第7章 核心素养系列（5）圆锥曲线与方程高考压轴大题的突破求解策略（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

(五)　圆锥曲线与方程高考压轴大题的突破求解策略

圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．

[热点1]　直线与圆锥曲线的位置关系　

[例1]　(2024·聊城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P为椭圆C上异于长轴端点的任意一点，△PF1F2面积的最大值为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知A为椭圆C的右顶点，过左焦点F的动直线交椭圆于B，D两点(异于点A)，直线AB，AD与定直线l∶x＝t(t≠0)的交点分别为M，N，若以MN为直径的圆经过点F，求直线l的方程．

◆[学审题]　(1)根据离心率e＝得到a＝2c，且由△PF1F2面积最大，得到×2c×b＝bc＝，再结合a，b，c关系解出a，b即可；

(2)设BD∶x＝my－1，A(2,0)，F(－1,0)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理、向量知识结合已知条件即可．

[解]　(1)由离心率得e＝，a＝2c.①

因为当点P为短轴端点时，△PF1F2面积最大，

×2c×b＝bc＝.②

在椭圆中a2＝b2＋c2.③

由①②③解得，a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由(1)知，F(－1,0)，A(2,0)，设直线BD的方程为x＝my－1，

联立消x得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，

则Δ＝(－6m)2－4×(3m2＋4)×(－9)＝144m2＋144＞0，

y1＋y2＝，y1y2＝.

设M(t，n1)，N(t，n2)，

由A，B，M三点共线得，＝，

∴n1＝，同理得n2＝.

因为以MN为直径的圆经过点F，

所以NF⊥MF，于是·＝0.

由＝(－1－t，－n2)，＝(－1－t，－n1)，

∴(1＋t)2＋n1n2＝0.

将n1＝，n2＝，

代入上式，得(t－2)2·＋(t＋1)2＝0，

∵x1＝my1－1，x2＝my2－1，

∴(t－2)2·＋(t＋1)2＝0，④

将y1＋y2＝，y1y2＝，

代入④得－＋(t＋1)2＝0，

解得t＝－4，或t＝0(舍去)．

故直线l的方程为x＝－4.

◆[通技法]　涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法．

1．(2024·日照模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸，如图，

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．

(1)以点F，E所在的直线为x轴，建立适当的平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)直线l过椭圆的右焦点，交该椭圆于A，B两点，AB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点)交椭圆于点P，若＝3 ，求直线l的方程．

解：(1)以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy.

设M(x，y)为椭圆上一点，由题意可知|MF|＋

|ME|＝|NE|＝4，|FE|＝2＜4，

所以椭圆的左、右焦点分别为F，E,2c＝2，长轴长2a＝4.

所以c＝1，a＝2，则b2＝a2－c2＝3，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为＝3 ，

所以＝4 .

当直线l的斜率为0时，Q，O两点重合，不符合题意．

故可设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，

B(x2，y2)，Q(x3，y3)，

联立直线l与椭圆方程，得，消去x，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ＝144(t2＋1)＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.