小升初奥数培优08：循环小数与分数互化（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册 人教版

小升初奥数培优08：循环小数与分数互化 学习目标 1. 理解循环小数、有限小数、纯循环小数、混循环小数的概念，能正确识别循环节与循环点。 2. 掌握纯循环小数、混循环小数化分数的通用方法，熟记转化口诀。 3. 会把分数化成小数，并判断结果是有限小数、纯循环小数还是混循环小数。 4. 能进行循环小数与分数的加减运算与大小比较，解决循环小数周期类奥数问题。 5. 体会"转化"思想，提升数感，应对小升初培优、择校类循环小数难题。 知识精讲 1. 基础概念 (1) 有限小数：小数部分位数有限的小数。一个最简分数 （ 互质），若分母只含质因数 2 和 5，则一定能化成有限小数。例：，。 (2) 无限小数：小数部分位数无限，分为无限循环小数与无限不循环小数（如 ）。 (3) 循环小数：小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现。 (4) 循环节：依次不断重复出现的数字。简写时只写第一个循环节，并在其首位和末位数字上方各记一个小圆点。 (5) 纯循环小数：循环节从小数部分第一位（十分位）开始。如 、。 (6) 混循环小数：循环节不是从十分位开始，前面有不循环的数字。如 、。 2. 纯循环小数化分数（必背） 口诀：纯循环，几个循环几个 9，循环节当分子，再约分。 规则：分子 = 一个循环节组成的数；分母 = 与循环节位数相同的连续 9；最后约成最简分数。 举例：；（145 与 999 互质）。 简单推导：设 ，则 ，两式相减得 ，所以 。 3. 混循环小数化分数（必背） 口诀：混循环，9 配循环，0 配不循环；分子是"全部减不循环"，再约分。 规则：分子 =（小数点后到第一个循环节结束的全部数字）−（不循环部分的数字）；分母 = 与循环节位数相同的 9 后面接与不循环位数相同的 0；最后约分。 举例：，不循环 1 位、循环节 1 位，分子 = 23 − 2 = 21，分母 = 90，所以 。 ⚠️ 转化完成后一定要约分，结果必须是最简分数。 4. 分数化小数，判断循环类型 对最简分数 ： (1) 分母质因数只有 2、5 → 有限小数； (2) 分母去掉所有 2、5 后剩下 1 → 有限小数；剩下不为 1 → 循环小数； (3) 分母不含 2、5 → 纯循环小数（从十分位开始循环）； (4) 分母既含 2/5，又含其他质因数 → 混循环小数。 例：，含 2 和 3 → 混循环 ；，分母不含 2、5 → 纯循环 。 5. 循环小数大小比较与周期问题 (1) 大小比较：把循环小数多写几位展开，从高位到低位依次比较；也可统一化为分数通分比较。 (2) 周期问题：找到循环节长度（周期），用总位数 ÷ 周期。余数为 0 取周期最后一个数字；余数不为 0 取周期中第余数位上的数字。 例题讲解 【典型例题 1】纯循环小数化分数 把下面的纯循环小数化成分数： （1）　（2） 【跟踪训练 1】 将下列纯循环小数化为最简分数： （1）　（2） 【典型例题 2】混循环小数化分数 把下面的混循环小数化成分数： （1）　（2） 【跟踪训练 2】 把下列混循环小数化为最简分数： （1）　（2） 【典型例题 3】判断分数化小数的类型 判断下面各分数能化成有限小数、纯循环小数还是混循环小数：、、。 【跟踪训练 3】 判断类型：、、。 【典型例题 4】循环小数周期问题 已知 ，小数点后第 50 位上的数字是几？ 【跟踪训练 4】 ，小数点后第 35 位数字是多少？ 【典型例题 5】循环小数加减（先化分数再计算） 计算： 【跟踪训练 5】 计算： 【典型例题 6】循环小数大小比较 把 、、 从小到大排列。 【跟踪训练 6】 把 、、 从小到大排列。 奥数练习 【第 1 题】纯循环小数化分数（★★★） 把 化为最简分数。 【第 2 题】混循环小数化分数（★★★） 把 化为最简分数。 【第 3 题】分数化小数的类型判断（★★★） 把 、、、 分别化成小数，并判断各属于有限小数、纯循环小数还是混循环小数。 【第 4 题】循环节定位数字（★★★★） 已知 ，小数点后第 2026 位上的数字是几？ 【第 5 题】循环节前 N 位数字之和（★★★★） 已知 ，求小数点后前 100 位数字之和。 【第 6 题】循环小数等差求和（★★★★★） 计算 。 【第 7 题】循环小数与有限小数混合比较（★★★★） 把 、、、 从小到大排列。 【第 8 题】循环小数乘除混合运算（★★★★★） 计算 。 【第 9 题】0.999…=1 的妙用（★★★★） 计算 。 【第 10 题】循环小数化最简分数求数字和（★★★★） 已知 （ 为最简分数），求 。 【第 11 题】1/7 的循环节循环移位规律（★★★★） 已知 ，利用循环节的循环移位规律，直接写出 、、、、 的循环小数表示。 【第 12 题】分数与循环小数混合运算（★★★★） 计算 。 【第 13 题】循环小数除法巧算（★★★★） 计算 。 【第 14 题】同型循环小数连加找规律（★★★★★） 计算 。 【第 15 题】连续若干位数字之和（★★★★★） 已知 ，求小数点后第 2024、2025、2026、2027、2028 位数字之和。 【第 16 题】混循环化分数并比较（★★★★★） 把 化为最简分数，并比较 与 的大小。 【第 17 题】已知最简分数反求循环小数（★★★★★） 已知 （、、 为不同的数字）化为最简分数后是 ，求 及这个循环小数。 【第 18 题】定位 + 求和综合（★★★★★） 已知 ，求小数点后第 2026 位数字，以及小数点后前 2026 位数字之和。 【第 19 题】分类综合判断（★★★★） 在 、、、、、 中，能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数的各有哪些？ 【第 20 题】循环小数方程求数字（★★★★★） 已知 （、 为 1~9 中的不同数字），求 、 所有可能的取值。 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优08：循环小数与分数互化 学习目标 1. 理解循环小数、有限小数、纯循环小数、混循环小数的概念，能正确识别循环节与循环点。 2. 掌握纯循环小数、混循环小数化分数的通用方法，熟记转化口诀。 3. 会把分数化成小数，并判断结果是有限小数、纯循环小数还是混循环小数。 4. 能进行循环小数与分数的加减运算与大小比较，解决循环小数周期类奥数问题。 5. 体会"转化"思想，提升数感，应对小升初培优、择校类循环小数难题。 知识精讲 1. 基础概念 (1) 有限小数：小数部分位数有限的小数。一个最简分数 （ 互质），若分母只含质因数 2 和 5，则一定能化成有限小数。例：，。 (2) 无限小数：小数部分位数无限，分为无限循环小数与无限不循环小数（如 ）。 (3) 循环小数：小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现。 (4) 循环节：依次不断重复出现的数字。简写时只写第一个循环节，并在其首位和末位数字上方各记一个小圆点。 (5) 纯循环小数：循环节从小数部分第一位（十分位）开始。如 、。 (6) 混循环小数：循环节不是从十分位开始，前面有不循环的数字。如 、。 2. 纯循环小数化分数（必背） 口诀：纯循环，几个循环几个 9，循环节当分子，再约分。 规则：分子 = 一个循环节组成的数；分母 = 与循环节位数相同的连续 9；最后约成最简分数。 举例：；（145 与 999 互质）。 简单推导：设 ，则 ，两式相减得 ，所以 。 3. 混循环小数化分数（必背） 口诀：混循环，9 配循环，0 配不循环；分子是"全部减不循环"，再约分。 规则：分子 =（小数点后到第一个循环节结束的全部数字）−（不循环部分的数字）；分母 = 与循环节位数相同的 9 后面接与不循环位数相同的 0；最后约分。 举例：，不循环 1 位、循环节 1 位，分子 = 23 − 2 = 21，分母 = 90，所以 。 ⚠️ 转化完成后一定要约分，结果必须是最简分数。 4. 分数化小数，判断循环类型 对最简分数 ： (1) 分母质因数只有 2、5 → 有限小数； (2) 分母去掉所有 2、5 后剩下 1 → 有限小数；剩下不为 1 → 循环小数； (3) 分母不含 2、5 → 纯循环小数（从十分位开始循环）； (4) 分母既含 2/5，又含其他质因数 → 混循环小数。 例：，含 2 和 3 → 混循环 ；，分母不含 2、5 → 纯循环 。 5. 循环小数大小比较与周期问题 (1) 大小比较：把循环小数多写几位展开，从高位到低位依次比较；也可统一化为分数通分比较。 (2) 周期问题：找到循环节长度（周期），用总位数 ÷ 周期。余数为 0 取周期最后一个数字；余数不为 0 取周期中第余数位上的数字。 例题讲解 【典型例题 1】纯循环小数化分数 把下面的纯循环小数化成分数： （1）　（2） 【详解】 （1） 是纯循环小数，循环节 1 位，分母写 1 个 9：，8 与 9 互质，无需约分。 （2） 循环节 3 位，分母写 999：，分子分母同除以 9，得 。 【答案】 （1）；（2） 【跟踪训练 1】 将下列纯循环小数化为最简分数： （1）　（2） 【详解】 （1），5 与 9 互质。 （2），分子分母同除以 9：。 【答案】 （1）；（2） 【典型例题 2】混循环小数化分数 把下面的混循环小数化成分数： （1）　（2） 【详解】 （1）：不循环部分 1 位（3），循环节 1 位（6）。分子 = 36 − 3 = 33，分母 = 90，。 （2）：不循环 2 位（14），循环节 2 位（23）。分子 = 1423 − 14 = 1409，分母 = 9900。1409 与 9900 互质，不能约分。 【答案】 （1）；（2） 【跟踪训练 2】 把下列混循环小数化为最简分数： （1）　（2） 【详解】 （1）：不循环 1 位，循环 1 位。分子 = 51 − 5 = 46，分母 = 90，。 （2）：不循环 2 位，循环 2 位。分子 = 2518 − 25 = 2493，分母 = 9900。分子分母同除以 9：。 【答案】 （1）；（2） 【典型例题 3】判断分数化小数的类型 判断下面各分数能化成有限小数、纯循环小数还是混循环小数：、、。 【详解】 先把分母分解质因数（分数已是最简）： ，只含质因数 2、5 → 化成有限小数； ，不含 2、5 → 化成纯循环小数； ，既含 2 又含 3 → 化成混循环小数。 【答案】 ：有限小数；：纯循环小数；：混循环小数 【跟踪训练 3】 判断类型：、、。 【详解】 三个分数均为最简分数，分解分母： ，含 5 和 3 → 混循环小数； ，只含 2 → 有限小数； 13 不含 2、5 → 纯循环小数。 【答案】 ：混循环；：有限；：纯循环 【典型例题 4】循环小数周期问题 已知 ，小数点后第 50 位上的数字是几？ 【详解】 循环节为 142857，周期长度 = 6。 ，即 8 个完整周期余 2，取循环节中第 2 个数字。 循环节依次为：1（第1位）、4（第2位）、2（第3位）、8（第4位）、5（第5位）、7（第6位）。 第 2 位数字是 4。 【答案】 4 【跟踪训练 4】 ，小数点后第 35 位数字是多少？ 【详解】 循环节为 285714，周期 = 6。 ，余数为 5，取循环节中第 5 个数字：1。 【答案】 1 【典型例题 5】循环小数加减（先化分数再计算） 计算： 【详解】 先化分数： ； ：不循环 1 位、循环节 1 位，分子 = 01 − 0 = 1，分母 = 90，即 。 。 【答案】 （即 ） 【跟踪训练 5】 计算： 【详解】 ； ：不循环 1 位、循环 1 位，。 。 【答案】 （即 ） 【典型例题 6】循环小数大小比较 把 、、 从小到大排列。 【详解】 展开多写几位： 从高位依次比较：。 【答案】 【跟踪训练 6】 把 、、 从小到大排列。 【详解】 展开： 比较得：。 【答案】 奥数练习 【第 1 题】纯循环小数化分数（★★★） 把 化为最简分数。 【详解】 这是纯循环小数，循环节为 ，共 4 位。根据"几个循环几个 9"，分母写 4 个 9： 约分检查：，而 ；分子 ，617 是质数，与 3、11、101 均无公因数，故不能再约分。 【答案】 【第 2 题】混循环小数化分数（★★★） 把 化为最简分数。 【详解】 ，不循环部分为 （1 位），循环节为 （3 位）。 分子 =（到循环节末尾的全部数字）−（不循环部分）= ；分母 = 循环位数个 9 接不循环位数个 0，即 。 约分：（分子 137 为质数，与 1110 互质）。 【答案】 【第 3 题】分数化小数的类型判断（★★★） 把 、、、 分别化成小数，并判断各属于有限小数、纯循环小数还是混循环小数。 【详解】 对最简分数，只看分母的质因数： ：，只含质因数 2 → 有限小数，； ：，不含 2、5 → 纯循环小数，； ：，既含 2 又含 11 → 混循环小数，； ：，含 2、5 又含 3 → 混循环小数，。 【答案】 （有限）；（纯循环）；、（混循环） 【第 4 题】循环节定位数字（★★★★） 已知 ，小数点后第 2026 位上的数字是几？ 【详解】 循环节为 ，周期长度 = 6。 （），余数为 4，取循环节中第 4 个数字。 循环节依次为：1、4、2、8、5、7，第 4 位是 8。 【答案】 8 【第 5 题】循环节前 N 位数字之和（★★★★） 已知 ，求小数点后前 100 位数字之和。 【详解】 循环节为 ，周期 = 3，一组数字之和为 。 ，即 33 组完整循环节，余 1 位（取第 1 个数字 2）。 前 100 位数字之和 。 【答案】 398 【第 6 题】循环小数等差求和（★★★★★） 计算 。 【详解】 每一项都是两位循环节的纯循环小数：。 所以原式 。 分子为首项 12、末项 89、公差 11 的等差数列，共 8 项，和为 。 原式 。 【答案】 （即 ） 【第 7 题】循环小数与有限小数混合比较（★★★★） 把 、、、 从小到大排列。 【详解】 先把各数多写几位展开： 从高位依次比较：。 【答案】 【第 8 题】循环小数乘除混合运算（★★★★★） 计算 。 【详解】 先全部化成分数： ：不循环 1 位（0），循环节 2 位（49），分子 ，分母 ，即 原式 约分：，，故 。 【答案】 【第 9 题】0.999…=1 的妙用（★★★★） 计算 。 【详解】 。设 ，则 ，相减得 ，即 。或由公式 。 原式 。 【答案】 2 【第 10 题】循环小数化最简分数求数字和（★★★★） 已知 （ 为最简分数），求 。 【详解】 。 逐次约分：。 所以 ，，。 【答案】 42 【第 11 题】1/7 的循环节循环移位规律（★★★★） 已知 ，利用循环节的循环移位规律，直接写出 、、、、 的循环小数表示。 【详解】 1 到 6 除以 7 的循环节都是 的循环移位，且首位依次变化： （循环节 285714） （循环节 428571） （循环节 571428） （循环节 714285） （循环节 857142） 【答案】 ；；；； 【第 12 题】分数与循环小数混合运算（★★★★） 计算 。 【详解】 先把循环小数化成分数：。 通分：，所以 。 再加 ：。 941 为质数，与 1332 互质，结果已是最简。 【答案】 【第 13 题】循环小数除法巧算（★★★★） 计算 。 【详解】 ，。 原式 。 【答案】 【第 14 题】同型循环小数连加找规律（★★★★★） 计算 。 【详解】 逐项化分数： ：不循环 1 位，循环节 1 位， ： ： 四项均等于 ，原式 。 【答案】 【第 15 题】连续若干位数字之和（★★★★★） 已知 ，求小数点后第 2024、2025、2026、2027、2028 位数字之和。 【详解】 循环节 ，周期 = 6。用各位置数除以 6 看余数定位： 2024： → 第 2 位数字 4； 2025：余 3 → 数字 2； 2026：，余 4 → 数字 8； 2027：余 5 → 数字 5； 2028：，余 0 → 取周期末位数字 7。 五数之和 。 【答案】 26 【第 16 题】混循环化分数并比较（★★★★★） 把 化为最简分数，并比较 与 的大小。 【详解】 ：不循环 1 位（3），循环节 2 位（79）。 分子 ，分母 ，。 又 。比较两个分数，交叉相乘： ，。 因为 ，所以 ，即 。 【答案】 ，且 【第 17 题】已知最简分数反求循环小数（★★★★★） 已知 （、、 为不同的数字）化为最简分数后是 ，求 及这个循环小数。 【详解】 是三位循环节的纯循环小数，。 由题意 。因为 ，所以 。 于是 ，即 、、，。 这个循环小数是 。 【答案】 ，循环小数为 【第 18 题】定位 + 求和综合（★★★★★） 已知 ，求小数点后第 2026 位数字，以及小数点后前 2026 位数字之和。 【详解】 循环节为 ，周期 = 5，一组数字之和 。 （），余 1，所以第 2026 位取循环节第 1 个数字，即 1。 前 2026 位 = 405 组完整循环节 + 第 1 位数字，数字之和 。 【答案】 第 2026 位是 ；前 2026 位数字之和为 【第 19 题】分类综合判断（★★★★） 在 、、、、、 中，能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数的各有哪些？ 【详解】 对最简分数，只看分母质因数： ：，含 3 → 混循环； ：，含 3 → 混循环； ：，含 7 → 混循环； ：，只含 2、5 → 有限小数； ：，含 11 → 混循环； ：，不含 2、5 → 纯循环。 【答案】 有限小数：；纯循环小数：；混循环小数：、、、 【第 20 题】循环小数方程求数字（★★★★★） 已知 （、 为 1~9 中的不同数字），求 、 所有可能的取值。 【详解】 由纯循环小数化分数公式： ，。 两式相加：。 由题意 ，得 。 又 、 为不同的数字，则 可为 、、、 及其互换。 【答案】 及其互换（共 8 组） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $