小升初奥数07：定义新运算（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优07：定义新运算 学习目标 1.理解定义新运算的含义，认识※、△、☆、⊕等自定义运算符号，明白新符号只是人为 规定，和加减乘除原有意义无关。 2.掌握定义新运算的解题核心：读懂规则、准确代入、转化成四则运算。 3.熟练四类题型：直接代入计算、带括号多层运算、已知结果求未知数（方程型）、规律 累加型新运算。 4.牢记易错点：新运算不一定满足交换律、结合律，不能随便调换数字顺序：有括号先算 括号内部。 5. 提升阅读理解能力和代数代入能力，从容应对小升初选拔考试同类拓展题。 知识精讲 1.什么是定义新运算 (1)定义新运算，就是题目重新规定一个运算符号以及它对应的计算规则，把两个数按照这 个规则进行计算。 (②)这类符号：※、△、☆、回、⊕、#等，没有固定含义，每一道题规则单独规定，不能 套用别的题的规则。 第1页共13页 (3)本质：一种代数对应法则，把文字或者符号规则翻译成我们熟悉的加、减、乘、除。 2.解题通用步骤（四步法） (I)读定义：看清Q○b中，哪个是前面的数a,哪个是后面的数b,分清运算顺序： (②)代数字：把题目给的数，替换定义式里的a、b: (3)化四则：去掉新符号，变成普通四则算式： (④按顺序计算：有括号先括号，先乘除后加减。 3.重要注意事项（高频易错) (1)一般不满足交换律：如a△b=2a+b,则2△3≠3△2，前后数字不能互换： (②)有括号优先算括号里面，多层运算由内向外逐步算： (3)同一个符号，不同题目规则不一样，做完一题立刻忘掉这个符号的规则： (④)方程类题型：先按定义展开，转化为普通一元一次方程再求解： (⑤)累加规律型：a△n代表连续写n个以a开头的数相加（如2△3=2+22+222），要 找准加数个数。 4.题型分类 题型 特征与示例 基础直接代入型 给出公式，直接求a△b的结果 括号嵌套型 形如a※(b※c),分步计算，先内层、后外层 第2页共13页 逆向解方程型 已知x☆b=某个数，求未知数x 数字累加规律型 △后面数字代表相加的项数，每一项依次多一位 例题讲解 【典型例题1】 规定：a※b=3a-2b,求：6※4。 【详解】 根据定义a※b=3a-2b,这里a=6,b=4 6※4=3×6-2×4=18-8=10 【答案】10 【跟踪训练1】 规定：a※b=3a-2b,求8※5。 【详解】 a=8,b=5 8※5=3×8-2×5=24-10=14 【答案】14 【典型例题2】 规定：a△b=2a+b,求4△(3△5). 【详解】 第3页共13页 有括号，先算括号里面3△5： 3△5=2×3+5=6+5=11 再算外层4△11： 4△11=2×4+11=8+11=19 【答案】 19 【跟踪训练2】 规定：a△b=2a+b,求5△(2△6)。 【详解】 先算内层： 2△6=2×2+6=4+6=10 再算外层： 5△10=2×5+10=10+10=20 【答案】 20 【典型例题3】 规定：a女b=4a-3b,己知x女5=13，求x。 【详解】 按定义展开： 4x-3×5=13 4x-15=13 4x=13+15=28 X=7 第4页共13页 【答案】 x=7 【跟踪训练3】 规定：a☆b=4a-3b,己知x女4=12，求x。 【详解】 4x-3×4=12 4x-12=12 4x=24 x=6 【答案】 x=6 【典型例题4】 规定：Q口b表示b个以a开头的数相加，如：2口3=2+22+222，计算3口2。 【详解】 3口2表示2个数相加：3、33 3☐2=3+33=36 【答案】 36 【跟踪训练4】 规定：a口b表示b个以a开头的数相加，如：2口3=2+22+222，计算4口3。 【详解】 4D3表示3个数相加：4、44、444 4☐3=4+44+444=492 第5页共13页 【答案】 492 【典型例题5（综合拔高）】 定义两种新运算：a⊕b=a+b-1,a⑧b=a×b-2,计算(6⊕5)⑧4。 【详解】 第一步：先算括号内6⊕5 6⊕5=6+5-1=10 第二步：计算10⑧4 10☒4=10×4-2=40-2=38 【答案】 38 【跟踪训练5】 定义两种新运算：a⊕b=a+b-1,a⑧b=a×b-2,计算(7⊕3)⑧5。 【详解】 先算内层： 7⊕3=7+3-1=9 再算： 9☒5=9×5-2=45-2=43 【答案】 43 卫奥数练习 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■工 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 第1题 第6页共13页 规定a※b=a+b 求3※(4※2)。 a×b 【详解】 先算内层：4※2=4+2=6=3 4×284 3x3 15 再算外层：3※3 4 4 15×4=15-5 3x3 9 4993 4 4 【答案】 5 3 第2题 规定a△b=a×b-a-b,求(3△2)△4。 【详解】 先算内层：3△2=3×2-3-2=6-3-2=1 再算外层：1△4=1×4-1-4=4-1-4=-1 【答案】 -1 第3题 规定a☆b表示从a开始连续b个整数相乘的积，求2☆4+3☆3。 【详解】 2☆4=2×3×4×5=120 3☆3=3×4×5=60 120+60=180 【答案】 180 第7页共13页 第4题 规定a⊕b=a×(b+1),求2⊕(3⊕4). 【详解】 先算内层：3⊕4=3×(4+1)=3×5=15 再算外层：2⊕15=2×(15+1)=2×16=32 【答案】 32 第5题 规定a⑧b=a2-b2,求7⑧3。 【详解】 7⑧3=7-32=49-9=40 【答案】 40 第6题 规定a回b=a×b+a÷b,求6⊙3。 【详解】 6回3=6×3+6÷3=18+2=20 【答案】 20 第7题 规定a◇b=a+2b,已知(x◇3)◇2=30，求x。 第8页共13页 【详解】 X◇3=x+6 (x+6)◇2=(x+6)+4=x+10 由x+10=30,得x=20 【答案】 X=20 第8题 规定a△b表示a与b之差的绝对值|a-b1,求(5△2)△(3△7)。 【详解】 5△2=|5-2=3 3△7=3-7=4 3△4=|3-4=1 【答案】1 第9题 规定a※b=日+b,求(2※3)※3※2。 b a 【详解】 2※3=2+3=4+9=1 32 6 理3※2= , 6 3※13=1+1=2 6 【答案】 2 第10题 规定a⊕b表示从a到b(含两端)所有整数之和，求(1⊕9)÷(2⊕3)。 第9页共13页 【详解】 1⊕9=1+2+…+9= 1+9)×9=45 2⊕3=2+3=5 45÷5=9 9 【答案】 第11题 规定a◇b=a×b+a+b,已知a◇2=17，求a。 【详解】 a◇2=a×2+a+2=3a+2 由3a+2=17,得3a=15,a=5 【答案】 a=5 第12题 规定a⊙b=b⊙a,且a⊙(b+c)=a⊙b+a⊙c,已知1⊙1=2，求3⊙5。 【详解】 由分配律与对称性：3⊙1=(1+1+1)⊙1=1⊙1+1⊙1+1⊙1=2+2+2=6 3⊙5=3⊙(1+1+1+1+1)=5×(3⊙1)=5×6=30 【答案】 30 第13题 规定a※b=2a-b,若(a※3)※2=a※(3※2)，求a。 第10页共13页 【详解】 左边：(a※3)※2=(2a-3)※2=2(2a-3)-2=4a-8 右边：3※2=6-2=4，a※4=2a-4 由4a-8=2a-4,得2a=4,Q=2 【答案】 a=2 第14题 规定x大y=(x+1)(y-1),求3★4+4★3。 【详解】 3★4=(3+1)(4-1)=4×3=12 4★3=(4+1)(3-1)=5×2=10 12+10=22 【答案】22 第15题 规定a◇b=(a+bP-(a-b2,求5◇3。 【详解】 由平方差公式(a+b2-(a-b2=4ab 5◇3=4×5×3=60 【答案】 60 第16题 第11页共13页 规定a☆b=3a-2b,若2☆x=x☆4，求x。 【详解】 2☆X=3×2-2x=6-2x x☆4=3x-2×4=3x-8 由6-2x=3x-8,得5x=14,x=14 【答案】 5 第17题 规定a⊕b=a×b-1,求(1⊕2)⊕(3⊕4)。 【详解】 1⊕2=1×2-1=1'3⊕4=3×4-1=11 1⊕11=1×11-1=10 【答案】10 第18题 规定a口b表示b个以a开头的数相加（如2口3=2+22+222），求(2口3)×(3口2)。 【详解】 2☐3=2+22+222=246 3☐2=3+33=36 246×36=246×30+246×6=7380+1476=8856 【答案】 8856 第19题 第12页共13页 规定a⊙b=a2+b2-2ab,求(5回3)回(7⊙2)。 【详解】 a2+b2-2ab=(a-b2 5⊙3=(5-32=4'7⊙2=(7-2)2=25 4⊙25=(4-252=441 【答案】 441 第20题 规定a⊕b=a+b-ab,且a⑧b=a⊕b+(a-b尸，求3⑧(2⊕1)。 【详解】 先算内层：2⊕1=2+1-2×1=1 再算3⑧1：先求3⊕1=3+1-3=1 381=3⊕1+(3-12=1+4=5 【答案】5 第13页共13页小升初奥数培优07：定义新运算 学习目标 1.理解定义新运算的含义，认识※、△、☆、⊕等自定义运算符号，明白新符号只是人为 规定，和加减乘除原有意义无关。 2.掌握定义新运算的解题核心：读懂规则、准确代入、转化成四则运算。 3.熟练四类题型：直接代入计算、带括号多层运算、已知结果求未知数（方程型）、规律 累加型新运算。 4.牢记易错点：新运算不一定满足交换律、结合律，不能随便调换数字顺序：有括号先算 括号内部。 5. 提升阅读理解能力和代数代入能力，从容应对小升初选拔考试同类拓展题。 知识精讲 1.什么是定义新运算 (1)定义新运算，就是题目重新规定一个运算符号以及它对应的计算规则，把两个数按照这 个规则进行计算。 (②)这类符号：※、△、☆、回、⊕、#等，没有固定含义，每一道题规则单独规定，不能 套用别的题的规则。 第1页共10页 (3)本质：一种代数对应法则，把文字或者符号规则翻译成我们熟悉的加、减、乘、除。 2.解题通用步骤（四步法） (I)读定义：看清Q○b中，哪个是前面的数a,哪个是后面的数b,分清运算顺序： (②)代数字：把题目给的数，替换定义式里的a、b: (3)化四则：去掉新符号，变成普通四则算式： (④按顺序计算：有括号先括号，先乘除后加减。 3.重要注意事项（高频易错) (1)一般不满足交换律：如a△b=2a+b,则2△3≠3△2，前后数字不能互换： (②)有括号优先算括号里面，多层运算由内向外逐步算： (3)同一个符号，不同题目规则不一样，做完一题立刻忘掉这个符号的规则： (④)方程类题型：先按定义展开，转化为普通一元一次方程再求解： (⑤)累加规律型：a△n代表连续写n个以a开头的数相加（如2△3=2+22+222），要 找准加数个数。 4.题型分类 题型 特征与示例 基础直接代入型 给出公式，直接求a△b的结果 括号嵌套型 形如a※(b※c),分步计算，先内层、后外层 第2页共10页 逆向解方程型 已知x☆b=某个数，求未知数x 数字累加规律型 △后面数字代表相加的项数，每一项依次多一位 例题讲解 【典型例题1】 规定：a※b=3a-2b,求：6※4。 【跟踪训练1】 规定：a※b=3a-2b,求8※5。 【典型例题2】 规定：a△b=2a+b,求4△(3△5)。 【跟踪训练2】 规定：a△b=2a+b,求5△(2△6). 第3页共10页 【典型例题3】 规定：a☆b=4a-3b,已知x☆5=13，求x。 【跟踪训练3】 规定：a☆b=4a-3b,已知x☆4=12，求x。 【典型例题4】 规定：a口b表示b个以a开头的数相加，如：2口3=2+22+222，计算3口2。 【跟踪训练4】 规定：a口b表示b个以a开头的数相加，如：2口3=2+22+222，计算4口3。 第4页共10页 【典型例题5（综合拔高）】 定义两种新运算：a⊕b=a+b-1,a⑧b=a×b-2,计算(6⊕5)⑧4。 【跟踪训练5】 定义两种新运算：a田b=a+b-1,a⑧b=a×b-2,计算(7⊕3)⑧5。 记奥数练习 第1题 规定a※b=a+也，求3※(4※2。 a×b 第2题 规定a△b=a×b-a-b,求(3△2)△4。 第5页共10页 第3题 规定a☆b表示从a开始连续b个整数相乘的积，求2☆4+3☆3。 第4题 规定a⊕b=a×(b+1),求2⊕(3⊕4)。 第5题 规定a⑧b=a2-b,求7⑧3。 第6题 规定a回b=a×b+a÷b,求6回3。 第7题 规定ab=a+2b,已知(x◇3)◇2=30，求x。 第6页共10页 第8题 规定a△b表示a与b之差的绝对值|a-b1,求(5△2)△(3△7)。 第9题 规定a※b=9+b,求(2※3)※3※2。 b a 第10题 规定a⊕b表示从a到b(含两端)所有整数之和，求(1⊕9)÷(2⊕3)。 第11题 规定a◇b=a×b+a+b,已知a◇2=17，求a。 第7页共10页 第12题 规定a⊙b=b⊙a,且a⊙(b+c)=a⊙b+a⊙c,已知1⊙1=2，求3⊙5。 第13题 规定a※b=2a-b,若(a※3)※2=a※(3※2)，求a。 第14题 规定x才y=(x+1)(y-1),求3★4+4★3。 第15题 规定a◇b=(a+b2-(a-b},求53。 第8页共10页 第16题 规定a女b=3a-2b,若2☆x=x☆4，求x。 第17题 规定a⊕b=a×b-1,求(1⊕2)⊕(3⊕4)。 第18题 规定a口b表示b个以a开头的数相加（如2口3=2+22+222），求(2口3)×(3口2)。 第19题 规定a⊙b=a+b2-2ab,求(5⊙3)回(7⊙2)。 第9页共10页 第20题 规定a⊕b=a+b-ab,且a⑧b=a⊕b+(a-b},求3⑧(2⊕1)。 第10页共10页