小升初奥数培优17：归一与归总问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优17：归一与归总问题 学习目标 1. 理解归一问题、归总问题的含义，能区分正归一、反归一、双归一，掌握两类问题的核心解题思路。 2. 熟练找准不变量：归一问题不变量是单一量（单位量），归总问题不变量是总数量。 3. 会分步列式、综合算式解答归一、归总应用题，能解决多人、多机器、多天数的复杂双归一奥数题型。 4. 学会对比两类题型，识别易混条件，利用倍数法巧解归一问题，提升小升初应用题思维。 知识精讲 （一）归一问题 1. 定义：先求出单一量（1 份的量），再根据单一量求总量或者份数的应用题，题目常出现关键词：照这样计算、同样、不变。 单一量：1 个物品的价格、1 人 1 天工作量、1 台机器 1 小时产量、1 头牛 1 天吃草量等。 2. 归一问题分三类： (1) 正归一（直进归一）：先求单一量，再求几份一共是多少。 公式：单一量 = 总量 ÷ 份数；所求总量 = 单一量 × 新份数 (2) 反归一（返回归一）：先求单一量，再求新总量里面包含多少个单一量。 公式：单一量 = 总量 ÷ 份数；新份数 = 新总量 ÷ 单一量 (3) 双归一（两次归一，奥数高频）：有两个变化量（人数 + 天数、台数 + 时间），需要连续两次除法求出双重单一量（如 1 人 1 天、1 台 1 小时），再计算。 例：3 台机器 4 小时生产零件，求 1 台 1 小时产量，需要连续除两次。 归一解题口诀：先求一份是多少，再看问题乘或除；有两个变量，除两次归一。 （二）归总问题 1. 定义：先求出总数量（总量不变），再根据总量反过来求单一量或者份数的应用题。 2. 特点：总量固定不变（总工作量、总页数、总钱数、总货物量），条件变化，总量不变。 3. 公式： (1) 总量 = 单一量 × 份数 (2) 新单一量 = 总量 ÷ 新份数 (3) 新份数 = 总量 ÷ 新单一量 归总解题口诀：先求总数不变量，再用总数反求量。 （三）归一 vs 归总对比 类型 第一步 不变量 关键词提示 归一 除法，求单一量 单一量不变 照这样、同样速度、同样效率 归总 乘法，求总数量 总数量不变 这批、一共、总量不变、如果改变 （四）奥数拓展：倍数法（不用求单一量） 当两个条件是倍数关系时，可以不计算 1 份，直接用倍数计算，简化计算，适合大数。 （五）易错提醒 1. 双归一不要漏除，比如"5 人 6 天"归一，要除以 5 再除以 6； 2. 归总一定先确认总量不变，不要把总量当成变量； 3. 看清问题：求一共多少 → 正归一；求需要多少时间 / 多少人 → 反归一； 4. 单位统一：题目有千克、克，小时、分钟，先统一单位再计算。 例题讲解 【典型例题 1】（正归一） 5 支钢笔 30 元，照这样计算，买 12 支同样的钢笔需要多少元？ 【详解】先求 1 支钢笔的价格（单一量），再求 12 支总价。 1 支钢笔价格：（元） 12 支总价：（元） 综合算式：（元） 答：买 12 支钢笔需要 72 元。 【答案】72 元 【跟踪训练 1】 3 千克苹果 18 元，照这样计算，买 8 千克苹果要花多少钱？ 【详解】先求 1 千克苹果价格：（元） 8 千克总价：（元） 综合算式：（元） 答：买 8 千克苹果要花 48 元。 【答案】48 元 【典型例题 2】（反归一） 4 台拖拉机 3 小时耕地 24 公顷，照这个速度，耕地 40 公顷，需要几小时？ 【详解】先求 1 台拖拉机 1 小时耕地面积（双归一）： （公顷） 4 台拖拉机 1 小时耕地：（公顷） 耕 40 公顷所需时间：（小时） 综合算式：（小时） 答：需要 5 小时。 【答案】5 小时 【跟踪训练 2】 3 个工人 2 小时加工零件 36 个，照这样计算，90 个零件由 3 个工人加工，需要多少小时？ 【详解】先求 1 个工人 1 小时加工：（个） 3 个工人 1 小时加工：（个） 时间：（小时） 综合算式：（小时） 答：需要 5 小时。 【答案】5 小时 【典型例题 3】（归总问题） 一本书，原计划每天读 24 页，10 天读完。如果每天多读 6 页，几天可以读完？ 【详解】这本书总页数不变，先求总页数： （页） 实际每天读：（页） 实际天数：（天） 综合算式：（天） 答：8 天可以读完。 【答案】8 天 【跟踪训练 3】 一批货物，每车运 15 吨，需要 8 辆车运完。如果每车多运 5 吨，需要几辆车？ 【详解】货物总吨数不变：（吨） 现在每车运：（吨） 车辆数：（辆） 综合算式：（辆） 答：需要 6 辆车。 【答案】6 辆 【典型例题 4】（奥数 · 双归一正归一） 5 台织布机 4 小时织布 200 米，照这样计算，6 台织布机 7 小时织布多少米？ 【详解】先归一：1 台 1 小时织布长度 （米） 6 台 7 小时：（米） 综合算式：（米） 答：6 台织布机 7 小时织布 420 米。 【答案】420 米 【跟踪训练 4】 4 个工人 5 天生产零件 200 个，照这样计算，7 个工人 8 天可以生产多少个零件？ 【详解】1 人 1 天产量：（个） 7 人 8 天：（个） 综合算式：（个） 答：7 个工人 8 天可以生产 560 个零件。 【答案】560 个 【典型例题 5】（奥数 · 归总进阶：求提前天数） 农具厂计划每天生产 120 件农具，28 天完成一批订单。实际每天多生产 20 件，可以提前几天完成？ 【详解】先求总任务量：（件） 实际每天产量：（件） 实际用时：（天） 提前天数：（天） 综合算式：（天） 答：可以提前 4 天完成。 【答案】4 天 【跟踪训练 5】 修路队计划每天修 40 米，15 天修完一条路。实际每天多修 10 米，提前几天完工？ 【详解】总长：（米） 实际每天：（米） 实际天数：（天） 提前：（天） 综合算式：（天） 答：提前 3 天完工。 【答案】3 天 【典型例题 6】（奥数综合：归一 + 增减人数） 一项工程，8 人 15 小时可以完成。如果要 10 小时做完，需要增加多少人？ 【详解】工程总量用"人·小时"表示，总量不变： 总工作量：（人·小时） 10 小时完成需要人数：（人） 增加人数：（人） 综合算式：（人） 答：需要增加 4 人。 【答案】4 人 【跟踪训练 6】 一件任务，6 人 12 小时做完。如果要求 8 小时做完，需要增加几人？ 【详解】总工作量：（人·小时） 8 小时需要人数：（人） 增加：（人） 综合算式：（人） 答：需要增加 3 人。 【答案】3 人 奥数练习 第1题 某车间有12台机床，每台机床每小时生产零件25个。现在要生产9000个零件，8小时内能完成吗？如果不能，需要增加多少台机床？ 【详解】 8小时内12台机床可生产：12 × 25 × 8 = 2400（个） 2400 < 9000，说明8小时内不能完成。 8小时完成9000个零件所需机床：9000 ÷ 25 ÷ 8 = 45（台） 需增加：45 − 12 = 33（台） 答：8小时内不能完成，需要增加33台机床。 【答案】不能完成，需增加33台。 第2题 运输队运一批水泥，原计划用载重8吨的卡车12辆运15次运完。现在改用载重12吨的卡车，10次运完，需要多少辆？ 【详解】 水泥总量：8 × 12 × 15 = 1440（吨） 载重12吨卡车10次共运：12 × 10 = 120（吨） 需要辆数：1440 ÷ 120 = 12（辆） 答：需要12辆。 【答案】12辆。 第3题 5台印刷机3小时印刷图书75000本。照这样计算，10台印刷机印刷120000本图书需要多少小时？ 【详解】 1台印刷机1小时印刷：75000 ÷ 5 ÷ 3 = 5000（本） 10台印刷机1小时印刷：5000 × 10 = 50000（本） 印刷120000本需要：120000 ÷ 50000 = 2.4（小时） 答：需要2.4小时。 【答案】2.4小时。 第4题 一项工程，15人来做，每天工作8小时，需要12天完成。如果增加15人，且每天工作时间减少到6小时，多少天能完成？ 【详解】 工程总量：15 × 8 × 12 = 1440（人·小时·天） 新方案人数：15 + 15 = 30（人），每天工作6小时 每天完成：30 × 6 = 180（人·小时） 所需天数：1440 ÷ 180 = 8（天） 答：8天能完成。 【答案】8天。 第5题 一批货物，用5辆卡车运，每辆每天运4次、每次运6吨，需要运10天。如果用8辆卡车，每辆每天运5次、每次运5吨，需要多少天？ 【详解】 货物总量：5 × 4 × 6 × 10 = 1200（吨） 新方案每天运：8 × 5 × 5 = 200（吨） 所需天数：1200 ÷ 200 = 6（天） 答：需要6天。 【答案】6天。 第6题 修一条公路，计划每天修240米，25天修完。修了10天后，剩余路段要12天修完，每天需修多少米？ 【详解】 公路总长：240 × 25 = 6000（米） 前10天已修：240 × 10 = 2400（米） 剩余长度：6000 − 2400 = 3600（米） 剩余12天每天需修：3600 ÷ 12 = 300（米） 答：每天需修300米。 【答案】300米。 第7题 3台同样的抽水机4小时抽水1200吨。照这样计算，5台这样的抽水机7小时能抽水多少吨？如果要抽水2800吨，用7台抽水机需要多少小时？ 【详解】 1台抽水机1小时抽水：1200 ÷ 3 ÷ 4 = 100（吨） 5台7小时抽水：100 × 5 × 7 = 3500（吨） 7台抽水机1小时抽水：100 × 7 = 700（吨） 抽2800吨需要：2800 ÷ 700 = 4（小时） 答：5台7小时抽水3500吨；7台抽2800吨需要4小时。 【答案】3500吨；4小时。 第8题 食堂买来一批大米，计划每天吃75千克，可以吃24天。实际前8天每天吃90千克，剩余的大米仍按计划天数吃完，剩下每天应吃多少千克？ 【详解】 大米总量：75 × 24 = 1800（千克） 前8天吃掉：90 × 8 = 720（千克） 剩余大米：1800 − 720 = 1080（千克） 剩余天数：24 − 8 = 16（天） 剩下每天吃：1080 ÷ 16 = 67.5（千克） 答：剩下每天应吃67.5千克。 【答案】67.5千克。 第9题 某工程队修水渠，计划10人每天工作8小时，15天完成。开工5天后因雨天停工2天，为按期完成，剩下的时间每天需工作几小时？（人数不变） 【详解】 工程总量：10 × 8 × 15 = 1200（人·小时·天） 前5天完成：10 × 8 × 5 = 400（人·小时·天） 剩余工作量：1200 − 400 = 800（人·小时·天） 剩余可用天数：15 − 5 − 2 = 8（天） 每天需工作：800 ÷ (10 × 8) = 10（小时） 答：剩下的时间每天需工作10小时。 【答案】10小时。 第10题 一篇文章，3名打字员5小时完成全部工作的3/5。照这样的速度，剩余的2/5需要几名打字员2小时完成？ 【详解】 1名打字员1小时完成：3/5 ÷ 3 ÷ 5 = 1/25 2小时1名打字员完成：1/25 × 2 = 2/25 完成剩余2/5所需人数：2/5 ÷ 2/25 = 5（名） 答：需要5名打字员。 【答案】5名。 第11题 一批零件，原计划每人每天加工40个，20人15天完成。实际有5人调走，剩下的工人每天每人多加工10个，实际需要多少天？ 【详解】 零件总量：40 × 20 × 15 = 12000（个） 实际人数：20 − 5 = 15（人） 实际每人每天加工：40 + 10 = 50（个） 实际每天加工：15 × 50 = 750（个） 实际天数：12000 ÷ 750 = 16（天） 答：实际需要16天。 【答案】16天。 第12题 5台挖土机5天挖土方7500立方米。照这样计算，要挖土12000立方米，并要求4天内完成，需要多少台挖土机？ 【详解】 1台挖土机1天挖土：7500 ÷ 5 ÷ 5 = 300（立方米） 4天1台挖土机挖土：300 × 4 = 1200（立方米） 需要台数：12000 ÷ 1200 = 10（台） 答：需要10台挖土机。 【答案】10台。 第13题 一批钢材，计划用载重8吨的汽车运，需要25辆一次运完。现改用载重12吨的汽车，至少需要多少辆？（结果用进一法取整） 【详解】 钢材总量：8 × 25 = 200（吨） 载重12吨汽车一次最多运12吨 需要辆数：200 ÷ 12 = 16……8（吨），余下8吨还需1辆 所以至少需要：16 + 1 = 17（辆） 答：至少需要17辆。 【答案】17辆。 第14题 某工厂6台机床8小时生产零件9600个。照这样计算，如果减少2台机床，生产12000个零件需要多少小时？ 【详解】 1台机床1小时生产：9600 ÷ 6 ÷ 8 = 200（个） 减少后机床数：6 − 2 = 4（台） 4台机床1小时生产：200 × 4 = 800（个） 生产12000个需要：12000 ÷ 800 = 15（小时） 答：需要15小时。 【答案】15小时。 第15题 面粉厂计划每天生产面粉30吨，20天完成一批订单。实际提前5天完成，实际每天比计划多生产多少吨？ 【详解】 面粉总量：30 × 20 = 600（吨） 实际完成天数：20 − 5 = 15（天） 实际每天生产：600 ÷ 15 = 40（吨） 每天多生产：40 − 30 = 10（吨） 答：实际每天比计划多生产10吨。 【答案】10吨。 第16题 4台织布机5天织布2400米，照这样计算，8台织布机织布6000米需要多少天？ 【详解】 1台织布机1天织布：2400 ÷ 4 ÷ 5 = 120（米） 8台织布机1天织布：120 × 8 = 960（米） 织6000米需要：6000 ÷ 960 = 6.25（天） 答：需要6.25天。 【答案】6.25天。 第17题 一项工程，甲队3人工作4天完成工程的2/9。照这样的效率，要完成剩余工程，安排6人工作需要多少天？ 【详解】 每人每天完成：2/9 ÷ 3 ÷ 4 = 1/54 剩余工程：1 − 2/9 = 7/9 6人每天完成：1/54 × 6 = 1/9 所需天数：7/9 ÷ 1/9 = 7（天） 答：需要7天。 【答案】7天。 第18题 一批货，原计划10人每天工作6小时，12天完成。现在要8天完成，且每人每天工作时间不变，需要多少人？ 【详解】 工程总量：10 × 6 × 12 = 720（人·小时·天） 8天完成每天需完成：720 ÷ 8 = 90（人·小时） 每人每天工作6小时，所需人数：90 ÷ 6 = 15（人） 答：需要15人。 【答案】15人。 第19题 某服装厂，5台缝纫机3天生产服装900件。照这样计算，如果改用3台缝纫机生产720件服装，需要多少天？ 【详解】 1台缝纫机1天生产：900 ÷ 5 ÷ 3 = 60（件） 3台缝纫机1天生产：60 × 3 = 180（件） 生产720件需要：720 ÷ 180 = 4（天） 答：需要4天。 【答案】4天。 第20题 某工程，计划30人每天工作8小时，20天完成。实际开工10天后，有10人调走，每天工作时间增加到10小时。剩余工程还需要多少天？ 【详解】 工程总量：30 × 8 × 20 = 4800（人·小时·天） 前10天完成：30 × 8 × 10 = 2400（人·小时·天） 剩余工作量：4800 − 2400 = 2400（人·小时·天） 剩余人数：30 − 10 = 20（人），每天工作10小时 剩余每天完成：20 × 10 = 200（人·小时） 剩余所需天数：2400 ÷ 200 = 12（天） 答：剩余工程还需要12天。 【答案】12天。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优17：归一与归总问题 学习目标 1. 理解归一问题、归总问题的含义，能区分正归一、反归一、双归一，掌握两类问题的核心解题思路。 2. 熟练找准不变量：归一问题不变量是单一量（单位量），归总问题不变量是总数量。 3. 会分步列式、综合算式解答归一、归总应用题，能解决多人、多机器、多天数的复杂双归一奥数题型。 4. 学会对比两类题型，识别易混条件，利用倍数法巧解归一问题，提升小升初应用题思维。 知识精讲 （一）归一问题 1. 定义：先求出单一量（1 份的量），再根据单一量求总量或者份数的应用题，题目常出现关键词：照这样计算、同样、不变。 单一量：1 个物品的价格、1 人 1 天工作量、1 台机器 1 小时产量、1 头牛 1 天吃草量等。 2. 归一问题分三类： (1) 正归一（直进归一）：先求单一量，再求几份一共是多少。 公式：单一量 = 总量 ÷ 份数；所求总量 = 单一量 × 新份数 (2) 反归一（返回归一）：先求单一量，再求新总量里面包含多少个单一量。 公式：单一量 = 总量 ÷ 份数；新份数 = 新总量 ÷ 单一量 (3) 双归一（两次归一，奥数高频）：有两个变化量（人数 + 天数、台数 + 时间），需要连续两次除法求出双重单一量（如 1 人 1 天、1 台 1 小时），再计算。 例：3 台机器 4 小时生产零件，求 1 台 1 小时产量，需要连续除两次。 归一解题口诀：先求一份是多少，再看问题乘或除；有两个变量，除两次归一。 （二）归总问题 1. 定义：先求出总数量（总量不变），再根据总量反过来求单一量或者份数的应用题。 2. 特点：总量固定不变（总工作量、总页数、总钱数、总货物量），条件变化，总量不变。 3. 公式： (1) 总量 = 单一量 × 份数 (2) 新单一量 = 总量 ÷ 新份数 (3) 新份数 = 总量 ÷ 新单一量 归总解题口诀：先求总数不变量，再用总数反求量。 （三）归一 vs 归总对比 类型 第一步 不变量 关键词提示 归一 除法，求单一量 单一量不变 照这样、同样速度、同样效率 归总 乘法，求总数量 总数量不变 这批、一共、总量不变、如果改变 （四）奥数拓展：倍数法（不用求单一量） 当两个条件是倍数关系时，可以不计算 1 份，直接用倍数计算，简化计算，适合大数。 （五）易错提醒 1. 双归一不要漏除，比如"5 人 6 天"归一，要除以 5 再除以 6； 2. 归总一定先确认总量不变，不要把总量当成变量； 3. 看清问题：求一共多少 → 正归一；求需要多少时间 / 多少人 → 反归一； 4. 单位统一：题目有千克、克，小时、分钟，先统一单位再计算。 例题讲解 【典型例题 1】（正归一） 5 支钢笔 30 元，照这样计算，买 12 支同样的钢笔需要多少元？ 【跟踪训练 1】 3 千克苹果 18 元，照这样计算，买 8 千克苹果要花多少钱？ 【典型例题 2】（反归一） 4 台拖拉机 3 小时耕地 24 公顷，照这个速度，耕地 40 公顷，需要几小时？ 【跟踪训练 2】 3 个工人 2 小时加工零件 36 个，照这样计算，90 个零件由 3 个工人加工，需要多少小时？ 【典型例题 3】（归总问题） 一本书，原计划每天读 24 页，10 天读完。如果每天多读 6 页，几天可以读完？ 【跟踪训练 3】 一批货物，每车运 15 吨，需要 8 辆车运完。如果每车多运 5 吨，需要几辆车？ 【典型例题 4】（奥数 · 双归一正归一） 5 台织布机 4 小时织布 200 米，照这样计算，6 台织布机 7 小时织布多少米？ 【跟踪训练 4】 4 个工人 5 天生产零件 200 个，照这样计算，7 个工人 8 天可以生产多少个零件？ 【典型例题 5】（奥数 · 归总进阶：求提前天数） 农具厂计划每天生产 120 件农具，28 天完成一批订单。实际每天多生产 20 件，可以提前几天完成？ 【跟踪训练 5】 修路队计划每天修 40 米，15 天修完一条路。实际每天多修 10 米，提前几天完工？ 【典型例题 6】（奥数综合：归一 + 增减人数） 一项工程，8 人 15 小时可以完成。如果要 10 小时做完，需要增加多少人？ 【跟踪训练 6】 一件任务，6 人 12 小时做完。如果要求 8 小时做完，需要增加几人？ 奥数练习 第1题 某车间有12台机床，每台机床每小时生产零件25个。现在要生产9000个零件，8小时内能完成吗？如果不能，需要增加多少台机床？ 第2题 运输队运一批水泥，原计划用载重8吨的卡车12辆运15次运完。现在改用载重12吨的卡车，10次运完，需要多少辆？ 第3题 5台印刷机3小时印刷图书75000本。照这样计算，10台印刷机印刷120000本图书需要多少小时？ 第4题 一项工程，15人来做，每天工作8小时，需要12天完成。如果增加15人，且每天工作时间减少到6小时，多少天能完成？ 第5题 一批货物，用5辆卡车运，每辆每天运4次、每次运6吨，需要运10天。如果用8辆卡车，每辆每天运5次、每次运5吨，需要多少天？ 第6题 修一条公路，计划每天修240米，25天修完。修了10天后，剩余路段要12天修完，每天需修多少米？ 第7题 3台同样的抽水机4小时抽水1200吨。照这样计算，5台这样的抽水机7小时能抽水多少吨？如果要抽水2800吨，用7台抽水机需要多少小时？ 第8题 食堂买来一批大米，计划每天吃75千克，可以吃24天。实际前8天每天吃90千克，剩余的大米仍按计划天数吃完，剩下每天应吃多少千克？ 第9题 某工程队修水渠，计划10人每天工作8小时，15天完成。开工5天后因雨天停工2天，为按期完成，剩下的时间每天需工作几小时？（人数不变） 第10题 一篇文章，3名打字员5小时完成全部工作的3/5。照这样的速度，剩余的2/5需要几名打字员2小时完成？ 第11题 一批零件，原计划每人每天加工40个，20人15天完成。实际有5人调走，剩下的工人每天每人多加工10个，实际需要多少天？ 第12题 5台挖土机5天挖土方7500立方米。照这样计算，要挖土12000立方米，并要求4天内完成，需要多少台挖土机？ 第13题 一批钢材，计划用载重8吨的汽车运，需要25辆一次运完。现改用载重12吨的汽车，至少需要多少辆？（结果用进一法取整） 第14题 某工厂6台机床8小时生产零件9600个。照这样计算，如果减少2台机床，生产12000个零件需要多少小时？ 第15题 面粉厂计划每天生产面粉30吨，20天完成一批订单。实际提前5天完成，实际每天比计划多生产多少吨？ 第16题 4台织布机5天织布2400米，照这样计算，8台织布机织布6000米需要多少天？ 第17题 一项工程，甲队3人工作4天完成工程的2/9。照这样的效率，要完成剩余工程，安排6人工作需要多少天？ 第18题 一批货，原计划10人每天工作6小时，12天完成。现在要8天完成，且每人每天工作时间不变，需要多少人？ 第19题 某服装厂，5台缝纫机3天生产服装900件。照这样计算，如果改用3台缝纫机生产720件服装，需要多少天？ 第20题 某工程，计划30人每天工作8小时，20天完成。实际开工10天后，有10人调走，每天工作时间增加到10小时。剩余工程还需要多少天？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $