大题05 概率与统计讲义-2027届高三数学一轮复习

大题05 概率与统计 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 6 2024/2025/2026高考真题 9 易错点速查清单 11 速记口诀 14 典例讲解之会一题通一类 16 解答题专项题组A（基础回归） 20 解答题专项题组B（能力提升） 24 解答题专项题组C（思维拓展） 28 公式定理汇总 一、计数原理与排列组合 分类加法计数原理：完成一件事有 类办法，第 类有 种方法，则共有 种方法。 分步乘法计数原理：完成一件事需 个步骤，第 步有 种方法，则共有 种方法。 排列数： 组合数： 识别特征：题干出现“有多少种不同的选法、排法、分配方案”，或需先计数再求概率。 通法选择：先判断“分类”还是“分步”；再判断“有序”还是“无序”；相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，相同元素分组用隔板法，分组分配注意“先分组后分配”。 书写要求：计数题应写清分类标准或分步依据，不能只写一个组合数；分类讨论要说明“不重不漏”。 二、古典概型与几何概型 古典概型： 其中 为基本事件总数， 为事件 包含的基本事件数。要求基本事件有限且等可能。 识别特征：题干出现“任取”“随机抽取”“等可能”，或求随机事件的概率。 通法选择：古典概型先确定样本空间，再数事件包含的基本事件；可用列举法、树状图、表格、排列组合计数。 书写要求：写清“设事件 为……，样本空间包含的基本事件数为 ，事件 包含的基本事件数为 ，则 ”。列举时应写出样本空间或列出关键组合。 三、互斥、对立与独立事件 互斥事件：，则 对立事件： 独立事件：若 相互独立，则 一般地，若 相互独立，则 概率加法公式（一般情形）： 识别特征：题干出现“互斥”“对立”“相互独立”“至少有一个”“至多有一个”。 通法选择：“至少有一个”优先用对立事件 ；“恰有一个”分情况讨论；“相互独立”才可相乘，互斥不能相乘。 书写要求：使用独立事件乘法公式前，必须写明“由题意，各次试验相互独立”；使用互斥加法公式前，写明“事件 互斥”。 四、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 条件概率： 乘法公式： 全概率公式：若 为完备事件组（两两互斥，并为全集），则 贝叶斯公式： 识别特征：题干出现“在已知……的条件下”“已知第一次……求第二次……”“先分组再抽取”“由结果反推来源”。 通法选择：条件概率题先明确“条件”和“目标”，再套公式；多阶段抽取用全概率公式，先按第一阶段分类；由结果反推原因用贝叶斯公式。 书写要求：写清“设 为……， 为……，则 构成完备事件组”，再列全概率或贝叶斯公式。条件概率的分母是条件事件的概率，不是样本空间总数。 五、离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量 的取值为 ，对应概率为 ，则分布列满足 期望： 方差： 识别特征：题干要求“求分布列”“求数学期望”“求方差”。 通法选择：先确定 的所有可能取值，再逐一求概率，最后列表。求期望、方差时代入公式，注意 与 的区别。 书写要求：分布列应写成表格形式，并检验“各概率非负且和为1”。期望、方差应写公式和代入过程，不能只写结果。 六、二项分布与超几何分布 二项分布：若 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数，每次试验 发生的概率为 ，则 超几何分布：若 件产品中有 件次品，从中任取 件， 表示取到的次品数，则 其中 满足 。 识别特征：题干出现“有放回”“独立重复”“每次概率相同”对应二项分布；出现“无放回”“从含……的……中任取”对应超几何分布。 通法选择：先判断“有放回还是无放回”，再判断“每次概率是否相同”。有放回、独立重复用二项分布；无放回、总体有限用超几何分布。 书写要求：写清“由题意，”或“ 服从超几何分布”，再列概率公式。不能只写组合数而不说明分布类型。 七、期望与方差的性质 设 为常数，则 两点分布：若 取 ，且 ，则 二项分布： 超几何分布： 识别特征：题干要求期望、方差，或出现“每件获利”“总费用”“总利润”等线性变换。 通法选择：先求基本随机变量的期望、方差，再用线性性质求目标变量；二项分布、超几何分布可直接用公式。 书写要求：写清“由 ，得 ”；方差变换写“”，注意系数平方。 八、正态分布 若 ，则正态曲线关于 对称，且 对称性： 识别特征：题干出现“服从正态分布”“”，或求质量指标落在某区间的概率。 通法选择：先确定 ，再利用对称性和 原则把所求区间转化为标准区间；涉及“不低于”“不超过”时注意端点处理。 书写要求：写清“由 ，得 ”，再利用对称性列式。不能直接写 而不说明依据。 九、抽样方法与统计图表 简单随机抽样：总体个数较少时使用，包括抽签法、随机数法。 分层抽样：总体由差异明显的几部分组成时使用，按比例分配样本量： 频率分布直方图： 各小矩形面积之和为 。 识别特征：题干出现“分层抽样”“频率分布直方图”“样本频率”。 通法选择：分层抽样先求抽样比，再按比例分配；直方图题先读纵轴含义（频率/组距），再用面积求频率。 书写要求：写清“由频率分布直方图，组距为……，该组频率为面积……”；分层抽样写“抽样比为 ”。 十、样本数字特征 平均数： 方差： 标准差： 中位数：将数据从小到大排列，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均数。 众数：出现次数最多的数据。 第 百分位数：将数据从小到大排列，计算 ，若 不是整数，取第 项；若 是整数，取第 项与第 项的平均数。 识别特征：题干要求平均数、方差、中位数、众数、百分位数，或比较两组数据的稳定性。 通法选择：平均数、方差按公式计算；中位数、百分位数先排序再取；比较稳定性看方差或标准差，方差越小越稳定。 书写要求：方差计算应写公式和代入过程；中位数、百分位数应写排序后的位置，不能只写结果。 十一、线性回归 回归直线方程： 其中 回归直线必过样本中心点 。 相关系数： ， 越接近 ，线性相关程度越强。 识别特征：题干给出成对数据，要求求回归方程、预测值，或判断相关性。 通法选择：先求 ，再求 ，最后用 求截距。预测时把 代入回归方程。 书写要求：写清“由公式得 ，所以回归方程为 ”；预测时写“当 时，”。 十二、独立性检验 列联表： 合计 合计 卡方统计量： 判断规则：查临界值表，若 ，则有 的把握认为两变量有关；否则不能认为两变量有关。 识别特征：题干给出列联表或调查数据，要求判断“是否有关”“能否认为……与……有关”。 通法选择：先补全列联表，再代入卡方公式，最后与临界值比较。 书写要求：写清“提出假设：：……与……无关”，再算 ，最后写“因为 ，所以有……的把握认为……与……有关”。结论要回扣题干，不能只写“有关”或“无关”。 常用结论、二级结论归纳 结论1：期望与方差的线性性质 识别特征：题干出现“总利润”“总费用”“每件获利”等线性变换，或要求方差。 使用条件： 为常数；方差变换中系数要平方，常数项不影响方差。 书写要求：写清“由期望的线性性质得 ”；方差写“”。 结论2：二项分布的期望与方差 若 ，则 识别特征：独立重复试验，每次成功概率相同。 使用条件：试验次数 固定，各次试验相互独立，每次成功概率均为 。 书写要求：写“因为 ，所以 ”；不能未说明分布类型就直接套公式。 结论3：超几何分布的期望 若 服从参数为 的超几何分布，则 识别特征：无放回抽取，总体有限，求抽取样本中某类元素个数的期望。 使用条件：总体个数 有限，次品数 ，抽取 件，无放回。 书写要求：写“由超几何分布期望公式得 ”；若题目要求分布列，仍需先列分布列。 结论4：分布列概率和为1的检验 任何离散型随机变量的分布列满足 识别特征：分布列中含待定参数，或求完分布列后需检验。 使用条件：所有可能取值对应概率之和为1。 书写要求：求参数时写“由分布列概率和为1，得 ，解得 ”；求完分布列后写“经检验，各概率非负且和为1”。 结论5：正态分布的对称性与 原则 若 ，则 识别特征：正态分布求区间概率，或已知概率反求参数。 使用条件：必须先确定 ，再把所求区间化为关于 对称的形式。 书写要求：写“由正态曲线的对称性，”，再代入数据。 结论6：回归直线过样本中心点 回归直线 必过点 ，即 识别特征：题干给出 和 ，求 ；或检验回归方程是否合理。 使用条件：最小二乘回归直线。 书写要求：写“因为回归直线过样本中心点 ，所以 ”。 结论7：相关系数的意义 ； 正相关， 负相关； 越接近1，线性相关越强。 识别特征：题干要求判断线性相关强弱，或比较两组数据的相关性。 使用条件：成对数据，且需先判断是否适合用线性回归。 书写要求：写“由相关系数公式得 ，因为 接近1，所以……线性相关较强”。 结论8：卡方统计量与独立性判断 识别特征：列联表数据，判断两分类变量是否有关。 使用条件：列联表数据完整；样本量不宜过小。 书写要求：先补全列联表，再代入公式；结论写“有……的把握认为……与……有关”，不能写“证明有关”。 结论9：全概率公式的完备事件组 若 两两互斥且并为全集，则 识别特征：多阶段抽取、先分组再抽取、由原因到结果。 使用条件： 必须构成完备事件组，即两两互斥且并集为全集。 书写要求：写“设 为……，则 两两互斥且并为全集，由全概率公式得……”。 结论10：贝叶斯公式的反推 识别特征：已知结果 发生，反推它来自哪一类原因 。 使用条件： 构成完备事件组，且 。 书写要求：写清“由贝叶斯公式得 ”，分母用全概率公式展开。 结论11：对立事件转化 识别特征：题干出现“至少有一个”“至多有一个”“不全……”。 使用条件：正面分类较多、反面分类较少时优先使用。 书写要求：写“设 为……，则 ”；不能把“至少一个”直接等同于“恰好一个”。 结论12：排列组合常用模型 相邻问题：捆绑法，把相邻元素看作一个整体，再考虑整体内部排列。 不相邻问题：插空法，先排其他元素，再把不相邻元素插入空隙。 相同元素分组：隔板法，把 个相同元素分成 组，每组至少一个，方法数为 分组分配：先分组后分配；平均分组时除以组数的阶乘，避免重复计数。 识别特征：题干出现“相邻”“不相邻”“至少一个”“平均分成几组”。 使用条件：捆绑法要求元素必须相邻；插空法要求元素不相邻；隔板法要求元素相同且每组至少一个。 书写要求：写清“先将……捆绑，再……”“先排……，再在空隙中插入……”“由隔板法得 ”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 2．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 3．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 4．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 易错点速查清单 易错点1：互斥与独立混淆 学生典型错误：认为互斥事件一定独立，或把独立事件相乘公式用于互斥事件。 成因分析：互斥是“不能同时发生”，独立是“一个发生不影响另一个发生的概率”，两者不是同一概念。若 ，互斥事件一定不独立。 纠正要求：互斥用加法公式 ；独立用乘法公式 。使用前先判断事件关系。 易错点2：条件概率分母用错 学生典型错误：求 时，分母用样本空间总数，而不是 。 成因分析：条件概率是在“ 已发生”的缩减样本空间中计算。 纠正要求：写 分母是条件事件的概率，不是基本事件总数。 易错点3：二项分布与超几何分布混淆 学生典型错误：无放回抽取仍用二项分布，或有放回抽取用超几何分布。 成因分析：二项分布要求“独立重复、每次概率相同”，对应有放回；超几何分布对应“无放回、总体有限”。 纠正要求：先读题判断“有放回还是无放回”。有放回、独立重复写 ；无放回写超几何分布，用组合数公式。 易错点4：分布列不检验概率和为1 学生典型错误：分布列列完后不检验，导致概率和不为1，或含参数时解错。 成因分析：分布列的概率和必须为1，这是检验计算是否正确的基本手段。 纠正要求：分布列写完后写“经检验，各概率非负且和为1”；含参数时先用概率和为1求参数。 易错点5：期望与方差性质方向用错 学生典型错误：把 写成 ，或把 写成 。 成因分析：期望是线性变换，方差只受系数平方影响，常数项不影响方差。 纠正要求：写“，”；方差变换中系数平方，常数项消去。 易错点6：正态分布区间不化为对称形式 学生典型错误：求 时直接套 原则，没有把区间化为关于 对称的形式。 成因分析：正态分布概率表通常给出对称区间概率，需先转化。 纠正要求：先确定 ，把所求区间写成 的形式，再利用对称性和已知概率。 易错点7：频率分布直方图纵轴含义读错 学生典型错误：把纵轴“频率/组距”当作频率，直接相加。 成因分析：直方图纵轴是“频率/组距”，频率等于小矩形面积，不是纵坐标。 纠正要求：写“组距为……，该组频率为面积 组距 频率/组距”；各矩形面积之和为1。 易错点8：中位数、百分位数不排序 学生典型错误：直接取中间位置的数，没有先从小到大排序；或百分位数位置计算错误。 成因分析：中位数、百分位数都要求数据有序。 纠正要求：先排序，再按定义取中位数或百分位数；百分位数计算 ，再按整数、非整数规则取值。 易错点9：回归方程截距计算漏样本中心点 学生典型错误：求出 后直接写 ，忽略 。 成因分析：回归直线必过样本中心点 ，截距由 确定。 纠正要求：写“因为回归直线过样本中心点，所以 ”，再写完整方程。 易错点10：独立性检验结论表述不当 学生典型错误：写“证明……与……有关”，或只写“有关”不写把握程度。 成因分析：独立性检验是统计推断，不是逻辑证明，结论应带“有……的把握”。 纠正要求：写“有 的把握认为……与……有关”；若 小于临界值，写“不能认为……与……有关”，不能写“无关”。 易错点11：全概率公式完备事件组不完整 学生典型错误：多阶段抽取时只考虑部分情况，遗漏某一类来源。 成因分析：全概率公式要求 两两互斥且并为全集，遗漏情况会导致概率和不为1。 纠正要求：先列出所有可能的第一阶段结果，检验两两互斥且并为全集，再套全概率公式。 易错点12：排列组合重复计数或遗漏 学生典型错误：平均分组时不除以组数阶乘，导致重复计数；或分类时遗漏某类情况。 成因分析：平均分组中组与组之间无序，需除以组数的阶乘；分类计数要求不重不漏。 纠正要求：平均分组写“先分组，再除以组数的阶乘”；分类时写清分类标准，检验各类互斥且并为全集。 易错点13：决策类问题只算期望不看实际意义 学生典型错误：比较两个方案时只写“期望大的好”，没有结合题干“成本”“风险”“稳定性”等实际要求。 成因分析：决策类问题需综合期望、方差和实际背景。 纠正要求：先分别求期望、方差，再写“因为……方案期望更大（方差更小），所以选择……方案”；结论要回扣题干实际意义。 速记口诀 口诀一：计数原理 分类用加法，分步用乘法； 有序用排列，无序用组合。 完成一件事，分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合。 口诀二：古典概型 样本空间先写清，等可能时数基本； 事件个数比总数，古典概率即得成。 口诀三：互斥与独立 互斥相加不相乘，独立相乘不相加； 至少一个用对立，一减全无最省事。 互斥用加法，独立用乘法；“至少一个”用 。 口诀四：条件概率 条件概率分母缩，条件事件做分母； 交事件做分子，全概率按原因分。 口诀五：全概率与贝叶斯 全概率，原因分，完备事件组要全； 贝叶斯，结果反，分母全概率来算。 全概率由原因推结果，贝叶斯由结果反推原因。 口诀六：二项与超几何 有放回，二项分，独立重复概率同； 无放回，超几何，组合数里算概率。 有放回、独立重复用二项分布；无放回、总体有限用超几何分布。 口诀七：分布列与期望 分布列，先取值，概率非负和为一； 期望加权求和，方差平方期望减。 分布列检验概率和为1；，。 口诀八：期望方差性质 期望线性加常数，方差系数要平方； 常数不影响方差，系数平方别忘记。 口诀九：正态分布 正态曲线对称轴，均值左右各一半； 一倍二倍三倍差，六八九五九九七。 ， 约 ， 约 。 口诀十：直方图 纵轴频率除组距，面积才是真频率； 面积之和等于一，中位数看面积半。 频率 面积 组距 频率/组距。 口诀十一：回归方程 回归直线过中心，均值代入求截距； 斜率公式先算好，预测代入自变量。 回归直线必过 ，。 口诀十二：独立性检验 卡方公式列联表，观测值比临界值； 大于临界有关联，结论要带把握度。 口诀十三：排列组合模型 相邻捆绑，不相邻插空； 相同元素隔板分，平均分组除阶乘。 相邻捆绑，不相邻插空，相同元素隔板法，平均分组除以组数阶乘。 典例讲解之会一题通一类 6．（2026·四川南充·一模）某校为了解全校学生体育锻炼情况，随机抽取200名学生进行调查，得到每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否与性别有关； (2)从“每天体育锻炼时间低于1 h”的学生中按性别采用分层随机抽样，抽取8名学生进行体能测试，再从这8人中随机抽取3人进行进一步调查，记这3名学生中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 7．（2026·河南·一模）甲、乙、丙三位选手参加某棋类邀请赛，竞赛采用“挑战赛”赛制，规则如下： ①抽签决定第一局的对阵双方，另一人轮空； ②从第二局起，每局由上一局的胜者对阵上一局的轮空者； ③先累计获得2场胜利的选手获得冠军，比赛随即结束． 已知各局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，各局比赛结果相互独立，且每局比赛无平局，第一局由甲和乙对阵，丙轮空． (1)求比赛恰好在第三局结束的概率； (2)已知甲最终获得冠军，求甲在第一局获胜的概率． 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某学校为激发学生的科学好奇心、探索求知欲与创新创造潜能，夯实其基础科学素养，开展了“青少年科普知识”测试，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩作为样本，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计本次测试成绩的第三四分位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）． (2)从测试成绩在内的学生中选出参加全市青少年创新大赛的选手，现有6道备选题，每名学生从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才有资格参加全市青少年创新大赛．现有甲、乙两名同学参加选拔，在这6道题中，甲能答对4道，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中参加全市青少年创新大赛的人数为，求的分布列及期望． 9．（2026·广东·模拟预测）情绪经济是以情感共鸣、心理慰藉、自我认同为核心价值的消费模式，消费者不仅仅为产品付费，还是为一段情绪体验买单．已知2022~2027年中国情绪经济市场规模（其中2026年、2027年为市场预测规模）（单位：万亿元）及同比增长率如下表． 年份 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 市场规模 1.63 1.95 2.31 2.72 3.17 3.65 同比增长率 — 0.196 0.185 0.177 0.165 0.151 (1)求2023~2027年同比增长率的极差及20%分位数； (2)记2022~2027年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，根据2022~2026年的数据求得市场规模与年份的回归方程为，求的值及利用该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值． 10．（2026·湖南·一模）为助力乡村振兴，郴州市举办“特色农产品助农展销”活动，活动共有3个展区参与．经统计号展区的顾客人数比例为，根据以往经验，这三个展区的顾客的购买意向率分别为. (1)现从三个展区随机抽取一位顾客： （ⅰ）求该顾客有购买意向的概率； （ⅱ）如果该顾客有购买意向，求此人来自号展区的概率； (2)对于某款限量礼盒，设计了一种“掷骰子叫价确定购买资格”的方式：统一以元为初始价，通过掷骰子确定新叫价．若点数大于，则在已叫价基础上增加元更新叫价；若点数小于，则在已叫价基础上增加元更新叫价．规定最多掷骰子次，次后的最终叫价即为购买价格．设最终叫价为元，求X的分布列及数学期望． 11．（2026·四川泸州·一模）口袋中有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 12．（2026·山东·模拟预测）某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 13．（2026·广东广州·模拟预测）某市监测站点于某天起连续天监测空气质量指数，数据统计如下表： 空气质量指数 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 根据所给统计表和频率分布直方图中的信息，完成以下解答． (1)求的值，完成频率分布直方图，并求该组数据的上四分位数； (2)以样本中空气质量等级的频率作为该市空气质量等级的概率，现从统计日期后随机抽取天，设空气质量为优或良等级的天数为，求的分布列与数学期望． 14．（2026·吉林·一模）某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现从首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示． (1)（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分的第百分位数； （ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率； (2)该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有1人对该公司生产的饮品满意的概率． 15．（2026·山东威海·模拟预测）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 解答题专项题组A（基础回归） 16．（2026·浙江·模拟预测）有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． (1)求的值； (2)设随机变量，求的分布列与数学期望． 17．（2026·辽宁·模拟预测）某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 18．（2026·广西·模拟预测）某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（2026·吉林长春·模拟预测）下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 20．（2026·山东济南·模拟预测）2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 21．（2026·四川巴中·模拟预测）近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 22．（2026·贵州黔南·模拟预测）为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 (1)将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； (2)在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 23．（25-26高三下·江西·阶段检测）有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. (1)根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 24．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 解答题专项题组B（能力提升） 26．（2026·重庆渝中·模拟预测）随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 27．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 28．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 29．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为． (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率，并证明：当时，． 30．（2026·江苏南通·一模）强基计划为基础学科招生改革试点，用于选拔有志于服务国家重大战略需求、综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．某高校参加强基计划选拔需依次参加笔试和面试，笔试环节包含数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目，且每门考试科目是否通过相互独立，全部通过才可参加面试；面试每10人分为一组，每组选拔通过2人． (1)若学生甲已通过全部笔试科目，求甲面试选拔通过的概率； (2)已知学生甲通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，，其中，．记学生甲在笔试环节中通过的科目数为X． （i）若，当为何值时，甲通过笔试的概率最大； （ii）若，，求． 31．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 32．（2026·黑龙江大庆·一模）某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 33．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 34．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 35．（2026·云南昆明·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 解答题专项题组C（思维拓展） 36．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 37．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. (1)求； (2)已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 38．（2026·湖南湘潭·一模）在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率． (1)，，求； (2)求和； (3)求，，． 39．（2026·陕西·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 40．（2026·湖北武汉·三模）某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 41．（2026·山东聊城·二模）为评估某AI程序的国际象棋实战水平，现由甲与其进行多场比赛.已知甲每场比赛获胜的概率为，失败的概率为，且每场比赛的结果是相互独立的.记甲在前场比赛中，没有连续两场获胜的概率为，其中. (1)求（用表示）； (2)当时，求，并证明是等比数列； (3)设甲与AI程序至多进行场比赛且，若甲连续两场获胜，则比赛提前终止.记比赛终止时，比赛的总场数为，证明：. 42．（2026·江苏无锡·三模）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． (1)求的值； (2)在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 43．（2026·山西忻州·模拟预测）某传感器连续记录4次信号，每次信号只可能为0或1.设第次记录为，其中，，且各次记录相互独立.对一组记录定义“变化次数”：若相邻两次记录不同，则记为一次变化，即.例如，记录0010的变化次数为2. (1)当时，求的分布列； (2)当时，求； (3)求的最大值，并说明取等条件. 44．（2026·山东潍坊·三模）在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． (1)在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功的概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； (2)在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 45．（2026·山东烟台·模拟预测）某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转盘的次数． (1)求的概率； (2)求且的概率表达式： (3)设表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第三种颜色出现的那一次），求的数学期望． 参考公式：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题05 概率与统计 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 6 2024/2025/2026高考真题 9 易错点速查清单 16 速记口诀 19 典例讲解之会一题通一类 21 解答题专项题组A（基础回归） 36 解答题专项题组B（能力提升） 48 解答题专项题组C（思维拓展） 64 公式定理汇总 一、计数原理与排列组合 分类加法计数原理：完成一件事有 类办法，第 类有 种方法，则共有 种方法。 分步乘法计数原理：完成一件事需 个步骤，第 步有 种方法，则共有 种方法。 排列数： 组合数： 识别特征：题干出现“有多少种不同的选法、排法、分配方案”，或需先计数再求概率。 通法选择：先判断“分类”还是“分步”；再判断“有序”还是“无序”；相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，相同元素分组用隔板法，分组分配注意“先分组后分配”。 书写要求：计数题应写清分类标准或分步依据，不能只写一个组合数；分类讨论要说明“不重不漏”。 二、古典概型与几何概型 古典概型： 其中 为基本事件总数， 为事件 包含的基本事件数。要求基本事件有限且等可能。 识别特征：题干出现“任取”“随机抽取”“等可能”，或求随机事件的概率。 通法选择：古典概型先确定样本空间，再数事件包含的基本事件；可用列举法、树状图、表格、排列组合计数。 书写要求：写清“设事件 为……，样本空间包含的基本事件数为 ，事件 包含的基本事件数为 ，则 ”。列举时应写出样本空间或列出关键组合。 三、互斥、对立与独立事件 互斥事件：，则 对立事件： 独立事件：若 相互独立，则 一般地，若 相互独立，则 概率加法公式（一般情形）： 识别特征：题干出现“互斥”“对立”“相互独立”“至少有一个”“至多有一个”。 通法选择：“至少有一个”优先用对立事件 ；“恰有一个”分情况讨论；“相互独立”才可相乘，互斥不能相乘。 书写要求：使用独立事件乘法公式前，必须写明“由题意，各次试验相互独立”；使用互斥加法公式前，写明“事件 互斥”。 四、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 条件概率： 乘法公式： 全概率公式：若 为完备事件组（两两互斥，并为全集），则 贝叶斯公式： 识别特征：题干出现“在已知……的条件下”“已知第一次……求第二次……”“先分组再抽取”“由结果反推来源”。 通法选择：条件概率题先明确“条件”和“目标”，再套公式；多阶段抽取用全概率公式，先按第一阶段分类；由结果反推原因用贝叶斯公式。 书写要求：写清“设 为……， 为……，则 构成完备事件组”，再列全概率或贝叶斯公式。条件概率的分母是条件事件的概率，不是样本空间总数。 五、离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量 的取值为 ，对应概率为 ，则分布列满足 期望： 方差： 识别特征：题干要求“求分布列”“求数学期望”“求方差”。 通法选择：先确定 的所有可能取值，再逐一求概率，最后列表。求期望、方差时代入公式，注意 与 的区别。 书写要求：分布列应写成表格形式，并检验“各概率非负且和为1”。期望、方差应写公式和代入过程，不能只写结果。 六、二项分布与超几何分布 二项分布：若 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数，每次试验 发生的概率为 ，则 超几何分布：若 件产品中有 件次品，从中任取 件， 表示取到的次品数，则 其中 满足 。 识别特征：题干出现“有放回”“独立重复”“每次概率相同”对应二项分布；出现“无放回”“从含……的……中任取”对应超几何分布。 通法选择：先判断“有放回还是无放回”，再判断“每次概率是否相同”。有放回、独立重复用二项分布；无放回、总体有限用超几何分布。 书写要求：写清“由题意，”或“ 服从超几何分布”，再列概率公式。不能只写组合数而不说明分布类型。 七、期望与方差的性质 设 为常数，则 两点分布：若 取 ，且 ，则 二项分布： 超几何分布： 识别特征：题干要求期望、方差，或出现“每件获利”“总费用”“总利润”等线性变换。 通法选择：先求基本随机变量的期望、方差，再用线性性质求目标变量；二项分布、超几何分布可直接用公式。 书写要求：写清“由 ，得 ”；方差变换写“”，注意系数平方。 八、正态分布 若 ，则正态曲线关于 对称，且 对称性： 识别特征：题干出现“服从正态分布”“”，或求质量指标落在某区间的概率。 通法选择：先确定 ，再利用对称性和 原则把所求区间转化为标准区间；涉及“不低于”“不超过”时注意端点处理。 书写要求：写清“由 ，得 ”，再利用对称性列式。不能直接写 而不说明依据。 九、抽样方法与统计图表 简单随机抽样：总体个数较少时使用，包括抽签法、随机数法。 分层抽样：总体由差异明显的几部分组成时使用，按比例分配样本量： 频率分布直方图： 各小矩形面积之和为 。 识别特征：题干出现“分层抽样”“频率分布直方图”“样本频率”。 通法选择：分层抽样先求抽样比，再按比例分配；直方图题先读纵轴含义（频率/组距），再用面积求频率。 书写要求：写清“由频率分布直方图，组距为……，该组频率为面积……”；分层抽样写“抽样比为 ”。 十、样本数字特征 平均数： 方差： 标准差： 中位数：将数据从小到大排列，奇数个取中间数，偶数个取中间两数平均数。 众数：出现次数最多的数据。 第 百分位数：将数据从小到大排列，计算 ，若 不是整数，取第 项；若 是整数，取第 项与第 项的平均数。 识别特征：题干要求平均数、方差、中位数、众数、百分位数，或比较两组数据的稳定性。 通法选择：平均数、方差按公式计算；中位数、百分位数先排序再取；比较稳定性看方差或标准差，方差越小越稳定。 书写要求：方差计算应写公式和代入过程；中位数、百分位数应写排序后的位置，不能只写结果。 十一、线性回归 回归直线方程： 其中 回归直线必过样本中心点 。 相关系数： ， 越接近 ，线性相关程度越强。 识别特征：题干给出成对数据，要求求回归方程、预测值，或判断相关性。 通法选择：先求 ，再求 ，最后用 求截距。预测时把 代入回归方程。 书写要求：写清“由公式得 ，所以回归方程为 ”；预测时写“当 时，”。 十二、独立性检验 列联表： 合计 合计 卡方统计量： 判断规则：查临界值表，若 ，则有 的把握认为两变量有关；否则不能认为两变量有关。 识别特征：题干给出列联表或调查数据，要求判断“是否有关”“能否认为……与……有关”。 通法选择：先补全列联表，再代入卡方公式，最后与临界值比较。 书写要求：写清“提出假设：：……与……无关”，再算 ，最后写“因为 ，所以有……的把握认为……与……有关”。结论要回扣题干，不能只写“有关”或“无关”。 常用结论、二级结论归纳 结论1：期望与方差的线性性质 识别特征：题干出现“总利润”“总费用”“每件获利”等线性变换，或要求方差。 使用条件： 为常数；方差变换中系数要平方，常数项不影响方差。 书写要求：写清“由期望的线性性质得 ”；方差写“”。 结论2：二项分布的期望与方差 若 ，则 识别特征：独立重复试验，每次成功概率相同。 使用条件：试验次数 固定，各次试验相互独立，每次成功概率均为 。 书写要求：写“因为 ，所以 ”；不能未说明分布类型就直接套公式。 结论3：超几何分布的期望 若 服从参数为 的超几何分布，则 识别特征：无放回抽取，总体有限，求抽取样本中某类元素个数的期望。 使用条件：总体个数 有限，次品数 ，抽取 件，无放回。 书写要求：写“由超几何分布期望公式得 ”；若题目要求分布列，仍需先列分布列。 结论4：分布列概率和为1的检验 任何离散型随机变量的分布列满足 识别特征：分布列中含待定参数，或求完分布列后需检验。 使用条件：所有可能取值对应概率之和为1。 书写要求：求参数时写“由分布列概率和为1，得 ，解得 ”；求完分布列后写“经检验，各概率非负且和为1”。 结论5：正态分布的对称性与 原则 若 ，则 识别特征：正态分布求区间概率，或已知概率反求参数。 使用条件：必须先确定 ，再把所求区间化为关于 对称的形式。 书写要求：写“由正态曲线的对称性，”，再代入数据。 结论6：回归直线过样本中心点 回归直线 必过点 ，即 识别特征：题干给出 和 ，求 ；或检验回归方程是否合理。 使用条件：最小二乘回归直线。 书写要求：写“因为回归直线过样本中心点 ，所以 ”。 结论7：相关系数的意义 ； 正相关， 负相关； 越接近1，线性相关越强。 识别特征：题干要求判断线性相关强弱，或比较两组数据的相关性。 使用条件：成对数据，且需先判断是否适合用线性回归。 书写要求：写“由相关系数公式得 ，因为 接近1，所以……线性相关较强”。 结论8：卡方统计量与独立性判断 识别特征：列联表数据，判断两分类变量是否有关。 使用条件：列联表数据完整；样本量不宜过小。 书写要求：先补全列联表，再代入公式；结论写“有……的把握认为……与……有关”，不能写“证明有关”。 结论9：全概率公式的完备事件组 若 两两互斥且并为全集，则 识别特征：多阶段抽取、先分组再抽取、由原因到结果。 使用条件： 必须构成完备事件组，即两两互斥且并集为全集。 书写要求：写“设 为……，则 两两互斥且并为全集，由全概率公式得……”。 结论10：贝叶斯公式的反推 识别特征：已知结果 发生，反推它来自哪一类原因 。 使用条件： 构成完备事件组，且 。 书写要求：写清“由贝叶斯公式得 ”，分母用全概率公式展开。 结论11：对立事件转化 识别特征：题干出现“至少有一个”“至多有一个”“不全……”。 使用条件：正面分类较多、反面分类较少时优先使用。 书写要求：写“设 为……，则 ”；不能把“至少一个”直接等同于“恰好一个”。 结论12：排列组合常用模型 相邻问题：捆绑法，把相邻元素看作一个整体，再考虑整体内部排列。 不相邻问题：插空法，先排其他元素，再把不相邻元素插入空隙。 相同元素分组：隔板法，把 个相同元素分成 组，每组至少一个，方法数为 分组分配：先分组后分配；平均分组时除以组数的阶乘，避免重复计数。 识别特征：题干出现“相邻”“不相邻”“至少一个”“平均分成几组”。 使用条件：捆绑法要求元素必须相邻；插空法要求元素不相邻；隔板法要求元素相同且每组至少一个。 书写要求：写清“先将……捆绑，再……”“先排……，再在空隙中插入……”“由隔板法得 ”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i）； （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. （2）（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 2．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 3．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 4．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3) 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）略 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 易错点速查清单 易错点1：互斥与独立混淆 学生典型错误：认为互斥事件一定独立，或把独立事件相乘公式用于互斥事件。 成因分析：互斥是“不能同时发生”，独立是“一个发生不影响另一个发生的概率”，两者不是同一概念。若 ，互斥事件一定不独立。 纠正要求：互斥用加法公式 ；独立用乘法公式 。使用前先判断事件关系。 易错点2：条件概率分母用错 学生典型错误：求 时，分母用样本空间总数，而不是 。 成因分析：条件概率是在“ 已发生”的缩减样本空间中计算。 纠正要求：写 分母是条件事件的概率，不是基本事件总数。 易错点3：二项分布与超几何分布混淆 学生典型错误：无放回抽取仍用二项分布，或有放回抽取用超几何分布。 成因分析：二项分布要求“独立重复、每次概率相同”，对应有放回；超几何分布对应“无放回、总体有限”。 纠正要求：先读题判断“有放回还是无放回”。有放回、独立重复写 ；无放回写超几何分布，用组合数公式。 易错点4：分布列不检验概率和为1 学生典型错误：分布列列完后不检验，导致概率和不为1，或含参数时解错。 成因分析：分布列的概率和必须为1，这是检验计算是否正确的基本手段。 纠正要求：分布列写完后写“经检验，各概率非负且和为1”；含参数时先用概率和为1求参数。 易错点5：期望与方差性质方向用错 学生典型错误：把 写成 ，或把 写成 。 成因分析：期望是线性变换，方差只受系数平方影响，常数项不影响方差。 纠正要求：写“，”；方差变换中系数平方，常数项消去。 易错点6：正态分布区间不化为对称形式 学生典型错误：求 时直接套 原则，没有把区间化为关于 对称的形式。 成因分析：正态分布概率表通常给出对称区间概率，需先转化。 纠正要求：先确定 ，把所求区间写成 的形式，再利用对称性和已知概率。 易错点7：频率分布直方图纵轴含义读错 学生典型错误：把纵轴“频率/组距”当作频率，直接相加。 成因分析：直方图纵轴是“频率/组距”，频率等于小矩形面积，不是纵坐标。 纠正要求：写“组距为……，该组频率为面积 组距 频率/组距”；各矩形面积之和为1。 易错点8：中位数、百分位数不排序 学生典型错误：直接取中间位置的数，没有先从小到大排序；或百分位数位置计算错误。 成因分析：中位数、百分位数都要求数据有序。 纠正要求：先排序，再按定义取中位数或百分位数；百分位数计算 ，再按整数、非整数规则取值。 易错点9：回归方程截距计算漏样本中心点 学生典型错误：求出 后直接写 ，忽略 。 成因分析：回归直线必过样本中心点 ，截距由 确定。 纠正要求：写“因为回归直线过样本中心点，所以 ”，再写完整方程。 易错点10：独立性检验结论表述不当 学生典型错误：写“证明……与……有关”，或只写“有关”不写把握程度。 成因分析：独立性检验是统计推断，不是逻辑证明，结论应带“有……的把握”。 纠正要求：写“有 的把握认为……与……有关”；若 小于临界值，写“不能认为……与……有关”，不能写“无关”。 易错点11：全概率公式完备事件组不完整 学生典型错误：多阶段抽取时只考虑部分情况，遗漏某一类来源。 成因分析：全概率公式要求 两两互斥且并为全集，遗漏情况会导致概率和不为1。 纠正要求：先列出所有可能的第一阶段结果，检验两两互斥且并为全集，再套全概率公式。 易错点12：排列组合重复计数或遗漏 学生典型错误：平均分组时不除以组数阶乘，导致重复计数；或分类时遗漏某类情况。 成因分析：平均分组中组与组之间无序，需除以组数的阶乘；分类计数要求不重不漏。 纠正要求：平均分组写“先分组，再除以组数的阶乘”；分类时写清分类标准，检验各类互斥且并为全集。 易错点13：决策类问题只算期望不看实际意义 学生典型错误：比较两个方案时只写“期望大的好”，没有结合题干“成本”“风险”“稳定性”等实际要求。 成因分析：决策类问题需综合期望、方差和实际背景。 纠正要求：先分别求期望、方差，再写“因为……方案期望更大（方差更小），所以选择……方案”；结论要回扣题干实际意义。 速记口诀 口诀一：计数原理 分类用加法，分步用乘法； 有序用排列，无序用组合。 完成一件事，分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合。 口诀二：古典概型 样本空间先写清，等可能时数基本； 事件个数比总数，古典概率即得成。 口诀三：互斥与独立 互斥相加不相乘，独立相乘不相加； 至少一个用对立，一减全无最省事。 互斥用加法，独立用乘法；“至少一个”用 。 口诀四：条件概率 条件概率分母缩，条件事件做分母； 交事件做分子，全概率按原因分。 口诀五：全概率与贝叶斯 全概率，原因分，完备事件组要全； 贝叶斯，结果反，分母全概率来算。 全概率由原因推结果，贝叶斯由结果反推原因。 口诀六：二项与超几何 有放回，二项分，独立重复概率同； 无放回，超几何，组合数里算概率。 有放回、独立重复用二项分布；无放回、总体有限用超几何分布。 口诀七：分布列与期望 分布列，先取值，概率非负和为一； 期望加权求和，方差平方期望减。 分布列检验概率和为1；，。 口诀八：期望方差性质 期望线性加常数，方差系数要平方； 常数不影响方差，系数平方别忘记。 口诀九：正态分布 正态曲线对称轴，均值左右各一半； 一倍二倍三倍差，六八九五九九七。 ， 约 ， 约 。 口诀十：直方图 纵轴频率除组距，面积才是真频率； 面积之和等于一，中位数看面积半。 频率 面积 组距 频率/组距。 口诀十一：回归方程 回归直线过中心，均值代入求截距； 斜率公式先算好，预测代入自变量。 回归直线必过 ，。 口诀十二：独立性检验 卡方公式列联表，观测值比临界值； 大于临界有关联，结论要带把握度。 口诀十三：排列组合模型 相邻捆绑，不相邻插空； 相同元素隔板分，平均分组除阶乘。 相邻捆绑，不相邻插空，相同元素隔板法，平均分组除以组数阶乘。 典例讲解之会一题通一类 6．（2026·四川南充·一模）某校为了解全校学生体育锻炼情况，随机抽取200名学生进行调查，得到每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否与性别有关； (2)从“每天体育锻炼时间低于1 h”的学生中按性别采用分层随机抽样，抽取8名学生进行体能测试，再从这8人中随机抽取3人进行进一步调查，记这3名学生中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 认为该校学生每天体育锻炼时间与性别有关； (2) X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）代入列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较得出独立性检验结论； （2） 先按分层抽样规则确定抽取样本的男女生人数，再根据超几何分布的概率公式计算分布列及期望． 【详解】（1） 提出零假设：该校学生每天体育锻炼时间与性别无关， 由列联表得，，，，， 代入卡方公式得 ， 已知对应的临界值为，由于， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生每天体育锻炼时间与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.01； （2） “每天体育锻炼时间低于1h”的学生共80人，其中男生30人、女生50人， 分层抽样抽取8人的抽样比为，故抽取男生人，女生人， 随机变量的所有可能取值为， ， ， ， ， 因此的分布列如下， 0 1 2 3 数学期望 7．（2026·河南·一模）甲、乙、丙三位选手参加某棋类邀请赛，竞赛采用“挑战赛”赛制，规则如下： ①抽签决定第一局的对阵双方，另一人轮空； ②从第二局起，每局由上一局的胜者对阵上一局的轮空者； ③先累计获得2场胜利的选手获得冠军，比赛随即结束． 已知各局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，各局比赛结果相互独立，且每局比赛无平局，第一局由甲和乙对阵，丙轮空． (1)求比赛恰好在第三局结束的概率； (2)已知甲最终获得冠军，求甲在第一局获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）比赛恰好在第三局结束，需满足前两局无人累计 2 胜、第三局决出冠军。结合赛制，仅存在 “丙连胜第二、三局” 两种分支（第一局甲胜 / 第一局乙胜），分别计算两条独立路径的概率后求和即可； （2）利用条件概率公式，先枚举甲最终夺冠的全部 3 种比赛路径，计算得到甲夺冠的总概率，再计算 “第一局甲胜且甲最终夺冠” 的概率，代入公式即可求得条件概率. 【详解】（1）记事件为甲胜乙，事件为甲胜丙，事件为乙胜丙， 则，，，，，， 比赛在第3局结束，需要满足：前2局无人累计2胜，第3局有人获得第2胜．故只能丙胜出包含两种路径： 路径一：第1局甲胜→第2局丙胜→第3局丙胜，即 第1局：甲对战乙，甲胜．丙轮空． 第2局：甲对战丙，丙胜甲．乙轮空． 第3局：丙对战乙，丙胜乙．此时丙累计2胜，比赛结束． ．     路径二：第1局乙胜→第2局丙胜→第3局丙胜 第1局：甲对战乙，乙胜，丙轮空． 第2局：乙对战丙，丙胜，甲轮空． 第3局：丙对战甲，丙胜甲．此时丙累计2胜，比赛结束．      所求概率 比赛恰在第3局结束的概率为． （2）设事件“甲第1局获胜”，事件“甲最终夺冠”． 枚举甲夺冠的所有情况，有三种路径. 路径一：甲胜乙→甲胜丙（第2局结束） ，    路径二：甲胜乙→丙胜甲→乙胜丙→甲胜乙（第4局结束） ，     路径三：乙胜甲→丙胜乙→甲胜丙→甲胜乙（第4局结束） ，     ，    甲第1局胜且甲夺冠的路径为路径一和路径二： ， 由条件概率公式：， 所求概率为． 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某学校为激发学生的科学好奇心、探索求知欲与创新创造潜能，夯实其基础科学素养，开展了“青少年科普知识”测试，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩作为样本，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计本次测试成绩的第三四分位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）． (2)从测试成绩在内的学生中选出参加全市青少年创新大赛的选手，现有6道备选题，每名学生从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才有资格参加全市青少年创新大赛．现有甲、乙两名同学参加选拔，在这6道题中，甲能答对4道，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中参加全市青少年创新大赛的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1)第三四分位数为，平均数为 (2)分布列为： P 期望为 【分析】（1）根据百分位数的计算方法即可计算第三四分位数；根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可计算平均数； （2）先根据古典概型的概率公式以及独立重复试验的概率公式分别求出甲、乙两人获得参赛资格的概率；再分析随机变量的可能取值，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而求出分布列和期望． 【详解】（1）第三四分位数即第百分位数， 由前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 则第三四分位数位于内，且设为， 则，解得， 所以估计本次测试成绩的第三四分位数为； 估计本次测试成绩的平均数为． （2）设事件为甲获得参赛资格，事件为乙获得参赛资格． 则，． 由题意可知随机变量的可能取值有，，， ， ， ． 故的分布列为： P 所以． 9．（2026·广东·模拟预测）情绪经济是以情感共鸣、心理慰藉、自我认同为核心价值的消费模式，消费者不仅仅为产品付费，还是为一段情绪体验买单．已知2022~2027年中国情绪经济市场规模（其中2026年、2027年为市场预测规模）（单位：万亿元）及同比增长率如下表． 年份 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 市场规模 1.63 1.95 2.31 2.72 3.17 3.65 同比增长率 — 0.196 0.185 0.177 0.165 0.151 (1)求2023~2027年同比增长率的极差及20%分位数； (2)记2022~2027年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，根据2022~2026年的数据求得市场规模与年份的回归方程为，求的值及利用该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值． 【答案】(1)0.045，0.158 (2)1.201，0.139万亿元． 【分析】（1）根据极差和百分位数的定义求解； （2）求出回归方程中的值，再代入6求解. 【详解】（1）2023~2027年同比增长率按照从小到大排列为0.151，0.165，0.177，0.185，0.196，     所以极差为，     因为，     所以20%分位数是第1个数与第2个数的平均数． （2），，     因为点在回归直线上， 所以，     当时，，     所以该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值为万亿元． 10．（2026·湖南·一模）为助力乡村振兴，郴州市举办“特色农产品助农展销”活动，活动共有3个展区参与．经统计号展区的顾客人数比例为，根据以往经验，这三个展区的顾客的购买意向率分别为. (1)现从三个展区随机抽取一位顾客： （ⅰ）求该顾客有购买意向的概率； （ⅱ）如果该顾客有购买意向，求此人来自号展区的概率； (2)对于某款限量礼盒，设计了一种“掷骰子叫价确定购买资格”的方式：统一以元为初始价，通过掷骰子确定新叫价．若点数大于，则在已叫价基础上增加元更新叫价；若点数小于，则在已叫价基础上增加元更新叫价．规定最多掷骰子次，次后的最终叫价即为购买价格．设最终叫价为元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) X 30 40 50 60 P 【分析】（1）利用全概率公式求总概率，再用贝叶斯公式求条件概率； （2）先确定每次掷骰子两种结果的概率，找出所有可能取值，计算对应概率，写出分布列再求期望. 【详解】（1）设事件表示“抽取的顾客来自号展区”， 事件A表示“该顾客有购买意向”， 由题意可知，三个展区的人数比例为，所以： ，， 已知各展区顾客的购买意向率分别为： ，， （i）由全概率公式可得： 答：该顾客有购买意向的概率为． （ⅱ）由条件概率公式可得： 答：如果该顾客有购买意向，此人来自2号展区的概率为． （2）由题意可得每次叫价增加10元的概率为，每次叫价增加20元的概率为， 规定最多掷骰子3次，设每次增加的金额为随机变量，则的取值为10或20，且每次掷骰子相互独立． 最终叫价． X的可能取值为： 设“增加20元”的次数为，则，且 所以，的分布列为： X 30 40 50 60 P . 11．（2026·四川泸州·一模）口袋中有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】(1)； (2) (3)，游戏一不确定性更高 【分析】（1）游戏一利用有放回摸球的独立性直接得单次概率，游戏二由抽签原理可知各次摸白球概率相等，均得到第二次摸到白球的概率为； （2）先分别求出的分布列，再利用两游戏结果相互独立，将拆分为两个互斥的取值场景，分别计算概率后求和； （3）分别将的分布列代入信息熵公式计算数值，通过比较熵值大小判断两种游戏的不确定性高低. 【详解】（1）第二次摸到白球概率 游戏一（有放回）：每次摸到白球概率不变； 游戏二（无放回）：抽签原理，第二次摸到白球概率等于第一次： （2）由题意的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为1，2；且相互独立， ， ． 则，，， 无放回，一共4球取2： ，． ． （3）信息熵 ， ， +， 因为， 所以，由于 单调递增，所以， 所以， 所以，游戏一不确定性更高. 12．（2026·山东·模拟预测）某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到的分布列，结合期望公式即可求解； （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持，由二项分布公式即可求解； （3）根据题意，设事件为在第个年种群分解为个，由即可求解. 【详解】（1）根据题意可知的分布为，， 所以期望. （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持， 由二项分布公式可得. （3）事件“”为：个年中，只有个年生物种群分解为个种群， 记事件为在第个年种群分解为个，则， 事件“”为：前个年有个种群，第年开始有个种群，则， 因此. 13．（2026·广东广州·模拟预测）某市监测站点于某天起连续天监测空气质量指数，数据统计如下表： 空气质量指数 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 根据所给统计表和频率分布直方图中的信息，完成以下解答． (1)求的值，完成频率分布直方图，并求该组数据的上四分位数； (2)以样本中空气质量等级的频率作为该市空气质量等级的概率，现从统计日期后随机抽取天，设空气质量为优或良等级的天数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)；频率分布直方图为： 该组数据的上四分位数为 (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）由第一个区间的频率求得，然后根据值可求得，再由各区间的频率可得频率分布直方图（频率除以组距），计算可求得上四分位数； （2）利用统计表计算可得空气质量为优或良的频率为，可得统计日期后随机抽取1天，空气质量为优或良的概率为，进而得，利用二项分布可求得的分布列与数学期望． 【详解】（1）由频率分布直方图可知第一组的频率为． 由统计表可得第一组的频数为，所以样本总数，解得， 又，解得； 所以第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为， 所以频率分布直方图如图所示： 因为前两组的频率之和为， 设上四分位数为，，解得， 所以该组数据的上四分位数为. （2）样本中空气质量为优或良的天数为， 所以空气质量为优或良的频率为， 以频率作为概率，则从统计日期后随机抽取1天，空气质量为优或良的概率为. 随机抽取3天，ξ的可能取值为，且. 则，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 14．（2026·吉林·一模）某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现从首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示． (1)（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分的第百分位数； （ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率； (2)该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有1人对该公司生产的饮品满意的概率． 【答案】(1)（ⅰ）青柠试饮者评分的平均分为分，第百分位数为分， （ⅱ）. (2). 【分析】（1）（ⅰ）用到频率分布直方图，用组中值算平均数、插值法求百分位数， （ⅱ）应用古典概型=求概率即可， （2）应用独立事件概率计算即可. 【详解】（1）（ⅰ）样本的青柠试饮者评分的平均分为， 则估计青柠试饮者评分平均分为， 凤梨试饮者评分：累计频率为， 累计频率为， 所以第百分位数落在区间内，设为， ， 所以凤梨试饮者评分的第百分位数为. （ⅱ）从人中任选人，可得：， 所选人评分均大于的事件只有种， 所以所求概率为. （2）由样本频率估计概率：首次试饮满意概率为，不满意概率为， 顾客最终满意概率：， 顾客最终满意概率：， 恰有人满意得概率：， 所以所求概率为. 15．（2026·山东威海·模拟预测）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 【答案】(1) (2) 选择方案一比较合适 【详解】（1）设事件分别为该同学选择甲、乙、丙箱抽奖，事件为该同学中奖. ∵ 该同学等可能选择三个箱子，∴ ， 又已知， 由全概率公式得 . （2）设方案一获得的学习用品价值为，则的可能取值为. ∵ 各箱中奖与否互不影响， ∴ ， ， ， ∴ . 设方案二获得的学习用品价值为，则的可能取值为，三次从甲箱抽奖的中奖次数服从二项分布. ∴ ， ， ， ∴ . ∵ ，即， ∴ 该同学选择方案一更合适. 解答题专项题组A（基础回归） 16．（2026·浙江·模拟预测）有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． (1)求的值； (2)设随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)． (2) 2 3 4 5 6 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式、独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）求出所有可能值对应的概率，列出分布列，根据期望公式得解. 【详解】（1）因为与相互独立，且每次掷出的点数出现的概率都相等， 所以， 因此，的值为． （2）随机变量取值的所有可能结果为：2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 因此的分布列为： 2 3 4 5 6 ． 17．（2026·辽宁·模拟预测）某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）隐藏款数量服从二项分布，直接由期望和方差公式计算； （2）设平均购买次数为 ，根据第一次是否成功分类讨论，建立方程求解即可. 【详解】（1）依题意可知，， ，. （2）设平均需要购买次才能第一次买到隐藏款， 考虑第一次购买的结果： 情况一：第一次就买到隐藏款，概率为，此时购买次数为； 情况二：第一次没买到隐藏款，概率为，此时已经购买了次，但问题回到初始状态，后面还需要平均次才能成功，所以总次数为； 所以，解得，即. 18．（2026·广西·模拟预测）某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2) 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 及格与专项整治行动有关 【详解】（1）由题意，得专项整治行动后评分及格的人数为人， 所以这1000名游客中评分及格的人数为人， 所以从这1000名游客中随机抽取1人，此游客的评分及格的概率为． （2）列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关． 由题意，得，     由查表可得， 因为，所以统计假设不成立，根据小概率值的独立性检验， 可以认为评分是否及格与专项整治行动有关． 19．（2026·吉林长春·模拟预测）下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 【答案】(1) (2)，（1）中线性回归模型的拟合效果良好 (3)当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元 【分析】（1）直接利用公式，代入数据求解即可； （2）利用公式代入数据求解即可； （3）利用（1）中的线性回归方程，代入甲产品的产量为10吨求解利润即可. 【详解】（1）由题意可知，，， ，， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为. （2），， 所以， 因此（1）中线性回归模型的拟合效果良好. （3）当时，， 因此估计当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元. 20．（2026·山东济南·模拟预测）2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【详解】（1）设事件“至少1架投送成功”，则事件“2架投送全部失败”， 可得，故. （2）由题意得， 即得的分布列为. 用表格表示的分布列，如下表所示. 0 1 2 3 由期望公式得 21．（2026·四川巴中·模拟预测）近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 【答案】(1)相关系数，，可使用线性回归模型拟合与的关系 (2)任取一件纪念品合格的概率为 【详解】（1）， 因为， 所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系； （2）设事件为“任取一件纪念品为合格品”， 事件为“产品由甲机器生产”， 事件为“产品由乙机器生产”， 事件为“产品由丙机器生产”， 由题意得，，，， 根据全概率公式：， 答：任取一件纪念品，其合格的概率为． 22．（2026·贵州黔南·模拟预测）为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 (1)将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； (2)在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关. (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望（或1.2）. 【分析】（1）注意和作比较； （2）利用超几何分布进行计算. 【详解】（1）由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人， 女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。 （2）体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人， 所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 23．（25-26高三下·江西·阶段检测）有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. (1)根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 ； (2)该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率的定义求出数据并完善列联表，再求出. （2）求出的观测值，再与临界值比对即可得解. 【详解】（1）由，得愿意报名参加答题活动人数为， 由，得愿意报名参加答题活动的男生人数为， 愿意报名参加答题活动的女生人数为， 所以列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 . （2）零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 24．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 25．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 解答题专项题组B（能力提升） 26．（2026·重庆渝中·模拟预测）随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 【答案】(1)认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 (2)数学期望，方差 (3) 【分析】（1）提出 “喜欢户外运动与性别无关联” 的零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与的临界值对比，判断是否拒绝原假设并得出结论； （2）用样本频率估计市民喜欢户外运动的概率，判定随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式计算结果； （3）设定对应事件并写出条件概率，利用全概率公式建立第三周爬山概率与第二周爬山概率的等量关系，解方程求得结果． 【详解】（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布． 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：． （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， 所以，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为． 27．（2026·广西百色·一模）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列如下： 0 1 2 3 【分析】（1）方法一：利用独立事件的概率公式求解即可； 方法二：利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可. 【详解】（1）记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件． （方法一）． （方法二：间接法）． （2）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ． 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 28．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)当时，； 当时，. 【分析】（1）利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，计算，； （2）利用组合计数原理与独立事件乘法公式，结合全概率公式与错位相减法推导的表达式； （3）结合条件概率公式转化问题，通过构造数列判断单调性，最后比较两个条件概率的大小. 【详解】（1）由题意知，， . （2）记“第次测试后恰好通过第1关”为事件， “第次至次测试后没有通过第2关，且第次测试后恰好通过第2关”为事件， “第至次进行第3关测试没有通过，且第次通过”为事件， 则， ， . 所以. 令， ， 所以， ， 所以. 所以. （3）由（2）得，，， . 令，则， 所以， 因为随的增大而增大， 所以当时，， 当时，，； 当时，，，是增数列. 所以当时，取得最小值，最小值为. 又，且； 所以当时，，即， 所以. 因为，所以，即； 当时，，即， 所以.因为， 所以，即. 综上所述，当时，； 当时，. 29．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为． (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率，并证明：当时，． 【答案】(1) ； (2) 设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以为首项，为公比的等比数列；可得. 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，． 综上可得：当时，． 【分析】（1）设“第i天选择米饭套餐”，则“第i天选择面食套餐”，然后由题设结合全概率公式可得答案； （2）设“第天选择米饭套餐”，由题可得是以为首项，为公比的等比数列，据此可完成证明. 【详解】（1）设“第i天选择米饭套餐”，则“第i天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； （2）略. 30．（2026·江苏南通·一模）强基计划为基础学科招生改革试点，用于选拔有志于服务国家重大战略需求、综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．某高校参加强基计划选拔需依次参加笔试和面试，笔试环节包含数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目，且每门考试科目是否通过相互独立，全部通过才可参加面试；面试每10人分为一组，每组选拔通过2人． (1)若学生甲已通过全部笔试科目，求甲面试选拔通过的概率； (2)已知学生甲通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，，其中，．记学生甲在笔试环节中通过的科目数为X． （i）若，当为何值时，甲通过笔试的概率最大； （ii）若，，求． 【答案】(1) (2)（i）当时，甲通过笔试的概率最大；（ii）. 【分析】（1）10人选2人，为古典概型，甲被选中的概率就是入选人数除以总人数. （2）（i）甲通过笔试需要三门全部通过，概率为，已知，利用均值不等式可得出，转化为只含的函数，利用导数求出定义域内函数最大值，此时的取值即为所求. （ii）已知，，通过的科目数为X，X可以取0，1，2，3，求出，，，，则由即可求解. 【详解】（1）（1）记“甲面试选拔通过”为事件A，则． 所以甲面试选拔通过的概率为． （2）（i）因为， 所以，当且仅当时取等号． 令， 则． 令，，则． 列表： + 0 − 单调递增 极大值 单调递减 在的函数值大于0，此时为增函数， 在的函数值小于0，此时为减函数， 时，为极值点，也是最大值点，所以当时，甲通过笔试的概率最大. （ii）记学生甲未通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，， X可能值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以： ， 所以． 31．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. （2）先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【详解】（1）记甲获胜为事件，其中分为三种情形， 情形一：甲得1分，乙得0分，概率为. 情形二：甲得2分，乙得0、1分，概率为. 情形三：甲得3分，乙得0、1、2分，概率为. 从而. （2） 的所有可能取值为. ， ， ， ， ， ， . 从而的分布列为 . 32．（2026·黑龙江大庆·一模）某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 【答案】(1)补全后的列联表如下： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 依据小概率值的独立性检验，能认为学生对AI的关注与性别有关联； (2)的分布列为： 1 2 3 均值. 【分析】先补全2×2列联表，计算卡方统计量并与临界值比较完成独立性检验，再根据分层抽样规则确定样本构成，利用超几何分布求解X的分布列与均值. 【详解】（1）首先补全列联表： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 女生不关注AI的人数为，男生关注AI的人数为，不关注AI的总人数为，总调查人数为, 提出零假设：学生对AI的关注与性别无关联, 代入卡方公式计算, 由于，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关联; （2）60名男生中关注AI的有40人，不关注AI的有20人，按比例分配分层抽样抽取6人时，抽取关注AI的人数为，不关注AI的人数为, 为从6人中抽3人时抽到关注AI的人数，服从超几何分布，可能取值为1,2,3, ,, , 因此的分布列为 1 2 3 所以 33．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 【答案】(1)的分布列为 ； (2) 【分析】（1）先统计优质日数量，利用超几何分布求的分布列与期望； （2）根据正态分布性质，结合对称性求出的概率，进而估计天数． 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ； （2）由正态分布，得， ， 所以“优质服务日”的天数约为． 34．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为 2 3 4 ． 【分析】（1）理论考试和实操考试各有两次机会，分别求出至少一次合格的概率，两者相乘即得获得证书的概率； （2）分析的所有可能取值，逐一列举每种取值对应的所有考试结果组合，利用独立性和互斥性计算概率，最后求期望． 【详解】（1）设理论考试合格为事件，实操考试合格为事件， 理论考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 实操考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 因为只有理论合格后才能参加实操，所以获得证书的概率为： （2）设“第一次理论考试合格”为事件，“理论考试补考合格”为事件； “第一次实操考试合格”为事件，“实操考试补考合格”为事件； 由已知得，， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ， ， ， 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 参加考试次数的期望值． 35．（2026·云南昆明·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)分布列为 0 1 2 数学期望为； (2) 【分析】（1）分别求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）中奖2次的人数，从而得到不等式组，求出答案 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则的取值为0，1，2， ，即两次抽奖均未中奖，两次抽到的均是1个红球，1个白球， 则， ，第一次抽到两个红球或两个白球，第二次抽到一个红球，一个白球 或第一次抽到一个红球，一个白球，第二次抽到两个红球或两个白球， 则， ，第一次抽到2个红球，第二次也抽到2个红球，此时概率为， 第一次抽到2个红球，第二次抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次也抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次抽到2个红球，此时概率为， 故， 则的分布列为 0 1 2 所以； （2）设300位顾客中奖2次的人数，， 令， 所以 得，又，故. 解答题专项题组C（思维拓展） 36．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）记甲车床加工为事件 ，乙车床加工为事件 ，取到合格品为事件 ，写出 ，，，，（i）用全概率公式求 ；（ii）用条件概率公式求 ； （2）有放回地独立抽取 次，每次抽到乙车床加工的概率为 ，故 ，写出 的分布列，再求. 【详解】（1）记“零件由甲车床加工”为事件 ，“零件由乙车床加工”为事件 ，“任取一个零件是合格品”为事件 ， 则 与 对立，，，且 ，. （i）由全概率公式，得 ， 所以这个零件是合格品的概率为 . （ii）在取到合格品的条件下，它由甲车床加工的概率为 . （2）由题意，每次抽取到的零件由乙车床加工的概率为，有放回地连续抽取次，各次抽取相互独立，所以，的所有可能取值为，，. ，，. 所以的分布列为： . 37．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. (1)求； (2)已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）由题意可得第次投中且前次中有次投中，从而得，求解即可； （2）①由题意求得，从而得＝，分别令，，，求解后即可判断； ②求得，利用导数求解即可. 【详解】（1）表示结束练习时投篮的总次数为， 表明第次投中且前次中有次投中， 所以. （2）① 所以＝. 令，解得； 令，解得； 令，解得. 所以 所以，当或时，最大. ②， 则， 设， 则 令，得； 令，得. 所以在上递增，在上递减. 所以，的极大值点为. 38．（2026·湖南湘潭·一模）在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率． (1)，，求； (2)求和； (3)求，，． 【答案】(1) (2)； (3)；； 【分析】(1)不放回抽样，每次的概率均等 (2)对题目进行转化，分步进行计算 (3)对题目转化后经过计算即可解出答案. 【详解】（1），表示第次才取出这1个标记球的概率，：第一次取非标记球，第二次取标记球；. （2）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等，，共n个球，; 求，即满足在前次共拿到1个标记球，第i次拿到第2个标记球,i的取值范围为. ，； 当时，； 所以，. （3）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等；； 求，即满足在前次共拿到个标记球，第i次拿到第k个标记球,i的取值范围为. ，； ，. 所以， . 39．（2026·陕西·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率乘法公式及条件概率公式求解即可. （2）根据概率乘法公式及加法公式求解即可. （3）根据概率乘法公式、条件概率公式及加法公式求解即可. 【详解】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为. 40．（2026·湖北武汉·三模）某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列为： 1 3 5 期望． (2)，，，. (3)证明：若共比赛局， 在前局比赛中星锐赢的局数小于，则无法保证星锐获胜，其概率为0； 若前局比赛中星锐赢的局为，则需第，局全胜，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数为，则第，局至少胜一场，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数大于，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛， 其概率为， 故 ， 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 【分析】（1）根据概率的乘法公式和加法公式列出分布列，再根据期望公式求解； （2）根据条件概率的定义分析求解即可； （3）结合（2）以及概率的乘法公式求出，得出当时，，再利用组合数的计算公式证明即可. 【详解】（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为： 1 3 5 所以随机变量的数学期望为：． （2）在前局比赛中星锐赢的局数时，第，局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第，局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第，局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，，，，. （3）略 41．（2026·山东聊城·二模）为评估某AI程序的国际象棋实战水平，现由甲与其进行多场比赛.已知甲每场比赛获胜的概率为，失败的概率为，且每场比赛的结果是相互独立的.记甲在前场比赛中，没有连续两场获胜的概率为，其中. (1)求（用表示）； (2)当时，求，并证明是等比数列； (3)设甲与AI程序至多进行场比赛且，若甲连续两场获胜，则比赛提前终止.记比赛终止时，比赛的总场数为，证明：. 【答案】(1) (2)由（1）得，解得， 由全概率公式，得， 即，而， 所以是首项为，公比为的等比数列. (3) 依题意，当时，则，无论这两场甲是胜还是负均结束比赛， 即，因此，此时不等式的右边为； 当时，随机变量的取值为， 则，对于， 若第场没有结束比赛，则第场可能结束比赛，也可能没有结束比赛，则， 对于，只需第场没有结束比赛，则无论甲第场是胜还是负均结束比赛，则， 因此 ， 当时，显然，即， 于是，且， 由（2）知，两边同除以， 得， 因此，， 则 . 所以. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. （2）由（1）求出，再利用全概率公式列式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （3）按分类，结合期望的定义列式，再利用不等式的性质及等比数列前项和公式推理得证. 【详解】（1）依题意，甲在两场比赛中连胜两场的概率为， 所以. （2）略 （3）略 42．（2026·江苏无锡·三模）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． (1)求的值； (2)在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 【答案】(1) (2)① 的概率分布为： ② 【分析】（1）分为 ，，和 ， ，两种情况计算概率； （2）① 的可能取值为 ， ， ， ，，设，分析 中的取值情况求解； ②由 得到 ，利用组合数性质计算求解. 【详解】（1）已知数列是“可取数列”，首项 ，可取 或 的概率均为0.5， 要使，有以下两种情况： 情况一： ，，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为； 情况二： ， ，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为， 所以. （2） ①    因为 ，可取 或 ， 所以的可能取值为 ， ， ， ，，设， 则取1或 的概率均为0.5， 且，设 ，显然 ， 再设此时中有 个1， 个 ，则 ， 所以 只能取之间的偶数值，即 ， 对于偶数 ，事件相当于在个数中， 有 个数取1，个数取 ， 其概率为 ， 因此， 的概率分布为： . ②    因为 ， 所以 ， 可得，由组合数性质得， ， 因为， ， 所以， 因此，. 43．（2026·山西忻州·模拟预测）某传感器连续记录4次信号，每次信号只可能为0或1.设第次记录为，其中，，且各次记录相互独立.对一组记录定义“变化次数”：若相邻两次记录不同，则记为一次变化，即.例如，记录0010的变化次数为2. (1)当时，求的分布列； (2)当时，求； (3)求的最大值，并说明取等条件. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) (3)最大值为，当且仅当时取得 【分析】（1）先确定的所有可能取值为,因为各次记录独立且，所以对每个的可能取值，计算满足对应变化次数的序列个数，再乘以每个序列的概率，得到对应概率，最后可得分布列； （2）令  .因为，根据数学期望的可加性，计算每个即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）当时，每一个长度为4的0，1序列出现的概率均为. 若变化次数为，只需在3个相邻位置中选个位置发生变化.变化位置确定后，再确定第一个数，整个序列就唯一确定. 因此变化次数为的序列个数为. 所以，. 于是分布列为 0 1 2 3 （2）令  . 则. 对任意，有. 由于各次记录相互独立， . 因此. 由数学期望的可加性，. （3）因为， 所以，当且仅当时取等. 因此的最大值为. 44．（2026·山东潍坊·三模）在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． (1)在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功的概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； (2)在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 【答案】(1) (2) (3)证明：令，则．易得当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 所以，，所以，所以， 所以， 所以， ， 即的值不可能为负，当且仅当，即时取等． 【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解； （2）利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解； （3）先利用导数证得不等式恒成立，从而结合定义即可得证． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ． （2）因为，， 所以 ， 记 ， 则 ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则， 则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. （3）略 45．（2026·山东烟台·模拟预测）某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转盘的次数． (1)求的概率； (2)求且的概率表达式： (3)设表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第三种颜色出现的那一次），求的数学期望． 参考公式：． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）分析可知，则前次转盘中，指针在三色区域中各出现一次，利用排列计数原理结合独立事件的概率公式可求得的值； （2）若，则前次中有且只出现两种颜色，对前次出现的颜色进行分类讨论，结合对立事件和独立事件的概率公式可得出的表达式； （3）先求“最先出现的两种颜色”分别为红黄、红蓝、黄蓝的概率，再在每种情况下求等待第三种颜色的转动次数分布，最后用全概率公式和所给求和公式计算数学期望． 【详解】（1）若，则前次转盘中，指针在三色区域中各出现一次， 所以. （2）若，则前次中有且只出现两种颜色， ①若前次只出现黄蓝，其概率为， 第次出现红色，其概率为； ②若前次只出现红蓝，其概率为， 第次出现黄色，其概率为， ③若前次只出现红黄，其概率为， 第次出现蓝色，其概率为. 综上所述，. （3）先求最先出现的两种不同颜色的组合． 记事件，，分别表示最先出现的两种颜色为红黄、红蓝、黄蓝． 若发生，则可能先出现红色，也可能先出现黄色． 第一次出现红色后，下一次出现不同颜色时，黄色和蓝色的可能性相同，所以第二种不同颜色为黄色的条件概率为； 第一次出现黄色后，下一次出现不同颜色时，红色与蓝色的概率之比为， 所以第二种不同颜色为红色的条件概率为． 因此． 同理，，． 当最先出现的两种颜色为红、黄时，第三种颜色为蓝色，每次转到蓝色的概率为，所以． 当最先出现的两种颜色为红、蓝时，同理有． 当最先出现的两种颜色为黄、蓝时，第三种颜色为红色，每次转到红色的概率为，所以． 由全概率公式，． 化简得． 因此， ． . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $