湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中数学自编模拟测试（八）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（八）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C A D D AD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】向量在向量上的投影向量为. 2．B 【详解】直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 根据倾斜角的范围及正切函数的性质知， 直线的倾斜角， 综上，最大. 3．B 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， . 4．C 【分析】根据平行直线间的距离公式进行求解即可. 【详解】 将直线化简得， 故两直线平行，它们之间的距离． 故选：C. 5．C 【详解】表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是点到的距离的平方， 又点到的距离， 所以的最小值为． 6．A 【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线． 【详解】 ∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线． 故选A． 【点睛】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题． 7．D 【分析】式子的几何意义为：点与点两点的斜率不超过1，画出图像，找到满足题意的部分，结合几何概型的公式，即可求解． 【详解】式子的几何意义为：点与点两点的斜率不超过1. 则在如图所示阴影区域，易求点的纵坐标为1，所求概率为. 【点睛】本题考查线性规划（目标函数为斜率型）问题，结合了几何概型，重在考查考生的转化能力，数形结合能力，思维的严谨性，以及求解运算能力. 8．D 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线与双曲线第一象限部分无交点，即可判断A、C，再由双曲线的定义判断B、D. 【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，则，故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线第一象限部分无交点，故，故A，C错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到线段与双曲线的交点时，有最小值，故B错误，D正确． 故选：D． 9．AD 【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标；B选项，，当不全为0时，方程是直线的一般式方程；C选项，直线斜率为；D选项，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】A选项，直线，必过定点，A正确； B选项，当不全为0时，方程是直线的一般式方程，B错误； C选项，直线的斜率为，C错误； D选项，点到直线的距离为，D正确. 故选：AD 10．AD 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘计算可判断A项；利用向量数量积的运算律计算判断B项；根据向量夹角的向量公式计算判断C项；利用投影向量的定义计算判断D项. 【详解】因 ，分别为，的中点，连接， 则，故A正确； 在正四面体中，，则， 于是 ，则，故B错误； 因， 设异面直线与所成的角为，则，又，则，故C错误； 在上的投影向量为，则其模为，故D正确. 11．ACD 【分析】利用抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系，逐一分析每个选项，结合抛物线平移规律、判别式、对称性求解. 【详解】选项A：是右移个单位，准线为；是左移个单位，准线为；二者准线均为轴，完全重合，A选项正确； 选项B：由题可知焦点：，焦点：，焦点：，焦点：；四个点构成对角线长均为的菱形，面积，B选项错误； 选项C：斜率不存在时设直线为，代入得，令，解得；代入得，令，解得 ，无公共解，因此斜率不存在时无公切线； 斜率存在的直线为，联立与：代入得，令，化简得：；(1) 联立与：代入得，令，化简得：；(2) 联立与：代入得，令，化简得：；(3) 联立与：代入得，令，化简得：；(4) 联立(3)(4)得：，代入得，此时得到两条直线和， 代入(1)(2)验证：对：，，满足； 对：，，亦满足； 故这两条直线同时与四条抛物线相切，即公切线共有条；C选项正确； 选项D：由，得，则，则在点处的切线为直线与直线交于点． 同理可得在点处的切线为直线，与交于点与直线交于点， 又点，则的面积为的面积为． 所以所围成封闭图形的面积大于，故D选项正确. 12．1350 【分析】由题意可得出新数列，判断出周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯， 被2除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯， 即数列是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2， 因为，故数列的前2025项的和为， 故答案为：1350 13． 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 14．/ 【分析】利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率. 【详解】如图，因为是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点. 根据对称性，不妨令在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以. 过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则. 又，所以. 设，则，则的离心率为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． （2）因为， 所以． 16．(1)4 (2)，或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【详解】（1）当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； （2）由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【详解】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 18．(1)，分别为，的中点，， 又平面，平面，平面； (2)① ② 【分析】（1）从线面平行判定定理进行考虑； （2）①从棱锥体积公式出发，依次求所需条件，从而计算体积；②对于求最大值可以通过建系，引入向量量化解决. 【详解】（1）略. （2）①已知，，，， 因为底面，底面，所以. 又，，，平面，所以平面. 因为平面，所以.由是中点，，则 在中，，所以. 因为平面，平面，所以.又，，，平面，所以平面，则就是与平面所成的角. 已知，，在中，，所以. 又因为，且，分别为，中点，所以，则. 所以三棱锥的体积. ②因为底面，，所以以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系 则，，，，，， 则，，设平面的法向量为， 则，得，取，则，则. 设与平面所成角为，因为，所以. 又，所以， 即，即， 即，所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值为. 19．(1) (2)①联立消去得， 整理得，，① 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 故方程组仅有一组解，即直线与椭圆仅有一个交点． 又点在直线和椭圆上， 所以直线为椭圆在点处的切线． ②法一：设，，易知，当时，由对称性可知，． 不妨设，易知， 联立解得，， 联立解得，， 所以， 又，可得，， ， ， 故． 法二：设，，易知，当时，由对称性可知，． 当时，联立解得，， 联立解得，， 若，则，，， 由对称性，不妨取，，则，，， ，， ，，所以， 同理，由对称性知，当时，， 当时，不妨设，则，，， 又，所以， ， ， 则，即， 所以． 【分析】（1）利用椭圆的定义结合离心率为即可求得椭圆的方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，通过方程的根来证明直线为椭圆的切线； （ⅱ）方法一：由对称性可知，当时，；当时，，设，，联立直线与直线，，利用化简转化，再利用，最终化简证明； 方法二：设，，易知，当时，由对称性可知，； 当时，，联立直线与直线，，通过证明，得到,最终证明. 【详解】（1）由椭圆定义可知，，所以，又，所以，，故椭圆的方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（八） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则（     ） A．最大 B．最大 C．最大 D．最大 3．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 4．直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．圆的公切线的条数为 A．4 B．3 C．2 D．1 7．在区域：内任取-点，使得成立的概率为 A． B． C． D． 8．设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．方程是直线的一般式方程 C．直线的斜率为 D．点到直线的距离为1 10．如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（     ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D．在上的投影向量的模为1 11．已知抛物线，，，，则（） A．与的准线重合 B．由，，，的焦点构成的四边形的面积为 C．同时与，，，相切的直线只有条 D．，，，所围成封闭图形的面积大于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________． 13．正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 14．已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 17．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 18．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M、N分别为PB，PC中点. (1)求证:MN平面ABC； (2)若PA=2，AC=m，BC=n，且AM与平面PBC所成角的正切值为 ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积； ②求BC的最大值. 19．已知椭圆的离心率为，上的点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)设点在椭圆上． ①证明：直线为椭圆在点处的切线； ②设为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．设与的面积分别为，，比较与的大小，并写出必要说明过程． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $