小升初奥数培优04：裂项相消法（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优04：裂项相消法 学习目标 1.理解裂项相消的核心思想：把一个分数拆成两个分数相减（少数为相加）的形式，抵消 中间项，简化复杂分数求和计算。 2.掌握最常用的几类裂项公式，能准确识别题型特征。 3.熟练运用裂项相消法进行分数连加运算，提升简便运算能力。 4.区分不同裂项模型，避免裂项变形时系数出错。 运知识精讲 裂项相消（也叫拆分法），多用于一串分母为乘积形式、分子相同的分数相加，核心口诀： 裂差抵消，首尾留项 一、基础裂差公式（最常考) 模型1：分母是两个相邻自然数相乘，分子=1 1-1_1 n(n+1)nn+1 举：女3子6日6 原理：1L=n+1-n=1 nn+1 n(n+1)n(n+1) 模型2：分母两个数差为d(公差为d,分子=1) 第1页共10页 and片na 重点提醒：分母两数不相邻、差不为1时，一定买乘了很多同学容易漏掉这个系数！ 举例：女4两数差d-2 2女4分传 模型3：分子不是1，是常数k k 二、拓展裂项（小升初奥数拔高） 模型4：分母三个连续自然数相乘（三连裂项) 1 11 1 n(n+1(n+2)2n(n+1)(n+1)n+2 模型5：裂和（较少考，区分裂差） n+(n+1=1+1 n(n+1)nn+1 看到求和后是加号，属于裂和，不能当成裂差。 三、解题通用步骤 1.观察：一串分数相加，分母是两个（或多个）数相乘，分子统一： 2.判断：找到分母两个因数的差d,匹配裂项公式： 3.裂项：拆开每一项，注意系数： 4.相消：中间一正一负全部抵消： 第2页共10页 5.留首尾：只剩下第一项的头部、最后一项的尾部，再计算。 四、易错警示 1.抵消之后不是全部消光，一般剩下头、尾各一项： 2.分母两数差不是1，必须乘差的倒数； 3. 先化简分数，不要硬裂（比如2 可以先约分再裂)： 4×6 4. 三连裂项会剩下两项，不婴漏乘： 例题讲解 典型例题1 计算：，1t1t1+…+。1 1×22×3'3×49×10 跟踪训练1 1+1+…+ 计算：1x22x33×4"19x20 典型例题2 第3页共10页 %:女4*女66阳-*820 1 跟踪训练2 计算335与7*729 典型例题3 2t2+…t2 计算：1x33x55x7 9×11 跟踪训练3 。33 3 计算：2x55×88x1120×23 +…十 第4页共10页 典型例题4（拔高三连裂项） 1 .1 1 时算：1x2x32x3x43x4x5 8×9×10 跟踪训练4 1 1 计算：2x3×43×4x59×10x11 +…十 典型例题5（综合变形） 计第：1号2哈34幻++10品 0110 跟踪训练5 计算：22+3+4头+…+9 -61220 90 第5页共10页 亚0L并逆9熊 ×帅++(II×8+(8×+S×Z:煮b 9 9 9 (0肺×++(0IxL+x+bxI填卡g (6×9+…+(0Tx+x+(bx:中z 工 (00I×6++中x8+E×乙+(Z×:煮HT 区野帝： 刀 互0L并逆L熊 .(LIx9IxSI×虹++(9×Sxbx8+(S×市×8×Z+也x8x乙x:瓶H6 ,(8z×SzxZ++(8Tx0I×L+(0I×L×）+Lxhx:iH8 (Ez×1Zx6L）++(6×L×S+(L×9×8)+(S×8×:点H2 .(9Z×9Z×忆+“+(S××E+(也x8×Z+(8×ZxIH9 (zE×Te×0E)+“+(S×xE+(bx8xZ+8×Zx:5HS 亚0L并逆8熊 0z0=I+x)xx）++×E+8×乙+亿x#4揭虹 610Z (ISx6)++(Lx)+(SxE)+Ex 08×6z+ +(9×+(×E+(E×Z]+[I8x6z+…+xS+(S×+gx山HzL 乙 乙 (Zx0z++(9x+9xe+也×Z+8×:HT 乙 乙 ·0+-肾++平+1501 1：日1方1010 16已知2+2+34+t加对n=器 求正整数n的值。 17.已知 +合-其中ab均为正整数，求+的值 2 2 2 18.计算：1x3×5+3×5x7+(5x7×9++(25×27×29 1 1 1 1 19.若(×2+(2x3+(3×4++nxn+的值第一次大于0.99，求此时n的 最小值。 第9页共10页 1 1 1 1 20.计算：[1×2x3+(2×3×4+.+8x9×10]+[1×2+(2x3+3×4+… 第10页共10页 小升初奥数培优04：裂项相消法 学习目标 1. 理解裂项相消的核心思想：把一个分数拆成两个分数相减（少数为相加）的形式，抵消中间项，简化复杂分数求和计算。 2. 掌握最常用的几类裂项公式，能准确识别题型特征。 3. 熟练运用裂项相消法进行分数连加运算，提升简便运算能力。 4. 区分不同裂项模型，避免裂项变形时系数出错。 知识精讲 裂项相消（也叫拆分法），多用于一串分母为乘积形式、分子相同的分数相加，核心口诀：裂差抵消，首尾留项 一、基础裂差公式（最常考） 模型1：分母是两个相邻自然数相乘，分子=1 举例：， 原理： 模型2：分母两个数差为 d（公差为 d，分子=1） 重点提醒：分母两数不相邻、差不为1时，一定要乘 ，很多同学容易漏掉这个系数！ 举例：，两数差 模型3：分子不是1，是常数 k 二、拓展裂项（小升初奥数拔高） 模型4：分母三个连续自然数相乘（三连裂项） 模型5：裂和（较少考，区分裂差） 看到求和后是加号，属于裂和，不能当成裂差。 三、解题通用步骤 1. 观察：一串分数相加，分母是两个（或多个）数相乘，分子统一； 2. 判断：找到分母两个因数的差 d，匹配裂项公式； 3. 裂项：拆开每一项，注意系数； 4. 相消：中间一正一负全部抵消； 5. 留首尾：只剩下第一项的头部、最后一项的尾部，再计算。 四、易错警示 1. 抵消之后不是全部消光，一般剩下头、尾各一项； 2. 分母两数差不是1，必须乘差的倒数； 3. 先化简分数，不要硬裂（比如 可以先约分再裂）； 4. 三连裂项会剩下两项，不要漏乘 。 例题讲解 典型例题1 计算： 【详解】 观察：分母是相邻两个自然数相乘，分子为1，用公式 原式 去括号，中间项两两抵消： 【答案】 跟踪训练1 计算： 【详解】 原式 中间全部抵消 【答案】 典型例题2 计算： 【详解】 观察：分母两个因数差 ，用公式 原式 括号内中间项抵消： 【答案】 跟踪训练2 计算： 【详解】 分母差 原式 【答案】 典型例题3 计算： 【详解】 分子统一是2，分母两数差 ， 原式 中间抵消 【答案】 跟踪训练3 计算： 【详解】 分母两数差 ， 原式 【答案】 典型例题4（拔高三连裂项） 计算： 【详解】 三连裂项公式： 原式 中间抵消 【答案】 跟踪训练4 计算： 【详解】 原式 【答案】 典型例题5（综合变形） 计算： 提示：带分数拆分，整数部分单独相加，分数部分裂项 【详解】 先拆分带分数： 原式 整数和： 分数裂项： 总和： 【答案】 跟踪训练5 计算： 【详解】 拆分：整数部分 ；分数 整数和： 分数部分： 总和： 【答案】 奥数练习 1. 计算： + + + … + 。 【详解】每项可裂项： = − 。 原式 = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + … + ( − )。 中间项两两抵消，原式 = 1 − = 。 【答案】 2. 计算： + + + … + 。 【详解】分母两个因数相差 d = 3，用公式 = ( − )。 原式 = [(1 − ) + ( − ) + … + ( − )] = (1 − ) = × = 。 【答案】 3. 计算： + + + … + 。 【详解】分子为3，分母两因数相差3，故 = ( − ) = − 。 原式 = (1 − ) + ( − ) + … + ( − ) = 1 − = 。 【答案】 4. 计算： + + + … + 。 【详解】 = ( − ) = 2( − )。 原式 = 2[( − ) + ( − ) + … + ( − )] = 2( − ) = 2 × = 。 【答案】 5. 计算： + + + … + 。 【详解】三连裂项公式： = [ − ]。 原式 = [( − ) + ( − ) + … + ( − )] = ( − ) = × = 。 【答案】 6. 计算： + + + … + 。 【详解】 = [ − ]。 原式 = ( − ) = ( − ) = × = × = 。 【答案】 7. 计算： + + + … + 。 【详解】分母为公差2的等差数列，公式： = [ − ]。 原式 = ( − ) = ( − ) = × = 。 【答案】 8. 计算： + + + … + 。 【详解】分母为公差3的等差数列，公式： = [ − ]。 原式 = ( − ) = ( − ) = × = × = 。 【答案】 9. 计算： + + + … + 。 【详解】四连裂项公式： = [ − ]。 原式 = ( − ) = ( − ) = × = 。 【答案】 10. 计算：1 + 2 + 3 + 4 + … + 20。 【详解】先把每个带分数拆成整数与真分数。 整数部分：1 + 2 + 3 + … + 20 = (1 + 20) × 20 ÷ 2 = 210。 分数部分： + + + … + = + + + … + = − = 。 总和 = 210 + = 210。 【答案】210 11. 计算： + + + + … + 。 【详解】每项 = − 。 原式 = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + … + ( − ) = 1 + − − （隔项相消，只剩首两项与末两项） = − = − = = 。 【答案】 12. 计算：[ + + + … + ] + [ + + + … + ]。 【详解】第一个括号：分母为奇数、公差2， = − ， = 1 − = 。 第二个括号：分母相邻，= − = − = 。 原式 = + = + = 。 【答案】 13. 计算： + + + … + 。 【详解】 = ( − ) = 2( − )。 原式 = 2(1 − ) = 2 × = 。 【答案】 14. 解方程： + + + … + = 。 【详解】左边 = 1 − 。 所以 1 − = ，即 = 。 因此 x + 1 = 2020，x = 2019。 【答案】x = 2019 15. 计算： + + + + + … + 。 【详解】 = ， = ， = ，…， = 。 原式 = 1 − = 。 【答案】 16. 已知 + + + … + = ，求正整数 n 的值。 【详解】左边 = 1 − 。 所以 1 − = ，即 = 。 因此 n + 1 = 50，n = 49。 【答案】n = 49 17. 已知 + = ，其中 a、b 均为正整数，求 a² + b² 的值。 【详解】通分：(a + b) / (a × b) = ，即 6(a + b) = 5ab。 整理：5ab − 6a − 6b = 0，两边乘5配方得 (5a − 6)(5b − 6) = 36。 因 5a − 6、5b − 6 为整数且均被5除余4；36的正因数中被5除余4的只有4和9。 取 (5a − 6, 5b − 6) = (4, 9)，得 a = 2，b = 3（或交换）。 所以 a² + b² = 4 + 9 = 13。 【答案】13 18. 计算： + + + … + 。 【详解】 = [ − ] = […]。 原式 = ( − ) = ( − ) = × = 。 【答案】 19. 若 + + + … + 的值第一次大于 0.99，求此时 n 的最小值。 【详解】左边 = 1 − 。要求 1 − > 0.99， 即 < 0.01，也就是 n + 1 > 100。 第一次满足要求的最小整数 n = 100（此时 < 0.01）。 【答案】n 的最小值为 100 20. 计算：[ + + … + ] + [ + + + … + ]。 【详解】第一个括号三连裂项：= ( − ) = ( − ) = × = 。 第二个括号相邻裂项：= 1 − = 。 原式 = + = + = = 1。 【答案】（即 1） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $