粒珠子，至少要摸出___________粒珠子，才能保证达到目的。 13．（2026六年级上·全国·专题练习）一个抽屉里装有大小相同但颜色不同的球若干个（球足够多）。已知球的颜色有粉、蓝、黄三种，至少要取出多少个球，才能保证有6个球是同色的？ 14．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 15．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）从一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下52张，最少摸出多少张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌？ 16．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）古代冬至有“画九”之说，“画九”是冬至后计算春暖日期的图（九九消寒图），有文字、圆圈、梅花3种图式。六（1）班每人都要画一幅九九消寒图（一幅图只能选择1种图式），无论他们怎么画，至少有16个人画的图式相同，则六（1）班至少有多少人？ 17．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 (1)总有一个班至少有多少名同学获奖？ (2)18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ (3)把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 18．（2026六年级上·全国·专题练习）有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30。现挑选出若干个小孩排成一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码的乘积小于100。最多能挑选出多少个孩子？说明理由。 19．（24-25六年级下·山东济南·期末）阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） 20．（24-25六年级下·山东济南·期末）把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( )。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 2026-2027学年人教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 课题学习《数学广角-鸽巢问题》「易错题专项讲练」 （思维导图+知识梳理+3个高频易错考点讲练+实战演练 共32题●解析版） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习易错讲练培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 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只恰恰是"最理想、最均匀"时的每笼数量，而结论要的正是"最均匀也挡不住的那一档"。这也是后面"为什么要尽量平均"的伏笔。 （三）"鸽巢"是按什么分类，就先定什么 鸽巢问题里，"鸽子"是被分的物体，"鸽笼"是分类的类目。判断谁是谁，只需问一句：题目按什么标准分类？按属相分，属相是鸽笼、人是鸽子；按颜色分，颜色是鸽笼、球是鸽子；按奇偶分，奇偶两类是鸽笼、数是鸽子。类目数就是除数，物体数就是被除数。 错解：13 位同学、12 种属相，所以 13÷2 = 6……1，至少有 7 人属相相同。 正解：按属相分类，属相 12 类是鸽笼，13 人是鸽子，13÷12 = 1……1，至少有 2 人属相相同。 二、核心结论：一条除法，两种情形 把 n 个物体放进 m 个鸽笼（n 大于 m），用 n÷m 得到的商和余数来判断"至少数"：有余数时，至少数 = 商 + 1；没有余数（正好分完）时，至少数 = 商。这是本单元唯一需要记的结论，也是错得最多的结论。 （一）有余数：商加 1 7÷3 = 2……1。先让每个鸽笼放 2 只，用掉 6 只，还剩 1 只；这 1 只无论放进哪个鸽笼，都会使那个鸽笼达到 3 只。所以至少 3 只。教材的除法算式与"余下 1 只不管飞进哪个鸽笼"的说明，讲的就是这个"加 1"的来源：加的不是余数，而是"必然被打破平均的那一只"。 （二）整除：不加 1 12 只鸽子飞进 3 个鸽笼，12÷3 = 4，没有余数。每笼正好 4 只，这已经是最均匀的分法，结论是"总有一个鸽笼至少飞进 4 只"，不是 5 只。判断标志很简单：余数是 0，就不加 1。教材的例题恰好是有余数的情形，学生练熟了"商 + 1"，一遇到整除题就条件反射地加 1，这是本单元第一大失分点。 （三）三条路径殊途同归，平均分是"最不利"的那一条 三条路：一是枚举，把 (0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、(1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3) 逐行列出来；二是平均分，先给每个鸽笼放 2 只，再把剩下的 1 只放进去；三是反证，"如果每个鸽笼最多飞进 2 只，那么 3 个鸽笼最多飞进 6 只，可现在有 7 只，所以总有一个鸽笼……"。三条路结论相同，但作用不同：枚举用来看清"有没有更均匀的分法"，平均分用来快速算出答案，反证用来说清"为什么不可能更少"。 教材末尾那句"想一想：小亮为什么要尽量平均"，问的正是这个道理。平均分让每个鸽笼的只数尽可能接近，也就让"最多的那个笼子"尽可能小。如果连这种最均匀的分法都会出现 3 只，那么任何别的分法只会更挤，结论自然成立。所以"尽量平均"不是为了让分得好看，而是为了找到对结论最不利的那种分法——最不利的情形都成立，结论才可靠。这就是最不利原则的雏形。 三、八个高频易错点 （一）用"商 + 余数"代替"商 + 1" 这是最隐蔽的一种错法，因为算式写得整整齐齐，只有答案是错的。8 只鸽子飞进 3 个鸽笼，8÷3 = 2……2，余数是 2，于是答"2 + 2 = 4 只"。但余下的 2 只不可能都塞进同一个已经装了 2 只的笼子才叫"至少"——把两只分别放进两个笼子，每个笼子就只有 3 只，比 4 只更少。所以正确答案是 3 只。 错解：8÷3 = 2……2，至少 2 + 2 = 4 只。 正解：8÷3 = 2……2，至少 2 + 1 = 3 只。 记住一句话：余数只说明"还有剩下的"，不说明"剩下的有多少"；剩下 1 只也好、剩下 2 只也好，都只能让某一个鸽笼多出 1 只。 （二）整除时也加 1 9 只鸽子飞进 3 个鸽笼，9÷3 = 3，余数为 0，正确答案是 3 只；若写成 3 + 1 = 4 只，等于把"正好分完"当成了"还有剩余"。12÷3 = 4 答 5、100÷20 = 5 答 6，都是同一个错误。 错解：9 只鸽子 3 个鸽笼，至少 3 + 1 = 4 只。 正解：9÷3 = 3，没有余数，至少 3 只。 （三）把商直接当答案，忘掉余数 7÷3 = 2……1，答"至少 2 只"。学生看到了商，就把商当结论，忽略余下那 1 只必然挤进某个鸽笼。凡是除法有余数，答案一定要在商的基础上加 1。 错解：7÷3 = 2……1，所以至少 2 只。 正解：2 + 1 = 3 只。 （四）鸽子和鸽笼颠倒，除数取错 任意找 13 位同学，其中至少有几人的属相相同？属相有 12 种，把 12 种属相当作 12 个鸽笼，13 位同学是 13 只鸽子，13÷12 = 1……1，所以至少有 2 人的属相相同。 错解：13÷2 = 6……1，至少 7 人属相相同；或答"至少有 1 人属相相同"。 正解：13÷12 = 1……1，至少有 2 人属相相同。 答"至少 1 人"表面上没错，但它没有提供任何新信息——13 个人本来每人都有一个属相，说"至少 1 人属相相同"等于没说。这类"正确但无用"的答案在考试中同样不得分。判断标准是：答案必须体现出"重复"，也就是至少数为 2 或更大。 （五）抽屉构造不完整，类目漏了一类 用鸽巢问题解题，第一步是把"分类标准"找全。类目必须穷尽所有情况、彼此不重叠，漏一类，除数就小一类，答案就会偏大。常见类目数量如下：属相 12 种，月份 12 个，一年天数按 365 天算，颜色按题目给定的种数，自然数按奇偶分 2 类，按除以 4 的余数分则有余 0、1、2、3 共 4 类。 任意给出 3 个不同的自然数，其中一定有 2 个数的和是偶数。这里的分法不是按大小，而是按奇偶：3 个数分别落入"奇数""偶数"两个鸽笼，3÷2 = 1……1，必有两个数同属一类。两个奇数相加是偶数，两个偶数相加也是偶数，所以这两个数的和一定是偶数。 错解：把 3 个数按"大、中、小"分类，或者只讨论"3 个连续自然数"。 正解：按奇偶分成 2 类，3 个数必有 2 个同奇偶，同奇偶两数之和为偶数。 注意题目里"不同的自然数"这个条件并不影响结论，它只是排除"两个数相同"的干扰；即使 3 个数相同，结论仍然成立。学生常把"不同"误当成分类依据，越想越乱。 （六）枚举没列全就下结论 枚举表按第一个鸽笼的只数从小到大、第二个鸽笼的只数从小到大排列：(0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、(1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3)。这个顺序保证了不重不漏，最后一行 (2,2,3) 正是"最均匀"的那一档。学生枚举时常只挑几种"看起来合理"的分法，比如只写 (3,3,1) 和 (2,2,3)，就断言"最少也是 2 只"，把 (0,0,7) 这种极端分法漏掉了。 错解：只列 (3,3,1)、(2,2,3)、(4,2,1)，看最小是 2，答至少 2 只。 正解：按顺序列全，最均匀的一档是 (2,2,3)，至少 3 只。 枚举在这里的作用不是"把所有情况都数完"，而是"找到最均匀的那一档"。所以列到 (2,2,3) 就可以停：再往下分只会更不均匀，最大笼子的数量只会更大。 （七）把"保证"当成"可能" "至少摸出几个球，才能保证有 2 个同色"，问的是"无论怎么摸都一定出现"，要按最不利的情况算：先让每种颜色各摸 1 个，一个同色都没有；此时再摸 1 个，它必然与前面某个球同色。所以红、黄、蓝 3 色时，答案是 3 + 1 = 4 个。学生常答"2 个"，理由是"运气好第一次就摸到两个同色"——那是"可能"，不是"保证"。 错解：摸 2 个就可能同色，所以至少摸 2 个。 正解：3 种颜色各摸 1 个仍无同色，第 4 个必然与前 3 个之一同色，故至少摸 4 个。 （八）逆向题：已知"至少数"，求物体数最少是多少 正问题给物体数求至少数，逆问题给至少数求物体数。方法是：先把每个鸽笼都放到"差一个就达标"的状态，即每笼放"至少数 − 1"个，再把最后 1 个放进去。公式是：物体数 = 鸽笼数 ×（至少数 − 1）+ 1。 例：红、黄、蓝、白 4 种颜色的球，要保证有 5 个同色，至少摸出多少个？每个颜色先摸 4 个，共 4×4 = 16 个，此时还没有 5 个同色；再摸 1 个，无论什么颜色都能凑够 5 个，所以至少 17 个。 错解：4 × 5 = 20 个；或 4 × 5 + 1 = 21 个。 正解：4 ×（5 − 1）+ 1 = 17 个。 四、四类常考变式与对应易错 （一）属相、月份、生日：鸽笼都是 12（或 365） 属相 12 种、月份 12 个，是最好用的两个鸽笼。13 人 → 至少 2 人同属相；13 人 → 至少 2 人同月；50 人 → 50÷12 = 4……2 → 至少 5 人同月。生日问题按一年 365 天算，366 人才能保证至少 2 人同一天生日。易错点在于把"12"写成"13"或把人数当成鸽笼：看到"13 位同学"就除以 13，等于把人和属相混为一谈。 （二）颜色球与扑克牌：先数清"类"到底有几类 颜色球的鸽笼数就是颜色种数。3 色保证 2 个同色 → 3 + 1 = 4 个；3 色保证 3 个同色 → 3×2 + 1 = 7 个。规律是"颜色数 ×（保证数 − 1）+ 1"。 扑克牌要格外小心大小王。一副 54 张牌有 4 种花色，但大王、小王不属于任何花色。要保证有 2 张同花色，最坏的情况是先把 2 张王都抽到，再把 4 种花色各抽 1 张，共 6 张仍无同花色，第 7 张才必然与某一张同花色，所以答案是 7 张，而不是 5 张。若题目明确"去掉大小王"，一共 52 张，答案才是 4 + 1 = 5 张。 错解：54 张牌保证 2 张同花色，4 + 1 = 5 张。 正解：含大小王时为 2 + 4 + 1 = 7 张；去掉大小王时为 5 张。 （三）奇偶与余数：分类标准藏在"和""差"里 题目问"和是偶数"，就按奇偶分 2 类；问"差是 4 的倍数"，就按除以 4 的余数分 4 类（余 0、1、2、3），因为同余两数之差必是 4 的倍数。5 个自然数 → 5÷4 = 1……1 → 至少有 2 个数余数相同 → 它们的差是 4 的倍数。易错点是没有把"和""差"的条件翻译成分类标准，直接拿个数去除以题目里出现的数字。 （四）书本、椅子、座位：最朴素的模型 教材"反思"里给的例子是"把 3 本书放进 2 个抽屉，总有 1 个抽屉至少放 2 本"，还有"4 个人坐 3 把椅子，总有 1 把椅子至少坐 2 人"。这类题的鸽笼一眼可见，出错多在结论表述上，把"总有一个抽屉至少 2 本"说成"每个抽屉都有 2 本"。 五、解题四步与答题模板 第一步，找：读题后先写清"把什么当作鸽子、把什么当作鸽笼、鸽笼一共有几类"，这一步写成一句话即可，例如"按属相分类，12 种属相是 12 个鸽笼"。 第二步，算：用鸽子数除以鸽笼数，写成带余数的除法算式，商和余数都要写出来。 第三步，断：看余数。有余数就在商上加 1，余数为 0 就直接取商。 第四步，答：套用完整句式"总有一个（鸽笼）里至少有（几）个（鸽子）"，"总有""同一个""至少"三个词一个都不能少。 以教材原题为例，规范答案可以写成：7÷3 = 2（只）……1（只），2 + 1 = 3（只）。因为每个鸽笼先放 2 只，还剩 1 只，这 1 只无论放进哪个鸽笼，总有一个鸽笼至少有 3 只鸽子。先列式、再说理、最后落结论，是这类题唯一稳妥的写法。 高频考点一 鸽巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·云南文山·期末）文兴小学开展垃圾分类回收活动，六（1）班同学一共收集了42个塑料瓶，放进4个回收箱里，不管怎么放，总有1个回收箱里至少放了( )个塑料瓶。 【答案】 11 【易错点拨】该题属于鸽巢问题，识别鸽巢与待分物品：4个回收箱是鸽巢，42个塑料瓶是待分物品；要计算总有一个鸽巢至少的物品数，所以用总物品数除以鸽巢数，得到商和余数；除法运算若有余数，那么至少数为商加1；若没有余数，至少数为商，据此计算结果。 【完整解答】（个）……（个），就是说平均每个回收箱放个塑料瓶，还剩个，剩下的个，不管怎么放都会使至少有一个回收箱的数量在个的基础上增加个，所以总有个回收箱里至少放了：（个）。 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·阶段检测）在2024年出生的1000个孩子中，至少有__________人在同一天过生日。 【答案】 3 【易错点拨】根据题意，首先需根据平年、闰年的判断方法确定 2024 年是平年还是闰年，从而得出全年天数；然后将孩子人数看作物体数，天数看作抽屉数，利用抽屉原理的计算方法“至少数＝商＋1”（有余数时）进行求解。 【完整解答】根据分析可得： 2024÷4＝506，故2024年是闰年，有366天； 把366天看作366个抽屉，1000个孩子看作1000个物体 1000÷366＝2（组）……268（人） 2＋1＝3（人） 所以至少有3人在同一天过生日。 【变式训练2】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 【答案】15种 因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同 【易错点拨】先通过乘法计算菜和主食的总搭配数，再把搭配数看作抽屉数，学生数看作物品数，用抽屉原理计算至少数。 【完整解答】搭配方式： （种） 把15种搭配看作15个抽屉，16名同学看作16个物品。 （名）（名） （名） 答：菜和主食有15种搭配方式，因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同。 【变式训练3】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）为落实五育并举，促进融合育人，博爱小学开展了丰富多彩的社团活动。六（1）班有19名同学参加了手工社团、舞蹈社团和羽毛球社团，每人可以参加一个社团、两个社团或三个社团。这些同学中至少有( )名同学参加的社团情况完全相同。 【答案】3 【易错点拨】只参加个社团：种（手工、舞蹈、羽毛球）；参加个社团：3种（手工舞蹈、手工羽毛球、舞蹈羽毛球）；参加个社团：种（手工舞蹈羽毛球）；总共有种不同方案。共有名同学，相当于个“物品“要放进个“抽屉”中。（名），那么从第个人开始一定有第三个人和其他两个人一样。 【完整解答】 （种） （名）（名） （名） 高频考点二 鸽巢问题进阶 【典例精讲】（24-25六年级下·广东佛山·期末）根据《国家学生体质健康标准》，六年级女生一分钟跳绳达到152下及以上为优秀。某校六年级进行一分钟跳绳测试，有90名女生获得优秀，这些获得优秀的女生一分钟跳绳次数最少的是160下，最多的是190下。这些获得优秀的女生中至少有( )人的跳绳成绩是相同的。 【答案】3 【易错点拨】先用190减去160加1计算出优秀女生跳绳成绩的所有可能不同取值的数量；再用总人数90人除以不同成绩的数量，根据商和余数判断至少有多少人成绩相同，如果有余数，那么至少的人数为商加1，如果没有余数则为商。 【完整解答】 （种） （人） 这些获得优秀的女生中至少有3人的跳绳成绩是相同的。 【变式训练1】（2024·陕西商洛·小升初真题）杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有________人是同一个月生日。 【答案】74 【易错点拨】一年有12个月，把12个月看作12个“抽屉”， 886名运动员相当于要放进这12个“抽屉”里的“物品”，先用运动员总数886除以月数12，即886÷12＝73（人）……10（人），这里73表示如果平均分配，每个月分配到73个人，余数是10表示分完后还剩下10个人。剩下的这10人，无论放到12个月中的哪一个月，都会使得那个月的人数至少（73＋1）人，即这些运动员中至少有（73＋1）人是同一个月生日，据此解答。 【完整解答】一年有12个月。 886÷12＝73（人）……10（人） 73＋1＝74（人） 即这些运动员中至少有74人是同一个月生日。 【变式训练2】（2026·河南新乡·小升初真题）小学生知识竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，打错一题倒扣1分，若有2026人参加，至少有( )人得分相同。 【答案】50 【易错点拨】全部答对：20＋20×3＝80分；全部打错：20－20×1＝0分；设答对x道，不答y道，答错z道；一共20道题，x＋y＋z＝20道；z＝20－x－y；得分：20＋3x＋y－z；把在z＝20－x－y代入得分，即20＋3x＋y－（20－x－y），化简得4x＋2y，最后化为2（2x＋y），2是偶数，所以得分是偶数。得分只能取0，2，4，6…80；0到80之间偶数有（80－0）÷2＋1个，求出偶数的个数；把偶数的个数看作抽屉数量，把人数看作元素；用元素÷抽屉数量，再加上1，即可求出至少有多少人得分相同。 【完整解答】全部答对：20＋20×3＝20＋60＝80（分） 全部答错：20－20×1＝20－20＝0（分） 设答对x道，不答y道，答错z道。 则x＋y＋z＝20，z＝20－x－y。 得分：20＋3x＋y－z ＝20＋3x＋y－（20－x－y） ＝20＋3x＋y－20＋x＋y ＝4x＋2y ＝2（2x＋y） 2（2x＋y）是偶数。得分是偶数，只能取0，2，4，6，8，…，80。 0~80之间偶数有： （80－0）÷2＋1 ＝80÷2＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 2026÷41＝49……17 49＋1＝50（人） 【变式训练3】（25-26六年级下·山东济南·期末）六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 【答案】 7名 【易错点拨】先确定不同的社团报名组合种类，因为每人至少报1项，所以需要分类枚举报1项、报2项、报3项的所有情况，得到总共有多少种不同的报名类型。 把不同的报名类型看作抽屉，45名同学看作元素，因为要让参加社团完全相同的人数最少，所以需要将元素尽可能平均分配到各个抽屉中，用到抽屉原理求解。 用总人数除以抽屉数，如果能整除，商就是所求的最小值；如果有余数，商加1就是所求的最小值。 【完整解答】只参加1个社团的选法有3种； 参加2个社团的选法有3种； 参加3个社团的选法有1种； 不同的报名组合共有：（种） （名）（名） （名） 答：至少有7名同学参加的社团是完全相同的。 高频考点三 最不利原则 【典例精讲】（25-26六年级下·内蒙古赤峰·期末）把黑、红、蓝三种颜色的袜子（除颜色外，其他都相同）各10只放入袋中。最少拿出_______只才能保证一定有同色的袜子。至少要拿出_______只才能保证一定有不同色的袜子。 【答案】 4 11 【易错点拨】要想保证一定有同色，先考虑最不凑巧的情况：前面每次拿的颜色都不一样，一共有3种颜色，先各拿1只，再拿1只就一定会和前面某一只颜色相同； 要想保证一定有不同色，先考虑最不凑巧的情况：把其中一种颜色的10只全都拿完，再拿1只，就一定能拿到另一种颜色。 【完整解答】3＋1＝4（只） 10＋1＝11（只） 【变式训练1】（25-26六年级上·陕西西安·阶段检测）抽屉里有10只黑袜子、6只白袜子、8只蓝袜子，那么需从抽屉中至少随机拿出___________只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出一只黑袜子，那么至少要再随机拿出___________只袜子才能保证凑成一双黑袜子。 【答案】 4 15 【易错点拨】一共有黑、白、蓝三种颜色的袜子，先每种颜色各取出1只，这时还没有同色的一双，再任意拿1只，就一定能和前面某一只颜色相同。 已经拿走1只黑袜子，要保证再凑出一双黑袜子，就要先把所有白袜子、蓝袜子全部取完，把最不利的情况都考虑到，之后再取1只，就一定都是黑袜子，凑成一双黑袜。 【完整解答】3＋1＝4（只） 6＋8＋1＝15（只） 【变式训练2】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）一把钥匙开一把锁，李师傅将7把钥匙和7把锁放乱了，他最多要试( )次才能保证找到对应的钥匙和锁。 【答案】21 【易错点拨】要保证找到所有钥匙和锁的对应关系，需要考虑最坏的情况。对于第一把锁，最多试6次就能确定钥匙（因为如果前6把都不对，第7把一定对，无需再试）；对于第二把锁，剩下6把钥匙，最多试5次；以此类推，直到第6把锁剩下2把钥匙，最多试1次；最后一把锁和一把钥匙必然对应，无需试。将每次最多试的次数相加即可。 【完整解答】根据最不利原则，配好第一把锁最多需要试（次）； 配好第二把锁最多需要试（次）； 配好第三把锁最多需要试（次）； 配好第四把锁最多需要试（次）； 配好第五把锁最多需要试（次）； 配好第六把锁最多需要试（次）； 第七把锁和剩下的钥匙必然匹配，不需要试。 总共需要的次数为：（次） 因此，他最多要试 21 次才能保证找到对应的钥匙和锁。 【变式训练3】（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）把红、黄、蓝三种颜色的袜子各6只混在一起。如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（    ）只才能保证一定有2双不同色的袜子。（指一双袜子为其中一种颜色，另一双袜子为另一种颜色。） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【易错点拨】采用最不利原则，先考虑最不符合要求的拿取情况，再加1只即可得到保证满足要求的最少数量。 【完整解答】最不利的拿取情况： 先拿出同一种颜色的全部6只袜子，再从剩下两种颜色中各拿1只，此时共拿了只，仍只有1种颜色有成双的袜子。 再拿1只，不管是剩下两种颜色中的哪一种，都能凑出另一双不同色的袜子，因此至少拿出只。 1．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）一副纸牌除掉大小王共有52张牌，四种花色，每种花色13张。假设从这52张牌中随机抽取13张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。 A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【易错点拨】已知有四种花色，可将其看作4个“抽屉”，要抽取13张 牌，将这13张牌放入4个“抽屉”中，用抽取的牌数除以花色的种类数，即13÷4＝3……1，其中商3表示平均每个花色能分到3张牌，余数1表示分完后还剩下1张牌，因为剩下的1张牌无论放到哪个花色中，都会使得这个花色的牌数变为3＋1＝4（张），所以至少有4张牌的花色一致。 【完整解答】（张）……1（张） （张） 即至少4张牌的花色一致。 2．（24-25六年级下·四川绵阳·期末）在任意的40个人中，至少有（    ）人的属相相同。 A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【易错点拨】把12个属相看作12个抽屉，40个人看作40个元素，从最差情况考虑，尽量平均分配每个抽屉的元素数来计算。 【完整解答】（人）（人） （人） 3．（25-26六年级下·新疆省直辖县级单位·期末）端午节有拴五彩绳的习俗。盒子里有白珠绳、粉珠绳、红珠绳三种：白珠绳有5根，粉珠绳有8根，红珠绳有4根。至少拿出（    ）根，才能保证一定拿到2根粉珠的五彩绳。 A．15 B．10 C．11 D．17 【答案】C 【易错点拨】考虑“最不利”的情况，先把所有非粉色的珠绳5＋4＝9根全部拿完，再拿2根，一定能拿到2根粉珠的五彩绳。 【完整解答】5＋4＋2＝11（根） 至少拿出11根，才能保证一定拿到2根粉珠的五彩绳。 4．（25-26六年级下·陕西西安·期末）把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放（    ）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【易错点拨】先用苹果总数除以抽屉数，若有余数，总有一个抽屉至少放的苹果数为商加1。 【完整解答】（个）（个） （个） 总有一个抽屉至少放4个苹果。 5．（25-26六年级下·新疆阿勒泰·期末）一个不透明的纸箱里装有5个红球、6个蓝球和7个白球（球除颜色外均相同），每次摸出1个球，摸后不放回。要想确保摸出2个同色的球，至少要摸（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【易错点拨】利用最不利原则思考，先考虑最坏的摸球情况，再计算确保摸到个同色球需要的次数。 【完整解答】球一共有种颜色，最不利的情况是前次分别摸出红、蓝、白三种颜色的球各个，此时再摸次，无论摸到哪种颜色，都一定和已有的个球颜色相同。 （次） 6．（2026·重庆九龙坡·小升初真题）某小学一年级共有121名学生，至少有（    ）名学生在同一个月出生。 A．2 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【易错点拨】一年共有12个月，将12个月看作12个抽屉，121名学生看作121个元素，将121名学生平均分配到12个月中，平均每个月有10名学生出生后，还剩余1名学生，剩余的1名学生无论分配到哪一个月，该月的学生的人数都会增加1名，因此同一个月出生的学生至少有11名。 【完整解答】（名）（名） （名） 所以，至少有11名学生在同一个月出生。 7．（25-26六年级上·山东潍坊·阶段检测）某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情况是：有买一本的、两本的、三本或四本的。问至少要去（    ）位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【易错点拨】先统计所有不同的购书情况，再根据最不利原则，先让每种购书情况各有1位学生，再多1位学生就能保证有两位同学买到的书相同。 【完整解答】买1本的不同情况：4种； 买2本的不同情况：种； 买3本的不同情况：4种； 买4本的不同情况：1种； 不同购书情况总数量：种； 至少需要学生数量：（位） 8．（26-27六年级上·四川宜宾·期中）某小学一共有6个年级，一天放学时，8位小朋友一起走出校门，他们中至少有( )人是同一年级的。 【答案】2 【易错点拨】要得到同一年级人数最少的情况，需将8个小朋友尽可能平均分到6个年级中。用总人数除以年级总数，得到平均分配的结果，剩余的2人无论分配到哪两个年级，这两个年级的人数都会变为2人，因此至少有2人是同一个年级的。 【完整解答】8÷6＝1（人）……2（人） 1＋1＝2（人） 所以，某小学一共有6个年级，一天放学时，8位小朋友一起走出校门，他们中至少有（2）人是同一年级的。 9．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）一个不透明的盒子里装有10颗红球、12颗蓝球和14颗绿球。为了确保能同时满足“至少取出2颗红球”和“至少取出3颗蓝球”这两个条件，那么一次性至少需要从中摸出______颗球。 【答案】28 【易错点拨】根据最不利原则，优先构造只满足“至少取出2颗红球”和“至少取出3颗蓝球”这两个条件中的其中一个条件、差一点满足另一个条件的极限情况，再加1。 【完整解答】两种坏情况对比： （1）取出14颗绿球、10颗红球和2颗蓝球，再加1颗蓝球， 14＋10＋2＋1＝27（颗） （2）取出14颗绿球、12颗蓝球和1颗红球，再加1颗红球， 14＋12＋1＋1＝28（颗） 我们要取更大的那个，因为要保证无论哪种最坏情况都成立，所以一次性至少需要从中摸出28颗球。 10．（2026·山东济宁·小升初真题）把若干只鸽子放进6个鸽笼里，要保证总有一个鸽笼里至少有4只鸽子，那么最少一共有( )只鸽子。 【答案】 【易错点拨】题干关键词是“保证”和“至少”，解题时需要运用最不利原则进行思考。即先考虑每个鸽笼里的鸽子数量都尽可能多，但都不满足“至少有 只”这一条件（即每个鸽笼最多放只），在此基础上再加只鸽子，就能保证总有一个鸽笼里至少有只鸽子。 【完整解答】根据抽屉原理的最不利原则： 要保证总有一个鸽笼里至少有只鸽子， 先假设每个鸽笼里都只有只鸽子 个鸽笼此时一共放了：（只） 在此基础上再放入只鸽子，无论放入哪个鸽笼，都会使该鸽笼的鸽子数达到只。 列综合算式如下： （只） 11．（26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测）小琪的笔记本电脑的开机密码是一个八位数，密码包含1，2，3，4，5，6，7这七个数字（无其他数字、字母或符号）。那么，小琪的笔记本电脑开机密码一共有______种可能情况。 【答案】141120 【易错点拨】密码为八位数，且必须包含至这七个不同的数字，说明这七个数字每个至少出现一次。由于密码共有个数位，而不同的数字只有个，根据抽屉原理，必然有且仅有一个数字重复出现一次，其余六个数字各出现一次。解题思路分为三步：首先确定哪个数字重复，其次确定重复数字的位置，最后排列其余数字。 【完整解答】第一步：确定重复的数字。 在这个数字中，任选个数字作为重复出现的数字，共有种选法。 第二步：确定重复数字的位置。 密码共有个数位，重复的数字需要占据其中的个数位。从个数位中选出个数位放置重复的数字，不考虑顺序（因为数字相同），选法数量为： （种） 第三步：排列其余数字。 剩下的个不同的数字，需要填入剩下的个数位中，这是一个全排列问题。排列方法数量为： （种） 第四步：计算总情况数。 根据乘法原理，将上述三步的结果相乘，得到总的密码可能情况数： （种） 小琪的笔记本电脑开机密码一共有种可能情况。 12．（25-26五年级上·四川乐山·期中）袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的5粒珠子，至少要摸出___________粒珠子，才能保证达到目的。 【答案】 17 【易错点拨】袋子里有4种颜色的珠子，要想保证摸出颜色相同的5粒珠子，需要考虑最不利的情况，即每种颜色的珠子都摸出了4粒，此时再摸出1粒，无论是什么颜色，都能保证一定有5粒珠子颜色相同。 【完整解答】（粒） 在此基础上再摸出1粒，就能保证有5粒颜色相同，16＋1＝17（粒） 13．（2026六年级上·全国·专题练习）一个抽屉里装有大小相同但颜色不同的球若干个（球足够多）。已知球的颜色有粉、蓝、黄三种，至少要取出多少个球，才能保证有6个球是同色的？ 【答案】16个 【易错点拨】要保证有6个球同色，需从最不利的情况考虑：先让每种颜色的球各取出5个，此时再取1个球，无论是什么颜色，都能满足要求。 【完整解答】（个） （个） 答：至少要取出16个球，才能保证有6个球是同色的。 14．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 【答案】 16名 【易错点拨】订阅的杂志可选A、B、C中的一种，所以共有种不同的订阅类别，这是鸽巢问题中的“鸽巢数”；总人数是鸽巢问题中的“物体数”；要计算至少数，那么用物体数除以鸽巢数，根据有余数除法的结果，判断至少数。 【完整解答】订阅杂志的种类共3种。 ……2 （名） 答：至少有名学生订阅的杂志相同。 15．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）从一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下52张，最少摸出多少张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌？ 【答案】 14张 【易错点拨】依题意可知：一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下张，要保证至少有两种花色，需考虑最不利的情况先把同一种花色的牌全部摸出，此时再摸张，必然是另一种花色；扑克牌共有种花色，每种花色的张数相等，所以用先计算出单种花色的总张数；先摸出了某一种花色的全部张数，那么此时再摸张，就必然会出现第二种花色，由此可计算最少摸牌的数量。 【完整解答】计算每种花色的牌数： （张） 最不利情况是先摸完种花色的张牌，再摸张必为其他花色： （张） 答：最少摸出张牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌。 16．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）古代冬至有“画九”之说，“画九”是冬至后计算春暖日期的图（九九消寒图），有文字、圆圈、梅花3种图式。六（1）班每人都要画一幅九九消寒图（一幅图只能选择1种图式），无论他们怎么画，至少有16个人画的图式相同，则六（1）班至少有多少人？ 【答案】46人 【易错点拨】首先考虑最不利情况：每种图式先都有尽可能多的人数但都不到16人，即每种图式先分配（16－1）人；再计算出最不利情况下的总人数，再加1人，即可求出六（1）班最少的总人数。 【完整解答】（16－1）×3＋1 ＝15×3＋1 ＝45＋1 ＝46（人） 答：六（1）班至少有46人。 17．（24-25六年级下·甘肃临夏·期末）王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 (1)总有一个班至少有多少名同学获奖？ (2)18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ (3)把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 【答案】(1)4名 (2)5名 (3)3本 【易错点拨】三道题均为鸽巢问题，解题时先确定鸽巢数量和待分物品总数量，用待分物品总数量除以鸽巢数量，若有余数，则至少数为商加1；若无余数，则至少数为商。 【完整解答】（1）（名）（名） （名） 答：总有一个班至少有4名同学获奖。 （2）（名）（名） （名） 答：至少有5名同学来自同一个社区。 （3）（本）（本） （本） 答：总有1名同学至少能分到3本科技读本。 18．（2026六年级上·全国·专题练习）有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30。现挑选出若干个小孩排成一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码的乘积小于100。最多能挑选出多少个孩子？说明理由。 【答案】18个 【易错点拨】找出1到30中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。 【完整解答】将1至30中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1×2）、（1×3）、（1×4）……（1×30） （2×3）、（2×4）、（2×5）……（2×30） …… （8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12） （9×10）、（9×11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10×1）、（1×18）、（18×2）、（2×17）、（17×3） 、（3×16）、（16×4）、（4×15）、（15×5）、（5×14）、（14×6）、（6×13）、（13×7）、（7×12）、（12×8）、（8×11）、（11×9）、（9×10），共出现1至18号，共18个孩子。 若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原理知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上）由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 答：最多能挑选出18个孩子。 19．（24-25六年级下·山东济南·期末）阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） 【答案】(1)10 (2)5名 (3)401名 【易错点拨】（1）分两类计算报名情况，报1个社团有4种选择，报2个社团有6种组合（如合唱和美术、合唱和足球、合唱和思维、美术和足球、美术和思维、足球和思维），两类相加得到总共有10种不同报名情况； （2）把10种报名情况看作10个抽屉，43名同学对应放入抽屉，用43除以10得商4余3，根据抽屉原理，至少有4＋1＝5（名）同学情况完全相同； （3）要保证某一种报名情况有41名同学，先给10种情况各分配40名同学，再加1名，总人数为10×40＋1＝401（名）。 【完整解答】（1）4＋6＝10（种） 答：每位同学可以有10种不同的报名参加社团的情况。 （2）43÷10＝4（名）……3（名） 4＋1＝5（名） 答：这个班中至少有5名同学参加社团的情况完全相同。 （3）10×（41－1）＋1 ＝10×40＋1 ＝400＋1 ＝401（名） 答：阳光小学六年级至少有401名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同。 20．（24-25六年级下·山东济南·期末）把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( )。 【答案】 14 54 根据把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，n÷m＝k，那么必有一个抽屉至少有（k＋1）个物品 【易错点拨】首先，这个大正方体的外表面一共有9×6＝54个小格，看作54个物品，把4种颜色看作4个抽屉，用物品数除以抽屉数求出商，再用商加1，即可求出答案。 【完整解答】9×6＝54（个） 54÷4＝13（个）……2（个） 13＋1＝14（个） 所以无论怎么涂，至少有14个小格涂的颜色相同。 我是这样想的：首先，这个大正方体的外表面一共有54个小格。然后，根据把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，n÷m＝k，那么必有一个抽屉至少有（k＋1）个物品。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，关键是分清需要放置的物体数及要放置的抽屉数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 2026-2027学年人教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 课题学习《数学广角-鸽巢问题》「易错题专项讲练」 (思维导图+知识梳理+3个高频易错考点讲练+实战演练共32题●原卷版) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习易错讲练培优复习使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.易错点拨：强化巩固易错，点细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点： 3.易错考点讲练：优选高频期中期末考察，点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴 题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版六上新教材内容制作、与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 【导图指引易错点拨】… 2 【知识梳理易错指引】… 2 一、读题：三个关键词必须读准.· …2 二、核心结论：一条除法，两种情形.· .3 三、八个高频易错点· 四、四类常考变式与对应易错...· 五、解题四步与答题模板.·。 【易错讲练真题汇总】..... 8 高频考点一鸽菓问题初步.· 高频考点二鸽巢问题进阶… 8 高频考点三最不利原则. 9 【能力提升真题拔尖】… 第1页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 导图指引易错点拔 人教版数学六年级上册专题：易错培优讲义 一、知识梳理 课题学习《数学广角-鸽巢问题》 二、核心公式】 ★1.鸽巢原理：把若干个物体放入若干个“鸽巢”中， ★鸽巢原理（至少2只） 总有一个“鸽巢”里至少放进2个物体」 数学广角 ★2.抽屉原理（推广）把若干个物体放入若干个“鸽巢”中， 鸽巢问题 物体数>鸽巢数→至少有1个鸽巢里≥2个 总有一个“鸽巢”里至少放进「总数÷鸽巢数]个物体。 7÷3=2(只)…1（只） ★3“至少”与“最多”：“至少”指保证一定出现的最小数量： ★抽屉原理（至少n只） “最多”指可能出现的最大数量。 至少数=「物体数÷鸽巢数] ★4，生活中应用：生日问题、握手问题、抽屉分类问题等。 7÷3=2(只)…1（只）→至少有1个鸽巢里≥3只 三、解题技巧 四、典型例题 7只鸽子飞进3个鸽笼， ①明确“鸽笼”（鸽巢）和“鸽子”（物体） 总有一个鸽笼至少要飞进3只鸽子。 例17只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼 ②确定总数和鸽笼数。 至少要飞进几只鸽子？为什么？ 3选择合适公式： 解：7÷3=2（只）…1（只） 角自国 核心理解 至少要飞进2+1=3（只）。 ·只问“至少2只”用鸽巢原理： 鸽子（物体）】 鸽笼（鸽巢） ·问“至少n只”用抽屉原理。 000 放入 ④列式计算，得出结论。 “合合俞 例2把13位同学分到若干小组中，至少有 ( )人的属相相同。为什么？ ⑤验证答案是否合理 000 12 3 解：共有12种属相。 凰牛虎免龙 不管怎么放，总有一个鸽笼里会多一些。 蛇 13÷12=1(组)…1（人） 至少有1+1=2（人）属相相同。马单猴鸡狗猪 A五、易错点拨 记住口诀： ①混清“至少”与“最多” ②忽略余数的影响 ③忽略“鸽巢”要固定 鸽巢原理要记牢，物体多于鸽巢数 “至少”是保证一定有的最小数量， 计算时要注意余数，不能只看商。 鸽巢（抽屉）的数量要确定，才能 至少一个有两个；抽屉原理更广泛， “最多”是可能出现的最大数量。 公式：至少数=商+1（若有余数） 正确应用公式。 总数除以鸽巢数，向上取整是关健 知识梳理易错指引 一、读题：三个关键词必须读准 (一)"总有“是存在性，不是"每一个"” 教材原句是"7只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进3只鸽子"。这句话断定的是"其中必 有某一个鸽笼，它的鸽子数不少于3”，而不是"每个鸽笼都有3只"。后者根本不可能：3个鸽笼各3 只要9只鸽子。教材枚举表里的第一种分法(0,0,7)就说明了这一点一第一个、第二个鸽笼一只 也没有，结论照样成立。 错解：总有一个鸽笼至少飞进3只，就是说每个鸽笼里至少有3只鸽子。 正解：至少有某一个鸽笼，里面的鸽子不少于3只；其余鸽笼可以是0只。 (二)“至少"是下限，不是平均数，也不是最多 教材借学生之口给出解释："至少就是使每个鸽笼的鸽子数都尽可能少。"换句话说，把7只鸽子怎么 分都行，把所有分法里"最挤的那个笼子"的鸽子数逐个记下来，其中最小的那个数就是"至少"。它回 第2页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 答的是"最少也会有这么多"，不是"平均每笼多少"，也不是"最多能有多少"。 错解：7÷3≈2.3，所以平均每个鸽笼2只多，至少2只。 正解：无论怎么分，总有一个鸽笼不少于3只，"至少"是3只。 把"至少"当成平均数的后果很严重：算出来的2只恰恰是"最理想、最均匀"时的每笼数量，而结论要 的正是"最均匀也挡不住的那一档”。这也是后面"为什么要尽量平均"的伏笔。 (三)"鸽巢"是按什么分类，就先定什么 鸽巢问题里，"鸽子“是被分的物体，"鸽笼“是分类的类目。判断谁是谁，只需问一句：题目按什么标 准分类？按属相分，属相是鸽笼、人是鸽子；按颜色分，颜色是鸽笼、球是鸽子；按奇偶分，奇偶两 类是鸽笼、数是鸽子。类目数就是除数，物体数就是被除数。 错解：13位同学、12种属相，所以13÷2=6…1，至少有7人属相相同。 正解：按属相分类，属相12类是鸽笼，13人是鸽子，13：12=1…1，至少有2人属相相同。 二、核心结论：一条除法，两种情形 把n个物体放进m个鸽笼(n大于m),用n÷m得到的商和余数来判断"至少数"：有余数时，至 少数=商+1；没有余数（正好分完)时，至少数=商。这是本单元唯一需要记的结论，也是错得 最多的结论。 (一)有余数：商加1 7÷3=2…1。先让每个鸽笼放2只，用掉6只，还剩1只；这1只无论放进哪个鸽笼，都会使 那个鸽笼达到3只。所以至少3只。教材的除法算式与"余下1只不管飞进哪个鸽笼"的说明，讲的 就是这个"加1“的来源：加的不是余数，而是“必然被打破平均的那一只”。 (二)整除：不加1 12只鸽子飞进3个鸽笼，12：3=4，没有余数。每笼正好4只，这已经是最均匀的分法，结论是"” 总有一个鸽笼至少飞进4只"，不是5只。判断标志很简单：余数是0，就不加1。教材的例题恰好 是有余数的情形，学生练熟了"商+1"，一遇到整除题就条件反射地加1，这是本单元第一大失分点。 (三)三条路径殊途同归，平均分是"最不利"的那一条 三条路：一是枚举，把(0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、（1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3)逐行列出来；二 是平均分，先给每个鸽笼放2只，再把剩下的1只放进去；三是反证，"如果每个鸽笼最多飞进2只， 第3页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 那么3个鸽笼最多飞进6只，可现在有7只，所以总有一个鸽笼…"。三条路结论相同，但作用 不同：枚举用来看清“有没有更均匀的分法“，平均分用来快速算出答案，反证用来说清"为什么不可能 更少"。 教材末尾那句"想一想：小亮为什么要尽量平均”，问的正是这个道理。平均分让每个鸽笼的只数尽可 能接近，也就让"最多的那个笼子"尽可能小。如果连这种最均匀的分法都会出现3只，那么任何别的 分法只会更挤，结论自然成立。所以“尽量平均“不是为了让分得好看，而是为了找到对结论最不利的 那种分法—最不利的情形都成立，结论才可靠。这就是最不利原则的雏形。 三、八个高频易错点 (一)用"商+余数"代替"商+1“ 这是最隐蔽的一种错法，因为算式写得整整齐齐，只有答案是错的。8只鸽子飞进3个鸽笼，8÷3= 2…2,余数是2，于是答"2+2=4只"。但余下的2只不可能都塞进同一个已经装了2只的笼 子才叫"至少”一把两只分别放进两个笼子，每个笼子就只有3只，比4只更少。所以正确答案是3 只。 错解：8÷3=2…2，至少2+2=4只。 正解：8÷3=2…2，至少2+1=3只。 记住一句话：余数只说明“还有剩下的”，不说明"剩下的有多少"；剩下1只也好、剩下2只也好， 都只能让某一个鸽笼多出1只。 (二)整除时也加1 9只鸽子飞进3个鸽笼，9÷3=3，余数为0，正确答案是3只；若写成3+1=4只，等于把” 正好分完"当成了"还有剩余"。12÷3=4答5、100÷20=5答6，都是同一个错误。 错解：9只鸽子3个鸽笼，至少3+1=4只。 正解：9÷3=3，没有余数，至少3只。 (三)把商直接当答案，忘掉余数 7÷3=2…1,答"至少2只”。学生看到了商，就把商当结论，忽略余下那1只必然挤进某个鸽笼。 凡是除法有余数，答案一定要在商的基础上加1。 错解：7÷3三2…1，所以至少2只。 正解：2+1=3只。 第4页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 (四)鸽子和鸽笼颠倒，除数取错 任意找13位同学，其中至少有几人的属相相同？属相有12种，把12种属相当作12个鸽笼，13位 同学是13只鸽子，13÷12=1…1，所以至少有2人的属相相同。 错解：13÷2=6…1，至少7人属相相同；或答"至少有1人属相相同"。 正解：13÷12=1…1，至少有2人属相相同。 答"至少1人“表面上没错，但它没有提供任何新信息一13个人本来每人都有一个属相，说"至少1 人属相相同“等于没说。这类"正确但无用“的答案在考试中同样不得分。判断标准是：答案必须体现出 “重复”，也就是至少数为2或更大。 (五)抽屉构造不完整，类目漏了一类 用鸽巢问题解题，第一步是把"分类标准"找全。类目必须穷尽所有情况、彼此不重叠，漏一类，除数 就小一类，答案就会偏大。常见类目数量如下：属相12种，月份12个，一年天数按365天算，颜 色按题目给定的种数，自然数按奇偶分2类，按除以4的余数分则有余0、1、2、3共4类。 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。这里的分法不是按大小，而是按奇偶： 3个数分别落入"奇数"偶数"两个鸽笼，3÷2=1…1，必有两个数同属一类。两个奇数相加是偶数， 两个偶数相加也是偶数，所以这两个数的和一定是偶数。 错解：把3个数按"大、中、小"分类，或者只讨论"3个连续自然数"。 正解：按奇偶分成2类，3个数必有2个同奇偶，同奇偶两数之和为偶数。 注意题目里“不同的自然数“这个条件并不影响结论，它只是排除“两个数相同"的干扰；即使3个数相 同，结论仍然成立。学生常把“不同“误当成分类依据，越想越乱。 (六)枚举没列全就下结论 枚举表按第一个鸽笼的只数从小到大、第二个鸽笼的只数从小到大排列：(0,0,7)、(0,1,6)、(0,2,5)、 (1,1,5)、(1,2,4)、(2,2,3)。这个顺序保证了不重不漏，最后一行(2,2,3)正是"“最均匀"的那一档。 学生枚举时常只挑几种"看起来合理"的分法，比如只写(3,3,1)和(2,2,3)，就断言“最少也是2只 ",把(0,0,7)这种极端分法漏掉了。 错解：只列(3,3,1)、(2,2,3)、(4,2,1)，看最小是2，答至少2只。 正解：按顺序列全，最均匀的一档是(2,2,3)，至少3只。 枚举在这里的作用不是"把所有情况都数完"，而是"找到最均匀的那一档"。所以列到(2,2,3)就可以 第5页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 停：再往下分只会更不均匀，最大笼子的数量只会更大。 (七)把”保证"当成"可能” “至少摸出几个球，才能保证有2个同色”，问的是“无论怎么摸都一定出现”，要按最不利的情况算： 先让每种颜色各摸1个，一个同色都没有；此时再摸1个，它必然与前面某个球同色。所以红、黄、 蓝3色时，答案是3+1=4个。学生常答"2个"，理由是"运气好第一次就摸到两个同色”一那 是“可能”，不是"保证”。 错解：摸2个就可能同色，所以至少摸2个。 正解：3种颜色各摸1个仍无同色，第4个必然与前3个之一同色，故至少摸4个。 (八)逆向题：已知"至少数"，求物体数最少是多少 正问题给物体数求至少数，逆问题给至少数求物体数。方法是：先把每个鸽笼都放到"差一个就达标'” 的状态，即每笼放”至少数一1"个，再把最后1个放进去。公式是：物体数=鸽笼数×（至少数一 1)+1。 例：红、黄、蓝、白4种颜色的球，要保证有5个同色，至少摸出多少个？每个颜色先摸4个，共 4×4=16个，此时还没有5个同色；再摸1个，无论什么颜色都能凑够5个，所以至少17个。 错解：4×5=20个；或4×5+1=21个。 正解：4×(5-1)+1三17个。 四、四类常考变式与对应易错 (一)属相、月份、生日：鸽笼都是12（或365） 属相12种、月份12个，是最好用的两个鸽笼。13人→至少2人同属相；13人→至少2人 同月；50人→50÷12=4…2→至少5人同月。生日问题按一年365天算，366人才能保证 至少2人同一天生日。易错点在于把"12"写成"13"或把人数当成鸽笼：看到"13位同学"“就除以13， 等于把人和属相混为一谈。 (二)颜色球与扑克牌：先数清"类"到底有几类 颜色球的鸽笼数就是颜色种数。3色保证2个同色→3+1=4个；3色保证3个同色→3×2+ 1=7个。规律是"颜色数×（保证数-1）+1“。 扑克牌要格外小心大小王。一副54张牌有4种花色，但大王、小王不属于任何花色。要保证有2张 第6页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 同花色，最坏的情况是先把2张王都抽到，再把4种花色各抽1张，共6张仍无同花色，第7张 才必然与某一张同花色，所以答案是7张，而不是5张。若题目明确"去掉大小王”，一共52张， 答案才是4+1=5张。 错解：54张牌保证2张同花色，4+1=5张。 正解：含大小王时为2+4+1=7张；去掉大小王时为5张。 (三)奇偶与余数：分类标准藏在“和""差"里 题目问"和是偶数”，就按奇偶分2类；问"差是4的倍数"，就按除以4的余数分4类（余0、1、 2、3),因为同余两数之差必是4的倍数。5个自然数→5÷4=1…1→至少有2个数余数相 同→它们的差是4的倍数。易错点是没有把“和"“差"的条件翻译成分类标准，直接拿个数去除以题 目里出现的数字。 (四)书本、椅子、座位：最朴素的模型 教材“反思“里给的例子是"把3本书放进2个抽屉，总有1个抽屉至少放2本"，还有“4个人坐3 把椅子，总有1把椅子至少坐2人”。这类题的鸽笼一眼可见，出错多在结论表述上，把“总有一个 抽屉至少2本"说成"每个抽屉都有2本”。 五、解题四步与答题模板 第一步，找：读题后先写清"把什么当作鸽子、把什么当作鸽笼、鸽笼一共有几类“，这一步写成一句 话即可，例如"按属相分类，12种属相是12个鸽笼"。 第二步，算：用鸽子数除以鸽笼数，写成带余数的除法算式，商和余数都要写出来。 第三步，断：看余数。有余数就在商上加1，余数为0就直接取商。 第四步，答：套用完整句式"总有一个（鸽笼）里至少有（几）个（鸽子）”，“总有"同一个"至少" 三个词一个都不能少。 以教材原题为例，规范答案可以写成：7÷3=2（只)…1（只），2+1=3（只)。因为每个鸽 笼先放2只，还剩1只，这1只无论放进哪个鸽笼，总有一个鸽笼至少有3只鸽子。先列式、再 说理、最后落结论，是这类题唯一稳妥的写法。 第7页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 易错讲练真题汇总 高频考点一鸽巢问题初步 【典例精讲】(25-26六年级下·云南文山·期末)文兴小学开展垃圾分类回收活动，六(1)班同学一共 收集了42个塑料瓶，放进4个回收箱里，不管怎么放，总有1个回收箱里至少放了( )个塑料瓶。 【变式训练1】(25-26六年级上·陕西西安阶段检测)在2024年出生的1000个孩子中，至少有 人在同一天过生日。 【变式训川练2】(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一 种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同 的。为什么？ 【变式训练3】(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)为落实五育并举，促进融合育人，博爱小学开展了丰 富多彩的社团活动。六(1)班有19名同学参加了手工社团、舞蹈社团和羽毛球社团，每人可以参加一个 社团、两个社团或三个社团。这些同学中至少有( )名同学参加的社团情况完全相同。 高频考点二鸽巢问题进阶 【典例精讲】(24-25六年级下·广东佛山·期末)根据《国家学生体质健康标准》，六年级女生一分钟 跳绳达到152下及以上为优秀。某校六年级进行一分钟跳绳测试，有90名女生获得优秀，这些获得优秀的 女生一分钟跳绳次数最少的是160下，最多的是190下。这些获得优秀的女生中至少有( )人的跳绳 成绩是相同的。 【变式训练1】(2024·陕西商洛·小升初真题)杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面 最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有 人是同一个月生日。 【变式训练2】(2026·河南新乡·小升初真题)小学生知识竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一 题给3分，不答给1分，打错一题倒扣1分，若有2026人参加，至少有( )人得分相同。 【变式训练3】(25-26六年级下·山东济南·期末)六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至 少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完 全相同的？ 第8页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知迟进练 高频考点三最不利原则 【典例精讲】(25-26六年级下·内蒙古赤峰·期末)把黑、红、蓝三种颜色的袜子（除颜色外，其他都 相同)各10只放入袋中。最少拿出只才能保证一定有同色的袜子。至少要拿出只才能保证 一 定有不同色的袜子。 【变式训练1】(25-26六年级上·陕西西安·阶段检测)抽屉里有10只黑袜子、6只白袜子、8只蓝袜子， 那么需从抽屉中至少随机拿出 只袜子，才能保证拿到一双同色的袜子。小明已经从抽屉中拿出 一只黑袜子，那么至少要再随机拿出 只袜子才能保证凑成一双黑袜子。 【变式训练2】(25-26六年级上·广东深圳·阶段检测)一把钥匙开一把锁，李师傅将7把钥匙和7把锁 放乱了，他最多要试( )次才能保证找到对应的钥匙和锁。 【变式训练3】(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)把红、黄、蓝三种颜色的袜子各6只混在一起。如果 让你闭上眼睛，从中至少拿出( )只才能保证一定有2双不同色的袜子。（指一双袜子为其中一 种颜色，另一双袜子为另一种颜色。) A.8 B.9 C.10 D.11 能力提升真题拔尖 1.(26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测)一副纸牌除掉大小王共有52张牌，四种花色，每种花色13 张。假设从这52张牌中随机抽取13张纸牌，则至少()张牌的花色一致。 A.4 B.2 C.3 D.5 2.(24-25六年级下·四川绵阳·期末)在任意的40个人中，至少有( )人的属相相同。 A.2 B.4 C.6 D.9 3.(25-26六年级下·新疆省直辖县级单位·期末)端午节有拴五彩绳的习俗。盒子里有白珠绳、粉珠绳、 红珠绳三种：白珠绳有5根，粉珠绳有8根，红珠绳有4根。至少拿出( )根，才能保证一定拿 到2根粉珠的五彩绳。 A.15 B.10 C.11 D.17 4.(25-26六年级下·陕西西安·期末)把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放( )个 苹果。 A.3 B.4 C.5 D.6 5.(25-26六年级下·新疆阿勒泰·期末)一个不透明的纸箱里装有5个红球、6个蓝球和7个白球（球 除颜色外均相同)，每次摸出1个球，摸后不放回。要想确保摸出2个同色的球，至少要摸( ) 次。 第9页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识进练 A.4 B.5 C.6 D.7 6.(2026·重庆九龙坡·小升初真题)某小学一年级共有121名学生，至少有( )名学生在同一 个月出生。 A.2 B.9 C.10 D.11 7.(25-26六年级上·山东潍坊·阶段检测)某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情 况是：有买一本的、两本的、三本或四本的。问至少要去( )位学生才能保证一定有两位同学买 到相同的书（每种书最多买一本）？ A.14 B.15 C.16 D.17 8.(26-27六年级上·四川宜宾·期中)某小学一共有6个年级，一天放学时，8位小朋友一起走出校门， 他们中至少有( )人是同一年级的。 9.(26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测)一个不透明的盒子里装有10颗红球、12颗蓝球和14颗绿球。 为了确保能同时满足“至少取出2颗红球”和“至少取出3颗蓝球”这两个条件，那么一次性至少需要从 中摸出颗球。 10.(2026·山东济宁·小升初真题)把若干只鸽子放进6个鸽笼里，要保证总有一个鸽笼里至少有4只 鸽子，那么最少一共有( )只鸽子。 11.(26-27六年级上·湖南长沙·阶段检测)小琪的笔记本电脑的开机密码是一个八位数，密码包含1， 2,3,4,5,6,7这七个数字（无其他数字、字母或符号）。那么，小琪的笔记本电脑开机密码一共有一一 种可能情况。 12.(25-26五年级上·四川乐山·期中)袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色 相同的5粒珠子，至少要摸出 粒珠子，才能保证达到目的。 13.(2026六年级上·全国·专题练习)一个抽屉里装有大小相同但颜色不同的球若千个（球足够多）。 己知球的颜色有粉、蓝、黄三种，至少要取出多少个球，才能保证有6个球是同色的？ 14.（24-25六年级下·甘肃临夏·期末)六(2)班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的 一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 第10页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 15.(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)从一副扑克牌中取出两张王牌，还剩下52张，最少摸出多少张 牌，才能保证其中至少有两种花色的纸牌？ 16.(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)古代冬至有“画九”之说，“画九”是冬至后计算春暖日期的图 (九九消寒图)，有文字、圆圈、梅花3种图式。六(1)班每人都要画一幅九九消寒图（一幅图只能选择 1种图式)，无论他们怎么画，至少有16个人画的图式相同，则六(1)班至少有多少人？ 17.(24-25六年级下·甘肃临夏·期末)王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创 新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 (1)总有一个班至少有多少名同学获奖？ (2)18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ (3)把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 第11页共12页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练 18.(2026六年级上·全国·专题练习)有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30。现挑选 出若干个小孩排成一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码的乘积小于100。最多能挑选出多少个孩子？说明理 由。 19.(24-25六年级下·山东济南·期末)阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4 个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2 个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加 社团的数量和种类都相同) (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参 加社团的数量和种类都相同) 20.(24-25六年级下·山东济南·期末)把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成一个大的正 方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至 少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( ）。 第12页共12页