小升初奥数培优01：整数的速算与巧算（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优01：整数的速算与巧算 学习目标 1. 熟练掌握加法、乘法五大运算定律，以及去括号、添括号的符号规则； 2. 掌握凑整法、基准数法、乘法分配律逆用、拆数法、分组巧算、等差数列求和等常用整数巧算技巧； 3. 学会观察算式结构，快速识别巧算特征，避开硬算，提升计算速度与准确率； 4. 能解决小升初奥数中复杂整数混合巧算题型，为分数巧算、初中有理数计算打好基础。 知识精讲 （一）基础运算定律 1. 加法交换律：a + b = b + a 2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 作用：重新组合加数，优先凑出整十、整百、整千数。 3. 乘法交换律：a × b = b × a 4. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 常用固定凑整搭档：2 × 5 = 10，4 × 25 = 100，8 × 125 = 1000 5. 乘法分配律 (1) 正向：(a ± b) × c = a × c ± b × c (2) 逆用（提取公因数，奥数高频）：a × c ± b × c = (a ± b) × c (3) 拓展变形：a × 99 = a × (100 - 1)，a × 101 = a × (100 + 1) （二）去括号、添括号法则（重难点） 1. 括号前面是 + 号，去/添括号，括号内符号不变； a + (b - c) = a + b - c 2. 括号前面是 - 号，去/添括号，括号内 + 变 -，- 变 +； a - (b - c) = a - b + c 3. 括号前面是 × 号，括号内只有乘除，符号不变； 4. 括号前面是 ÷ 号，不能随便去括号（只有连除可以变除积：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)） （三）六大巧算方法详解 1. 分组凑整法 加减混合算式，把能凑成整百、整千的数分为一组；加减交替、有规律重复的算式，按固定周期分组计算。 2. 加补凑整法（近整拆数） 算式中有 9、99、998、102、201 这类接近整十整百的数，写成整百数 ± 补数： 例：99 = 100 - 1，202 = 200 + 2，再用分配律计算。 3. 基准数法 多个大小接近的数相加，选一个中间数作为基准数；每个数写成：基准数 + 差，最后统一求和。 总和 = 基准数 × 个数 + 所有偏差之和（多加要减，少加要补） 4. 提取公因数（乘法分配律逆用） 算式中多处有相同因数，把公因数提出来，剩下部分加减凑整； 进阶：数字变形构造相同公因数（如 360×78 + 180×44，把360拆成 180×2）。 5. 等差数列求和 等差数列：相邻两个数差相等。 和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 6. 除法巧算性质 ① a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) ② (a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c（除数相同可以拆分被除数，不能拆分除数） 易错提醒：巧算第一步永远先观察数字和符号，不要上来直接硬算！ 例题讲解 【典型例题1】分组凑整 计算：317 + 268 - 117 + 132 【跟踪训练1】 计算：456 - 278 + 144 - 122 【典型例题2】加补凑整（近整） 计算：78 × 99 【跟踪训练2】 计算：256 × 101 【典型例题3】基准数法求和 计算：103 + 98 + 101 + 97 + 99 【跟踪训练3】 计算：204 + 197 + 202 + 199 + 201 【典型例题4】提取公因数（分配律逆用） 计算：67 × 45 + 33 × 45 【跟踪训练4】 计算：125 × 72 - 125 × 64 【典型例题5】构造公因数（进阶） 计算：360 × 56 + 180 × 88 【跟踪训练5】 计算：240 × 37 + 120 × 26 【典型例题6】等差数列求和 计算：2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 【跟踪训练6】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 【典型例题7】除法巧算 计算：7200 ÷ 25 ÷ 4 【跟踪训练7】 计算：48000 ÷ 125 ÷ 8 奥数练习 第1题　计算：9999×2222＋3333×3334 第2题　计算：999×999＋1999 第3题　计算：1－2＋3－4＋5－6＋……＋2019－2020＋2021 第4题　计算：(125×99＋125)÷25 第5题　计算：1＋3＋5＋7＋……＋99－(2＋4＋6＋……＋100) 第6题　计算：99＋198＋297＋396＋495＋594＋693＋792＋891＋990 第7题　计算：4×76＋8×62＋16×24 第8题　计算：360000÷125÷8＋24000÷25÷4 第9题　计算：666×333＋999×444 第10题　计算：1＋3＋5＋7＋……＋199－99 第11题　计算：2023×2024－2022×2025 第12题　计算：2008＋2009＋2010＋2011＋2012－2000×5 第13题　计算：87654×98765－87655×98764 第14题　计算：99999×99999＋199999 第15题　计算：11＋13＋15＋……＋99＋100 第16题　计算：102×98＋98×96 第17题　计算：201＋203＋205＋……＋401 第18题　计算：1001×1001－1000×1002 第19题　计算：8888×9999－6666×2222 第20题　计算：123×456－123×455＋456×544－455×544 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优01：整数的速算与巧算 学习目标 1. 熟练掌握加法、乘法五大运算定律，以及去括号、添括号的符号规则； 2. 掌握凑整法、基准数法、乘法分配律逆用、拆数法、分组巧算、等差数列求和等常用整数巧算技巧； 3. 学会观察算式结构，快速识别巧算特征，避开硬算，提升计算速度与准确率； 4. 能解决小升初奥数中复杂整数混合巧算题型，为分数巧算、初中有理数计算打好基础。 知识精讲 （一）基础运算定律 1. 加法交换律：a + b = b + a 2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 作用：重新组合加数，优先凑出整十、整百、整千数。 3. 乘法交换律：a × b = b × a 4. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 常用固定凑整搭档：2 × 5 = 10，4 × 25 = 100，8 × 125 = 1000 5. 乘法分配律 (1) 正向：(a ± b) × c = a × c ± b × c (2) 逆用（提取公因数，奥数高频）：a × c ± b × c = (a ± b) × c (3) 拓展变形：a × 99 = a × (100 - 1)，a × 101 = a × (100 + 1) （二）去括号、添括号法则（重难点） 1. 括号前面是 + 号，去/添括号，括号内符号不变； a + (b - c) = a + b - c 2. 括号前面是 - 号，去/添括号，括号内 + 变 -，- 变 +； a - (b - c) = a - b + c 3. 括号前面是 × 号，括号内只有乘除，符号不变； 4. 括号前面是 ÷ 号，不能随便去括号（只有连除可以变除积：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)） （三）六大巧算方法详解 1. 分组凑整法 加减混合算式，把能凑成整百、整千的数分为一组；加减交替、有规律重复的算式，按固定周期分组计算。 2. 加补凑整法（近整拆数） 算式中有 9、99、998、102、201 这类接近整十整百的数，写成整百数 ± 补数： 例：99 = 100 - 1，202 = 200 + 2，再用分配律计算。 3. 基准数法 多个大小接近的数相加，选一个中间数作为基准数；每个数写成：基准数 + 差，最后统一求和。 总和 = 基准数 × 个数 + 所有偏差之和（多加要减，少加要补） 4. 提取公因数（乘法分配律逆用） 算式中多处有相同因数，把公因数提出来，剩下部分加减凑整； 进阶：数字变形构造相同公因数（如 360×78 + 180×44，把360拆成 180×2）。 5. 等差数列求和 等差数列：相邻两个数差相等。 和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1 6. 除法巧算性质 ① a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) ② (a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c（除数相同可以拆分被除数，不能拆分除数） 易错提醒：巧算第一步永远先观察数字和符号，不要上来直接硬算！ 例题讲解 【典型例题1】分组凑整 计算：317 + 268 - 117 + 132 【详解】 观察：317和117尾数相同可以相减；268和132相加凑整。 原式 = (317 - 117) + (268 + 132) = 200 + 400 = 600 【答案】600 【跟踪训练1】 计算：456 - 278 + 144 - 122 【详解】 分组凑整，456 + 144 凑600，278 + 122 凑400 原式 = (456 + 144) - (278 + 122) = 600 - 400 = 200 【答案】200 【典型例题2】加补凑整（近整） 计算：78 × 99 【详解】 99写成 100 - 1，利用乘法分配律展开 原式 = 78 × (100 - 1) = 78 × 100 - 78 × 1 = 7800 - 78 = 7722 【答案】7722 【跟踪训练2】 计算：256 × 101 【详解】 101拆成 100 + 1 原式 = 256 × (100 + 1) = 256 × 100 + 256 × 1 = 25600 + 256 = 25856 【答案】25856 【典型例题3】基准数法求和 计算：103 + 98 + 101 + 97 + 99 【详解】 选择基准数100，一共5个数 原式 = (100+3) + (100-2) + (100+1) + (100-3) + (100-1) = 100 × 5 + (3 - 2 + 1 - 3 - 1) = 500 - 2 = 498 【答案】498 【跟踪训练3】 计算：204 + 197 + 202 + 199 + 201 【详解】 基准数200，共5个数 原式 = (200+4) + (200-3) + (200+2) + (200-1) + (200+1) = 200 × 5 + (4 - 3 + 2 - 1 + 1) = 1000 + 3 = 1003 【答案】1003 【典型例题4】提取公因数（分配律逆用） 计算：67 × 45 + 33 × 45 【详解】 公因数是45，提取出来 原式 = (67 + 33) × 45 = 100 × 45 = 4500 【答案】4500 【跟踪训练4】 计算：125 × 72 - 125 × 64 【详解】 公因数125 原式 = 125 × (72 - 64) = 125 × 8 = 1000 【答案】1000 【典型例题5】构造公因数（进阶） 计算：360 × 56 + 180 × 88 【详解】 观察：360 = 180 × 2，构造相同公因数180 原式 = 180 × 2 × 56 + 180 × 88 = 180 × 112 + 180 × 88 = 180 × (112 + 88) = 180 × 200 = 36000 【答案】36000 【跟踪训练5】 计算：240 × 37 + 120 × 26 【详解】 240 = 120 × 2，公因数120 原式 = 120 × 2 × 37 + 120 × 26 = 120 × 74 + 120 × 26 = 120 × (74 + 26) = 120 × 100 = 12000 【答案】12000 【典型例题6】等差数列求和 计算：2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 【详解】 首项=2，末项=100，公差=2 项数 = (100 - 2) ÷ 2 + 1 = 50 原式 = (2 + 100) × 50 ÷ 2 = 102 × 25 = 2550 【答案】2550 【跟踪训练6】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 【详解】 首项=1，末项=99，公差=2 项数 = (99 - 1) ÷ 2 + 1 = 50 原式 = (1 + 99) × 50 ÷ 2 = 100 × 25 = 2500 【答案】2500 【典型例题7】除法巧算 计算：7200 ÷ 25 ÷ 4 【详解】 连除变除以两个除数的积 原式 = 7200 ÷ (25 × 4) = 7200 ÷ 100 = 72 【答案】72 【跟踪训练7】 计算：48000 ÷ 125 ÷ 8 【详解】 原式 = 48000 ÷ (125 × 8) = 48000 ÷ 1000 = 48 【答案】48 奥数练习 第1题　计算：9999×2222＋3333×3334 【详解】 9999＝3×3333，把它拆开与3333×3334凑出相同因数3333。 原式＝3×3333×2222＋3333×3334 ＝3333×(3×2222＋3334)＝3333×(6666＋3334) ＝3333×10000＝33330000。 【答案】33330000 第2题　计算：999×999＋1999 【详解】 1999＝999＋1000，把它拆成999与1000，便于构造公因数999。 原式＝999×999＋999＋1000＝999×(999＋1)＋1000 ＝999×1000＋1000＝1000×(999＋1)＝1000×1000 ＝1000000。 【答案】1000000 第3题　计算：1－2＋3－4＋5－6＋……＋2019－2020＋2021 【详解】 加减交替出现，相邻两项配对成一组，每组和为－1。 1－2＋3－4＋……＋2019－2020共2020个数，可配成1010组。 前2020项的和＝1010×(－1)＝－1010， 再加最后一项2021：－1010＋2021＝1011。 【答案】1011 第4题　计算：(125×99＋125)÷25 【详解】 两积中都有因数125，先提取公因数：125×(99＋1)＝125×100。 原式＝(125×99＋125×1)÷25＝125×(99＋1)÷25 ＝125×100÷25＝125×(100÷25)＝125×4 ＝500。 【答案】500 第5题　计算：1＋3＋5＋7＋……＋99－(2＋4＋6＋……＋100) 【详解】 这是两个等差数列求和的差。 奇数1、3、…、99：首项1，末项99，公差2，项数(99－1)÷2＋1＝50，和＝(1＋99)×50÷2＝2500。 偶数2、4、…、100：首项2，末项100，公差2，项数50，和＝(2＋100)×50÷2＝2550。 原式＝2500－2550＝－50。 【答案】－50 第6题　计算：99＋198＋297＋396＋495＋594＋693＋792＋891＋990 【详解】 观察：198＝2×99、297＝3×99……990＝10×99，可提取公因数99。 原式＝99×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10) ＝99×55＝99×(50＋5)＝4950＋495 ＝5445。 【答案】5445 第7题　计算：4×76＋8×62＋16×24 【详解】 把8×62、16×24改写成含因数4的形式，构造相同公因数。 原式＝4×76＋4×2×62＋4×4×24 ＝4×76＋4×124＋4×96＝4×(76＋124＋96) ＝4×296＝1184。 【答案】1184 第8题　计算：360000÷125÷8＋24000÷25÷4 【详解】 连除可转化为除以两除数的积：a÷b÷c＝a÷(b×c)。 360000÷125÷8＝360000÷(125×8)＝360000÷1000＝360， 24000÷25÷4＝24000÷(25×4)＝24000÷100＝240， 原式＝360＋240＝600。 【答案】600 第9题　计算：666×333＋999×444 【详解】 666＝2×333，999＝3×333，把两积都写成含333的形式。 原式＝2×333×333＋3×333×444 ＝333×(2×333＋3×444)＝333×(666＋1332) ＝333×1998＝333×(2000－2)＝666000－666＝665334。 【答案】665334 第10题　计算：1＋3＋5＋7＋……＋199－99 【详解】 先求连续奇数和：1、3、5、…、199，公差2。 项数＝(199－1)÷2＋1＝100，和＝(1＋199)×100÷2＝200×50＝10000。 原式＝10000－99＝9901。 【答案】9901 第11题　计算：2023×2024－2022×2025 【详解】 设a＝2023，则2022＝a－1；设b＝2024，则2025＝b＋1，用字母表示后展开抵消。 原式＝ab－(a－1)(b＋1)＝ab－(ab＋a－b－1) ＝ab－ab－a＋b＋1＝b－a＋1＝2024－2023＋1 ＝2。 【答案】2 第12题　计算：2008＋2009＋2010＋2011＋2012－2000×5 【详解】 五个数都接近2000，可用基准数2000：每个数写成2000加一个偏差。 原式＝(2000＋8)＋(2000＋9)＋(2000＋10)＋(2000＋11)＋(2000＋12)－2000×5 ＝2000×5＋(8＋9＋10＋11＋12)－2000×5 ＝50。 【答案】50 第13题　计算：87654×98765－87655×98764 【详解】 设a＝87654，则87655＝a＋1；设b＝98765，则98764＝b－1。 原式＝ab－(a＋1)(b－1)＝ab－(ab－a＋b－1) ＝ab－ab＋a－b＋1＝a－b＋1＝87654－98765＋1 ＝－11111＋1＝－11110。 【答案】－11110 第14题　计算：99999×99999＋199999 【详解】 199999＝99999＋100000，拆开后构造公因数99999。 原式＝99999×99999＋99999＋100000 ＝99999×(99999＋1)＋100000＝99999×100000＋100000 ＝100000×(99999＋1)＝100000×100000＝10000000000。 【答案】10000000000 第15题　计算：11＋13＋15＋……＋99＋100 【详解】 11、13、15、…、99是公差为2的等差数列。 项数＝(99－11)÷2＋1＝45， 11到99的和＝(11＋99)×45÷2＝110×22.5＝2475， 原式＝2475＋100＝2575。 【答案】2575 第16题　计算：102×98＋98×96 【详解】 两积都有因数98，提取公因数：98×(102＋96)。 原式＝98×(102＋96)＝98×198 ＝98×(200－2)＝98×200－98×2＝19600－196 ＝19404。 【答案】19404 第17题　计算：201＋203＋205＋……＋401 【详解】 连续奇数，公差2，是等差数列。 项数＝(401－201)÷2＋1＝101， 和＝(首项＋末项)×项数÷2＝(201＋401)×101÷2 ＝301×101＝301×100＋301×1＝30100＋301＝30401。 【答案】30401 第18题　计算：1001×1001－1000×1002 【详解】 把1001看成1000＋1，1002看成1000＋2，用平方和展开抵消。 原式＝(1000＋1)×(1000＋1)－1000×(1000＋2) ＝1000×1000＋2×1000＋1－(1000×1000＋2×1000) ＝1000000＋2000＋1－1000000－2000＝1。 【答案】1 第19题　计算：8888×9999－6666×2222 【详解】 8888＝2222×4，6666＝2222×3，先提取2222。 原式＝2222×4×9999－2222×3×2222 ＝2222×(4×9999－3×2222)＝2222×(39996－6666) ＝2222×33330＝2222×3333×10＝(6666×1111)×10 ＝7405926×10＝74059260。 【答案】74059260 第20题　计算：123×456－123×455＋456×544－455×544 【详解】 分成两组提取公因数：123×(456－455)＋544×(456－455)。 原式＝123×456－123×455＋456×544－455×544 ＝123×(456－455)＋544×(456－455) ＝123×1＋544×1＝123＋544＝667。 【答案】667 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $