小升初奥数培优13：最大公因数与最小公倍数（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优13：最大公因数与最小公倍数 学习目标 1. 理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的含义，能准确区分两个概念。 2. 熟练掌握列举法、分解质因数法、短除法求一组数的最大公因数和最小公倍数。 3. 掌握最大公因数与最小公倍数之间的核心关系：（两个自然数）。 4. 能够运用最大公因数、最小公倍数解决分段、分组、周期、同余、铺砖等实际应用题。 5. 培养数感，学会根据题意判断题目是求最大公因数还是最小公倍数。 知识精讲 一、基本概念 1. 公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，记作 ，也可以写作 。 公因数的个数是有限的，所有公因数都是最大公因数的因数。 例：12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18 公因数：1、2、3、6；最大公因数 2. 公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个（0 除外），叫做这几个数的最小公倍数，记作 ，也可以写作 。 公倍数有无数个，所有最小公倍数的倍数都是这组数的公倍数。 例：4 的倍数：4、8、12、16、20、24……；6 的倍数：6、12、18、24…… 公倍数：12、24、36……；最小公倍数 二、求最大公因数、最小公倍数常用方法 方法 1：列举法 分别写出每个数的因数（倍数），再找出公共部分，适合数字较小的题目。 方法 2：分解质因数法 把每个数分解成质数相乘的形式： (1) 最大公因数：取相同质因数，取最低次幂相乘； (2) 最小公倍数：取所有出现的质因数，取最高次幂相乘。 例：， 方法 3：短除法（最常用） 用公共质因数做除数，一直除到商互质为止： (1) 最大公因数：所有左侧除数相乘； (2) 两个数最小公倍数：左侧除数 × 底下两个商相乘； (3) 三个及以上数最小公倍数：除到任意两个商都互质，左侧除数 × 底下所有商相乘。 重点：三个数求最小公倍数，一定要除到两两互质，不能只除到商没有公共因数！ 三、两种特殊关系 1. 互质数 公因数只有 1 的两个数叫做互质数。 互质常见情况： (1) 相邻自然数； (2) 两个不同质数； (3) 1 和任意自然数。 互质结论：，。 2. 倍数关系 如果大数是小数的倍数： 结论：，。 四、核心公式（必考） 对于任意两个自然数 ： 用处：已知两个数的最大公因数、最小公倍数，反求其中一个数，或者求两数乘积。 拓展：三个数没有这个等式，公式只适用于两个数！ 五、应用题判断口诀 1. 把东西分成若干相等小段、平均分、裁同样大小、分组最多 → 求最大公因数； 2. 再次重合、一起出现、铺正方形、排队整齐、周期相遇、最少总量 → 求最小公倍数。 例题讲解 【典型例题 1】 求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数（用分解质因数法 + 短除法）。 【跟踪训练 1】 求 54 和 72 的最大公因数和最小公倍数。 【典型例题 2】 已知两个自然数的乘积是 216，它们的最大公因数是 6，求这两个数的最小公倍数。 【跟踪训练 2】 两个自然数相乘等于 360，最大公因数是 6，求最小公倍数。 【典型例题 3】 一张长方形纸片，长 60 厘米，宽 48 厘米。把它裁成若干个大小相同的正方形，没有剩余。正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁多少个？ 【跟踪训练 3】 一块长方形木板长 80 分米，宽 64 分米，锯成同样大小正方形木板，无剩余，正方形边长最大多少分米？一共多少块？ 【典型例题 4】 甲每 4 天去一次图书馆，乙每 6 天去一次图书馆，丙每 8 天去一次图书馆。某天三人同时在图书馆相遇，至少再过多少天三人再次同一天到图书馆？ 【跟踪训练 4】 小明每隔 3 天去一次球场，小红每隔 5 天去一次球场，小刚每隔 6 天去一次球场。今天三人相遇，最少再过多少天同时相遇？ 【典型例题 5】 两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72，其中一个数是 24，求另一个数是多少？ 【跟踪训练 5】 两个数最大公因数是 9，最小公倍数是 90，其中一个数是 18，求另一个数。 【典型例题 6】 有一堆糖果，数量在 100～120 颗之间。如果平均分给 8 个人，刚好分完；平均分给 12 个人，也刚好分完。这堆糖果一共多少颗？ 【跟踪训练 6】 一批书本，总数在 150～180 本之间，每捆 12 本正好捆完，每捆 15 本也正好捆完，这批书一共多少本？ 【典型例题 7】 用长 5 分米、宽 3 分米的长方形地砖铺一个正方形地面（地砖不切割），铺成的正方形边长最小是多少分米？一共需要多少块地砖？ 【跟踪训练 7】 长方形瓷砖长 6 dm，宽 4 dm，用这种瓷砖铺正方形（不切割），正方形边长最小多少分米？一共要多少块？ 奥数练习 第1题　求 720、540、360 的最大公因数和最小公倍数。 第2题　两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 216，且这两个数都大于 6。求这两个数。 第3题　甲每隔 5 天去一次图书馆，乙每隔 7 天去一次，丙每隔 9 天去一次。某日三人恰好在图书馆相遇，至少再过多少天三人再次同日到图书馆？ 第4题　用长 12 分米、宽 8 分米的长方形地砖铺一个正方形地面（地砖不切割）。铺成的正方形边长最小是多少分米？一共需要多少块地砖？ 第5题　两个自然数的最大公因数是 9，它们的乘积是 243。求这两个数。 第6题　已知 化成最简分数后为 ，且 a、b 的最大公因数是 9。求 a 和 b。 第7题　在所有三位数中，有多少个数与 72 的最大公因数是 36？其中最小的是多少？ 第8题　一筐鸡蛋，3 个 3 个数剩 2 个，4 个 4 个数剩 3 个，5 个 5 个数剩 4 个，6 个 6 个数剩 5 个，7 个 7 个数剩 6 个。这筐鸡蛋至少有多少个？ 第9题　有一个最简真分数，分子与分母的乘积是 588。这样的分数一共有多少个？ 第10题　甲每 12 天去一次公园，乙每 18 天去一次，丙每 20 天去一次，丁每 30 天去一次。某日四人在公园相遇，至少再过多少天四人再次同日到公园？ 第11题　有两根木条，一根长 84 分米，另一根长 126 分米。要把它们都锯成同样长的整分米短木条且不浪费，每段最长是多少分米？一共可以锯成多少段？ 第12题　一个分数约分后是 ，已知这个分数约分前分子与分母的和是 52。求这个分数。 第13题　两个互相啮合的齿轮，甲有 24 个齿，乙有 36 个齿。从某一对齿第一次啮合开始，至少各转多少圈后，这对齿再次啮合？ 第14题　一个自然数除以 7 余 2，除以 8 余 3，除以 9 余 4。求满足条件的最小自然数。 第15题　甲数是乙数的 4 倍，且甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数之和为 100。求甲、乙两数。 第16题　两个完全平方数的最大公因数是 4，最小公倍数是 144。求这两个数。 第17题　两个不同的两位数的最大公因数是 9，最小公倍数是 126。求这两个数。 第18题　求 1 到 100 的自然数中，与 36 的最大公因数是 12 的数的个数。 第19题　一个自然数除以 2、3、4、5、6 都余 1，且它能被 7 整除。求这个自然数的最小值。 第20题　两个正整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72。这样的两个数一共有几对？（不计顺序） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优13：最大公因数与最小公倍数 学习目标 1. 理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的含义，能准确区分两个概念。 2. 熟练掌握列举法、分解质因数法、短除法求一组数的最大公因数和最小公倍数。 3. 掌握最大公因数与最小公倍数之间的核心关系：（两个自然数）。 4. 能够运用最大公因数、最小公倍数解决分段、分组、周期、同余、铺砖等实际应用题。 5. 培养数感，学会根据题意判断题目是求最大公因数还是最小公倍数。 知识精讲 一、基本概念 1. 公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，记作 ，也可以写作 。 公因数的个数是有限的，所有公因数都是最大公因数的因数。 例：12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18 公因数：1、2、3、6；最大公因数 2. 公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个（0 除外），叫做这几个数的最小公倍数，记作 ，也可以写作 。 公倍数有无数个，所有最小公倍数的倍数都是这组数的公倍数。 例：4 的倍数：4、8、12、16、20、24……；6 的倍数：6、12、18、24…… 公倍数：12、24、36……；最小公倍数 二、求最大公因数、最小公倍数常用方法 方法 1：列举法 分别写出每个数的因数（倍数），再找出公共部分，适合数字较小的题目。 方法 2：分解质因数法 把每个数分解成质数相乘的形式： (1) 最大公因数：取相同质因数，取最低次幂相乘； (2) 最小公倍数：取所有出现的质因数，取最高次幂相乘。 例：， 方法 3：短除法（最常用） 用公共质因数做除数，一直除到商互质为止： (1) 最大公因数：所有左侧除数相乘； (2) 两个数最小公倍数：左侧除数 × 底下两个商相乘； (3) 三个及以上数最小公倍数：除到任意两个商都互质，左侧除数 × 底下所有商相乘。 重点：三个数求最小公倍数，一定要除到两两互质，不能只除到商没有公共因数！ 三、两种特殊关系 1. 互质数 公因数只有 1 的两个数叫做互质数。 互质常见情况： (1) 相邻自然数； (2) 两个不同质数； (3) 1 和任意自然数。 互质结论：，。 2. 倍数关系 如果大数是小数的倍数： 结论：，。 四、核心公式（必考） 对于任意两个自然数 ： 用处：已知两个数的最大公因数、最小公倍数，反求其中一个数，或者求两数乘积。 拓展：三个数没有这个等式，公式只适用于两个数！ 五、应用题判断口诀 1. 把东西分成若干相等小段、平均分、裁同样大小、分组最多 → 求最大公因数； 2. 再次重合、一起出现、铺正方形、排队整齐、周期相遇、最少总量 → 求最小公倍数。 例题讲解 【典型例题 1】 求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数（用分解质因数法 + 短除法）。 【详解】 分解质因数： 最大公因数：取相同质因数最低次幂： 最小公倍数：取全部质因数最高次幂： 短除法验证：除数依次为 2、2、3，商为 3、4，3 和 4 互质。 【答案】最大公因数是 12，最小公倍数是 144。 【跟踪训练 1】 求 54 和 72 的最大公因数和最小公倍数。 【详解】 分解质因数： 最大公因数： 最小公倍数： 【答案】最大公因数 18，最小公倍数 216。 【典型例题 2】 已知两个自然数的乘积是 216，它们的最大公因数是 6，求这两个数的最小公倍数。 【详解】 根据公式： 代入条件： 【答案】最小公倍数是 36。 【跟踪训练 2】 两个自然数相乘等于 360，最大公因数是 6，求最小公倍数。 【详解】 由 【答案】最小公倍数是 60。 【典型例题 3】 一张长方形纸片，长 60 厘米，宽 48 厘米。把它裁成若干个大小相同的正方形，没有剩余。正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁多少个？ 【详解】 裁成同样大正方形且无剩余、边长最大，是求长和宽的最大公因数。 ：短除法除数 2、2、3， 正方形最大边长 12 cm。 长方向块数： 宽方向块数： 总个数：（个） 【答案】正方形边长最大 12 厘米，一共裁 20 个。 【跟踪训练 3】 一块长方形木板长 80 分米，宽 64 分米，锯成同样大小正方形木板，无剩余，正方形边长最大多少分米？一共多少块？ 【详解】 求 分解质因数：， 边长最大 16 分米。 ， 总块数： 块。 【答案】边长最大 16 分米，一共 20 块。 【典型例题 4】 甲每 4 天去一次图书馆，乙每 6 天去一次图书馆，丙每 8 天去一次图书馆。某天三人同时在图书馆相遇，至少再过多少天三人再次同一天到图书馆？ 【详解】 再次同时相遇，求最小公倍数 短除法： 4、6、8 同时除以 2，商 2、3、4； 2 和 4 继续除以 2，商 1、3、2；此时 1、3、2 两两互质。 【答案】至少再过 24 天。 【跟踪训练 4】 小明每隔 3 天去一次球场，小红每隔 5 天去一次球场，小刚每隔 6 天去一次球场。今天三人相遇，最少再过多少天同时相遇？ 【详解】 每隔 3 天 → 周期 4 天；每隔 5 天 → 周期 6 天；每隔 6 天 → 周期 7 天。 求 ，， 【答案】最少再过 84 天。 【典型例题 5】 两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72，其中一个数是 24，求另一个数是多少？ 【详解】 利用公式： 设另一个数为 检验：，，符合条件。 【答案】另一个数是 36。 【跟踪训练 5】 两个数最大公因数是 9，最小公倍数是 90，其中一个数是 18，求另一个数。 【详解】 设另一个数为 检验：，，满足题意。 【答案】另一个数是 45。 【典型例题 6】 有一堆糖果，数量在 100～120 颗之间。如果平均分给 8 个人，刚好分完；平均分给 12 个人，也刚好分完。这堆糖果一共多少颗？ 【详解】 糖果总数是 8 和 12 的公倍数，先求最小公倍数 24 的倍数：24、48、72、96、120、144…… 范围 100～120 之间，符合条件的是 120。 【答案】这堆糖果 120 颗。 【跟踪训练 6】 一批书本，总数在 150～180 本之间，每捆 12 本正好捆完，每捆 15 本也正好捆完，这批书一共多少本？ 【详解】 求 60 的倍数：60、120、180、240…… 区间 150～180，符合条件：180。 【答案】一共 180 本。 【典型例题 7】 用长 5 分米、宽 3 分米的长方形地砖铺一个正方形地面（地砖不切割），铺成的正方形边长最小是多少分米？一共需要多少块地砖？ 【详解】 正方形边长是 5 和 3 的最小公倍数，5 和 3 互质。 ，边长最小 15 分米。 横向： 块 纵向： 块 总块数： 块。 【答案】正方形边长最小 15 分米，需要 15 块地砖。 【跟踪训练 7】 长方形瓷砖长 6 dm，宽 4 dm，用这种瓷砖铺正方形（不切割），正方形边长最小多少分米？一共要多少块？ 【详解】 求 ，最小边长 12 分米。 ， 块数： 块。 【答案】边长最小 12 分米，需要 6 块。 奥数练习 第1题　求 720、540、360 的最大公因数和最小公倍数。 【详解】 分解质因数：720 = 2⁴ × 3² × 5；540 = 2² × 3³ × 5；360 = 2³ × 3² × 5。 最大公因数取相同质因数的最低次幂：2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180。 最小公倍数取所有出现质因数的最高次幂：2⁴ × 3³ × 5 = 16 × 27 × 5 = 2160。 【答案】最大公因数是 180，最小公倍数是 2160。 第2题　两个自然数的最大公因数是 6，最小公倍数是 216，且这两个数都大于 6。求这两个数。 【详解】 设两数为 6a 和 6b，其中 a、b 互质。由 a×b=(a,b)×[a,b]，得 6a × 6b = 6 × 216，即 ab = 216 ÷ 6 = 36。 把 36 拆成两个互质的正整数之积：1×36、4×9。 两数都大于 6：若 (a,b)=(1,36)，则两数为 6 和 216，其中 6 不大于 6，不合要求。 若 (a,b)=(4,9)，则两数为 24 和 54。验证：(24,54)=6，[24,54]=216，且均大于 6。 【答案】这两个数是 24 和 54。 第3题　甲每隔 5 天去一次图书馆，乙每隔 7 天去一次，丙每隔 9 天去一次。某日三人恰好在图书馆相遇，至少再过多少天三人再次同日到图书馆？ 【详解】 “每隔 n 天去一次”即“每 n+1 天去一次”：甲每 6 天、乙每 8 天、丙每 10 天去一次。 三人再次同日相遇的天数是 6、8、10 的最小公倍数。 6 = 2×3，8 = 2³，10 = 2×5，[6,8,10] = 2³ × 3 × 5 = 120。 【答案】至少再过 120 天三人再次同日相遇。 第4题　用长 12 分米、宽 8 分米的长方形地砖铺一个正方形地面（地砖不切割）。铺成的正方形边长最小是多少分米？一共需要多少块地砖？ 【详解】 正方形边长是 12 和 8 的最小公倍数：12 = 2²×3，8 = 2³，[12,8] = 2³×3 = 24（分米）。 长方向：24 ÷ 12 = 2 块；宽方向：24 ÷ 8 = 3 块。 总块数：2 × 3 = 6 块。 【答案】正方形边长最小 24 分米，一共需要 6 块地砖。 第5题　两个自然数的最大公因数是 9，它们的乘积是 243。求这两个数。 【详解】 设两数为 9a 和 9b，a、b 互质。由 a×b = (a,b)×[a,b]，得 9a × 9b = 9 × [a,b]，即 [a,b] = 81ab ÷ 9 = 9ab。 又两数之积 9a × 9b = 81ab = 243，所以 ab = 3。 a、b 互质且 ab = 3，只可能 (a,b)=(1,3)（或 (3,1)），两数为 9 和 27。 验证：(9,27)=9，9 × 27 = 243。 【答案】这两个数是 9 和 27。 第6题　已知 化成最简分数后为 ，且 a、b 的最大公因数是 9。求 a 和 b。 【详解】 最简分数 5/7 说明约分前 a、b 分别是 5 和 7 的倍数且 a、b 互质，设 a=5k、b=7k（k 为正整数）。 最大公因数 (a,b)=(5k,7k)=k=9。 所以 a = 5 × 9 = 45，b = 7 × 9 = 63。 【答案】a = 45，b = 63。 第7题　在所有三位数中，有多少个数与 72 的最大公因数是 36？其中最小的是多少？ 【详解】 设这个数为 N，N 与 72 的最大公因数是 36，则 N = 36k（k 为正整数），且 k 与 72÷36 = 2 互质，即 k 必须为奇数。 N 是三位数：100 ≤ 36k ≤ 999，得 2.78 ≤ k ≤ 27.75，即 3 ≤ k ≤ 27。 3 到 27 之间的奇数：3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27，共 13 个。 最小的 k = 3，N = 36 × 3 = 108。验证 (108,72)=36。 【答案】共有 13 个数，最小的是 108。 第8题　一筐鸡蛋，3 个 3 个数剩 2 个，4 个 4 个数剩 3 个，5 个 5 个数剩 4 个，6 个 6 个数剩 5 个，7 个 7 个数剩 6 个。这筐鸡蛋至少有多少个？ 【详解】 每种分法都“少 1 个”刚好分完，说明鸡蛋总数加 1 后，能被 3、4、5、6、7 整除。 即总数 = 3、4、5、6、7 的公倍数 − 1。 3、4、5、6、7 的最小公倍数：3、4、5、7 与 6=2×3，取 [3,4,5,6,7]=2²×3×5×7=420。 公倍数中减 1 得总数，最小为 420 − 1 = 419。 【答案】这筐鸡蛋至少有 419 个。 第9题　有一个最简真分数，分子与分母的乘积是 588。这样的分数一共有多少个？ 【详解】 588 = 2² × 3 × 7²。最简分数要求分子、分母互质，即 588 的质因数要整体分给分子或分母，两者不含公共质因数。 枚举互质因数对 (d, 588/d)：d=1→1/588；d=3→3/196；d=4→4/147；d=7→7/84（不互质，舍）；d=12→12/49；d=28→28/21（不互质，舍）等。 其中互质且为真分数（分子小于分母）的有：1/588、3/196、4/147、12/49，共 4 个。 【答案】一共有 4 个（1/588、3/196、4/147、12/49）。 第10题　甲每 12 天去一次公园，乙每 18 天去一次，丙每 20 天去一次，丁每 30 天去一次。某日四人在公园相遇，至少再过多少天四人再次同日到公园？ 【详解】 四人再次相遇的天数是 12、18、20、30 的最小公倍数。 分解质因数：12=2²×3，18=2×3²，20=2²×5，30=2×3×5。 [12,18,20,30] = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180。 【答案】至少再过 180 天四人再次同日相遇。 第11题　有两根木条，一根长 84 分米，另一根长 126 分米。要把它们都锯成同样长的整分米短木条且不浪费，每段最长是多少分米？一共可以锯成多少段？ 【详解】 锯成同样长的短木条且不浪费，每段长度应同时整除 84 和 126，要求最长即求最大公因数。 84 = 2² × 3 × 7，126 = 2 × 3² × 7，(84,126) = 2 × 3 × 7 = 42（分米）。 84 ÷ 42 = 2 段，126 ÷ 42 = 3 段，共 2 + 3 = 5 段。 【答案】每段最长 42 分米，一共可以锯成 5 段。 第12题　一个分数约分后是 ，已知这个分数约分前分子与分母的和是 52。求这个分数。 【详解】 约分后为 3/10，说明约分前分子、分母分别是 3 和 10 的倍数，设原分数为 3k/10k。 分子分母之和：3k + 10k = 13k = 52，得 k = 4。 原分数 = (3×4)/(10×4) = 12/40。 【答案】这个分数是 12/40。 第13题　两个互相啮合的齿轮，甲有 24 个齿，乙有 36 个齿。从某一对齿第一次啮合开始，至少各转多少圈后，这对齿再次啮合？ 【详解】 某对齿再次啮合时，两轮各自转过的最小齿数应同时是 24 和 36 的倍数，即最小公倍数。 24 = 2³×3，36 = 2²×3²，[24,36] = 2³×3² = 72（齿）。 甲轮转 72 ÷ 24 = 3 圈，乙轮转 72 ÷ 36 = 2 圈。 【答案】甲轮至少转 3 圈、乙轮至少转 2 圈。 第14题　一个自然数除以 7 余 2，除以 8 余 3，除以 9 余 4。求满足条件的最小自然数。 【详解】 观察：7−5=2，8−5=3，9−5=4，说明这个数加上 5 后，能同时被 7、8、9 整除。 即该数 = 7、8、9 的公倍数 − 5。 7、8、9 两两互质，[7,8,9] = 7 × 8 × 9 = 504。 最小为 504 − 5 = 499。验证 499÷7 余 2、÷8 余 3、÷9 余 4。 【答案】满足条件的最小自然数是 499。 第15题　甲数是乙数的 4 倍，且甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数之和为 100。求甲、乙两数。 【详解】 设乙数为 x，则甲数为 4x。两数的最大公因数 (x,4x) = x，最小公倍数 [x,4x] = 4x。 由题意 x + 4x = 100，得 5x = 100，x = 20。 甲数 = 4 × 20 = 80。验证 (20,80)=20，[20,80]=80，20+80=100。 【答案】甲数是 80，乙数是 20。 第16题　两个完全平方数的最大公因数是 4，最小公倍数是 144。求这两个数。 【详解】 设两数为 a²、b²（a、b 为正整数）。则最大公因数 = (a,b)² = 4，得 (a,b)=2；最小公倍数 = [a,b]² = 144，得 [a,b]=12。 设 a=2p、b=2q，p、q 互质。由 a×b = (a,b)×[a,b] 得 4pq = 2 × 12 = 24，即 pq = 6。 p、q 互质且 pq = 6：(p,q)=(1,6) 或 (2,3)。 对应 a、b：(2,12) 或 (4,6)，即两数平方为 4 与 144，或 16 与 36。验证两组均满足 gcd=4、lcm=144。 【答案】这两个数是 4 和 144，或 16 和 36。 第17题　两个不同的两位数的最大公因数是 9，最小公倍数是 126。求这两个数。 【详解】 设两数为 9a、9b，a、b 互质。由 9a × 9b = 9 × 126，得 ab = 126 ÷ 9 = 14。 a、b 互质且 ab = 14：(a,b)=(1,14) 或 (2,7)。 (1,14) 对应 9 和 126，其中 126 不是两位数，舍去； (2,7) 对应 18 和 63，均为两位数。验证 (18,63)=9，[18,63]=126。 【答案】这两个数是 18 和 63。 第18题　求 1 到 100 的自然数中，与 36 的最大公因数是 12 的数的个数。 【详解】 设这个数为 N，N 与 36 的最大公因数为 12，则 N = 12k，且 k 与 36÷12 = 3 互质，即 k 不能被 3 整除。 N ≤ 100 得 12k ≤ 100，k ≤ 8.33，即 k = 1,2,3,…,8。 其中能被 3 整除的 k 为 3、6，去掉后剩余 k = 1,2,4,5,7,8。 对应 N = 12、24、48、60、84、96，共 6 个。 【答案】共有 6 个（12、24、48、60、84、96）。 第19题　一个自然数除以 2、3、4、5、6 都余 1，且它能被 7 整除。求这个自然数的最小值。 【详解】 除以 2、3、4、5、6 都余 1，说明该数减 1 是 2、3、4、5、6 的公倍数。 [2,3,4,5,6] = 2² × 3 × 5 = 60，所以该数可写成 60k + 1 的形式。 又要求 60k + 1 能被 7 整除：60k + 1 ≡ 0 (mod 7)，60 ≡ 4 (mod 7)，即 4k + 1 ≡ 0 (mod 7)，4k ≡ 6 (mod 7)。 4 的模 7 逆元是 2（4×2=8≡1），所以 k ≡ 6×2 = 12 ≡ 5 (mod 7)。最小的正整数 k = 5。 该数 = 60 × 5 + 1 = 301。验证 301 减 1 得 300，能被 2、3、4、5、6 整除，且 301 ÷ 7 = 43。 【答案】这个自然数的最小值是 301。 第20题　两个正整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72。这样的两个数一共有几对？（不计顺序） 【详解】 设两数为 12a、12b，a、b 互质。由 12a × 12b = 12 × 72，得 ab = 72 ÷ 12 = 6。 a、b 互质且 ab = 6：(a,b)=(1,6) 或 (2,3)。 (1,6) 对应 12 和 72；(2,3) 对应 24 和 36。 两组均验证：(12,72) 与 (24,36) 的 gcd=12、lcm=72。 【答案】一共有 2 对：(12,72) 和 (24,36)。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $