小升初奥数03：分数的速算与巧算（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优03：分数的速算与巧算 学习目标 1.熟练掌握分数四则运算法则，能快速识别适合巧算的算式结构。 2.掌握凑整、乘法分配律逆用、裂项相消、换元法、约分巧算等分数速算技巧。 3.能观察算式特点，灵活选择简便方法，减少复杂通分计算，提升运算速度与准确率。 4.能解决综合性分数巧算大题，适配小升初奥数高频考点。 画知识精讲 (一)基础运算定律（分数同样适用) 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.乘法交换律：a×b=b×a 4.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 5.乘法分配律：(a±b)×c=a×c±b×c 奥数最常用：乘法分配律逆运用a×c±b×c=(a±b)×C,重点是构造相同公因数。 (二)约分巧算（连锁约分） 1.连乘型分数算式，先把所有分子、分母写成乘积形式，交叉约去公因数，最后再计算， 避免分步硬算。 第1页共9页 2.常见形式：只xbx9, bc d ,中间项直接抵消。 (三)裂项相消（本专题重中之重，小升初奥数必考) 裂项核心：把一个分数拆成两个分数的差（或和），相加时中间项互相抵消。 1=1-1 1,基础裂差公式：nn+1nn+1 2. 拓展裂差（分母两数差为k):1一=1×1-1 n(n+k)kn n+k 3.分子不为1的裂项：先提取分子，再裂项： 4. 裂和形式：a+也=上+，较少考，了解即可。 a×bab 裂项判断特征：分母是两个自然数的乘积，分子是常数。 (四)换元法（整体代换） 算式里有一大段重复出现的相同式子，设重复部分为字母（如a),把复杂算式简化，消去 重复计算，最后再代回。适合长串加减乘混合、重复片段多的题型。 (五)凑整思想 分数凑整：优先凑出整数1、2、10等：带分数可以拆成"整数+真分数"分开计算。 例：997=100-1 8 8 (六)常用提醒 1.带分数运算：乘除优先化成假分数：加减可以拆分整数、分数部分分开算。 2.除法变乘法：除以一个分数=乘它的倒数，方便用分配律。 第2页共9页 3.做题顺序：先观察，再动笔，优先找简便方法 例题讲解 【典型例题1】乘法分配律逆用（构造公因数) 计算：号×19+号×20 【跟踪训练1】 计算：日x31+ *32 【典型例题2】基础裂差计算 1 1 计算：1×22x33x49x10 【跟踪训练2】 计算：12t1+1++1 2×33×44×519×20 第3页共9页 【典型例题3】拓展裂差（分母差不为1) 计算：，+1+1+…+1 十 1×33×55×717×19 【跟踪训练3】 计算：1t1+1+…+1 2×44×66×818×20 【典型例题4】换元法（整体代换） 计第*+归 【跟踪训练4】 计算✉目好任+-仔+日经日 第4页共9页 【典型例题5】凑整巧算（带分数拆分) 计第99导号 5 【跟踪训练5】 计算：1993+192+3 4 144 【典型例题6】连锁约分 计第号*子器股 99100 【跟踪训练6】 计算：×3×4×x2024 345 2025 卫奥数练习 1 1 1 1 1.计算：1×2×32×3×43×4×5 …十 18×19×20 第5页共9页 单6并逆9熊 竖++中+x吕++号+华*++华++》飞 .00Tx86+…+8x9+9x中，×Z煮19 II+I 0兰，中s .I0Ix662xSxEEx 十…十 乙 乙乙乙 ,I0Z×66LL×S,S×8+8×I:g 十…十 +I 01 E + 单6并逆L熊 ℃+g,g9 66 ,9s_08+℃_+9TⅡ SI'EI II'6 Lg 。Z0Z Z0乙 e乙0Z +Z0Z×Z07 10江 。00T ××名6 66XX忆×T×8×E 片++月+++1月++片+++1)8 13.计算：(1-21-301-4-1-100 14讲年：日6*+0 1:20408205. 1+1 16.计算：2x55x88x1198×107。 1n计算：分分*的片分*字*尚-号*0分*的。 1%1哈-1安含甘君哈 第8页共9页 19训算：分*分写好子号日后×24。 20.计算：(1-2(1+21-31+31-201+20. 第9页共9页 小升初奥数培优03：分数的速算与巧算 学习目标 1. 熟练掌握分数四则运算法则，能快速识别适合巧算的算式结构。 2. 掌握凑整、乘法分配律逆用、裂项相消、换元法、约分巧算等分数速算技巧。 3. 能观察算式特点，灵活选择简便方法，减少复杂通分计算，提升运算速度与准确率。 4. 能解决综合性分数巧算大题，适配小升初奥数高频考点。 知识精讲 （一）基础运算定律（分数同样适用） 1. 加法交换律： 2. 加法结合律： 3. 乘法交换律： 4. 乘法结合律： 5. 乘法分配律： 奥数最常用：乘法分配律逆运用 ，重点是构造相同公因数。 （二）约分巧算（连锁约分） 1. 连乘型分数算式，先把所有分子、分母写成乘积形式，交叉约去公因数，最后再计算，避免分步硬算。 2. 常见形式：，中间项直接抵消。 （三）裂项相消（本专题重中之重，小升初奥数必考） 裂项核心：把一个分数拆成两个分数的差（或和），相加时中间项互相抵消。 1. 基础裂差公式： 2. 拓展裂差（分母两数差为 k）： 3. 分子不为 1 的裂项：先提取分子，再裂项； 4. 裂和形式：，较少考，了解即可。 裂项判断特征：分母是两个自然数的乘积，分子是常数。 （四）换元法（整体代换） 算式里有一大段重复出现的相同式子，设重复部分为字母（如 ），把复杂算式简化，消去重复计算，最后再代回。适合长串加减乘混合、重复片段多的题型。 （五）凑整思想 分数凑整：优先凑出整数 等；带分数可以拆成"整数 + 真分数"分开计算。 例： （六）常用提醒 1. 带分数运算：乘除优先化成假分数；加减可以拆分整数、分数部分分开算。 2. 除法变乘法：除以一个分数 = 乘它的倒数，方便用分配律。 3. 做题顺序：先观察，再动笔，优先找简便方法。 例题讲解 【典型例题 1】乘法分配律逆用（构造公因数） 计算： 【详解】 观察：没有相同公因数，把 拆成 ，构造相同的 。 【答案】 【跟踪训练 1】 计算： 【详解】把 拆成 。 【答案】 【典型例题 2】基础裂差计算 计算： 【详解】套用裂差公式 。 中间全部抵消，只剩首项和末项。 【答案】 【跟踪训练 2】 计算： 【详解】 【答案】 【典型例题 3】拓展裂差（分母差不为 1） 计算： 【详解】分母两数差 ，公式：。 【答案】 【跟踪训练 3】 计算： 【详解】分母差 。 【答案】 【典型例题 4】换元法（整体代换） 计算： 【详解】设 ，。 原式 。 代回：。 【答案】 【跟踪训练 4】 计算： 【详解】设 ，。 【答案】 【典型例题 5】凑整巧算（带分数拆分） 计算： 【详解】凑整：，。 【答案】 【跟踪训练 5】 计算： 【详解】 【答案】 【典型例题 6】连锁约分 计算： 【详解】前一个分子和后一个分母依次抵消。 【答案】 【跟踪训练 6】 计算： 【详解】连锁约分，全部中间项抵消，只剩首分子和末分母。 【答案】 奥数练习 1. 计算：。 【详解】。逐项展开，中间各项全部抵消，只剩首尾两项。。 【答案】。 2. 计算：。 【详解】，分子恰等于分母两数的差 3，故直接裂成两项之差。相邻项首尾相接全部抵消。。 【答案】。 3. 计算：。 【详解】，分母两数差为 2。逐项展开后，中间项全部抵消。。 【答案】。 4. 计算：。 【详解】，分子恰为分母两数之差 2，可直接裂项。逐项抵消后剩首末两项。。 【答案】。 5. 计算：。 【详解】，分母两数差为 3。展开后中间项全部抵消。。 【答案】。 6. 计算：。 【详解】，分母两数差为 2，取偶数项 n=2,4,…,98。中间项抵消。。 【答案】。 7. 计算：−。 【详解】设。原式＝(a＋b)(b＋c)－(a＋b＋c)·b。。 【答案】。 8. 计算：−。 【详解】设。原式＝(1＋a)(a＋b)－(1＋a＋b)·a。。 【答案】。 9. 计算：。 【详解】观察：每一项都是即（n=2,3,…,10），分子分母可交叉约分。。 【答案】。 10. 计算：。 【详解】提取公因数，逆用乘法分配律。。 【答案】2023。 11. 计算：。 【详解】，其余各项均可拆成相邻单位分数之和，如…）。。 【答案】。 12. 计算：。 【详解】分母相同，分子是 1,3,5,…,99，是首项为 1、公差为 2 的等差数列，共 50 项。。。 【答案】25。 13. 计算：。 【详解】每一项，于是相邻项的分子与分母交叉约分。。 【答案】。 14. 计算：。 【详解】后一项都是前一项的，是等比数列，共 10 项。可“补尾法”：设原式为 S，则。理由：在图上,每次取一半,剩余恰好是最末一项。。 【答案】。 15. 计算：。 【详解】设 n=2014，则 2013=n−1，2015=n+1。分子，分母，分子、分母完全相同，故原式＝1。。 【答案】1。 16. 计算：。 【详解】，n=2,5,8,…,98，相邻项抵消。。 【答案】。 17. 计算：−。 【详解】设。原式＝(a＋b)(b＋c)－(a＋b＋c)·b＝ac。。 【答案】。 18. 计算：−。 【详解】设。原式＝(1−a)(a＋b)−(1−a−b)·a。。 【答案】。 19. 计算：。 【详解】先把括号内各项乘出来，再通分相加。。原式＝。 【答案】8。 20. 计算：。 【详解】每组相乘，k=2,3,…,20。逐项连乘时分子分母交叉约分。。 【答案】。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $