第九章 核心素养系列(六) 概率与统计高考中档大题的规范答题策略（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ一3σ， 16个零件中，出现尺寸在（μ-3o,4+36)之外的零 十3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过 发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天 程进行检查 的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产 (「)试说明上述监控生产过程方法的合理性： 过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合 (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的 理的 尺寸： （i)由x=9.97,s≈0.212，得4的估计值为4 9.9510.129.969.9610.019.929.98 9.97,ō的估计值为。=0.212，由样本数据可以看出 10.0410.269.9110.1310.029.2210.04 有一个零件的尺寸在（一3,4+36）之外，因此需 10.059.95 对当天的生产过程进行检查.剔除（一36，以十3ō） 经计算得x= 162=9.97,s 1 12(x,-2 N161 之外的数据9.2，剩下盘据的平均数为言(16× √品名x-16≈0,212，其巾x为描取的第 9.97-9.22)=10.02,因此4的估计值为10.02. 个零件的尺寸，i=1,2,…,16. x2=16×0.212+16×9.972≈1591.134，别除 =1 (一3G,+36)之外的数据9.22，剩下数据的样本 用样本平均数x作为的估计值2，用样本标准差s 作为。的估计值。，利用估计值判断是否需对当天 方差为1591.134-9.2-15×10.02)0.08， 的生产过程进行检查？剔除（一3o,十3σ）之外的 因此。的估计值为√0.008≈0.09. 数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 方法指导 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，o),则P( (1)利用3。原则求概率问题时，要注意把给出的区 -3o<Z<μ十3o)=0.99740.997416≈0.9592， 间或范围与正态变量的4，。进行对比联系，确 √0.008≈0.09. 定它们属于（μ-o,4十σ），(u-2o,μ+2o),( [解](1)抽取的一个零件的尺寸在（μ一3σ，4十 3o,4十3o)中的哪一个 3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在（μ (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率 3o,十3o)之外的概率为0.0026，故X~B(16, 问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x 0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1- =μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意 0.997416=0.0408. 下面两个结论的活用： X的数学期望为E(X)=16×0.0026=0.0416. ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-g)= (2)(1)如果生产状态正常，一个零件尺寸在（以 P(X≥十o): 3o,4十3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的 核心集美系列 (六) 概率与统计高考中档大题的规范答题策略 对应学生用书P266 [命题动向] 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应 用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力 2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据 的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透，背景新颖. ·373· 高考总复习人教数学B版（新教材） [热点1]频率分布直方图与分布列的综合问题 (0.016+0.004)×10=40人，不具有很强安全意 [例1](2024·吉安模拟)为了解成年人的交通安 识的有160人. 全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年 补全2X2列联表如下： 人安全知识抽样调查.随机地抽取了200名成年 拥有驾驶证没有驾驶证 总计 人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶 具有很强 证的占号.这200人所得的分数都分布在[30,100] 22 18 o 安全意识 范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强 安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下」 不具有很 58 102 160 频率 强安全意识 组距 0.028- 总计 80 120 200 0.020 计算得x2= 200×(22×102-18×58)2 75 40×80×160×120 16 4.688>3.841, 0.008 0.004 .有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥 0V30405060708090100分数 有驾驶证”有关. (2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成 (1)补全下面的2×2列联表，并判断能否有95%的 把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证” 年人“具有很强安全意识”的概率为了 有关？ 所以X的所有可能取值为0,1,2,3， 拥有驾驶证没有驾驶证总计 则P(X=0) 具有很强 22 安全意识 PX=D=Cx×()- 1251 不具有很 PX=2)=C×()×品 强安全意识 总计 200 P(X=3)= 所以X的分布列为： (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成 年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人 X 0 1 2 3 数为X,求X的分布列及数学期望， 64 48 12 1 125 125 125 125 n(ad-bc)2 附临界值表：X=(a+(C十d)(a十c)(b+d,其 故E(X)=0X 64 中n=a+b+c+d. 125 +1+2×+3× 125 a=P(x2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 5 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 规律方法 [解]1)200人中捐有驾驶证江的占号，有80人 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起 没有驾驶证的有120人，由题意知(0.004十0.008 进行考查，因此在解答此类题时，准确的把题中所 +0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,解 涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类 得a=0.016.所以具有很强安全意识的人有200× 型是关键， ·374· 第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 !跟踪训练 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上 1.(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某 单调递减，在(100,105]上单调递增， 种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明 作出f(c)在区间[95,105]上的大致图像（略），可 显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患 得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)in=f(100) 病者该指标的频率分布直方图： =-0.008×100+0.82=0.02. 0颜率/组距 4频率/组距 [热点2]回归模型与分布列的综合问题 883 038 [例2](2024·江苏扬州高三校考)2023年，国家不 断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投 0.012 入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在 0.010 0.00 指标 国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新 指桥0力乃关病者防丽 思病者 和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c, 度，订单数量节节攀升，下表为该企业今年1~4月 将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的 份接到的订单数量， 人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判 定为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者 月份t 1 2 判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均 订单数量y(万件) 5.25.35.75.8 匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的 (1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与 概率 月份t的线性相关性强弱(0.75≤|r≤1，则认为y (1)当漏诊率(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率 与t的线性相关性较强，|r<0.75,则认为y与t q(c); 的线性相关性较弱).（结果保留两位小数） (2)设函数f(c)=(c)+q(c).当c∈[95,105]时， (2)建立y关于t的线性经验回归方程，并预测该 求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最 小值 企业5月份接到的订单数量， 解：(1)由题意知当p(c)=0.5%时，c=97.5, (x,-x)(-y) 附：相关系数，r =1 比时ge)=0.01X5+0.002×5=0.035=3.5%. 2 (2)当95≤c≤100时， 回归方程y=a十.x中斜率和截距的最小二乘法估 p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, (x,-)(yy q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+ 计公式分别为方 ,a=y-bx, (.x,-x)2 1.01, =1 所以f(c)=p(c)十q(c)=-0.008c+0.82; √1.3≈1.14. 当100<c≤105时， 解：11=1+2+3+4-2.5y=}×(6.2+5.3+ p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c 1.19, 5.7+5.8)=5.5, g(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, (4,-D(y,-y)=(-1.5)×(-0.3)+(-0.5) =1 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. ×(-0.2)+0.5×0.2+1.5×0.3=1.1, 综上所述， f(c)= -0.008c+0.82,95≤c≤100， 4-i)2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.5+1.5 =1 0.01c-0.98,100<c≤105. =5, ·375· 高考总复习人教数学B版（新教材） (0y,-y)2=(-0.3)2+(-0.2)2+0.22+0.32= =1 局者赢得比赛.巴知甲每局获胜的概率为号，乙每 0.26, 1 局获胜的概率为了，若前3局中甲已胜2局，乙胜1 2(t,-)(y,- 局，求甲最终赢得比赛的概率 参考公式：对于一组数据(x,y)(i=1,2,3,…,n),其 96>0.75, 经验回归直线方程y=ax十b的斜率和截距的最小 .订单数量y与月份t的线性相关性较强. 己乘估进公式分别为6 ,a=y-bx. (2)6= 2(t,-t)(y:一y =1.1=0.22,.a=y x-n =1 t,-i)2 5 =1 参考数据：2山，=28.5，立x4,=106.05,其中u, =1 0t=5.5-0.22×2.5=4.95, In ya .线性经验回归方程为y=0.22t十4.95， 解：(1)令lny=u,由y=ae→lny=lna十b.x,即 令t=5,则y=0.22×5+4.95=6.05(万件)， u=In a+bx, 即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05 万件. 1+2+3+4+5+6 7 2,4 28.5 6 规律方法 4.75,2x=12+2+32+4+52+6=91, 高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考 xH,-6u 106.05-6× 查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问题所 .b==1 ×4.75 91-6×49 属的事件类型是关键. 4 =0.36, 跟踪训练 7 2.(2024·安徽省舒城中学校考模拟)随着科技的发 na=4-bx=4.75-0.36×2=3.49. 展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的 .lny=3.49+0.36x, 生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉 .y=e0.36r+3.49 迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康. (2)记“甲最终赢得比赛”为事件A, 为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游 则事件A包含三种情况： 戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP,在内测 一是接下去进行两局比赛，甲都赢了； 二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一 时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 局，甲赢了剩余两局； 关卡x 2 6 三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两 平均过关 50 78 124 121 137 352 局，甲赢了剩余两局； 时间y(单位：秒) (l)通过散点图分析，可用模型y=aer拟合y与x 故P(A) +C×号×号×号+C×号× 的关系，试求y与x的经验回归方程； (2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少 的人获胜（假设甲、乙都能通关），两人约定先胜4 所以甲最终虚得比零的概率为8。 ·376· 第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 [热点3]独立性检验与分布列的综合问题 [例3](12分)考古发掘过程中运用了磁力勘探技术、电阻率勘探技术、地面透射雷达、地面电探CT技术、X 射线计算机断层扫描技术等.随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业 人才却严重不足.某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，用分层抽样的方法从某中学 高三年级1200名男生和800名女生中随机抽取20名学生进行调查，调查结果如下表： 填报 性别不填报 非第一志愿填报第一志愿填报 男生 x 5 2 女生 y 1 0 (1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性 别有关？ 是否填报 男生 女生 总计 不填报 填报 总计 20 (2)从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业” 和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望 n(ad-bc)2 附：x=a+b0十)ac)6+Dn=a+b+c+d. 0.05 0.025 0.005 x。 3.841 5.024 7.879 ◆[答题模板] (1)由题可知，抽取的20人中， 1200 男生有20×1200+800-12人， 则女生有20-12=8人， ◆[得分点①]正确求 男生中不填报考古专业的人数x=12-5-2=5, 出男生、女生中不填 女生中不填报考古专业的人数y=8一1一0=7.(2分)① 报考古专业人数得 所以列联表如下： 2分 是否填报 男生 女生 总计 不填报 5 7 12 》[得分点②]正确填 (3分)② 填报 7 1 8 充2×2列联表得 总计 12 20 1分 ·377· 高考总复习人教数学B版（新教材） 则x2=206×1-7X7) P[得分点③]正确求 12×8×12×8 ≈4.201>3.841.(5分)③ 出x2的值得2分 所以有95%的把握认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关. ◆[得分点④]正确写 (6分)④ 出结论取值得1分 (2)[第1步]提取信息 由(1)可知，抽取的男生有12人，不填报考古专业的男生有5人，填报考古专业 的男生有7人， 其中第一志愿填报考古专业的有2人，非第一志愿填报考古专业的有5人 [第2步]确定取值 [得分点⑤]正确写出 所以X的可能取值为0,1,2,3.(7分)⑤ X的可能取值，得1分 [第3步]求解概率 P(X=0)= C:+CCCz =3 Ci2 0 P(X=1)= CC+CC+CC+CC [得分，点⑥]正确求 Ci2 441 出P(X=0),P(X= P(X=2)= clc:+cic_1 1),P(X=2),P(X= Ciz 3)的值得3分 P(X=3)= C=1.10分)⑥ Ci222 [第4步]计算期望 所以EX)=0X是1×程+2x+3x克12分@ 》[得分点⑦]正确计 算期望E(X)得2分 (跟踪训练 ↑频率阻距 0.056------- 3.(2024·江苏省郑梁梅高级中学校考)某“双一流” 0.040 大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作 0.016--. 为评选依据，分为专业一等奖学金（资金3000 0.008 051015202530354045时间/h 元)、专业二等奖学金（奖金1500元）和专业三等 图1 奖学金（奖金600元），且专业奖学金每个学生一年 +获奖频率0.4 ☑转业一等奖学金 0.4 专业二等奖学金 0.35 专业三等奖学金 最多只能获得一次.图1是该校2023年500名学 0.25 0.25 生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图2 0.15 是这500名学生在2023年每周课外平均学习时间 0.05 5-20 20-35 35-45 时间 段专业奖学金的频率柱状图. 图2 ·378· 第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的 X=50X348X3692X24)≈42.362>10.828. 440×60×128×372 人数 所以依据小概率值k=0.001的独立性检验，能认 (2)若将每周课外平均学习时间超过35h的学生 为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关. 称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，画 (3)由题设，该学生2023年获得的专业奖学金的金 出2×2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性 额为X=0,600,1500,3000, 检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金 P(X=3000)=(0.016+0.008)×5×0.25+ 与努力有关？ (0.04+0.056+0.016)×5×0.05=0.058, (3)若以频率作为概率，从该校任选1名学生，记该 P(X=1500)=(0.008+0.016+0.04)×5×0.05 学生2023年获得的专业奖学金的金额为随机变量 +(0.016+0.056+0.04)×5×0.25 X,求随机变量X的分布列和期望。 附表： +(0.016+0.008)×5×0.35=0.198, P(X=600)=0.32,P(X=0)=0.424, a=P(x2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 分布列如下： k 3.841 6.635 7.879 10.828 X 0 600 1500 3000 观测值计算公式： P 0.424 0.32 0.198 0.058 n(ad-bc)2 X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) E(X)=0×0.424+600×0.32+1500×0.198+ 解：(1)由题图，专业三等奖学金频率为 3000×0.058=663元. (0.008+0.016+0.040)×5×0.15+(0.040+ [热点4数字特征与正态分布 0.056+0.016)×5×0.4+(0.016+0.008)×5× [例4](2024·武汉市模拟)在某市高中某学科竞 0.4=0.32,所以500名学生中获得专业三等奖学 赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图 金的人数500×0.32=160人. 所示. (2)非努力型学生人数为(0.008+0.016+0.040+ ↑频率1组距 0.040+0.056+0.016)×5×500=440人， 0.030 其中获一、二等奖学金的人数为 0.020 [(0.008+0.016+0.14)×0.05+(0.040+0.056 0.015--- +0.016)×0.3]×5×500=92人， 0.010 所以努力型学生人数为500一440=60人，其中获 405060708090100分数 一、二等奖学金的人数为60×0.6=36人， (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩x(同一组中 综上，列联表如下： 数据用该组区间中点作代表)： 非努力型 努力型 (2)由直方图可认为考生竞赛成绩之服从正态分布 专业一、二等奖学金 92 36 128 N(4,σ2)，其中，o2分别取考生的平均成绩x和考 非专业一、二等奖学金 348 24 372 生成绩的方差2，那么该区4000名考生成绩超过 440 60 500 84.41分的人数估计有多少人？ ·379· 高考总复习人教数学B版（新教材） (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的 变式训练 参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽 4.(2024·衡阳市模拟)某钢管生产车间生产一批钢 取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为 管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm)进 ,求P(≤3).（精确到0.001） 行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布 附：①2=204.75√/204.75=14.31； N(65,4.84). ②z一N(4,o),则P(u-o≤x≤H+σ)=0.6827， (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为 P(μ-2o≤x≤4+2o)=0.9545; 73mm,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据 ③0.8413=0.501. 所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说 [解](1)由题意知：x=45×0.1+55×0.15+65 明判断的依据； ×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5, (2)如果钢管的直径X满足60.6mm~69.4mm .4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5. 为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60 (2)依题意之服从正态分布N(以，o2),其中μ=x 根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列 70.5,o2=D()=204.75,0=14.31, 和数学期望. ∴.之服从正态分布N(μ，o2)=N(70.5,14.312), (参考数据：若X一N(以，o2),则P(u一o≤X≤以十 而P(4-o<之<H十o)=P(56.19<之<84.81) o)≈0.6827；P(4-2o≤X≤+2o)≈0.9545； =0.6826, P(μ-3o≤X≤4+3o)≈0.9973. .P(x≥84.81)=1-0.6826=0.1587. 解：(1)=65,0=2.2,4-36=58.4,4+3o= 2 71.6, .竞赛成绩超过84.81的人数估计为0.1587× .P(X>71.6)=1-P(58.4≤X≤71.6) 4000=634.8(人)≈634人. 2 (3)全市竞赛考生成绩不超过84.81的概率1 1-0.9974=0.0013. 2 0.1587=0.8413.而B(4,0.8413), .测得一根钢管的直径为73mm此事件为小概率 .P(3)=1-P(=4)=1-C·0.8413 事件， =1-0.501=0.499. 故该质检员的决定有道理 破题策略 (2),u=65,o=2.2,-2o=60.6,+2o=69.4, 本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在 .P(60.6≤X≤69.6)=0.9544，故该批钢管为合 知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题. 格品的概率约为0.95， 正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考 .Y~B(3,0.05),且P(Y=k)=C·0.05· “冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不 0.953-,k=0,1,2,3. 够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题， 次品数Y的分布列列为： 虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误 Y 0 1 2 3 率相当高，此题告诉我们必须全面掌握每一个知 P 0.8573750.1353750.007125 0.000125 识点， .E(Y)=3×0.05=0.15. 380·