大题06 圆锥曲线讲义-2027届高三数学一轮复习

大题06 圆锥曲线 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 6 2024/2025/2026高考真题 10 易错点速查清单 27 速记口诀 29 典例讲解之会一题通一类 31 解答题专项题组A（基础回归） 51 解答题专项题组B（能力提升） 60 解答题专项题组C（思维拓展） 75 公式定理汇总 一、椭圆 定义：平面内到两定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程： 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 基本关系： 离心率： 焦点：焦点在 轴上时为 ；焦点在 轴上时为 。 顶点：长轴顶点 ，短轴顶点 （焦点在 轴时）。 通径： 识别特征：题干出现“到两定点距离之和为常数”“椭圆”“离心率”，或方程中 系数同号且不等。 通法选择：先判断焦点位置，再设标准方程；求离心率优先找 的齐次关系，再用 转化。 书写要求：设方程时写清“因为焦点在 轴上，所以设椭圆方程为 ”；求离心率写“由 得 ”。 二、双曲线 定义：平面内到两定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程： 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 基本关系： 离心率： 渐近线： 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 通径： 识别特征：题干出现“到两定点距离之差的绝对值为常数”“双曲线”“渐近线”，或方程中 系数异号。 通法选择：先判断焦点位置，再设标准方程；求离心率优先找 的齐次关系，注意 ；涉及渐近线时，把渐近线方程与标准方程互推。 书写要求：写“因为焦点在 轴上，所以设双曲线方程为 ”；求渐近线写“由 得渐近线方程为 ”。 三、抛物线 定义：平面内到定点 与到定直线 的距离相等的点的轨迹（）。 标准方程： 焦点为 ，准线为 其余三种标准方程： 焦半径：对 上一点 ， 通径： 识别特征：题干出现“到定点与到定直线距离相等”“抛物线”“准线”“焦点弦”，或方程中只有一个平方项。 通法选择：先确定开口方向，再设标准方程；涉及焦点弦时，用焦半径公式或韦达定理；涉及准线时，把距离转化为坐标。 书写要求：写“由题意，抛物线开口向右，设方程为 ”；求焦点弦长写“由焦半径公式，”。 四、直线与圆锥曲线的位置关系 联立消元：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去 （或 ），得到关于 （或 ）的一元二次方程。 判别式： 弦长公式：设直线 与曲线交于 ，则 或 识别特征：题干出现“直线与曲线交于两点”“弦长”“求直线方程”。 通法选择：设直线方程时，优先考虑斜率是否存在；联立后写出韦达定理；弦长用弦长公式，注意 是前提。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……，由 得……，由韦达定理得 ”。若斜率可能不存在，应单独讨论。 五、中点弦与点差法 设 为圆锥曲线上两点， 为 中点，则 将 坐标分别代入曲线方程，两式相减，利用平方差分解，可得中点弦斜率与中点坐标的关系。 椭圆中点弦： 双曲线中点弦： 抛物线中点弦（）： 识别特征：题干出现“弦的中点”“中点弦”“平分弦的直线”。 通法选择：点差法适用于已知中点求斜率，或已知斜率求中点；也可用韦达定理处理，但点差法更简洁。 书写要求：写“设 ，则 ，分别代入曲线方程并相减得……”。使用点差法后应检验 。 六、焦点弦与焦半径 椭圆焦半径：对 上一点 ，左焦点 ，右焦点 ，则 双曲线焦半径：对 右支上一点 ，则 抛物线焦半径：对 上一点 ， 焦点弦长：抛物线 的焦点弦 ，若 的倾斜角为 ，则 识别特征：题干出现“焦点弦”“焦半径”“过焦点的直线”。 通法选择：焦半径用公式直接转化坐标；焦点弦优先用弦长公式或焦点弦长公式；涉及焦点三角形时，结合定义与余弦定理。 书写要求：写“由焦半径公式，”；焦点弦长写“由焦点弦长公式，”。 七、面积问题 三角形面积： 其中 为点 到直线 的距离。 坐标面积公式：设 ，则 识别特征：题干要求“求三角形面积”“面积的最大值”。 通法选择：先求弦长，再求点到直线的距离，最后用面积公式；也可用分割法，把三角形分成两个同底三角形。 书写要求：写“设 ，则 ，点 到直线 的距离 ，所以 ”。 八、定点定值问题 定点问题：设直线方程为 ，联立后利用韦达定理，把条件转化为 的关系，再证明直线过定点。 定值问题：把目标量表示为 的表达式，利用条件化简，证明其与 无关。 识别特征：题干出现“证明直线过定点”“求定值”“是否为定值”。 通法选择：先设直线方程，联立得韦达定理，再把目标量用 表示，代入化简。定点问题常令直线为 的形式，或证明 后代入。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……，由韦达定理得……，则目标量 ，化简得……，所以直线过定点 ”。 九、最值与范围问题 函数法：把目标量表示为某个变量的函数，求函数最值。 不等式法：利用基本不等式、判别式 、圆锥曲线范围求最值。 几何法：利用定义、对称性、焦半径等几何性质求最值。 识别特征：题干出现“求最大值”“求最小值”“求取值范围”。 通法选择：先设元，把目标量表示为函数；再确定变量范围；最后用函数、不等式或几何方法求最值。 书写要求：写“设……，则目标量 ，因为……，所以变量范围为……，当……时，目标量取得最大值（最小值）”。 十、存在性问题 存在性问题的通法：先假设存在，设出参数，列方程或不等式，解出参数后检验是否满足条件。 识别特征：题干出现“是否存在……，使……”“若存在，求出……；若不存在，说明理由”。 通法选择：假设存在，设点或设直线，联立后利用韦达定理，把条件转化为参数方程，解出后检验范围。 书写要求：写“假设存在点 （或直线 ），使……，则……，解得……，经检验……，所以存在（不存在）”。 常用结论、二级结论归纳 结论1：椭圆、双曲线的通径 椭圆和双曲线的通径长均为 识别特征：题干出现“过焦点且垂直于长轴的弦”“通径”。 使用条件：椭圆、双曲线标准方程。 书写要求：写“由通径公式，通径长为 ”。 结论2：椭圆、双曲线的离心率与 关系 椭圆： 双曲线： 识别特征：题干给出 的齐次关系，求离心率。 使用条件：先判断是椭圆还是双曲线，再选择 与 的关系。 书写要求：写“由 （或 ），得 ”。 结论3：双曲线渐近线与方程互推 双曲线 的渐近线为 即 反之，若渐近线为 ，可设双曲线方程为 识别特征：题干给出渐近线方程，求双曲线方程；或给出双曲线方程，求渐近线。 使用条件：焦点在 轴上时渐近线斜率为 ；焦点在 轴上时为 。 书写要求：写“由渐近线方程 ，可设双曲线方程为 ，代入条件得 ”。 结论4：抛物线焦点弦的性质 对 的焦点弦 ，设 ，则 弦长： 若 的倾斜角为 ，则 识别特征：题干出现“过焦点的弦”“焦点弦”。 使用条件：抛物线标准方程 ，焦点弦。 书写要求：写“由焦点弦性质，，”；弦长写“”。 结论5：中点弦的点差法结论 椭圆 的中点弦斜率与中点 满足 双曲线 满足 抛物线 满足 识别特征：已知中点求弦所在直线斜率，或已知斜率求中点。 使用条件：中点弦存在，且 ；双曲线中点弦需检验中点是否在双曲线内部。 书写要求：写“设 ，中点 ，由点差法得 ”；使用后检验 。 结论6：椭圆、双曲线的焦点三角形面积 椭圆中，若 在椭圆上，，则 双曲线中，若 在双曲线上，，则 识别特征：题干出现“焦点三角形”“”。 使用条件：椭圆、双曲线标准方程， 在曲线上。 书写要求：写“由焦点三角形面积公式，”；双曲线写“”。 结论7：直线与圆锥曲线联立的韦达定理模板 设直线 与椭圆 联立，消去 得 则 识别特征：直线与椭圆联立，求弦长、中点、面积、定点定值。 使用条件：直线斜率存在；若斜率不存在，单独讨论。联立前确保 。 书写要求：写“联立 ，消去 得……，由韦达定理得 ”。 结论8：弦长公式的两种形式 识别特征：求直线与圆锥曲线相交所得弦长。 使用条件：直线斜率存在且不为零；若斜率不存在，用 ；若斜率为零，用 。 书写要求：写“由弦长公式，”。 结论9：面积最值的常用处理 三角形面积 若 为弦， 为点到直线距离，则 识别特征：求三角形面积、面积最值。 使用条件：直线斜率存在；面积表达式中 可约去时优先用此形式。 书写要求：写“”，再化简求最值。 结论10：定点问题的常用设线方式 设 ：适用于直线斜率存在且不为零的情形。 设 ：适用于直线斜率可能不存在，或与 轴垂直的情形；， 为横截距。 设 ：适用于已知直线过某定点，证明另一定点。 识别特征：定点问题、存在性问题。 使用条件：根据直线是否可能垂直于 轴选择设线方式；若可能垂直，用 避免讨论。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……”。 结论11：椭圆、双曲线的参数方程 椭圆 的参数方程为 双曲线 的参数方程为 识别特征：求最值、范围，或涉及动点。 使用条件：参数方程适用于求最值、判断位置关系；解答题中可作为设点方式。 书写要求：写“设椭圆上点 ”，再代入目标式求最值。 结论12：抛物线焦点弦的倾斜角公式 对 的焦点弦 ，若 的倾斜角为 ，则 识别特征：焦点弦长与倾斜角有关。 使用条件：抛物线 ，焦点弦。 书写要求：写“由焦点弦长公式，”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】(1) (2)（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明如下： 方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. (3)证明如下： 方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 易错点速查清单 易错点1：设直线方程漏讨论斜率不存在 学生典型错误：直接设 ，没有讨论直线垂直于 轴的情形。 成因分析：斜率不存在的直线无法用 表示，可能漏解。 纠正要求：设线前写“若直线斜率不存在，则……；若斜率存在，设 ”。或改用 避免讨论。 易错点2：联立后忘记检验 学生典型错误：联立得到一元二次方程后直接用韦达定理，没有检验 。 成因分析：直线与曲线相交于两点必须以 为前提，否则韦达定理不成立。 纠正要求：联立后写“由 得 的取值范围为……”，再写韦达定理。 易错点3：弦长公式漏写 学生典型错误：把弦长写成 ，漏掉 。 成因分析：弦长是两点间距离，需乘以斜率的修正因子。 纠正要求：写“”；用 表示时写“”。 易错点4：焦点位置判断错误 学生典型错误：椭圆或双曲线焦点在 轴上时，仍按 轴焦点设方程。 成因分析：未根据题干条件或方程形式判断焦点位置。 纠正要求：先判断焦点位置，再设标准方程；若题干未说明，应分情况讨论或根据已知点坐标判断。 易错点5：椭圆、双曲线 关系混用 学生典型错误：椭圆用 ，双曲线用 。 成因分析：椭圆中 最大，；双曲线中 最大，。 纠正要求：写清“椭圆：；双曲线：”。 易错点6：渐近线斜率写反 学生典型错误：双曲线 的渐近线写成 。 成因分析：焦点在 轴上时，渐近线为 ；焦点在 轴上时为 。 纠正要求：先判断焦点位置，再写渐近线；可用“令方程右边为0”的方法推导。 易错点7：点差法后不检验 学生典型错误：用点差法求出中点弦斜率后，不检验直线与曲线是否真的相交于两点。 成因分析：点差法只保证中点坐标满足斜率关系，不保证弦存在。 纠正要求：点差法求出斜率后，联立方程检验 ；若 ，说明中点弦不存在。 易错点8：焦点弦长公式用错 学生典型错误：把抛物线焦点弦长写成 ，漏掉 。 成因分析：焦点弦长 ，因为焦半径多出 。 纠正要求：写“”。 易错点9：定点问题化简不彻底 学生典型错误：把目标量表示为 的表达式后，没有利用条件消去参数，直接写“过定点”。 成因分析：定点问题需证明直线方程可化为 或 的形式。 纠正要求：写“由条件得 ，代入直线方程得 ，所以直线过定点 ”。 易错点10：最值问题变量范围写错 学生典型错误：求最值时只写函数表达式，没有写变量范围，导致最值点取在范围外。 成因分析：圆锥曲线中变量受 、坐标范围、斜率范围等约束。 纠正要求：先写“由 得 的范围为……”，再求最值；最后写“当 时，取得最值”。 易错点11：存在性问题解出参数不检验 学生典型错误：假设存在，解出参数后直接写“存在”，没有检验是否满足 或其他条件。 成因分析：存在性问题需检验解出的参数是否在允许范围内。 纠正要求：写“解得 ，经检验，当 时，（或其他条件成立），所以存在”；若不满足，写“不存在”。 易错点12：面积计算漏绝对值或漏 学生典型错误：三角形面积漏写 ，或点到直线距离漏绝对值。 成因分析：面积公式和距离公式中的系数、绝对值容易遗漏。 纠正要求：写“，其中 ”；代入后检查系数和绝对值。 速记口诀 口诀一：椭圆双曲线关系 椭圆 最大， 方等于 方加 方； 双曲线 最大， 方等于 方加 方。 椭圆：；双曲线：。 口诀二：离心率 离心率， 比 ；椭圆小于一，双曲线大于一。 口诀三：渐近线 双曲线渐近线，右边令为零； 焦点在 轴，斜率正负 比 。 口诀四：抛物线 抛物线，一个平方一个一次； 焦点在正轴，开口向正方向； 焦半径，坐标加半 。 焦点 ，准线 ，焦半径 。 口诀五：联立与韦达 设线联立消一元，二次方程写韦达； 判别式先大于零，弦长中点再代入。 联立后先写 ，再写 、。 口诀六：弦长 弦长等于根号一加 方，乘以横坐标差； 斜率不存在用纵坐标，公式对称记清楚。 口诀七：点差法 中点弦，用点差，两点代入相减； 平方差分解，斜率中点关系现； 算完斜率验判别，弦不存在要说明。 点差法求中点弦斜率后，必须检验 。 口诀八：焦点弦 抛物线焦点弦，横坐标和加 ； 纵坐标积负 方，横坐标积四分之 方。 口诀九：面积 三角形面积，底乘高除二； 弦长乘点距，二分之一别忘记。 口诀十：定点 定点问题设线参，韦达定理代条件； 化简成点斜式，定点坐标自然现。 把直线化为 的形式，定点为 。 口诀十一：最值 最值先写变量范围，函数不等式几何法； 端点对称和判别，最值点要检验。 最值问题先确定变量范围，再选择函数、不等式或几何方法。 口诀十二：存在性 存在先假设，设点设线列方程； 解出参数必检验，满足条件才存在。 存在性问题假设存在，解出参数后检验 及其他条件。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设：（），：，与双曲线方程联立，再结合弦长公式求解. 【详解】（1）设的焦距为，由题意得得， 所以的方程为． （2）设：（），：，，． 由，得，得． 由得， 得， 所以 ， 同理可得． 由，得，得，得． 当时，， 得，，，，符合题意． 故的方程为． 8．（2026·青海黄南·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为． (1)求的方程； (2)设为的右顶点，过左焦点的直线与交于异于的两点． （ⅰ）记直线与直线的斜率分别为，若，求直线的方程； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（ⅰ）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理化简即可；（ⅱ）根据得出，再根据计算面积. 【详解】（1）由题意得，，得， 故的方程为； （2）（ⅰ）由题意可知，直线的斜率不为，， 设，， 联立得， 则， 则 ， 得，则直线的方程为； （ⅱ）因为， 所以 ， 所以， 则，则的面积为. 9．（2026·四川南充·一模）已知椭圆 ：的离心率为，短半轴长为 ． (1)求 的方程； (2)设直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ，点 为坐标原点，且，当 的面积最大时，求点 的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率与短半轴列方程即可求出椭圆方程， （2）联立直线和椭圆，借助韦达定理得到弦中点坐标，写出 的面积表达式，用基本不等式确定面积最大时 满足的关系式，再通过中点坐标关系消去参数 ，得到中点 的轨迹方程． 【详解】（1）由题意得，解得 ， ，， 所以椭圆 的方程为 ； （2） 由，得 是 的中点， 设，，， 由，得 ， 由直线 与椭圆 交于不同两点，得 ， 化简得，，， 所以，， ， 原点 到直线 的距离， 所以， 令 ，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，即， 因为，， 所以 ，即， 由，得，代入，得，即， 将，代入，得， 化简得 ，所以点 的轨迹方程为． 10．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点的坐标和弦长列出方程组即可求解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，进而表示出的方程，令结合韦达定理即可求出点的坐标. 【详解】（1）    不妨设的一个焦点为，， 则当时，，解得，所以， 所以,解得，，． 故椭圆的方程为． （2）    若直线与轴垂直，则点与重合，不符合题意； 依题意可设直线方程为，，，， 联立化简得， 显然，且，， 又因为，所以的方程为， 令，得，将，代入上式， 可得， 故点的坐标为． 11．（2026·湖南·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，满足，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点在定直线上，并求出定直线的方程． 【答案】(1) (2)（i） （ii）由（i）得，，所以， 则，， 由和方程联立得：， 即 ，即，解得， 所以直线与直线的交点落在定直线上. 【分析】（1）利用向量数量积得到，结合椭圆的关系式，即可求解； （2）（i）设斜截式直线与椭圆联立，借助韦达定理表示出的面积，换元后利用函数单调性即可求出面积的最大值； （ⅱ）写出直线、的方程并联立，代入韦达定理的关系化简，消参后得到交点横坐标恒为4，即可证明交点在定直线上. 【详解】（1）由短轴长，得，． 由题意：，，，则，， 由，即， 由，得， 联立方程组，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由题意知直线斜率不为0，设直线， 联立，代入化简：， 所以， ，， 所以 则， 令，则，所以， 则， 设，，则，故在上单调递增， 当时，，对应直线，， 此时的面积取到最大值为. （ⅱ）略 12．（2026·广东·模拟预测）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)若，求的方程； (2)若，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)解法一：证明：由（1）得，，设，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与联立，得，恒成立， 因为，是该方程的两个根，所以， 所以，，即， 同理可得直线的方程为，， 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则该定点必在轴上，设其坐标为， 则， 整理得，所以， 即直线过定点． 解法二：由（1）得，，设，， 则直线的斜率，直线的斜率， 故． 因为点在椭圆上，所以，即， 所以． 又，，代入， 得， 所以． 由题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，得，， 所以，， 所以 ， 解得， 所以直线过定点． 解法三：同解法二，得，     将椭圆向左平移2个单位长度， 则椭圆方程为，即． 设平移后直线对应的直线的方程为， 所以， 展开整理得， 当时，两边同除以得， 设平移之后，，，则，， 所以， 解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 所以直线过定点． 【分析】（1）利用离心率得到关系式，再将已知点代入椭圆方程联立求解，写出椭圆方程； （2）将点坐标代入椭圆得到等式，结合转化为关于离心率e的表达式，根据e范围求出a的取值范围； （3）解法一：求出直线方程，分别联立椭圆求出坐标，利用定点在x轴上，由三点共线斜率相等求出定点； 解法二：利用椭圆上的点与左右顶点斜率乘积的结论，推导出为定值，设直线与椭圆联立，结合韦达定理代入斜率乘积等式求出n，得到定点； 解法三：同样得到为定值，平移椭圆后用齐次化处理，由斜率乘积条件求出直线参数，平移还原得到定点． 【详解】（1）由，得， 所以， 由点在上，可得，即， 解得，所以， 故的方程为． （2）由（1）得，即， 设，则， 两边同时除以，整理得， 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是． （3）略 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆：过点，且左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于，两点，点坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点． （i）已知点坐标为，求点横坐标（用表示）； （ii）过点作于点，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）存在定点，使得为定值.理由如下： 设，，由（i）同理可得， 其中，设，则， 则，， 设直线方程为，则，， 联立与得， 由得， 其中， 故 ， 故，同理可得， 则直线的斜率为， 由于，， 故两点均在过定点，斜率为的直线上，即， 所以直线的方程为，过定点， 取的中点，即， 由于，故此时， 故存在定点，使得为定值. 【分析】（1）根据点坐标和左焦点，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）设出直线的方程，联立椭圆方程，结合，由韦达定理可得； （ii）设，由（i）可得，换元，求出，同理可得，求出直线的方程为，过定点，从而取的中点，使得为定值. 【详解】（1）由题意得，，故， 解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）直线的斜率为，故直线的方程为：， 联立与得， 其中，故，将其代入上式可得 ， 化简得， 设，由韦达定理可得，故， （ii）略 14．（2026·河南·一模）已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值，定值为. 【分析】（1）由椭圆的左顶点为，离心率为，列出方程组，求解方程组即可得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，对代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）依题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为． （2）依题意得，设， （i）直线的方程为，联立， ，得， ，. 则的面积 . （ii）是定值，定值为，过程如下： 由题意可得，设直线的方程为， 联立方程，，得. ，. . 又，， ． 所以是定值，定值为．    15．（2026·山东·模拟预测）椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求出，即可求出椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，通过向量关系求出，从而得出直线的方程，联立直线与椭圆方程，得出，然后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而得出的面积；（ⅱ）设，得出相应的直线方程，联立解出相关的参数，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题意分析即可得出结论. 【详解】（1）由，得，半焦距， 所以椭圆的离心率为：. （2）（ⅰ）设， 因为，所以， 所以，直线的方程为即：， 代入椭圆方程，得，由，得， 代入直线方程，得，即， 所以， 又到直线的距离， 所以的面积为. （ⅱ）设，方程为， 直线方程为，得， 同理， 因为，所以， 整理得，① 将直线方程代入椭圆方程，得，② 所以，， 代入①式得，整理得， 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，此时该直线经过轴上定点， 方程②可化为， 由，得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意， 所以的取值范围为.    16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，当垂直于轴时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合， ①求证：直线过定点； ②当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 【答案】(1) (2)①证明：由题意，设直线的方程为， 则直线的方程为．设，． 由消去，整理得． ，则． 由题意，得， 所以，则． 将点坐标中的用代换，得弦的中点． 当，得，所以， 所以直线的方程为．                                    当时，直线的斜率， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过点． ②直线和的斜率分别为和 【分析】（1）由焦点坐标可知，又，联立求解得到，即可得到椭圆方程； （2）①设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦中点的坐标，再推导直线的方程，整理为点斜式形式即可判断定点； ②先写出三角形面积关于的表达式，通过换元、利用函数单调性求最值，进而得到对应直线斜率. 【详解】（1）由题意，当垂直于轴时，． 由题意，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①略； ②由题意，得的面积 ． 设 ，则， ． 由对勾函数的性质，得函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值为，即面积的最大值为． 此时两直线和的斜率分别为和. 解答题专项题组A（基础回归） 17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 【答案】(1) (2);或 【分析】（1）由面积公式和离心率公式，解得，可得椭圆方程. （2）设出点坐标，将表示成关于纵坐标的二次函数，从而求解. 【详解】（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即. 由，得，则，即. 代入解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可设，且满足，即，. 而上顶点，则， .所以当时， 所以的最大值为.此时，， 所以点坐标为或. 19．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义及中点横坐标可求答案； （2）联立方程，利用判别式求出的范围，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得 ，， 所以． （2）由直线l过点，设直线l的方程为， 由消去x并整理得， 由，得， 且，， 则， 所以的取值范围为． 20．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． （2）设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即．    21．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）根据直线方程，可得P点坐标，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据条件，可得，联立求解，可得m值. 【详解】（1）因为右焦点为，所以， 因为离心率，所以， 则，所以的方程为. （2）由与轴交于点，令，解得，则， 联立直线与椭圆，得， 判别式，解得或， 设， 则， 因为是的中点，所以， 解得， 则，解得符合题意， 所以的值为 22．（2026·重庆江津·三模）已知椭圆E 经过点 且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为 的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为 求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得为椭圆的焦点，得到，再由椭圆经过点，代入椭圆方程求解； （2）设直线平行的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为椭圆E 的焦点在x轴上，且直线 过椭圆E的焦点， 所以   ∴， ∴， ∵椭圆经过点      解得. 故椭圆的标准方程为. （2） ∴设直线的方程为，点，. 将直线的方程代入椭圆的方程得， ，解得， 由韦达定理得. ∴. 23．（2026·湖南长沙·三模）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为离心率，故， 因为，得，即，所以， 双曲线过点，将其代入方程， 因为，所以，解得，则， 因此，双曲线的标准方程为； （2）由轴，可知的横坐标为， 代入双曲线方程，得， 因为在第一象限，故，即， 直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 24．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标并代入椭圆的方程即可. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    25．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据离心率得到之间的关系，短轴长可得到，根据椭圆中的关系计算出的值，从而得到椭圆的标准方程； (2)设点的坐标，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到中点坐标，通过消参的方法得到轨迹方程，需考虑判别式大于0的条件下参数范围． 【详解】（1）由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 26．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C：，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于、两点. (1)求证：为定值； (2)若点，直线、分别与抛物线的准线交于M、N两点，求的取值范围. 【答案】(1)证明：依题意，，设直线的方程为， 联立，得， 因， 则，， 故为定值. (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理即可得证； （2）先求出直线的方程，与抛物线准线联立求得点的坐标，利用（1）中的韦达定理化简的表达式，即可求得其范围. 【详解】（1）略 （2）设，，则， 所以直线的方程，把代入解得， 同理得，由（1）知：， 则 又，所以， 因 ，则. 的取值范围是. 解答题专项题组B（能力提升） 27．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且经过点，坐标原点为． (1)求椭圆的方程； (2)点，是椭圆上两个不同的点．若三角形的垂心为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)54 【详解】（1）点在椭圆上，故． 又，则，所以， 故椭圆方程为． （2）因为是的垂心，所以，而为轴，故平行于轴． 设，，其中． 再由，得，即； 又在椭圆上，故． 两式联立得，即或． 当时，不合题意； 故，且，即，（两点次序可交换）． 因此． 28．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)为定值零． 【分析】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 29．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）略 30．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求的焦距； (2)若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据椭圆定义中，，的关系从而求解焦距。（2）由题意可知点在的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 【详解】（1）由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距. （2）由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得， 即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 31．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线，分别交轴于，两点，证明：，，的横坐标成等差数列． 【答案】(1) (2)证明：当过点的直线斜率不存在时， 直线与椭圆只有1个交点，舍去， 设直线的方程为， 设、，由， 消去整理得， 因此，解得， ，， 直线的方程为，令，得， 同理可得． ， 又因为， ． 因此， 因此，，的横坐标成等差数列. 【分析】（1）由题可得，然后由到直线的距离可得，据此可得答案； （2）由题设过点的直线方程为，、，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，由题可得，验证可完成证明； 【详解】（1）由已知得，，所以， 原点到直线的距离为， 所以 的方程为. （2）略 32．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 【分析】（1）由椭圆方程得到的值即可求离心率； （2）设， 由，得到，联立椭圆方程，即可求解点坐标； （3）先假设存在定点，由直线AB的斜率为0时，，直线AB的斜率不存在时，，则，得到，且，设直线AB的方程为，联立方程组利用韦达定理，再判断当点T的坐标为， 即可. 【详解】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 （3）略 33．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 34．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 35．（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 36．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【详解】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）略 【点睛】直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在，若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点. 解答题专项题组C（思维拓展） 37．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线和双曲线． (1)设两个定点，，动点M在曲线上，且点M在第一象限．证明：为定值； (2)双曲线上有两个点，，并且．求的值； (3)设双曲线上关于原点对称的两点分别为和，以为圆心，为半径的圆与双曲线交于另外三点B，C，D．证明：为等边三角形． 【答案】(1)方法一：由题可设， 则， 同理可得：， ，，则， ，即为定值. 方法二：设点， 因为，当且仅当时等号成立 所以 方法三：设点， 所以，即 因为，当且仅当时等号成立． 所以， 即，所以． 方法四：如图， 作垂直轴于点垂直轴于点，则， 将绕原点顺时针旋转后，点,,对应点， 其中在直线上，在直线上，设点， 则， 所以可得在双曲线上，实轴长为又其左右焦点分别对应， 所以． 方法五：将绕原点顺时针旋转， 对应 所以 又在上，即 所以，下同方法四. (2)； (3)将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线， 如下图设， 联立得， 对比系数可得 过点作的垂线，交于点， 因为， 同理可得， 因为， 所以， 所以，即为的垂心， 根据和可得，即与重合， 即的垂心与外心重合，所以为等边三角形. 【分析】（1）方法一：利用两点间的距离公式将表示出来，化简即可得证；方法二：设点，再代入计算，最后去掉绝对值即可；方法三：设点，再代入因式分解得，则得到其为定值；方法四：利用反比例函数进行旋转，再利用矩形面积不变即可得到答案；方法五：旋转反比例函数得到，再计算得即可； （2）方法一：设直线，根据两角差的正切公式得到，再计算出即可；方法二：利用参数方程法设，再计算得，从而得到其为定值；方法三：将双曲线绕原点逆时针旋转得到，再利用参数方程法即可得到答案；方法四：利用极坐标法，得到，，代入化简可求解. （3）将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线，再合理设点，利用交点式进行待定系数，从而得到，再作出合理辅助线，得到相关斜率的乘积关系即可. 【详解】（1）略； （2）方法一：如图设直线，其倾斜角为，直线，其倾斜角为， 可得， 联立解得， 将代入化简可得 同理可得， 所以． 方法二：如上图设， 则代入可得 ， 从而． 方法三：将双曲线绕原点逆时针旋转可得曲线， 如上设，则代入可得 ，从而 方法四：由极坐标法，设，代入双曲线得： 解得. 设点对应的极角为，则， ，则, . （3）略； 38．（2026·湖南永州·一模）已知双曲线：（，）的两焦点分别为，，其渐近线方程为，过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点． (1)求的标准方程． (2)若不垂直轴，直线与双曲线的另一交点为，且，求的取值范围． (3)若垂直轴，点在上，点在上，是否存在以，为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的纵坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）利用焦点坐标公式和渐近线的公式求解； （2）设直线的方程为，直线和双曲线联立方程组得到，设，利用直线和双曲线要有两个交点，得到，解得的范围，根据韦达定理求出，由得到点，求出，，求出，利用得到的不等式，计算此不等式即可得解； （3）求出的方程为，由点在上设出，由得到，由四边形为矩形得到，利用向量法求出，由是矩形得到，由在双曲线上得到，化简计算得到，从而得到结论. 【详解】（1）双曲线，焦点在轴上， 因为焦点，所以，即， 因为渐近线，焦点在轴的双曲线渐近线方程为， 所以，， 联立，解得， 则双曲线标准方程为. （2）直线过，斜率，因为不垂直轴，所以， 则直线的方程为， 联立双曲线方程， 将代入整理得到， 即， 设， 直线和双曲线要有两个交点， 则有且且， 恒成立，解得且， 且 因为，则与双曲线另一交点， 因为， 所以，， 因为， 所以， 则， 因为，所以， 因为，所以， 令， 则转化为， 分情况讨论求解： ① 当时，， 解得，因为，所以，即， ② 当时，， 解得，因为，所以，即， 又，则的范围为. （3）因为过，垂直轴，所以的方程为， 因为点在上，所以设， 因为在双曲线上，所以设，且满足， 因为四边形为矩形， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为是矩形，所以， 因为在双曲线上，所以， 即，整理得到， 因为满足，所以， 将代入， 得到， 解得， 将代入， 得到， 即， 即， 将两边平方，得到， 将，代入， 得到， 即， 分情况讨论： 情形一：，即， 此时，得，满足， 则，即， 因为是双曲线，所以， 将代入验证成立，则成立； 情形二：，两边约去， 得到，解得解得， 当时，，，所以成立， 当时，，，所以成立， 综上可知，存在以为邻边的矩形，在上， 且点的纵坐标可为：. 39．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）当变化时，是定值，定值为． 证明如下：设，， 由，得， 当时， 有，①， 因为直线、的斜率依次为、， 所以， 所以②， 由①②解得，经验证成立，所以结论成立． （ii） 【分析】（1）小题利用垂直平分线的等距性质结合椭圆的定义直接写出轨迹方程； （2）（i）将直线代入椭圆，用韦达定理，把斜率条件转化为关于的等式，推导出为定值；（ii）利用三角形面积公式，代入的定值，换元后结合对勾函数单调性求出面积取值范围． 【详解】（1）由题设条件可得，，， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 又，，，所以， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）略； （ii）， 令，得． 所以，面积的取值范围为． 40．（2026·湖南常德·模拟预测）已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：（i）设直线， 联立，消得. 设交点， 则. 点，所以. 当直线过时，，代入得； 当直线过时，，代入得； 两式相除得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以其前项和为， 因为，所以，即得证. （ii）存在定圆，方程为. 【分析】（1）求出点到的距离和点到定直线的距离表达式，进而化简计算即可. （2）（i）将直线与双曲线联立，结合韦达定理可得到是首项为，公比为的等比数列，进而求出其前项和得证； （ii）先求出直线恒过定点，结合对称性可求出结果. 【详解】（1）设，则点到的距离为， 点到定直线的距离为，由于点到的距离与到定直线的距离之比为2 所以，两边平方得， 化简得. （2）（i）略. （ii）存在定圆，方程为，理由如下： 设直线，由（i）得， 又，，所以， 即， 解得，即直线恒过定点. 设，由对称性质得，消去整理得. 41．（2026·四川巴中·模拟预测）已知椭圆，焦距，离心率为． (1)求的方程； (2)为的右焦点，过点作倾斜角为的直线交于，两点． ①若，求； ②在上取5个不同的点，，，，，满足，计算的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）由焦距和离心率分别求出和，再利用求出，代入标准方程即得椭圆方程； （2）①先由斜率写直线方程，代入椭圆方程消元得关于的二次方程，利用韦达定理和弦长公式计算弦长；②设椭圆的上点坐标为，可得，整理可得，利用三角恒等变换可得，即可得结果． 【详解】（1）因为焦距，所以，离心率，得， 又， 所以椭圆方程为：． （2）①由（1）可知右焦点，直线斜率， 所以直线方程为， 联立方程 ，消去y可得， 因为，则， 所以； ②设椭圆的上点坐标为， 则，整理可得， 设点对应的参数为，且，， 可得， 因为 ， 设，因为，即， 又因为 ， 可得，整理可得， 显然，即，可得， 即，则， 所以. 42．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【详解】（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 43．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，． ②不存在最大值，理由如下： 直线的方程为，联立直线与抛物线方程得， 即， 设，，故， 所以，同理， 所以 ， 因为，故，取值区间为开区间，取不到，所以单调递增，无最大值． 【分析】（1）根据椭圆的一个焦点与已知抛物线的焦点重合，结合椭圆的定义即可求解. （2）①联立直线和椭圆方程，设交点，，再结合韦达定理，即可求解. ②利用抛物线焦点弦长公式，结合韦达定理，将表示为含的式子，结合的取值范围，分析其单调性，即可得出结论. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点为，即， 又直线与椭圆交于A，B两点，且过椭圆的左焦点， 根据椭圆的定义，的周长为，所以， 可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①联立直线与椭圆方程，可得， 整理得. 设，， 所以，. 由（1）可知，椭圆的焦点为，， 所以，， 所以 ， ． ②略 44．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 45．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. (1)求椭圆的方程； (2)不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设椭圆的方程为（，，），代入两点坐标，求得，即可得椭圆的方程； （2）（i）设直线：，与椭圆的方程进行联立，利用韦达定理及向量的坐标运算法则，用表示点的坐标，代回椭圆方程，即可求得的值，从而得到直线的方程；（ii）设，直线：，将直线方程与椭圆方程进行联立，根据斜率公式，结合韦达定理用表示，即可求得的值. 【详解】（1）设椭圆的方程为（，，） 由题意，，解得，，所以椭圆： （2）（i）由椭圆的方程可得，即. 直线不过原点，所以斜率不为0，设直线：，， 由，得. 由得，，. 所以点，则，即， ，. 所以直线的方程为. （ii）设，则，即. 若，则， 所以设直线：，，. 由得， 即. 则，， 得，. 所以， 所以． 46．（2026·山东青岛·模拟预测）已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． (1)求的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)设，，：， 联立得，整理得， 由韦达定理得，， 由（2）知，， 则，所以， 变形得，所以． 因为，所以， 所以，整理得， 代入韦达定理，整理得， 即， 所以或， 当时，直线：，过定点（舍去）； 当时，直线：，过定点． 所以，直线过定点． 【分析】（1）由离心率和，求得即可求解； （2）法一：通过直线和直线关于直线对称，确定直线的方程，再联立椭圆方程求得坐标，最后由列出等式求解即可；法二，设：，联立椭圆方程求得坐标，再由求得，再由，列出等式求解即可； （3）设，，：，联立椭圆方程，得到，再通过点在椭圆上，代入椭圆方程通过作差法得到，结合，得到，由斜率公式和韦达定理列出等式，即可证明. 【详解】（1）由题意， 又，代入解得：， 故椭圆方程为： （2） 法一、因为直线和直线关于直线对称，且直线的斜率为，所以， 设直线：，， 则， 整理得， 即． 因为，化简得， 由韦达定理得，，， 所以，代入直线：，得， 所以．   因为点是直线与直线的交点，且直线和直线关于直线对称， 所以点到直线和直线的距离相等， 所以 ， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以， 即点的坐标是．   法二、设：，联立得，整理得， 由韦达定理得，， 因为直线和直线关于直线对称，所以， 即，整理得， 解得， 所以，：， 联立椭圆方程得， 整理得，即， 由韦达定理得，所以， 代入设直线：，得，所以，． 因为到的距离即为到直线的距离， 所以， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以 即点的坐标是． （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题06 圆锥曲线 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 6 2024/2025/2026高考真题 10 易错点速查清单 11 速记口诀 13 典例讲解之会一题通一类 15 解答题专项题组A（基础回归） 18 解答题专项题组B（能力提升） 19 解答题专项题组C（思维拓展） 21 公式定理汇总 一、椭圆 定义：平面内到两定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程： 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 基本关系： 离心率： 焦点：焦点在 轴上时为 ；焦点在 轴上时为 。 顶点：长轴顶点 ，短轴顶点 （焦点在 轴时）。 通径： 识别特征：题干出现“到两定点距离之和为常数”“椭圆”“离心率”，或方程中 系数同号且不等。 通法选择：先判断焦点位置，再设标准方程；求离心率优先找 的齐次关系，再用 转化。 书写要求：设方程时写清“因为焦点在 轴上，所以设椭圆方程为 ”；求离心率写“由 得 ”。 二、双曲线 定义：平面内到两定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹。 标准方程： 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 基本关系： 离心率： 渐近线： 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 通径： 识别特征：题干出现“到两定点距离之差的绝对值为常数”“双曲线”“渐近线”，或方程中 系数异号。 通法选择：先判断焦点位置，再设标准方程；求离心率优先找 的齐次关系，注意 ；涉及渐近线时，把渐近线方程与标准方程互推。 书写要求：写“因为焦点在 轴上，所以设双曲线方程为 ”；求渐近线写“由 得渐近线方程为 ”。 三、抛物线 定义：平面内到定点 与到定直线 的距离相等的点的轨迹（）。 标准方程： 焦点为 ，准线为 其余三种标准方程： 焦半径：对 上一点 ， 通径： 识别特征：题干出现“到定点与到定直线距离相等”“抛物线”“准线”“焦点弦”，或方程中只有一个平方项。 通法选择：先确定开口方向，再设标准方程；涉及焦点弦时，用焦半径公式或韦达定理；涉及准线时，把距离转化为坐标。 书写要求：写“由题意，抛物线开口向右，设方程为 ”；求焦点弦长写“由焦半径公式，”。 四、直线与圆锥曲线的位置关系 联立消元：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去 （或 ），得到关于 （或 ）的一元二次方程。 判别式： 弦长公式：设直线 与曲线交于 ，则 或 识别特征：题干出现“直线与曲线交于两点”“弦长”“求直线方程”。 通法选择：设直线方程时，优先考虑斜率是否存在；联立后写出韦达定理；弦长用弦长公式，注意 是前提。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……，由 得……，由韦达定理得 ”。若斜率可能不存在，应单独讨论。 五、中点弦与点差法 设 为圆锥曲线上两点， 为 中点，则 将 坐标分别代入曲线方程，两式相减，利用平方差分解，可得中点弦斜率与中点坐标的关系。 椭圆中点弦： 双曲线中点弦： 抛物线中点弦（）： 识别特征：题干出现“弦的中点”“中点弦”“平分弦的直线”。 通法选择：点差法适用于已知中点求斜率，或已知斜率求中点；也可用韦达定理处理，但点差法更简洁。 书写要求：写“设 ，则 ，分别代入曲线方程并相减得……”。使用点差法后应检验 。 六、焦点弦与焦半径 椭圆焦半径：对 上一点 ，左焦点 ，右焦点 ，则 双曲线焦半径：对 右支上一点 ，则 抛物线焦半径：对 上一点 ， 焦点弦长：抛物线 的焦点弦 ，若 的倾斜角为 ，则 识别特征：题干出现“焦点弦”“焦半径”“过焦点的直线”。 通法选择：焦半径用公式直接转化坐标；焦点弦优先用弦长公式或焦点弦长公式；涉及焦点三角形时，结合定义与余弦定理。 书写要求：写“由焦半径公式，”；焦点弦长写“由焦点弦长公式，”。 七、面积问题 三角形面积： 其中 为点 到直线 的距离。 坐标面积公式：设 ，则 识别特征：题干要求“求三角形面积”“面积的最大值”。 通法选择：先求弦长，再求点到直线的距离，最后用面积公式；也可用分割法，把三角形分成两个同底三角形。 书写要求：写“设 ，则 ，点 到直线 的距离 ，所以 ”。 八、定点定值问题 定点问题：设直线方程为 ，联立后利用韦达定理，把条件转化为 的关系，再证明直线过定点。 定值问题：把目标量表示为 的表达式，利用条件化简，证明其与 无关。 识别特征：题干出现“证明直线过定点”“求定值”“是否为定值”。 通法选择：先设直线方程，联立得韦达定理，再把目标量用 表示，代入化简。定点问题常令直线为 的形式，或证明 后代入。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……，由韦达定理得……，则目标量 ，化简得……，所以直线过定点 ”。 九、最值与范围问题 函数法：把目标量表示为某个变量的函数，求函数最值。 不等式法：利用基本不等式、判别式 、圆锥曲线范围求最值。 几何法：利用定义、对称性、焦半径等几何性质求最值。 识别特征：题干出现“求最大值”“求最小值”“求取值范围”。 通法选择：先设元，把目标量表示为函数；再确定变量范围；最后用函数、不等式或几何方法求最值。 书写要求：写“设……，则目标量 ，因为……，所以变量范围为……，当……时，目标量取得最大值（最小值）”。 十、存在性问题 存在性问题的通法：先假设存在，设出参数，列方程或不等式，解出参数后检验是否满足条件。 识别特征：题干出现“是否存在……，使……”“若存在，求出……；若不存在，说明理由”。 通法选择：假设存在，设点或设直线，联立后利用韦达定理，把条件转化为参数方程，解出后检验范围。 书写要求：写“假设存在点 （或直线 ），使……，则……，解得……，经检验……，所以存在（不存在）”。 常用结论、二级结论归纳 结论1：椭圆、双曲线的通径 椭圆和双曲线的通径长均为 识别特征：题干出现“过焦点且垂直于长轴的弦”“通径”。 使用条件：椭圆、双曲线标准方程。 书写要求：写“由通径公式，通径长为 ”。 结论2：椭圆、双曲线的离心率与 关系 椭圆： 双曲线： 识别特征：题干给出 的齐次关系，求离心率。 使用条件：先判断是椭圆还是双曲线，再选择 与 的关系。 书写要求：写“由 （或 ），得 ”。 结论3：双曲线渐近线与方程互推 双曲线 的渐近线为 即 反之，若渐近线为 ，可设双曲线方程为 识别特征：题干给出渐近线方程，求双曲线方程；或给出双曲线方程，求渐近线。 使用条件：焦点在 轴上时渐近线斜率为 ；焦点在 轴上时为 。 书写要求：写“由渐近线方程 ，可设双曲线方程为 ，代入条件得 ”。 结论4：抛物线焦点弦的性质 对 的焦点弦 ，设 ，则 弦长： 若 的倾斜角为 ，则 识别特征：题干出现“过焦点的弦”“焦点弦”。 使用条件：抛物线标准方程 ，焦点弦。 书写要求：写“由焦点弦性质，，”；弦长写“”。 结论5：中点弦的点差法结论 椭圆 的中点弦斜率与中点 满足 双曲线 满足 抛物线 满足 识别特征：已知中点求弦所在直线斜率，或已知斜率求中点。 使用条件：中点弦存在，且 ；双曲线中点弦需检验中点是否在双曲线内部。 书写要求：写“设 ，中点 ，由点差法得 ”；使用后检验 。 结论6：椭圆、双曲线的焦点三角形面积 椭圆中，若 在椭圆上，，则 双曲线中，若 在双曲线上，，则 识别特征：题干出现“焦点三角形”“”。 使用条件：椭圆、双曲线标准方程， 在曲线上。 书写要求：写“由焦点三角形面积公式，”；双曲线写“”。 结论7：直线与圆锥曲线联立的韦达定理模板 设直线 与椭圆 联立，消去 得 则 识别特征：直线与椭圆联立，求弦长、中点、面积、定点定值。 使用条件：直线斜率存在；若斜率不存在，单独讨论。联立前确保 。 书写要求：写“联立 ，消去 得……，由韦达定理得 ”。 结论8：弦长公式的两种形式 识别特征：求直线与圆锥曲线相交所得弦长。 使用条件：直线斜率存在且不为零；若斜率不存在，用 ；若斜率为零，用 。 书写要求：写“由弦长公式，”。 结论9：面积最值的常用处理 三角形面积 若 为弦， 为点到直线距离，则 识别特征：求三角形面积、面积最值。 使用条件：直线斜率存在；面积表达式中 可约去时优先用此形式。 书写要求：写“”，再化简求最值。 结论10：定点问题的常用设线方式 设 ：适用于直线斜率存在且不为零的情形。 设 ：适用于直线斜率可能不存在，或与 轴垂直的情形；， 为横截距。 设 ：适用于已知直线过某定点，证明另一定点。 识别特征：定点问题、存在性问题。 使用条件：根据直线是否可能垂直于 轴选择设线方式；若可能垂直，用 避免讨论。 书写要求：写“设直线 的方程为 ，代入曲线方程得……”。 结论11：椭圆、双曲线的参数方程 椭圆 的参数方程为 双曲线 的参数方程为 识别特征：求最值、范围，或涉及动点。 使用条件：参数方程适用于求最值、判断位置关系；解答题中可作为设点方式。 书写要求：写“设椭圆上点 ”，再代入目标式求最值。 结论12：抛物线焦点弦的倾斜角公式 对 的焦点弦 ，若 的倾斜角为 ，则 识别特征：焦点弦长与倾斜角有关。 使用条件：抛物线 ，焦点弦。 书写要求：写“由焦点弦长公式，”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 易错点速查清单 易错点1：设直线方程漏讨论斜率不存在 学生典型错误：直接设 ，没有讨论直线垂直于 轴的情形。 成因分析：斜率不存在的直线无法用 表示，可能漏解。 纠正要求：设线前写“若直线斜率不存在，则……；若斜率存在，设 ”。或改用 避免讨论。 易错点2：联立后忘记检验 学生典型错误：联立得到一元二次方程后直接用韦达定理，没有检验 。 成因分析：直线与曲线相交于两点必须以 为前提，否则韦达定理不成立。 纠正要求：联立后写“由 得 的取值范围为……”，再写韦达定理。 易错点3：弦长公式漏写 学生典型错误：把弦长写成 ，漏掉 。 成因分析：弦长是两点间距离，需乘以斜率的修正因子。 纠正要求：写“”；用 表示时写“”。 易错点4：焦点位置判断错误 学生典型错误：椭圆或双曲线焦点在 轴上时，仍按 轴焦点设方程。 成因分析：未根据题干条件或方程形式判断焦点位置。 纠正要求：先判断焦点位置，再设标准方程；若题干未说明，应分情况讨论或根据已知点坐标判断。 易错点5：椭圆、双曲线 关系混用 学生典型错误：椭圆用 ，双曲线用 。 成因分析：椭圆中 最大，；双曲线中 最大，。 纠正要求：写清“椭圆：；双曲线：”。 易错点6：渐近线斜率写反 学生典型错误：双曲线 的渐近线写成 。 成因分析：焦点在 轴上时，渐近线为 ；焦点在 轴上时为 。 纠正要求：先判断焦点位置，再写渐近线；可用“令方程右边为0”的方法推导。 易错点7：点差法后不检验 学生典型错误：用点差法求出中点弦斜率后，不检验直线与曲线是否真的相交于两点。 成因分析：点差法只保证中点坐标满足斜率关系，不保证弦存在。 纠正要求：点差法求出斜率后，联立方程检验 ；若 ，说明中点弦不存在。 易错点8：焦点弦长公式用错 学生典型错误：把抛物线焦点弦长写成 ，漏掉 。 成因分析：焦点弦长 ，因为焦半径多出 。 纠正要求：写“”。 易错点9：定点问题化简不彻底 学生典型错误：把目标量表示为 的表达式后，没有利用条件消去参数，直接写“过定点”。 成因分析：定点问题需证明直线方程可化为 或 的形式。 纠正要求：写“由条件得 ，代入直线方程得 ，所以直线过定点 ”。 易错点10：最值问题变量范围写错 学生典型错误：求最值时只写函数表达式，没有写变量范围，导致最值点取在范围外。 成因分析：圆锥曲线中变量受 、坐标范围、斜率范围等约束。 纠正要求：先写“由 得 的范围为……”，再求最值；最后写“当 时，取得最值”。 易错点11：存在性问题解出参数不检验 学生典型错误：假设存在，解出参数后直接写“存在”，没有检验是否满足 或其他条件。 成因分析：存在性问题需检验解出的参数是否在允许范围内。 纠正要求：写“解得 ，经检验，当 时，（或其他条件成立），所以存在”；若不满足，写“不存在”。 易错点12：面积计算漏绝对值或漏 学生典型错误：三角形面积漏写 ，或点到直线距离漏绝对值。 成因分析：面积公式和距离公式中的系数、绝对值容易遗漏。 纠正要求：写“，其中 ”；代入后检查系数和绝对值。 速记口诀 口诀一：椭圆双曲线关系 椭圆 最大， 方等于 方加 方； 双曲线 最大， 方等于 方加 方。 椭圆：；双曲线：。 口诀二：离心率 离心率， 比 ；椭圆小于一，双曲线大于一。 口诀三：渐近线 双曲线渐近线，右边令为零； 焦点在 轴，斜率正负 比 。 口诀四：抛物线 抛物线，一个平方一个一次； 焦点在正轴，开口向正方向； 焦半径，坐标加半 。 焦点 ，准线 ，焦半径 。 口诀五：联立与韦达 设线联立消一元，二次方程写韦达； 判别式先大于零，弦长中点再代入。 联立后先写 ，再写 、。 口诀六：弦长 弦长等于根号一加 方，乘以横坐标差； 斜率不存在用纵坐标，公式对称记清楚。 口诀七：点差法 中点弦，用点差，两点代入相减； 平方差分解，斜率中点关系现； 算完斜率验判别，弦不存在要说明。 点差法求中点弦斜率后，必须检验 。 口诀八：焦点弦 抛物线焦点弦，横坐标和加 ； 纵坐标积负 方，横坐标积四分之 方。 口诀九：面积 三角形面积，底乘高除二； 弦长乘点距，二分之一别忘记。 口诀十：定点 定点问题设线参，韦达定理代条件； 化简成点斜式，定点坐标自然现。 把直线化为 的形式，定点为 。 口诀十一：最值 最值先写变量范围，函数不等式几何法； 端点对称和判别，最值点要检验。 最值问题先确定变量范围，再选择函数、不等式或几何方法。 口诀十二：存在性 存在先假设，设点设线列方程； 解出参数必检验，满足条件才存在。 存在性问题假设存在，解出参数后检验 及其他条件。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 8．（2026·青海黄南·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为． (1)求的方程； (2)设为的右顶点，过左焦点的直线与交于异于的两点． （ⅰ）记直线与直线的斜率分别为，若，求直线的方程； （ⅱ）若，求的面积． 9．（2026·四川南充·一模）已知椭圆 ：的离心率为，短半轴长为 ． (1)求 的方程； (2)设直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ，点 为坐标原点，且，当 的面积最大时，求点 的轨迹方程． 10．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 11．（2026·湖南·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，满足，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点在定直线上，并求出定直线的方程． 12．（2026·广东·模拟预测）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)若，求的方程； (2)若，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆：过点，且左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于，两点，点坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点． （i）已知点坐标为，求点横坐标（用表示）； （ii）过点作于点，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（2026·河南·一模）已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 15．（2026·山东·模拟预测）椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，当垂直于轴时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合， ①求证：直线过定点； ②当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 解答题专项题组A（基础回归） 17．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 19．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 20．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 21．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 22．（2026·重庆江津·三模）已知椭圆E 经过点 且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为 的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为 求 的值. 23．（2026·湖南长沙·三模）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 24．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 25．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 26．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C：，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于、两点. (1)求证：为定值； (2)若点，直线、分别与抛物线的准线交于M、N两点，求的取值范围. 解答题专项题组B（能力提升） 27．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且经过点，坐标原点为． (1)求椭圆的方程； (2)点，是椭圆上两个不同的点．若三角形的垂心为，求三角形的面积． 28．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 29．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 30．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求的焦距； (2)若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 31．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线，分别交轴于，两点，证明：，，的横坐标成等差数列． 32．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 33．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 34．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 35．（2026·河北秦皇岛·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 36．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 解答题专项题组C（思维拓展） 37．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线和双曲线． (1)设两个定点，，动点M在曲线上，且点M在第一象限．证明：为定值； (2)双曲线上有两个点，，并且．求的值； (3)设双曲线上关于原点对称的两点分别为和，以为圆心，为半径的圆与双曲线交于另外三点B，C，D．证明：为等边三角形． 38．（2026·湖南永州·一模）已知双曲线：（，）的两焦点分别为，，其渐近线方程为，过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点． (1)求的标准方程． (2)若不垂直轴，直线与双曲线的另一交点为，且，求的取值范围． (3)若垂直轴，点在上，点在上，是否存在以，为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的纵坐标，若不存在，请说明理由． 39．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 40．（2026·湖南常德·模拟预测）已知点到的距离与到定直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，，左顶点为，点和如下构造：在第二象限任取上一点，直线交于另一点，直线交于另一点． ①记直线的斜率为，证明：； ②设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 41．（2026·四川巴中·模拟预测）已知椭圆，焦距，离心率为． (1)求的方程； (2)为的右焦点，过点作倾斜角为的直线交于，两点． ①若，求； ②在上取5个不同的点，，，，，满足，计算的值． 42．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 43．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 44．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 45．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. (1)求椭圆的方程； (2)不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 46．（2026·山东青岛·模拟预测）已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． (1)求的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $