小升初奥数培优06：等比数列与错位相减（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优06：等比数列与错位相减 学习目标 1.认识等比数列，掌握等比数列相关概念：首项、公比、项数；能准确判断一个数列是不 是等比数列。 2.理解错位相减法的原理，学会用错位相减求等比数列的和。 3.熟练运用错位相减法解决基础等比数列求和、变式求和问题，区分等差数列与等比数 列。 4. 能够解决等比数列相关拓展题型，培养代数推理能力，适配小升初奥数考点。 知识精讲 1.等比数列的定义 个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比值都等于同一个不为0的常数，这样的数 列叫做等比数列。这个固定的比值叫做公比，用字母q表示(q≠0)。 举例： (1)2,4,8,16,32…,后项÷前项=2，公比9=2： ②81,279,31，，后项÷前项-子公比9=号 注意： 第1页共17页 (1)等比数列中任意一项都不能是0： (2)公比可以是整数、分数，大于1或者小于1都可以： (3)对比等差数列：等差数列是相邻两项差固定；等比数列是相邻两项比固定。 2.等比数列基本符号约定 ()a,:首项（数列第一个数）； (2)9:公比： )a,:第n项： (④S,:前n项的和。 3.通项公式（第n项) an=a1×q”1 含义：第n项=首项×公比的（项数-1）次方。 例：数列2,4,8,16，，a1=2,9=2,第5项：a=2×2-1-2×16=32。 4.错位相减法（本专题核心) 目标：求等比数列前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an。操作步骤： ()写出求和式子：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q-: (②)等式两边同时乘公比q:qSn=a1q+a1q+…+a1q”-1+a1q”: (3)上下两个式子错位对齐，两式相减：qSn-Sn=a1q”-a1,即S（q-1)=a(q”-1)。 第2页共17页 S= afd-Diq-1) 9-1 当0<g<1时也可写成： s,=a11-9 1-q 错位相减的核心思路：通过乘公比，制造大量相同项，相减抵消，把多项加法变成简单计 算。小升初阶段重点掌握计算过程，不强制死记公式，优先学会手写错位相减的步骤。 5.常见易错提醒 ()错位相减的时候，一定要对齐同次项，不要对错位置； (2)相减时注意符号： 3)项数数清楚，最后剩下两项，不要多算、少算： (④区分：等差用倒序相加，等比用错位相减。 工D例题讲解 【典型例题1】 计算：S=1+2+4+8+16+32 【详解】 观察数列：1,2,4,8,16,32，首项a1=1,公比q=2,一共6项。 写出和式：S=1+2+4+8+16+32① 两边同乘公比2：2S=2+4+8+16+32+64② 第3页共17页 ②-①：2S-S=(2+4+8+16+32+64)-(1+2+4+8+16+32) S=64-1=63 【答案】 63 【跟踪训练1】 计算：S=1+3+9+27+81 【详解】 数列：1,3,9,27,81，首项a1=1,公比q=3,共5项。 S=1+3+9+27+81① 3S=3+9+27+81+243② ②-①：3S-S=243-1,即2S=242,所以S=121。 【答案】 121 【典型例题2】 计算：S=5+10+20+40+80 【详解】 首项a1=5,公比9=2，一共5项。 S=5+10+20+40+80① 2S=10+20+40+80+160② ②-①：2S-S=160-5,所以S=155。 第4页共17页 【答案】 155 【跟踪训练2】 计算：S=4+12+36+108 【详解】 首项Q1=4,公比q=3,一共4项。 S=4+12+36+108① 3S=12+36+108+324② ②-①：3S-S=324-4,即2S=320,所以S=160。 【答案】 160 【典型例题3】 计算：S=1+++1+1 24816 【详解】 首项a=1,公比q= 1 一共5项。 s=1+1+1+1+10 24816 两边乘 +1② ①- @:59-1克即8费所以s- 6 【答案】 第5页共17页 3 6 【跟踪训练3】 计算：S=1++1+1 3g27 【详解】 首项a,=1,公比q=3 1 一共4项。 s=1+号+1+10 3927 -392781 81 所以S=80×3-40 812279 【答案】 40 27 【典型例题4】（拓展拔高） 计算：S=2+6+18+54+162 【详解】 首项a1=2,公比q=3,一共5项。 S=2+6+18+54+162① 3S=6+18+54+162+486② ②-①：3S-S=486-2,即2S=484,所以S=242。 【答案】 242 第6页共17页 【跟踪训练4】 计算：S=3+6+12+24+48+96 【详解】 首项a1=3,公比q=2,一共6项。 S=3+6+12+24+48+96① 2S=6+12+24+48+96+192② ②-①：2S-S=192-3,所以S=189。 【答案】 189 【典型例题5】（奥数变式：带公因数的等比数列) 计算：S=2×1+2×3+2×9+2×27 【详解】 方法一：提取公因数。S=2×(1+3+9+27)。括号内是等比数列，a1=1,q=3 ,共4项。令T=1+3+9+27,则3T=3+9+27+81,两式相减得 2T=81-1=80?所以T=40:S=2×40=80 方法二：直接错位相减。S=2+6+18+54①，3S=6+18+54+162②，②- ①得2S=162-2=160,所以S=80。 【答案】 80 第7页共17页 【跟踪训练5】 计算：S=5+5×2+5×4+5×8 【详解】 原式即S=5+10+20+40①，两边乘2：2S=10+20+40+80②。 ②-①：2S-S=80-5,所以S=75。 【答案】 75 三2奥数练习 自的的的自图的的的的的的自的自图的的的的的的的的自的的的自自自的的自图的的自的的自的的的的的的自的的的的的自图的的自图自的的自自图的的自图自的的自的图的的自的自的的的自信的的自图的的自自的的的自图自的的的自的的的的的的的的的的的的的自图■ 第1题 计算：S=1+2+4+8+16+…+512 【详解】 数列首项a1=1,公比q=2,512=2,共10项。 S=1+2+4+…+512① 2S=2+4+8+…+1024② ②-①：2S-S=1024-1,所以S=1023。 【答案】 1023 第2题 计算：S=3+6+12+24+…+1536 第8页共17页 【详解】 首项a1=3,公比9=2,1536=3×2，共10项。 S=3+6+12+…+1536① 2S=6+12+24+…+3072② ②-①：2S-S=3072-3,所以S=3069。 【答案】 3069 第3题 计算：s+日 1 248 512 【详解】 首项a之公比g方 分母从2到2，共9项。 24 1① 51 48 1024 ①-②： 511 所以S=511 512 【答案】 511 512 第4题 计算：S=1+3+9+27+.+2187 【详解】 第9页共17页 首项a1=1,公比q=3,2187=3,共8项。 S=1+3+9+…+2187① 3S=3+9+27+…+6561② ②-①：3S-S=6561-1,即2S=6560,所以S=3280. 【答案】 3280 第5题 计算：S=5+5×4+5×16+5×64+5×256 【详解】 提取公因数：S=5×(1+4+16+64+256). 括号内为等比数列，q=4,共5项： 1+4+16+64+256-4-1-1024-1=341. 4-13 所以S=5×341=1705。 【答案】 1705 第6题 计算：S=2+6+18+54+…+1458 【详解】 首项a=2,公比q=3.2×3”-1=1458,3-1=729=3,所以共7项。 第10页共17页 S=2+6+18+.+1458① 3S=6+18+54+…+4374② ②-①：2S=4374-2=4372,所以S=2186。 【答案】 2186 第7题 一个等比数列的首项是4，公比是2，求它的前8项和。 【详解】 首项a1=4,公比q=2,项数n=8。 由求和公式：S,=g-1-4×21=4×255=1020 q-12-1 【答案】 1020 第8题 计算：s=+1+1+1 392781 【详解】 首项a,京公比q京共4项。 s=+++10 392781 s=卫士11 1② 92781243 ①-②： 号2知0所以5器*是智 2432811 第11页共17页 【答案】 40 第9题 计算：S=0.9+0.09+0.009+0.0009 【详解】 首项a1=0.9,公比q=0.1,共4项。 S=0.9+0.09+0.009+0.0009① 0.1S=0.09+0.009+0.0009+0.00009② ①-②：0.9S=0.9-0.00009=0.89991,所以S=0.9999。 【答案】 0.9999 第10题（等差×等比） 计算：S=1×3+2×9+3×27+4×81 【详解】 系数1,2,3,4成等差，等比部分3,9,27,81公比为3。 S=1×3+2×9+3×27+4×81① 3S=1×9+2×27+3×81+4×243② ①-②：S-3S=1×3+(2-1)×9+3-2)×27+(4-3)×81-4×243 即-2S=3+9+27+81-972=120-972=-852,所以S=426。 【答案】 第12页共17页 426 第11题（循环小数化分数) 把 (即0.777.)化成分数。 0.7 【详解】 设x=0.777…,则10x=7.777…。 两式相减：10x-x=7,即9x=7,所以x=乙 9 (也可用等比数列：0.7+0.07+0.007+…=，0.7=乙) 1-0.191 【答案】 7 第12题 一个等比数列的首项是2，前3项的和是26，求它的公比q(q>0)。 【详解】 前三项为2,2q,2q,由题意：2+2q+2q2=26。 两边同除以2：q2+q+1=13,即q2+q-12=0。 因式分解：(9+4)(q-3)=0,得q=3或q=-4。 因q>0,所以q=3。 【答案】 q=3 第13页共17页 第13题 一个等比数列的首项是3，公比是2，末项是192，求这个数列的项数。 【详解】 由通项公式：3×2”-1=192。 两边同除以3：2”-1=64=2，所以n-1=6,即n=7。 这个数列共有7项。 【答案】 7项 第14题 计算：S=1+4+16+64+256+1024 【详解】 首项a1=1,公比q=4,共6项。 S=1+4+16+64+256+1024① 4S=4+16+64+256+1024+4096② ②-①：3S=4096-1=4095,所以S=1365。 【答案】 1365 第15题 计算：S=1+++1+1+1+1 248163264 第14页共17页 【详解】 1 首项a-1,公比q2共7项. s=1+1++① 64 1② ①-②： 1 128128,所以S=127 1_127 1289 【答案】 127 128 第16题 计算：S=6+12+24+48+96+192 【详解】 首项a1=6,公比q=2,共6项。 S=6+12+24+48+96+192① 2S=12+24+48+96+192+384② ②-①：2S-S=384-6,所以S=378。 【答案】 378 第17题（等比中项逆向求通项) 一个等比数列的第2项是6，第4项是54，求它的前6项和。 【详解】 第15页共17页 设首项为a1,公比为9，则a19=6,a193=54。 两式相除：a19-54,得q=9所以q=3,进而a=2 aq 6 前6项和：S6 2×3-1=3-1=729-1=728。 3-1 【答案】 728 第18题 计算：S=9+9×3+9×9+9×27+9×81 【详解】 提取公因数：S=9×(1+3+9+27+81)。 括号内等比数列q=3,共5项：1+3+9+27+81 35-1=243-1=121。 3-12 所以S=9×121=1089。 【答案】 1089 第19题 计算：S=1+5+25+125+625+3125 【详解】 首项a1=1,公比q=5,共6项。 S=1+5+25+125+625+3125① 5S=5+25+125+625+3125+15625② 第16页共17页 ②-①：4S=15625-1=15624,所以S=3906。 【答案】 3906 第20题 计算：S=2+2+2+2+2 392781243 【详解】 首项a,= 公比g字共5项。 s=2+2+…+ 2① 39 243 2 十…十 ② 927 729 ①- ②： s=2-2- 486-2_484 484×3-242 6-3729 729 7291 所以S= 729 2243 【答案】 242 243 第17页共17页小升初奥数培优06：等比数列与错位相减 学习目标 1.认识等比数列，掌握等比数列相关概念：首项、公比、项数；能准确判断一个数列是不 是等比数列。 2.理解错位相减法的原理，学会用错位相减求等比数列的和。 3.熟练运用错位相减法解决基础等比数列求和、变式求和问题，区分等差数列与等比数 列。 4. 能够解决等比数列相关拓展题型，培养代数推理能力，适配小升初奥数考点。 知识精讲 1.等比数列的定义 个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比值都等于同一个不为0的常数，这样的数 列叫做等比数列。这个固定的比值叫做公比，用字母q表示(q≠0)。 举例： (1)2,4,8,16,32…,后项÷前项=2，公比9=2： ②81,279,31，，后项÷前项-子公比9=号 注意： 第1页共12页 (1)等比数列中任意一项都不能是0： (2)公比可以是整数、分数，大于1或者小于1都可以： (3)对比等差数列：等差数列是相邻两项差固定；等比数列是相邻两项比固定。 2.等比数列基本符号约定 ()a,:首项（数列第一个数）； (2)9:公比： )a,:第n项： (④S,:前n项的和。 3.通项公式（第n项) an=a1×q”1 含义：第n项=首项×公比的（项数-1）次方。 例：数列2,4,8,16，，a1=2,9=2,第5项：a=2×2-1-2×16=32。 4.错位相减法（本专题核心) 目标：求等比数列前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an。操作步骤： ()写出求和式子：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q-: (②)等式两边同时乘公比q:qSn=a1q+a1q+…+a1q”-1+a1q”: (3)上下两个式子错位对齐，两式相减：qSn-Sn=a1q”-a1,即S（q-1)=a(q”-1)。 第2页共12页 S aid-1(q-1) 9-1 当0<q<1时也可写成：9，=(1-g 1-q 错位相减的核心思路：通过乘公比，制造大量相同项，相减抵消，把多项加法变成简单计 算。小升初阶段重点掌握计算过程，不强制死记公式，优先学会手写错位相减的步骤。 5.常见易错提醒 ()错位相减的时候，一定要对齐同次项，不要对错位置； (2)相减时注意符号： (3)项数数清楚，最后剩下两项，不要多算、少算： (④区分：等差用倒序相加，等比用错位相减。 心回例题讲解 【典型例题1】 计算：S=1+2+4+8+16+32 【跟踪训练1】 第3页共12页 计算：S=1+3+9+27+81 【典型例题2】 计算：S=5+10+20+40+80 【跟踪训练2】 计算：S=4+12+36+108 【典型例题3】 计算：S=1+1+1+1+1 24816 第4页共12页 【跟踪训练3】 计算：S=1++1+1 3927 【典型例题4】（拓展拔高） 计算：S=2+6+18+54+162 【跟踪训练4】 计算：S=3+6+12+24+48+96 【典型例题5】（奥数变式：带公因数的等比数列) 第5页共12页 计算：S=2×1+2×3+2×9+2×27 【跟踪训练5】 计算：S=5+5×2+5×4+5×8 论臾数练习 第1题 计算：S=1+2+4+8+16+…+512 第2题 计算：S=3+6+12+24+…+1536 第6页共12页 第3题 计算：S=号++t…+1 248512 第4题 计算：S=1+3+9+27+…+2187 第5题 计算：S=5+5×4+5×16+5×64+5×256 第7页共12页 第6题 计算：S=2+6+18+54+…+1458 第7题 一个等比数列的首项是4，公比是2，求它的前8项和。 第8题 计算：S=+1+1+1 3g2781 第9题 计算：S=0.9+0.09+0.009+0.0009 第8页共12页 第10题（等差×等比） 计算：S=1×3+2×9+3×27+4×81 第11题（循环小数化分数） 把。（即0.777.）化成分数。 0.7 第12题 一个等比数列的首项是2，前3项的和是26，求它的公比9(q>0)。 第9页共12页 第13题 一个等比数列的首项是3，公比是2，末项是192，求这个数列的项数。 第14题 计算：S=1+4+16+64+256+1024 第15题 计算：5=1+号子*日后豆品 第16题 计算：S=6+12+24+48+96+192 第10页共12页 第17题（等比中项逆向求通项) 一个等比数列的第2项是6，第4项是54，求它的前6项和。 第18题 计算：S=9+9×3+9×9+9×27+9×81 第19题 计算：S=1+5+25+125+625+3125 第20题 第11页共12页 计算：S=2+2+2+22 392781243 第12页共12页