小升初奥数培优12：奇偶性分析及应用（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优12：奇偶性分析及应用 学习目标 1. 理解奇数、偶数的定义，熟练掌握加、减、乘法运算中的奇偶性规律； 2. 能够不计算，快速判断一个算式结果的奇偶性； 3. 学会利用奇偶性分析说理、判断可行性，解决物品分配、操作翻动、染色覆盖类奥数问题； 4. 建立"反证"思维，遇到"不可能做到"类问题时，借助奇偶矛盾说明理由； 5. 提升逻辑推理能力，应对小升初高频出现的奇偶性说理题型。 知识精讲 1. 基本概念 整数按照能否被 2 整除，分为两类： (1) 偶数：能被 2 整除的整数，形如 （ 为整数），如 0、2、4、6、8…… 注意：0 是偶数。 (2) 奇数：不能被 2 整除的整数，形如 （ 为整数），如 1、3、5、7、9…… 2. 加减法奇偶规律（核心） 运算 结果 口诀 奇数 ± 奇数 偶数 同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇 偶数 ± 偶数 偶数 奇数 ± 偶数 奇数 重要推论： (1) 任意多个偶数相加，和一定是偶数； (2) 奇数个奇数相加，和是奇数； (3) 偶数个奇数相加，和是偶数； (4) 和的奇偶性只与其中奇数的个数有关，偶数不影响总和的奇偶性。 3. 乘法奇偶规律（核心） 运算 结果 口诀 奇数 × 奇数 奇数 有偶则偶，全奇才奇 奇数 × 偶数 偶数 偶数 × 偶数 偶数 只要乘数中存在至少一个偶数，乘积一定是偶数；只有全部乘数都是奇数，乘积才是奇数。 4. 常用推论（奥数高频） (1) 两个整数的和与差，奇偶性相同： 与 同奇同偶； (2) 相邻两个自然数一定一奇一偶，它们的乘积是偶数； (3) 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数； (4) 奇偶性分析多用于证明"这件事不可能做到"：假设成立 → 推出奇偶矛盾 → 说明假设错误。 例题讲解 【典型例题 1】连续自然数求和的奇偶性 不计算，判断算式 的和是奇数还是偶数？ 【跟踪训练 1】 判断 的和是奇数还是偶数？ 【典型例题 2】乘法式中的奇偶推理 已知 、 都是整数，且 ，求证：、 中一定有一个偶数。 【跟踪训练 2】 若 、 是整数，，请问 和 的奇偶性？ 【典型例题 3】物品分配问题 有 2021 个苹果，分给若干个小朋友，要求每个小朋友分到奇数个苹果，能不能分？说明理由。 【跟踪训练 3】 把 20 个桃子分给一些同学，每人分到奇数个桃子，可以分吗？ 【典型例题 4】翻硬币操作可行性 甲、乙两人玩翻硬币游戏：桌上有 7 枚正面朝上的硬币，规定每次翻动 4 枚硬币。能不能经过若干次翻动，让全部硬币反面朝上？ 【跟踪训练 4】 桌上有 6 枚正面朝上的硬币，每次翻动 3 枚，能不能全部翻成反面朝上？ 【典型例题 5】和定积的奇偶性 两个自然数的和是 45，它们的乘积一定是奇数还是偶数？ 【跟踪训练 5】 两个自然数和是 80，它们的乘积一定是什么奇偶性？ 【典型例题 6】奇数填数可行性 在算式 的 5 个方框里，全部填入奇数，能不能填出来？ 【跟踪训练 6】 在 6 个方框中都填奇数：，是否可行？ 奥数练习 第1题　不计算，判断算式 1×2＋3×4＋5×6＋…＋2023×2024 的结果是奇数还是偶数？ 第2题　已知 a、b 都是整数，且 a×b＋a＝101，判断 a 和 b 的奇偶性。 第3题　桌上有 2024 枚正面朝上的硬币，编号为 1、2、3、…、2024。每次翻动恰好 3 枚硬币，问能否经过有限次操作，使所有硬币都变为反面朝上？说明理由。 第4题　一次聚会上，每位到会者与其他人都恰好握一次手。证明：在到会者中，握手次数是奇数的人一定有偶数个。 第5题　已知 a、b、c 是三个不同的整数，且 a×b×c 是奇数，a＋b＋c 是奇数，判断 a、b、c 的奇偶性。 第6题　证明：不存在两个整数，它们的平方和等于某个偶数的平方。（即不存在整数 m、n，使 m²＋n² 是某偶数的平方） 第7题　有 2025 张卡片排成一排，起初全部正面朝上。每次操作必须同时翻动相邻的两张卡片，问能否经过若干次操作使全部卡片反面朝上？说明理由。 第8题　把 1、2、3、…、2025 这 2025 个自然数分成若干组，要求每组各数的和都是奇数，并且分成的组数也是奇数。问能不能做到？ 第9题　一次聚会上，小明发现"恰好有 7 个人握了奇数次手"，这可能吗？说明理由。 第10题　用黑白两色给 5×5 的棋盘染色，要求任意两个黑色格子都不能上下或左右相邻（即没有公共边）。问最多可以染多少个黑色格子？ 第11题　有 2025 盏灯，编号 1～2025，起初全部熄灭。共进行 2025 次操作：第 k 次操作把编号是 k 的倍数的所有灯各拨动一次开关（熄变亮、亮变熄）。全部操作结束后，有多少盏灯是亮着的？ 第12题　证明：对于任意整数 n，n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 这四个连续整数乘积一定是 8 的倍数。 第13题　能否用若干个 1×2 的长方形（骨牌，恰好盖住相邻的两个方格）不重叠、不遗漏地铺满一个 2025×2025 的棋盘？说明理由。 第14题　对任意整数 a、b，定义新运算 a★b＝a×b＋a＋b。问是否存在整数 m、n，使得 m★n＝2026，并且 m、n 都是偶数？ 第15题　判断 1＋3＋5＋7＋…＋2025 的和是不是完全平方数。 第16题　从 1、2、3、…、2025 中任意取出 1000 个数，证明：这 1000 个数中一定存在两个数，它们的和是偶数。 第17题　能否把 1、2、3、…、2025 这 2025 个数重新排列，使得排列中任意相邻两个数的和都是偶数？说明理由。 第18题　从 1、2、3、…、2025 中任意取出 1014 个数，证明它们的乘积一定是偶数。 第19题　一只青蛙从数轴上原点出发，每次只能向左或向右跳动 1 个单位长度。它跳了 2025 次后，能否恰好回到原点？说明理由。 第20题　黑板上写着 1、2、3、…、2025。每次操作擦去黑板上任意两个数，写上它们的和。反复操作，直到黑板上只剩下一个数。问最后剩下的这个数是奇数还是偶数？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优12：奇偶性分析及应用 学习目标 1. 理解奇数、偶数的定义，熟练掌握加、减、乘法运算中的奇偶性规律； 2. 能够不计算，快速判断一个算式结果的奇偶性； 3. 学会利用奇偶性分析说理、判断可行性，解决物品分配、操作翻动、染色覆盖类奥数问题； 4. 建立"反证"思维，遇到"不可能做到"类问题时，借助奇偶矛盾说明理由； 5. 提升逻辑推理能力，应对小升初高频出现的奇偶性说理题型。 知识精讲 1. 基本概念 整数按照能否被 2 整除，分为两类： (1) 偶数：能被 2 整除的整数，形如 （ 为整数），如 0、2、4、6、8…… 注意：0 是偶数。 (2) 奇数：不能被 2 整除的整数，形如 （ 为整数），如 1、3、5、7、9…… 2. 加减法奇偶规律（核心） 运算 结果 口诀 奇数 ± 奇数 偶数 同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇 偶数 ± 偶数 偶数 奇数 ± 偶数 奇数 重要推论： (1) 任意多个偶数相加，和一定是偶数； (2) 奇数个奇数相加，和是奇数； (3) 偶数个奇数相加，和是偶数； (4) 和的奇偶性只与其中奇数的个数有关，偶数不影响总和的奇偶性。 3. 乘法奇偶规律（核心） 运算 结果 口诀 奇数 × 奇数 奇数 有偶则偶，全奇才奇 奇数 × 偶数 偶数 偶数 × 偶数 偶数 只要乘数中存在至少一个偶数，乘积一定是偶数；只有全部乘数都是奇数，乘积才是奇数。 4. 常用推论（奥数高频） (1) 两个整数的和与差，奇偶性相同： 与 同奇同偶； (2) 相邻两个自然数一定一奇一偶，它们的乘积是偶数； (3) 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数； (4) 奇偶性分析多用于证明"这件事不可能做到"：假设成立 → 推出奇偶矛盾 → 说明假设错误。 例题讲解 【典型例题 1】连续自然数求和的奇偶性 不计算，判断算式 的和是奇数还是偶数？ 【详解】 先看算式里奇数有多少个：1～2025 一共 2025 个数，首尾为奇数。 奇数个数：（个）；偶数个数：（个）。 偶数相加和为偶数；奇数一共 1013 个，1013 是奇数，奇数个奇数相加，结果是奇数。 奇数 + 偶数 = 奇数，所以总和是奇数。 【答案】奇数 【跟踪训练 1】 判断 的和是奇数还是偶数？ 【详解】 这是从 1 到 99 的连续奇数，项数：（个）。 50 是偶数，偶数个奇数相加，和为偶数。 【答案】偶数 【典型例题 2】乘法式中的奇偶推理 已知 、 都是整数，且 ，求证：、 中一定有一个偶数。 【详解】 对左边提取公因数：。 原式化为：，103 是奇数。 根据乘法奇偶规律：乘积为奇数，说明两个乘数全部是奇数。 所以 是奇数， 是奇数；由 为奇数，可得 是偶数。 因此 是偶数，、 中存在偶数，得证。 【答案】证明成立， 为偶数。 【跟踪训练 2】 若 、 是整数，，请问 和 的奇偶性？ 【详解】 77 是奇数，乘积为奇数，说明两个因数都是奇数： 是奇数， 是奇数。 偶数不改变奇偶性， 与 奇偶一致，所以 也是奇数。 【答案】 是奇数， 是奇数。 【典型例题 3】物品分配问题 有 2021 个苹果，分给若干个小朋友，要求每个小朋友分到奇数个苹果，能不能分？说明理由。 【详解】 每个小朋友分到奇数个苹果，总苹果数 = 若干个奇数相加。 若分成功，则总和 2021 是奇数；根据规律，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和为偶数。 2021 是奇数，只要小朋友的人数是奇数个，奇数个奇数相加就可以等于奇数。 举例：1 个小朋友直接拿 2021 个；3 个小朋友分：1 + 1 + 2019，均为奇数。 【答案】能分；当小朋友人数为奇数时可以实现。 【跟踪训练 3】 把 20 个桃子分给一些同学，每人分到奇数个桃子，可以分吗？ 【详解】 总和 20 是偶数，若干奇数相加等于偶数，需要奇数的个数是偶数个。 只要同学数量是偶数，偶数个奇数相加和为偶数，即可满足条件。 例：2 人，分别拿 9 个、11 个，都是奇数。 【答案】可以分，同学人数为偶数即可。 【典型例题 4】翻硬币操作可行性 甲、乙两人玩翻硬币游戏：桌上有 7 枚正面朝上的硬币，规定每次翻动 4 枚硬币。能不能经过若干次翻动，让全部硬币反面朝上？ 【详解】 每一枚硬币从正面翻到反面，需要翻动奇数次。 一共 7 枚硬币，所有硬币翻动次数之和 = 7 个奇数相加，总和是奇数。 但按规则：每次翻动 4 枚，不管翻多少次，总翻动次数 = 4 × 次数，一定是偶数。 奇数 ≠ 偶数，出现矛盾，因此不可能做到。 【答案】不可能。 【跟踪训练 4】 桌上有 6 枚正面朝上的硬币，每次翻动 3 枚，能不能全部翻成反面朝上？ 【详解】 每枚硬币翻到反面需要翻动奇数次；一共 6 枚，总和是 6 个奇数相加，结果是偶数。 每次翻 3 枚，总翻动次数 = 3 × 次数；只要次数取偶数，总次数就是偶数。 例如翻 2 次：第一次翻 1、2、3 号；第二次翻 4、5、6 号，全部翻面成功。 【答案】可以做到。 【典型例题 5】和定积的奇偶性 两个自然数的和是 45，它们的乘积一定是奇数还是偶数？ 【详解】 和 45 是奇数。根据加减法奇偶规律：和为奇数，两个数一奇一偶。 一奇一偶相乘：奇数 × 偶数 = 偶数，因此乘积一定是偶数。 【答案】偶数。 【跟踪训练 5】 两个自然数和是 80，它们的乘积一定是什么奇偶性？ 【详解】 和 80 是偶数，说明两个数同奇或者同偶。 情况 1：两个都是奇数，奇数 × 奇数 = 奇数； 情况 2：两个都是偶数，偶数 × 偶数 = 偶数。 【答案】乘积可能是奇数，也可能是偶数。 【典型例题 6】奇数填数可行性 在算式 的 5 个方框里，全部填入奇数，能不能填出来？ 【详解】 一共 5 个奇数相加，5 是奇数，奇数个奇数相加，和是奇数。 右边 22 是偶数，奇数 ≠ 偶数，出现矛盾，无法填出。 【答案】不能。 【跟踪训练 6】 在 6 个方框中都填奇数：，是否可行？ 【详解】 6 个奇数相加，偶数个奇数相加，和是偶数；36 是偶数，奇偶匹配，可以填。 示例：。 【答案】可行。 奥数练习 第1题　不计算，判断算式 1×2＋3×4＋5×6＋…＋2023×2024 的结果是奇数还是偶数？ 【详解】 观察每一项：1×2、3×4、5×6……都是相邻两个整数相乘。相邻两个整数必为一奇一偶，一奇一偶相乘，根据"有偶则偶"，每一小项都是偶数。 任意多个偶数相加，和一定是偶数。 因此整个算式的和是偶数。 【答案】偶数。 第2题　已知 a、b 都是整数，且 a×b＋a＝101，判断 a 和 b 的奇偶性。 【详解】 对左边提取公因数：a×b＋a＝a(b＋1)，原式化为 a(b＋1)＝101。 101 是奇数，乘积为奇数，说明两个因数 a 和 b＋1 都是奇数。 由 b＋1 是奇数，可知 b 是偶数（奇数减 1 为偶数）。 所以 a 是奇数，b 是偶数。 【答案】a 是奇数，b 是偶数。 第3题　桌上有 2024 枚正面朝上的硬币，编号为 1、2、3、…、2024。每次翻动恰好 3 枚硬币，问能否经过有限次操作，使所有硬币都变为反面朝上？说明理由。 【详解】 能。下面给出一种可行操作： 进行 2024 次操作，第 i 次（i＝1,2,…,2024）翻动编号为 i、i＋1、i＋2 的硬币（编号按循环计，超过 2024 则从 1 继续）。 这样，编号为 j 的硬币只会在第 j－2、j－1、j 次（模 2024 计）被翻到，共被翻动 3 次。 每枚硬币被翻动 3 次（奇数次），从正面翻到反面，全部硬币变为反面朝上。 每次翻 3 枚、共 2024 次，总翻动次数＝3×2024＝偶数，与"每枚被翻奇数次"不矛盾，操作可行。 【答案】能，构造见详解。 第4题　一次聚会上，每位到会者与其他人都恰好握一次手。证明：在到会者中，握手次数是奇数的人一定有偶数个。 【详解】 每握一次手，会有两个人各增加一次握手次数，因此所有到会者的握手次数之和＝2×总握手次数，一定是偶数。 把所有人的握手次数相加，其中偶数的数相加仍是偶数；要使总和为偶数，所有奇数的握手次数相加也必须是偶数。 若干奇数相加为偶数，当且仅当这些奇数的个数是偶数。 所以握手次数为奇数的人一定有偶数个。 【答案】证明成立。 第5题　已知 a、b、c 是三个不同的整数，且 a×b×c 是奇数，a＋b＋c 是奇数，判断 a、b、c 的奇偶性。 【详解】 a×b×c 是奇数，根据"全奇才奇"，三个因数 a、b、c 必须都是奇数。 三个奇数相加：奇＋奇＋奇＝奇数，与题设 a＋b＋c 是奇数完全吻合，无矛盾。 故 a、b、c 三个数全部是奇数。 【答案】a、b、c 三个都是奇数。 第6题　证明：不存在两个奇数，它们的平方和等于某个偶数的平方。（即不存在奇数 m、n，使 m²＋n² 是某偶数的平方） 【详解】 奇数的平方一定是奇数，且除以 8 余 1（奇数²＝(2k＋1)²＝4k²＋4k＋1，4k(k＋1) 是 8 的倍数，故余 1）。 两个奇数平方之和，除以 8 余 1＋1＝2，即 m²＋n²≡2 (mod 8)。 偶数的平方，能被 4 整除：偶数为 2k，其平方 4k²，除以 8 余 0 或 4，绝不可能余 2。 2 与 0、4 均不同，出现矛盾，因此不存在这样的两个奇数。 【答案】证明成立，不存在。 第7题　有 2025 张卡片排成一排，起初全部正面朝上。每次操作必须同时翻动相邻的两张卡片，问能否经过若干次操作使全部卡片反面朝上？说明理由。 【详解】 要使某张卡片由正面变反面，它必须被翻动奇数次。2025 张卡片都要变反面，全部卡片被翻动次数之和＝2025 个奇数相加。 2025 是奇数，奇数个奇数相加，和是奇数。 但每次操作翻动 2 张卡片，无论操作多少次，总翻动次数＝2×操作次数，一定是偶数。 奇数 ≠ 偶数，出现矛盾，因此不可能做到。 【答案】不能。 第8题　把 1、2、3、…、2025 这 2025 个自然数分成若干组，要求每组各数的和都是奇数，并且分成的组数也是奇数。问能不能做到？ 【详解】 先算总和：1＋2＋3＋…＋2025＝(1＋2025)×2025÷2＝2025×1013。2025 与 1013 都是奇数，乘积仍为奇数。 若每组和为奇数、组数为奇数，则"奇数个奇数相加"，总和就是奇数，与上面算得的总和一致，不产生矛盾，说明可行。 构造一例：分成 3 组，{1,2}、{3,4}、{5,6,…,2025}。前两组和分别为 3、7，都是奇数；第三组和为 5＋6＋…＋2025＝(5＋2025)×2021÷2＝1015×2021，1015 与 2021 都是奇数，乘积为奇数。组数 3 是奇数。 因此可以做到。 【答案】能，例如分成 3 组。 第9题　一次聚会上，小明发现"恰好有 7 个人握了奇数次手"，这可能吗？说明理由。 【详解】 所有人握手次数之和＝2×总握手次数，一定是偶数。 若恰好 7 个人（奇数个）握奇数次手，这 7 个奇数的和＝奇数个奇数相加＝奇数；其余人握偶数次手，其和是偶数。 整个总和＝奇数＋偶数＝奇数。 这与"总和应为偶数"矛盾，所以不可能出现恰好 7 人握奇数次手的情况。 【答案】不可能。 第10题　用黑白两色给 5×5 的棋盘染色，要求任意两个黑色格子都不能上下或左右相邻（即没有公共边）。问最多可以染多少个黑色格子？ 【详解】 给 25 个格子按坐标 (行＋列) 的奇偶染成两类：和为偶数的格子有 13 个，和为奇数的格子有 12 个。上下、左右相邻的两个格子，其(行＋列)的奇偶性一定相反，因此同类格子之间不可能相邻。 全部取 13 个(行＋列)为偶数的格子，它们两两不相邻，满足要求，故至少能达到 13 个。 再看上界：把 12 个(行＋列)为奇数的格子，每一个与它上方或下方相邻的偶数格子配成一对（可做到 12 对互不重复），还剩 1 个偶数格子。因为相邻的两个格子至多能取 1 个黑色，每对至多 1 个黑色，加上剩下的 1 个，黑色格子最多 12＋1＝13 个。 综上，最多能染 13 个黑色格子。 【答案】最多 13 个。 第11题　有 2025 盏灯，编号 1～2025，起初全部熄灭。共进行 2025 次操作：第 k 次操作把编号是 k 的倍数的所有灯各拨动一次开关（熄变亮、亮变熄）。全部操作结束后，有多少盏灯是亮着的？ 【详解】 编号为 n 的灯被拨动的次数，等于 n 的约数的个数（约数 k 都会在第 k 次操作拨动它）。 灯最后亮着，说明它被拨动了奇数次，即它的约数个数是奇数。 一个正整数的约数个数为奇数，当且仅当它是完全平方数。 1～2025 中的完全平方数有 1²、2²、…、45²，共 45 个（45²＝2025）。 因此最后有 45 盏灯亮着，编号依次为 1、4、9、…、2025。 【答案】45 盏（编号为完全平方数）。 第12题　证明：对于任意整数 n，n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 这四个连续整数乘积一定是 8 的倍数。 【详解】 四个连续整数 n、n＋1、n＋2、n＋3 中，恰好有两个偶数，它们是相邻的两个偶数。 这两个相邻的偶数中，必有一个是 4 的倍数（相差 2 的两个偶数，一个能被 4 整除，另一个余 2）。 因此乘积中含有因数 2（来自那个"非4倍数"的偶数）和因数 4，2×4＝8，乘积一定是 8 的倍数。 【答案】证明成立。 第13题　能否用若干个 1×2 的长方形（骨牌，恰好盖住相邻的两个方格）不重叠、不遗漏地铺满一个 2025×2025 的棋盘？说明理由。 【详解】 2025×2025 的棋盘共有 2025² 个方格。2025 是奇数，奇数×奇数＝奇数，所以方格总数为奇数。 每块 1×2 骨牌覆盖 2 个方格（偶数），任意多块骨牌覆盖的方格总数一定是偶数。 偶数 ≠ 奇数，出现矛盾，因此无法用骨牌铺满。 【答案】不能。 第14题　对任意整数 a、b，定义新运算 a★b＝a×b＋a＋b。问是否存在整数 m、n，使得 m★n＝2026，并且 m、n 都是偶数？ 【详解】 由定义：m★n＝mn＋m＋n＝2026。等式两边加 1，得 (m＋1)(n＋1)＝2027。 m、n 都是偶数，则 m＋1、n＋1 都是奇数；奇数×奇数＝奇数，而 2027 正是奇数，奇偶性一致，可行。 取 m＋1＝1、n＋1＝2027，即 m＝0、n＝2026，二者均为偶数。 检验：m★n＝0×2026＋0＋2026＝2026，成立。因此存在这样的 m、n。 【答案】存在，例如 m＝0、n＝2026。 第15题　判断 1＋3＋5＋7＋…＋2025 的和是不是完全平方数。 【详解】 这是从 1 到 2025 的所有连续奇数相加，项数＝(2025－1)÷2＋1＝1013（个）。 前 n 个连续奇数 1＋3＋5＋…＋(2n－1) 的和等于 n²。这里 n＝1013，所以和为 1013²。 1013² 是完全平方数。 【答案】是，等于 1013²。 第16题　从 1、2、3、…、2025 中任意取出 1000 个数，证明：这 1000 个数中一定存在两个数，它们的和是偶数。 【详解】 两个整数之和为偶数，当且仅当这两个数同为奇数或同为偶数（同奇同偶则为偶）。 假设这 1000 个数中任意两个数的和都是奇数，则任意两个数都必须一奇一偶。 但"任意两个都一奇一偶"只允许集合中至多 1 个奇数、1 个偶数，即至多 2 个数；而这里取了 1000 个数，1000＞2，矛盾。 所以这 1000 个数中必存在两个数同为奇数或同为偶数，它们的和是偶数。 【答案】证明成立。 第17题　能否把 1、2、3、…、2025 这 2025 个数重新排列，使得排列中任意相邻两个数的和都是偶数？说明理由。 【详解】 若两个相邻数的和是偶数，则这两个数必须同为奇数或同为偶数（同奇同偶）。 这意味着排列中所有相邻的数奇偶性都相同，进而整排 2025 个数必须全部同为奇数或全部同为偶数。 但 1～2025 中既有奇数也有偶数，不可能全部同奇或全部同偶。 出现矛盾，因此不能做到。 【答案】不能。 第18题　从 1、2、3、…、2025 中任意取出 1014 个数，证明它们的乘积一定是偶数。 【详解】 1～2025 中，奇数有 1、3、5、…、2025，共 (2025＋1)÷2＝1013 个。 若 1014 个数全部是奇数，则需要 1014 个奇数；但全部奇数只有 1013 个，不够。 因此这 1014 个数中必至少含有一个偶数。 偶数与任何整数相乘都是偶数（有偶则偶），所以它们的乘积一定是偶数。 【答案】证明成立。 第19题　一只青蛙从数轴上原点出发，每次只能向左或向右跳动 1 个单位长度。它跳了 2025 次后，能否恰好回到原点？说明理由。 【详解】 每跳 1 个单位长度，青蛙所在位置的奇偶性都会改变一次（从偶数跳到奇数，或从奇数跳到偶数）。 跳 2025 次，奇偶性共改变 2025 次。2025 是奇数，奇偶性改变奇数次。 原点 0 是偶数，奇偶性改变奇数次后，位置必为奇数，不可能是偶数。 回到原点即位置为 0（偶数），与"位置为奇数"矛盾，因此不能回到原点。 【答案】不能。 第20题　黑板上写着 1、2、3、…、2025。每次操作擦去黑板上任意两个数，写上它们的和。反复操作，直到黑板上只剩下一个数。问最后剩下的这个数是奇数还是偶数？ 【详解】 每次擦去两个数、写上它们的和，黑板上所有数的总和始终不变（擦去的两个数之和等于新写上的数）。 初始总和＝1＋2＋3＋…＋2025＝(1＋2025)×2025÷2＝2025×1013。2025、1013 都是奇数，乘积是奇数。 无论怎样操作，总和一直保持为奇数；最后黑板上只剩一个数，这个数就等于总和。 所以最后剩下的数是奇数。 【答案】奇数。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $