小升初奥数培优10：因数与倍数（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优10：因数与倍数 学习目标 1. 理解因数、倍数的意义，掌握找一个数因数和倍数的方法，明确因数与倍数的相互依存关系。 2. 熟练掌握 2、3、5 的倍数特征，拓展认识 4、8、9、11 的倍数判定方法。 3. 理解质数、合数与 1 的分类标准，会分解质因数，能利用分解质因数解决乘积、分组问题。 4. 掌握最大公因数、最小公倍数的含义，会用列举法、短除法求最大公因数和最小公倍数，熟记两数乘积与最大公因数、最小公倍数的关系：。 5. 能够运用因数倍数知识解决实际问题：分组问题、周期问题、余数问题、乘积末尾 0 的个数问题。 6. 培养数感，学会从数的特征入手分析奥数题型，理清解题逻辑。 知识精讲 1. 因数与倍数基础 (1) 定义：在非 0 自然数范围内，如果 （a、b、c 都是不为 0 的自然数），那么 a 是 b 和 c 的倍数，b 和 c 是 a 的因数。 (2) 注意：因数和倍数相互依存，不能单独说某一个数是倍数或者因数；研究范围只讨论非 0 自然数。 (3) 因数特点：一个数的因数个数是有限的；最小因数是 1，最大因数是它本身。 (4) 倍数特点：一个数的倍数个数是无限的；最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (5) 找因数方法：成对枚举、除法试除；找倍数方法：这个数依次乘 1、2、3…… 2. 常见数的倍数特征 倍数 判定特征 2 的倍数 个位是 0、2、4、6、8（偶数）；不是 2 的倍数叫奇数 5 的倍数 个位是 0 或 5 同时是 2、5 的倍数 个位一定是 0 3（9）的倍数 各个数位上数字之和是 3（9）的倍数 4 的倍数 最后两位组成的两位数是 4 的倍数 8 的倍数 最后三位组成的三位数是 8 的倍数 11 的倍数 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）是 0 或 11 的倍数 3. 质数、合数与分解质因数 (1) 质数（素数）：只有 1 和它本身 2 个因数。最小质数是 2（也是唯一的偶质数）。 (2) 合数：除了 1 和本身，还有别的因数，至少 3 个因数。最小合数是 4。 (3) 1：既不是质数，也不是合数。 (4) 质因数：一个合数写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。 (5) 分解质因数：把合数写成质数相乘的形式，常用短除法。例如 。 奥数推论：求一个合数因数总个数 把质因数指数全部加 1 再相乘。 例如 ，因数个数 = 个。 4. 最大公因数与最小公倍数 (1) 公因数、最大公因数（gcd）：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的一个叫最大公因数。 (2) 互质数：公因数只有 1 的两个数。常见互质情况：相邻自然数互质；1 和任意自然数互质；两个不同质数互质。 (3) 公倍数、最小公倍数（lcm）：几个数公有的倍数叫公倍数，最小的一个叫最小公倍数；公倍数有无穷多个。 (4) 短除法口诀：求最大公因数——只乘左边公共除数；求最小公倍数——左边除数连同底下的商一起乘。 核心公式（仅适用于两个数） 三个及以上数字不适用此公式。 特殊关系快速判断： (1) 倍数关系：大数即最小公倍数，小数即最大公因数。 (2) 互质关系：最大公因数 = 1，最小公倍数 = 两数乘积。 5. 奥数常考模型 (1) 乘积末尾连续 0 的个数：看因数里有多少组 ；连续自然数中因数 2 的数量一定多于 5，只统计质因数 5 的个数。 (2) 分组分配问题：分成若干数量相同的组、无剩余——一般求最大公因数。 (3) 再次重合 / 同一天发生 / 重新排列：——一般求最小公倍数。 例题讲解 典型例题 1 题目：一个四位数 ，它同时是 2、3、5 的倍数，求出满足条件的所有四位数。 跟踪训练 1 题目：一个五位数 ，同时是 2、3、5 的倍数，写出所有符合条件的五位数。 典型例题 2 题目：分解质因数 1260，并求出 1260 一共有多少个因数。 跟踪训练 2 题目：分解质因数 1800，并且计算 1800 一共有多少个因数。 典型例题 3 题目：已知两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 72，其中一个数是 18，求另一个数。 跟踪训练 3 题目：两个自然数最大公因数是 4，最小公倍数是 48，其中一个数是 16，求另外一个数。 典型例题 4 题目：计算算式 1×2×3×4×…×40 的乘积末尾一共有多少个连续的 0？ 跟踪训练 4 题目： 的乘积末尾有多少个连续的 0？ 典型例题 5 题目：有两根彩带，一根长 48 分米，一根长 36 分米，把它们截成长度相等的小段，没有剩余，每小段最长多少分米？一共可以截成多少段？ 跟踪训练 5 题目：把长 60 厘米、宽 45 厘米的长方形纸片，裁成若干个大小相同的正方形，不能有剩余，正方形边长最大是多少厘米？一共裁多少个？ 典型例题 6 题目：甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次图书馆，今天两人同时在图书馆相遇，再过多少天他们会再次同一天到图书馆？ 跟踪训练 6 题目：公交车 A 每 10 分钟发一班，公交车 B 每 15 分钟发一班，早上 7:00 同时发车，下一次同时发车是几点？ 奥数练习 题目 1：两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 360，且两数都在 20～100 之间。求这两个数。 题目 2：计算 1×2×3×4×…×100 的乘积，末尾连续有多少个 0？ 题目 3：恰好有 6 个因数的最小自然数是多少？ 题目 4：在 1～100 的自然数中，因数个数为奇数的数一共有多少个？ 题目 5：三个不同的两位数，它们的最大公因数是 10，最小公倍数是 180。求这三个数。 题目 6：两个质数的和是 20，积是 91，这两个质数各是多少？ 题目 7：三个连续自然数的乘积是 210，这三个数分别是多少？ 题目 8：在 1～200 的自然数中，因数个数最多的数是多少？它有几个因数？ 题目 9：1×2×3×…×n 的乘积末尾恰好有 25 个连续的 0，n 最小是多少？ 题目 10：一个三位数同时是 2、3、5 的倍数，且含有因数 11，这样的数最小是多少？ 题目 11：甲、乙两数的最大公因数是 15，最小公倍数是 450，已知甲数是 75，求乙数。 题目 12：求所有小于 100 且恰好有 3 个因数的自然数之和。 题目 13：在小于 100 的自然数中，能被 3 整除但不能被 9 整除的数一共有多少个？ 题目 14：用长、宽都是整厘米数的长方形，面积是 420 平方厘米，长与宽的差最小是多少厘米？ 题目 15：三个互不相同的质数相乘的积小于 100，这样的积最大是多少？ 题目 16：甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次。某天三人同时去图书馆，至少再过多少天三人又同时去？ 题目 17：已知 A＝2⁴×3²×5，求 A 的因数个数及所有因数之和。 题目 18：计算 2×4×6×8×…×50 的乘积，末尾有多少个连续的 0？ 题目 19：把 21 拆成两个质数的和，要使这两个质数的乘积最大，这两个质数各是多少？ 题目 20：两个自然数的最大公因数是 12，最小公倍数是 180，且这两个数都是合数。求这两个数。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优10：因数与倍数 学习目标 1. 理解因数、倍数的意义，掌握找一个数因数和倍数的方法，明确因数与倍数的相互依存关系。 2. 熟练掌握 2、3、5 的倍数特征，拓展认识 4、8、9、11 的倍数判定方法。 3. 理解质数、合数与 1 的分类标准，会分解质因数，能利用分解质因数解决乘积、分组问题。 4. 掌握最大公因数、最小公倍数的含义，会用列举法、短除法求最大公因数和最小公倍数，熟记两数乘积与最大公因数、最小公倍数的关系：。 5. 能够运用因数倍数知识解决实际问题：分组问题、周期问题、余数问题、乘积末尾 0 的个数问题。 6. 培养数感，学会从数的特征入手分析奥数题型，理清解题逻辑。 知识精讲 1. 因数与倍数基础 (1) 定义：在非 0 自然数范围内，如果 （a、b、c 都是不为 0 的自然数），那么 a 是 b 和 c 的倍数，b 和 c 是 a 的因数。 (2) 注意：因数和倍数相互依存，不能单独说某一个数是倍数或者因数；研究范围只讨论非 0 自然数。 (3) 因数特点：一个数的因数个数是有限的；最小因数是 1，最大因数是它本身。 (4) 倍数特点：一个数的倍数个数是无限的；最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (5) 找因数方法：成对枚举、除法试除；找倍数方法：这个数依次乘 1、2、3…… 2. 常见数的倍数特征 倍数 判定特征 2 的倍数 个位是 0、2、4、6、8（偶数）；不是 2 的倍数叫奇数 5 的倍数 个位是 0 或 5 同时是 2、5 的倍数 个位一定是 0 3（9）的倍数 各个数位上数字之和是 3（9）的倍数 4 的倍数 最后两位组成的两位数是 4 的倍数 8 的倍数 最后三位组成的三位数是 8 的倍数 11 的倍数 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）是 0 或 11 的倍数 3. 质数、合数与分解质因数 (1) 质数（素数）：只有 1 和它本身 2 个因数。最小质数是 2（也是唯一的偶质数）。 (2) 合数：除了 1 和本身，还有别的因数，至少 3 个因数。最小合数是 4。 (3) 1：既不是质数，也不是合数。 (4) 质因数：一个合数写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。 (5) 分解质因数：把合数写成质数相乘的形式，常用短除法。例如 。 奥数推论：求一个合数因数总个数 把质因数指数全部加 1 再相乘。 例如 ，因数个数 = 个。 4. 最大公因数与最小公倍数 (1) 公因数、最大公因数（gcd）：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的一个叫最大公因数。 (2) 互质数：公因数只有 1 的两个数。常见互质情况：相邻自然数互质；1 和任意自然数互质；两个不同质数互质。 (3) 公倍数、最小公倍数（lcm）：几个数公有的倍数叫公倍数，最小的一个叫最小公倍数；公倍数有无穷多个。 (4) 短除法口诀：求最大公因数——只乘左边公共除数；求最小公倍数——左边除数连同底下的商一起乘。 核心公式（仅适用于两个数） 三个及以上数字不适用此公式。 特殊关系快速判断： (1) 倍数关系：大数即最小公倍数，小数即最大公因数。 (2) 互质关系：最大公因数 = 1，最小公倍数 = 两数乘积。 5. 奥数常考模型 (1) 乘积末尾连续 0 的个数：看因数里有多少组 ；连续自然数中因数 2 的数量一定多于 5，只统计质因数 5 的个数。 (2) 分组分配问题：分成若干数量相同的组、无剩余——一般求最大公因数。 (3) 再次重合 / 同一天发生 / 重新排列：——一般求最小公倍数。 例题讲解 典型例题 1 题目：一个四位数 ，它同时是 2、3、5 的倍数，求出满足条件的所有四位数。 【详解】 ① 同时是 2、5 的倍数，个位只能是 0，所以末位 = 0，这个数变为 ； ② 是 3 的倍数，要求各位数字之和是 3 的倍数：； ③ 是 3 的倍数， 取 0~9：、、、，均为 3 的倍数。 所以十位可以取：0、3、6、9。 【答案】 满足条件的四位数：2700、2730、2760、2790。 跟踪训练 1 题目：一个五位数 ，同时是 2、3、5 的倍数，写出所有符合条件的五位数。 【详解】 ① 同时是 2 和 5 的倍数，个位只能是 0，数字变为 ； ② 数字总和：，需要是 3 的倍数； ③ 是 3 的倍数， 取 0~9：、、。 所以 可取 1、4、7。 【答案】 41130、44130、47130。 典型例题 2 题目：分解质因数 1260，并求出 1260 一共有多少个因数。 【详解】 第一步：短除法分解质因数 第二步：因数总个数公式——指数全部加 1 再相乘 因数个数 。 【答案】 ；一共有 36 个因数。 跟踪训练 2 题目：分解质因数 1800，并且计算 1800 一共有多少个因数。 【详解】 因数个数 。 【答案】 ；一共有 36 个因数。 典型例题 3 题目：已知两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 72，其中一个数是 18，求另一个数。 【详解】 利用公式 ，设另一个数为 x： 检验：，，符合题意。 【答案】 另一个数是 24。 跟踪训练 3 题目：两个自然数最大公因数是 4，最小公倍数是 48，其中一个数是 16，求另外一个数。 【详解】 检验：，，满足条件。 【答案】 另一个数是 12。 典型例题 4 题目：计算算式 1×2×3×4×…×40 的乘积末尾一共有多少个连续的 0？ 【详解】 末尾 0 由一组 产生；连续自然数里因数 2 远多于因数 5，所以只统计质因数 5 的个数。 40 以内 5 的倍数：5、10、15、20、25、30、35、40，共 8 个数； 其中 ，含有 2 个质因数 5，其余每个只含 1 个 5； 总数 = （其中 25 贡献 2 个，其余 7 个 5 的倍数各贡献 1 个）。 【答案】 乘积末尾一共有 9 个连续的 0。 跟踪训练 4 题目： 的乘积末尾有多少个连续的 0？ 【详解】 统计质因数 5：5、10、15、20、25、30，共 6 个数；其中 含有 2 个 5。 总个数 = 。 【答案】 乘积末尾一共有 7 个连续的 0。 典型例题 5 题目：有两根彩带，一根长 48 分米，一根长 36 分米，把它们截成长度相等的小段，没有剩余，每小段最长多少分米？一共可以截成多少段？ 【详解】 截成相等小段、无剩余，求最长长度，就是求 48 和 36 的最大公因数。 短除法求得：。 段数 = （段）。 【答案】 每小段最长 12 分米；一共截成 7 段。 跟踪训练 5 题目：把长 60 厘米、宽 45 厘米的长方形纸片，裁成若干个大小相同的正方形，不能有剩余，正方形边长最大是多少厘米？一共裁多少个？ 【详解】 求正方形最大边长，即求 60 和 45 的最大公因数：。 个数 = （个）。 【答案】 正方形边长最大 15 厘米；一共裁 12 个。 典型例题 6 题目：甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次图书馆，今天两人同时在图书馆相遇，再过多少天他们会再次同一天到图书馆？ 【详解】 再次同时到达，间隔天数是 6 和 8 的最小公倍数。 。 【答案】 再过 24 天 两人再次在同一天到图书馆。 跟踪训练 6 题目：公交车 A 每 10 分钟发一班，公交车 B 每 15 分钟发一班，早上 7:00 同时发车，下一次同时发车是几点？ 【详解】 求最小公倍数：。 7 时 + 30 分 = 7 时 30 分。 【答案】 下一次同时发车是 7:30。 奥数练习 题目 1：两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 360，且两数都在 20～100 之间。求这两个数。 【详解】设两数为 6a、6b（a、b 互质）。由公式“两数之积＝最大公因数×最小公倍数”，得 6a×6b＝6×360，即 ab＝60。60 的互质因数对有：(1,60)、(3,20)、(4,15)、(5,12)，对应的两数分别为 (6,360)、(18,120)、(24,90)、(30,72)。其中两数都在 20～100 之间的只有 (24,90) 和 (30,72)。 【答案】24 和 90，或 30 和 72。 题目 2：计算 1×2×3×4×…×100 的乘积，末尾连续有多少个 0？ 【详解】乘积末尾的 0 由一对因数（2，5）产生，连续自然数中因数 2 的数量远多于 5，只需统计质因数 5 的个数。1～100 中 5 的倍数有 100÷5＝20 个，25 的倍数有 100÷25＝4 个，125 的倍数没有。所以质因数 5 的总个数＝20＋4＝24。 【答案】24 个。 题目 3：恰好有 6 个因数的最小自然数是多少？ 【详解】因数个数为 6，有两种分解：6＝5＋1（形如 p⁵），或 6＝(2＋1)×(1＋1)（形如 p²×q）。最小可能：2⁵＝32；2²×3＝12。取较小的 12。检验：12 的因数有 1、2、3、4、6、12，恰好 6 个。 【答案】12。 题目 4：在 1～100 的自然数中，因数个数为奇数的数一共有多少个？ 【详解】只有完全平方数的因数个数是奇数（因数成对出现，完全平方数中间有一组相同的因数）。1～100 中的完全平方数为 1²、2²、3²、…、10²，共 10 个。 【答案】10 个。 题目 5：三个不同的两位数，它们的最大公因数是 10，最小公倍数是 180。求这三个数。 【详解】设三数为 10a、10b、10c（a、b、c 的最大公因数为 1），则 a、b、c 的最小公倍数为 180÷10＝18＝2×3²。最小公倍数含 3²，说明三数中至少有一个含有因数 9；又要有因数 2。在 1～9 中取三个不同数（a 可取 1，对应数 10 仍是两位数），使最小公倍数为 18、最大公因数为 1，可行的组合为 {9,1,2}、{9,1,6}、{9,2,3} 和 {9,2,6}。对应三数分别为 90、10、20，90、10、60，90、20、30 和 90、20、60。 【答案】10、20、90；或 10、60、90；或 20、30、90；或 20、60、90。 题目 6：两个质数的和是 20，积是 91，这两个质数各是多少？ 【详解】把 91 分解质因数：91＝7×13。又因为 7＋13＝20，且 7、13 都是质数，符合题意。 【答案】7 和 13。 题目 7：三个连续自然数的乘积是 210，这三个数分别是多少？ 【详解】210＝2×3×5×7。把质因数重新组合成三个连续自然数：5×6×7＝210，即这三个数是 5、6、7。 【答案】5、6、7。 题目 8：在 1～200 的自然数中，因数个数最多的数是多少？它有几个因数？ 【详解】因数个数最多的数应尽量多用较小的质因数组合。试较大者：180＝2²×3²×5，因数个数＝(2＋1)(2＋1)(1＋1)＝18。其他如 168＝2³×3×7 得 16 个，120 得 16 个，144 得 15 个，均小于 18；在 1～200 内没有因数个数达到 20 及以上的数。 【答案】180，有 18 个因数。 题目 9：1×2×3×…×n 的乘积末尾恰好有 25 个连续的 0，n 最小是多少？ 【详解】末尾 0 的个数＝[n÷5]＋[n÷25]＋[n÷125]＋…。n＝105 时：[105÷5]＝21，[105÷25]＝4，共 21＋4＝25 个；而 n＝104 时只有 20＋4＝24 个。故最小的 n 为 105。 【答案】105。 题目 10：一个三位数同时是 2、3、5 的倍数，且含有因数 11，这样的数最小是多少？ 【详解】同时是 2、3、5、11 的倍数，即求它们的最小公倍数：lcm(2,3,5,11)＝330。330 是一个三位数，且是最小的满足条件的三位数。 【答案】330。 题目 11：甲、乙两数的最大公因数是 15，最小公倍数是 450，已知甲数是 75，求乙数。 【详解】由“甲×乙＝最大公因数×最小公倍数”，得 75×乙＝15×450＝6750，所以乙＝6750÷75＝90。检验：最大公因数 gcd(75,90)＝15，最小公倍数 lcm(75,90)＝450，符合题意。 【答案】90。 题目 12：求所有小于 100 且恰好有 3 个因数的自然数之和。 【详解】恰好有 3 个因数的数是质数的平方，即 p²＜100，质数 p 可取 2、3、5、7。对应数为 4、9、25、49。它们的和＝4＋9＋25＋49＝87。 【答案】87。 题目 13：在小于 100 的自然数中，能被 3 整除但不能被 9 整除的数一共有多少个？ 【详解】1～99 中能被 3 整除的数有 99÷3＝33 个，其中能被 9 整除的数有 99÷9＝11 个。能被 3 整除但不能被 9 整除的个数＝33－11＝22 个。 【答案】22 个。 题目 14：用长、宽都是整厘米数的长方形，面积是 420 平方厘米，长与宽的差最小是多少厘米？ 【详解】420＝2²×3×5×7。把 420 写成两因数相乘，找差最小的一对：20×21＝420，差为 1，是所有因数对中差最小的。 【答案】1 厘米。 题目 15：三个互不相同的质数相乘的积小于 100，这样的积最大是多少？ 【详解】从最小的质数开始组合尝试：2×3×5＝30，2×3×7＝42，2×3×11＝66，2×3×13＝78，2×3×17＝102（超过 100，舍去）；2×5×7＝70，2×5×11＝110（舍去）；3×5×7＝105（舍去）。所以最大的积是 78＝2×3×13。 【答案】78。 题目 16：甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次。某天三人同时去图书馆，至少再过多少天三人又同时去？ 【详解】三人再次同时去的间隔天数应是 6、8、9 的最小公倍数。6＝2×3，8＝2³，9＝3²，所以 lcm(6,8,9)＝2³×3²＝72。 【答案】72 天。 题目 17：已知 A＝2⁴×3²×5，求 A 的因数个数及所有因数之和。 【详解】因数个数＝(4＋1)(2＋1)(1＋1)＝30 个。所有因数之和＝(2⁰＋2¹＋2²＋2³＋2⁴)(3⁰＋3¹＋3²)(5⁰＋5¹)＝(1＋2＋4＋8＋16)(1＋3＋9)(1＋5)＝31×13×6＝2418。 【答案】A 有 30 个因数，所有因数之和为 2418。 题目 18：计算 2×4×6×8×…×50 的乘积，末尾有多少个连续的 0？ 【详解】2×4×6×…×50＝2^25×(1×2×3×…×25)＝2^25×25!。末尾 0 由质因数 5 决定，因数 2 充足。25! 中质因数 5 的个数＝[25÷5]＋[25÷25]＝5＋1＝6。故末尾有 6 个 0。 【答案】6 个。 题目 19：把 21 拆成两个质数的和，要使这两个质数的乘积最大，这两个质数各是多少？ 【详解】21 是奇数，两个质数的和为奇数，则其中一个必为唯一的偶质数 2，另一个为 21－2＝19。乘积＝2×19＝38，这是唯一拆分，也是乘积最大的一种。 【答案】2 和 19。 题目 20：两个自然数的最大公因数是 12，最小公倍数是 180，且这两个数都是合数。求这两个数。 【详解】设两数为 12a、12b（a、b 互质），则 12a×12b＝12×180，即 ab＝15。15 的互质因数对有 (1,15)、(3,5)，对应两数分别为 (12,180)、(36,60)。两数均为合数，都符合题意。 【答案】12 和 180，或 36 和 60。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $