小升初奥数培优15：余数问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优15：余数问题 学习目标 1. 理解余数的定义，掌握被除数、除数、商、余数之间的数量关系：被除数÷除数＝商……余数，牢记余数＜除数这一核心前提。 2. 熟练运用余数三大性质：和的余数、差的余数、积的余数，快速求复杂算式的余数。 3. 掌握同余的概念与判定方法，会用同余性质解决"除数未知"问题。 4. 学会周期求余与中国剩余定理基础三类模型，解决"物不知数"类余数应用题。 5. 能够区分不同余数题型，选择合适方法解题，提升数论推理能力。 知识精讲 一、余数基本关系式 如果整数 a 除以整数 b（b>0），商是 q，余数是 r，则： a ＝ b × q ＋ r 其中 0 ≤ r < b (1) 当 r＝0 时，a 能被 b 整除； (2) 余数一定小于除数，这是判断余数是否合法的第一标准。 变形公式： (1) b × q ＝ a − r (2) q ＝（a − r）÷ b (3) r ＝ a − b × q 二、余数三大运算性质（重点） 设 a ÷ b 余 r₁，c ÷ b 余 r₂： 1. 和的余数：（a＋c）÷ b 的余数 ＝（r₁＋r₂）÷ b 的余数。 2. 差的余数：（a−c）÷ b 的余数 ＝（r₁−r₂）÷ b 的余数；若 r₁ < r₂，余数要先加上除数再减。 3. 积的余数：（a×c）÷ b 的余数 ＝（r₁×r₂）÷ b 的余数。 口诀：和取余、差取余、积取余——先取余再运算，最后再除一次取余。 三、同余 若两个数 a、c 除以同一个除数 b 余数相同，就称 a、c 模 b 同余。 核心性质：如果 a 和 c 除以 b 同余，则 a − c 能被 b 整除。 题型用途：已知几个数除以同一个除数余数相同，求这个除数时，用"大数−小数"求差，再找差的公因数（通常取最大公因数）。 四、物不知数（中国剩余定理基础三类模型） 1. 余同加余：几个算式余数相同。 例：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 2。这个数可写成：[3,5,7] ＋ 2。 2. 差同减差（缺同减缺）：除数−余数的差相等。 例：除以 3 余 2（缺 1），除以 5 余 4（缺 1），除以 7 余 6（缺 1）。这个数可写成：[3,5,7] − 1。 3. 和同加和：除数＋余数的和相等。 例：除以 3 余 4（和为 7），除以 4 余 3（和为 7）。这个数可写成：[3,4] ＋ 7。 注：[　] 代表最小公倍数；不属于以上三类的，用枚举法逐一试算。 五、周期求余 乘方、连乘、一串重复数字（如 1111…1）求余数时，先找出余数循环的周期，再用"总个数 ÷ 周期"，看余数落在第几个位置即可。 例题讲解 【典型例题 1】 一个数除以 15，商是 12，余数最大是多少？此时被除数是多少？ 【详解】 余数必须小于除数，除数是 15，所以余数最大为 15 − 1 ＝ 14。 根据公式：被除数 ＝ 除数 × 商 ＋ 余数。 被除数：15 × 12 ＋ 14 ＝ 180 ＋ 14 ＝ 194。 【答案】 余数最大是 14，被除数是 194。 【跟踪训练 1】 一个数除以 18，商是 20，余数最大是多少？此时被除数是多少？ 【详解】 余数 ＜ 除数，除数是 18，所以余数最大为 18 − 1 ＝ 17。 被除数：18 × 20 ＋ 17 ＝ 360 ＋ 17 ＝ 377。 【答案】 余数最大是 17，被除数是 377。 【典型例题 2】 计算：234 ＋ 567 的和除以 7 的余数。 【详解】 先分别求两个数除以 7 的余数： 234 ÷ 7 ＝ 33 …… 3 567 ÷ 7 ＝ 81 …… 0 根据"和的余数"性质：（3 ＋ 0）÷ 7 的余数是 3。 验算：234 ＋ 567 ＝ 801，801 ÷ 7 ＝ 114 …… 3。 【答案】 余数是 3。 【跟踪训练 2】 求 125 ＋ 348 的和除以 6 的余数。 【详解】 125 ÷ 6 ＝ 20 …… 5 348 ÷ 6 ＝ 58 …… 0 余数相加：5 ＋ 0 ＝ 5，5 ＜ 6，所以余数为 5。 验算：125 ＋ 348 ＝ 473，473 ÷ 6 ＝ 78 …… 5。 【答案】 余数是 5。 【典型例题 3】 求 28 × 35 的积除以 9 的余数。 【详解】 先分别取余： 28 ÷ 9 ＝ 3 …… 1 35 ÷ 9 ＝ 3 …… 8 根据"积的余数"性质：1 × 8 ＝ 8，8 ＜ 9，余数是 8。 验算：28 × 35 ＝ 980，980 ÷ 9 ＝ 108 …… 8。 【答案】 余数是 8。 【跟踪训练 3】 求 42 × 57 的积除以 8 的余数。 【详解】 42 ÷ 8 ＝ 5 …… 2 57 ÷ 8 ＝ 7 …… 1 2 × 1 ＝ 2，2 ＜ 8。 验算：42 × 57 ＝ 2394，2394 ÷ 8 ＝ 299 …… 2。 【答案】 余数是 2。 【典型例题 4】 有一个整数，除 39、51、147，所得的余数都相同，求这个数最大是多少？ 【详解】 同一个数除几个数余数相同，则任意两数的差都能被这个除数整除。 51 − 39 ＝ 12 147 − 51 ＝ 96 求 12 和 96 的最大公因数：gcd（12, 96）＝ 12。 验证：39 ÷ 12 ＝ 3 …… 3；51 ÷ 12 ＝ 4 …… 3；147 ÷ 12 ＝ 12 …… 3。余数相同，符合条件。 【答案】 这个数最大是 12。 【跟踪训练 4】 一个整数除 85、109、145 的余数相同，这个数最大是多少？ 【详解】 求差：109 − 85 ＝ 24，145 − 109 ＝ 36。 求 24 和 36 的最大公因数：gcd（24, 36）＝ 12。 检验：85 ÷ 12 ＝ 7 …… 1；109 ÷ 12 ＝ 9 …… 1；145 ÷ 12 ＝ 12 …… 1。余数一致。 【答案】 这个数最大是 12。 【典型例题 5】 一个数，除以 4 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 2，这个数最小是多少？（大于 0） 【详解】 属于"余同加余"模型，余数都是 2。 先求 4、5、7 的最小公倍数：[4, 5, 7] ＝ 140。 最小数：140 ＋ 2 ＝ 142。 检验：142 ÷ 4 ＝ 35 …… 2；142 ÷ 5 ＝ 28 …… 2；142 ÷ 7 ＝ 20 …… 2。 【答案】 最小是 142。 【跟踪训练 5】 一个数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 8 余 1，这个数最小是多少？ 【详解】 余同，余数都是 1。 [3, 5, 8] ＝ 120。 最小数：120 ＋ 1 ＝ 121。 检验：121 ÷ 3 ＝ 40 …… 1；121 ÷ 5 ＝ 24 …… 1；121 ÷ 8 ＝ 15 …… 1。 【答案】 最小是 121。 【典型例题 6】 一个数除以 5 余 4，除以 6 余 5，除以 7 余 6，这个自然数最小是多少？ 【详解】 差同：5 − 4 ＝ 1，6 − 5 ＝ 1，7 − 6 ＝ 1，都缺 1。 [5, 6, 7] ＝ 210。 最小数：210 − 1 ＝ 209。 检验：209 ÷ 5 ＝ 41 …… 4；209 ÷ 6 ＝ 34 …… 5；209 ÷ 7 ＝ 29 …… 6。 【答案】 最小是 209。 【跟踪训练 6】 一个数除以 4 余 3，除以 7 余 6，除以 9 余 8，这个数最小是多少？ 【详解】 差同：4 − 3 ＝ 1，7 − 6 ＝ 1，9 − 8 ＝ 1，都缺 1。 [4, 7, 9] ＝ 252。 最小数：252 − 1 ＝ 251。 检验：251 ÷ 4 ＝ 62 …… 3；251 ÷ 7 ＝ 35 …… 6；251 ÷ 9 ＝ 27 …… 8。 【答案】 最小是 251。 【典型例题 7】 求 除以 7 的余数。 【详解】 找余数周期： ÷ 7 余 2； ÷ 7 余 4； ÷ 7 余 1； ÷ 7 余 2。 周期为：2、4、1，周期长度是 3。 20 ÷ 3 ＝ 6 …… 2，对应第 2 个余数，是 4。 【答案】 余数是 4。 【跟踪训练 7】 求 除以 5 的余数。 【详解】 找周期： ÷ 5 余 3； ÷ 5 余 4； ÷ 5 余 2； ÷ 5 余 1。 周期长度为 4。 18 ÷ 4 ＝ 4 …… 2，对应第 2 个余数，是 4。 【答案】 余数是 4。 奥数练习 【第 1 题】 求 除以 7 的余数。 【详解】 先找 除以 7 的余数周期： 余 2； 余 4； 余 1； 又余 2。 周期为 2、4、1，周期长度 3。 100 ÷ 3 ＝ 33 …… 1，对应周期第 1 个余数，是 2。 【答案】 余数是 2。 【第 2 题】 求 123456 × 789012 的积除以 11 的余数。 【详解】 分别取余： 123456 ÷ 11 ＝ 11223 …… 3 789012 ÷ 11 ＝ 71728 …… 4 根据"积的余数"性质：3 × 4 ＝ 12，12 ÷ 11 ＝ 1 …… 1。 所以原式除以 11 的余数是 1。 【答案】 余数是 1。 【第 3 题】 求 除以 11 的余数。 【详解】 找 除以 11 的余数周期： 余 3； 余 9； 余 5； 余 4； 余 1。 周期为 3、9、5、4、1，长度 5。 99 ÷ 5 ＝ 19 …… 4，对应周期第 4 个余数，是 4。 【答案】 余数是 4。 【第 4 题】 一个数除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3，求这个数最小是多少。 【详解】 三个余数不同，且不满足余同、差同、和同，用枚举法。 先找同时满足"除以 5 余 2"和"除以 7 余 3"的数： 除以 7 余 3 的数：3、10、17、24、31、38、45、52…… 其中除以 5 余 2 的最小是 17；这类数为 17 ＋ 35k（35 是 5 和 7 的公倍数）。 依次试：17 ÷ 3 余 2；17 ＋ 35 ＝ 52，52 ÷ 3 ＝ 17 …… 1，满足。 所以最小数是 52。 【答案】 这个数最小是 52。 【第 5 题】 有一个整数，除 42、66、102，所得余数都相同，求这个数最大是多少（大于 1）。 【详解】 同一个数除几个数余数相同，则任意两数的差都能被这个除数整除。 66 − 42 ＝ 24 102 − 66 ＝ 36 求 24 和 36 的最大公因数：gcd（24, 36）＝ 12。 验证：42 ÷ 12 ＝ 3 …… 6；66 ÷ 12 ＝ 5 …… 6；102 ÷ 12 ＝ 8 …… 6，余数相同。 【答案】 这个数最大是 12。 【第 6 题】 求 1×2×3×4×…×50 除以 7 的余数。 【详解】 1 到 50 的连乘中含 7、14、21、28、35、42、49 等 7 的倍数。 所以整个乘积是 7 的倍数，除以 7 能整除，余数为 0。 【答案】 余数是 0。 【第 7 题】 求 除以 9 的余数。 【详解】 先求 2023 除以 9 的余数：各位数字和 2＋0＋2＋3 ＝ 7，所以 2023 ≡ 7（mod 9）。 再找 除以 9 的余数周期：7、4、1，周期长度 3。 指数 2023 ÷ 3 ＝ 674 …… 1，对应周期第 1 个余数，是 7。 【答案】 余数是 7。 【第 8 题】 一个数除以 6 余 3，除以 8 余 5，除以 9 余 6，求这个数最小是多少。 【详解】 差同：6 − 3 ＝ 3，8 − 5 ＝ 3，9 − 6 ＝ 3，都是缺 3，用"差同减差"。 [6, 8, 9] ＝ 72（最小公倍数）。 最小数：72 − 3 ＝ 69。 验证：69 ÷ 6 ＝ 11 …… 3；69 ÷ 8 ＝ 8 …… 5；69 ÷ 9 ＝ 7 …… 6。 【答案】 这个数最小是 69。 【第 9 题】 求 除以 13 的余数。 【详解】 找 除以 13 的余数周期： 余 5； 余 12； 余 8； 余 1。 周期为 5、12、8、1，长度 4。 100 ÷ 4 ＝ 25，整除无余数，对应周期第 4 个余数，是 1。 【答案】 余数是 1。 【第 10 题】 求 1×3×5×7×…×99（1 到 99 的奇数连乘）除以 5 的余数。 【详解】 1 到 99 的奇数中含 5、15、25、35、45、55、65、75、85、95 等 5 的倍数。 所以整个奇数连乘是 5 的倍数，除以 5 能整除，余数为 0。 【答案】 余数是 0。 【第 11 题】 求 除以 7 的余数。 【详解】 找 除以 7 的余数周期：2、4、1，周期长度 3。 50 ÷ 3 ＝ 16 …… 2，对应周期第 2 个余数，是 4。 【答案】 余数是 4。 【第 12 题】 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 2，除以 7 余 4，求这个数最小是多少。 【详解】 三组余数不满足余同、差同、和同，用枚举法。 先找同时满足"除以 7 余 4"和"除以 6 余 2"的数： 除以 7 余 4 的数：4、11、18、25、32、39、46……其中除以 6 余 2 的最小是 32。 这类数为 32 ＋ 42k（42 是 6 和 7 的公倍数）。 依次试除以 5 的余数：32 余 2；74 余 4；116 余 1；158 余 3，满足。 所以最小数是 158。 【答案】 这个数最小是 158。 【第 13 题】 一个数除以 7 余 3，除以 9 余 5，除以 11 余 7，求这个数最小是多少。 【详解】 差同：7 − 3 ＝ 4，9 − 5 ＝ 4，11 − 7 ＝ 4，都是缺 4，用"差同减差"。 [7, 9, 11] ＝ 693。 最小数：693 − 4 ＝ 689。 验证：689 ÷ 7 ＝ 98 …… 3；689 ÷ 9 ＝ 76 …… 5；689 ÷ 11 ＝ 62 …… 7。 【答案】 这个数最小是 689。 【第 14 题】 求 除以 7 的余数。 【详解】 10 ≡ 3（mod 7），所以 与 除以 7 的余数相同。 除以 7 的余数周期：3、2、6、4、5、1，长度 6。 100 ÷ 6 ＝ 16 …… 4，对应周期第 4 个余数，是 4。 【答案】 余数是 4。 【第 15 题】 一个数除以 7 余 4，除以 8 余 5，除以 9 余 6，求这个数最小是多少。 【详解】 差同：7 − 4 ＝ 3，8 − 5 ＝ 3，9 − 6 ＝ 3，都是缺 3，用"差同减差"。 [7, 8, 9] ＝ 504。 最小数：504 − 3 ＝ 501。 验证：501 ÷ 7 ＝ 71 …… 4；501 ÷ 8 ＝ 62 …… 5；501 ÷ 9 ＝ 55 …… 6。 【答案】 这个数最小是 501。 【第 16 题】 求 除以 8 的余数。 【详解】 ＝ 9，9 ÷ 8 余 1，即 ≡ 1（mod 8）。 所以 ＝ ≡ ＝ 1（mod 8）。 【答案】 余数是 1。 【第 17 题】 有一个自然数，被 10 除余 4，被 12 除余 6，被 15 除余 9，求这个数最小是多少。 【详解】 差同：10 − 4 ＝ 6，12 − 6 ＝ 6，15 − 9 ＝ 6，都是缺 6，用"差同减差"。 [10, 12, 15] ＝ 60。 最小数：60 − 6 ＝ 54。 验证：54 ÷ 10 ＝ 5 …… 4；54 ÷ 12 ＝ 4 …… 6；54 ÷ 15 ＝ 3 …… 9。 【答案】 这个数最小是 54。 【第 18 题】 求 除以 6 的余数。 【详解】 除以 6 余 4； ＝ 16，除以 6 也余 4。 由此可知，4 的任意正整数次幂除以 6 的余数恒为 4。 所以 除以 6 的余数是 4。 【答案】 余数是 4。 【第 19 题】 求 除以 11 的余数。 【详解】 找 除以 11 的余数周期：7、5、2、3、10、4、6、9、8、1，长度 10。 50 ÷ 10 ＝ 5，整除无余数，对应周期第 10 个余数，是 1。 【答案】 余数是 1。 【第 20 题】 一个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，求这个数最小是多少。 【详解】 差同：3 − 2 ＝ 1，4 − 3 ＝ 1，5 − 4 ＝ 1，都是缺 1，用"差同减差"。 [3, 4, 5] ＝ 60。 最小数：60 − 1 ＝ 59。 验证：59 ÷ 3 ＝ 19 …… 2；59 ÷ 4 ＝ 14 …… 3；59 ÷ 5 ＝ 11 …… 4。 【答案】 这个数最小是 59。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优15：余数问题 学习目标 1. 理解余数的定义，掌握被除数、除数、商、余数之间的数量关系：被除数÷除数＝商……余数，牢记余数＜除数这一核心前提。 2. 熟练运用余数三大性质：和的余数、差的余数、积的余数，快速求复杂算式的余数。 3. 掌握同余的概念与判定方法，会用同余性质解决"除数未知"问题。 4. 学会周期求余与中国剩余定理基础三类模型，解决"物不知数"类余数应用题。 5. 能够区分不同余数题型，选择合适方法解题，提升数论推理能力。 知识精讲 一、余数基本关系式 如果整数 a 除以整数 b（b>0），商是 q，余数是 r，则： a ＝ b × q ＋ r 其中 0 ≤ r < b (1) 当 r＝0 时，a 能被 b 整除； (2) 余数一定小于除数，这是判断余数是否合法的第一标准。 变形公式： (1) b × q ＝ a − r (2) q ＝（a − r）÷ b (3) r ＝ a − b × q 二、余数三大运算性质（重点） 设 a ÷ b 余 r₁，c ÷ b 余 r₂： 1. 和的余数：（a＋c）÷ b 的余数 ＝（r₁＋r₂）÷ b 的余数。 2. 差的余数：（a−c）÷ b 的余数 ＝（r₁−r₂）÷ b 的余数；若 r₁ < r₂，余数要先加上除数再减。 3. 积的余数：（a×c）÷ b 的余数 ＝（r₁×r₂）÷ b 的余数。 口诀：和取余、差取余、积取余——先取余再运算，最后再除一次取余。 三、同余 若两个数 a、c 除以同一个除数 b 余数相同，就称 a、c 模 b 同余。 核心性质：如果 a 和 c 除以 b 同余，则 a − c 能被 b 整除。 题型用途：已知几个数除以同一个除数余数相同，求这个除数时，用"大数−小数"求差，再找差的公因数（通常取最大公因数）。 四、物不知数（中国剩余定理基础三类模型） 1. 余同加余：几个算式余数相同。 例：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 2。这个数可写成：[3,5,7] ＋ 2。 2. 差同减差（缺同减缺）：除数−余数的差相等。 例：除以 3 余 2（缺 1），除以 5 余 4（缺 1），除以 7 余 6（缺 1）。这个数可写成：[3,5,7] − 1。 3. 和同加和：除数＋余数的和相等。 例：除以 3 余 4（和为 7），除以 4 余 3（和为 7）。这个数可写成：[3,4] ＋ 7。 注：[　] 代表最小公倍数；不属于以上三类的，用枚举法逐一试算。 五、周期求余 乘方、连乘、一串重复数字（如 1111…1）求余数时，先找出余数循环的周期，再用"总个数 ÷ 周期"，看余数落在第几个位置即可。 例题讲解 【典型例题 1】 一个数除以 15，商是 12，余数最大是多少？此时被除数是多少？ 【跟踪训练 1】 一个数除以 18，商是 20，余数最大是多少？此时被除数是多少？ 【典型例题 2】 计算：234 ＋ 567 的和除以 7 的余数。 【跟踪训练 2】 求 125 ＋ 348 的和除以 6 的余数。 【典型例题 3】 求 28 × 35 的积除以 9 的余数。 【跟踪训练 3】 求 42 × 57 的积除以 8 的余数。 【典型例题 4】 有一个整数，除 39、51、147，所得的余数都相同，求这个数最大是多少？ 【跟踪训练 4】 一个整数除 85、109、145 的余数相同，这个数最大是多少？ 【典型例题 5】 一个数，除以 4 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 2，这个数最小是多少？（大于 0） 【跟踪训练 5】 一个数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 8 余 1，这个数最小是多少？ 【典型例题 6】 一个数除以 5 余 4，除以 6 余 5，除以 7 余 6，这个自然数最小是多少？ 【跟踪训练 6】 一个数除以 4 余 3，除以 7 余 6，除以 9 余 8，这个数最小是多少？ 【典型例题 7】 求 除以 7 的余数。 【跟踪训练 7】 求 除以 5 的余数。 奥数练习 【第 1 题】 求 除以 7 的余数。 【第 2 题】 求 123456 × 789012 的积除以 11 的余数。 【第 3 题】 求 除以 11 的余数。 【第 4 题】 一个数除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 3，求这个数最小是多少。 【第 5 题】 有一个整数，除 42、66、102，所得余数都相同，求这个数最大是多少（大于 1）。 【第 6 题】 求 1×2×3×4×…×50 除以 7 的余数。 【第 7 题】 求 除以 9 的余数。 【第 8 题】 一个数除以 6 余 3，除以 8 余 5，除以 9 余 6，求这个数最小是多少。 【第 9 题】 求 除以 13 的余数。 【第 10 题】 求 1×3×5×7×…×99（1 到 99 的奇数连乘）除以 5 的余数。 【第 11 题】 求 除以 7 的余数。 【第 12 题】 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 2，除以 7 余 4，求这个数最小是多少。 【第 13 题】 一个数除以 7 余 3，除以 9 余 5，除以 11 余 7，求这个数最小是多少。 【第 14 题】 求 除以 7 的余数。 【第 15 题】 一个数除以 7 余 4，除以 8 余 5，除以 9 余 6，求这个数最小是多少。 【第 16 题】 求 除以 8 的余数。 【第 17 题】 有一个自然数，被 10 除余 4，被 12 除余 6，被 15 除余 9，求这个数最小是多少。 【第 18 题】 求 除以 6 的余数。 【第 19 题】 求 除以 11 的余数。 【第 20 题】 一个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，求这个数最小是多少。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $