大题02 三角函数讲义【会一题通一类系列】-2027届高三数学一轮复习

大题02 三角函数 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 5 2024/2025/2026高考真题 8 易错点速查清单 13 速记口诀 15 典例讲解之会一题通一类 17 解答题专项题组A（基础回归） 27 解答题专项题组B（能力提升） 35 解答题专项题组C（思维拓展） 47 公式定理汇总 一、同角三角函数基本关系与诱导公式 同角基本关系： 常用变形： 诱导公式统一记为“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇偶”指 的奇数倍或偶数倍，“符号”指把 看作锐角时原函数值的符号。 识别特征：题干中出现 、、 的混合关系，或出现 、 等角。 通法选择：已知 求 ，用平方关系；已知 求齐次式，用“弦化切”；出现诱导角，先化到同角再求值。 书写要求：由 平方求 时，应注明符号取舍依据，不能只写正根。 二、两角和与差公式、二倍角公式 和差角公式： 二倍角公式： 识别特征：题干中出现两角之和差、二倍角、平方项、，或需要把非特殊角化为特殊角。 通法选择：求值题优先“统一角、统一函数名、统一次数”；化简题优先消除角差异和函数名差异；出现 时，根据目标选择“平方差”“二倍余弦”“二倍正弦”三种形式之一。 书写要求：使用二倍角公式时写明选择的是哪一种形式；出现 时注明定义域条件。 三、降幂公式与半角公式 降幂公式： 半角公式： 识别特征：题干中出现 、、，或需要把二次式化为一次式。 通法选择：求周期、求单调区间、求最值前，若函数含平方项，优先降幂，化为 的形式。半角公式中正负号由半角所在象限确定，解答题中不能漏写符号判断。 书写要求：降幂后应整理为“一个角、一个函数名”的形式；半角开方必须写符号判断依据。 四、辅助角公式 其中 即 ，且 的象限由 确定。 也可写为 其中 。 识别特征：函数中出现同角的正弦与余弦的一次式之和，或化简后出现 。 通法选择：求周期、单调区间、对称轴、最值、值域前，优先用辅助角公式化为正弦型函数。辅助角 必须由 的符号共同确定，不能只由 确定。 书写要求：写清“设 ，且 满足……”，再写合并结果。特殊角可直接写出，非特殊角保留 并注明其三角函数值。 五、正弦型函数的图象与性质 对 有： 周期： 值域： 最值：最大值为 ，最小值为 。 单调递增区间：由 解出 。 单调递减区间：由 解出 。 对称轴：由 解出 。 对称中心：由 解出 ，对称中心为 。 识别特征：题干要求求周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值、值域，或给出这些性质反求参数。 通法选择：先化为 的标准形式，再用整体代换 。求单调区间和对称轴时，必须把 当作整体处理，不能直接对 套区间。 书写要求：单调区间应写成区间形式，并注明 ；对称轴写成直线方程；对称中心写成坐标形式。若题目限定 的范围，应在该范围内取 的取值，不能直接写全体。 六、三角函数图象变换 由 到 的常见变换： 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 识别特征：题干出现“由 的图象经过怎样变换得到”“横坐标伸长/缩短”“向左/向右平移”等表述。 通法选择：先确定变换顺序，再按顺序写变换量。先伸缩后平移时，平移量是 ，不是 ；先平移后伸缩时，平移量是 ，伸缩只作用于 。 书写要求：写清“将图象上各点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）”“再向左平移 个单位”等。平移方向遵循“左加右减”，但必须针对 本身。 七、由图象或性质确定解析式 对 ： 求 ：由最大值 和最小值 ， 求 ：由周期 或由相邻最高点与最低点横坐标之差为 ，相邻两个零点之差为 ，相邻最高点与相邻最低点之间为半个周期等确定。 求 ：代入一个已知特殊点，结合 的范围求解；也可由最高点、零点、对称轴位置直接列方程。 识别特征：题干给出图象、最高最低点、零点、对称轴、周期，或给出部分性质要求确定解析式。 通法选择：先求 ，再求 ，最后代入特殊点求 。求 时优先选择最高点或最低点，方程最简单；选择零点时要注意是上升零点还是下降零点。 书写要求：写出 的范围，并在该范围内取值；若有多解，应根据图象位置取舍。 八、三角方程与三角不等式 基本三角方程： 在解答题中，更常用“整体代换 单位圆或图象”处理： 先求 的通解，再由 解出 。 识别特征：题干要求解三角方程、求零点、求不等式解集、求零点个数。 通法选择：先化为一个角的一个三角函数值，再用整体代换。求零点个数时，优先用图象法或换元后讨论 在区间内的取值个数。 书写要求：通解必须写 ；若限定区间，应写出 的取值过程，不能只写最终结果。 九、三角函数最值与值域的常用通法 通法一：化为正弦型函数 利用正弦函数有界性求最值。 通法二：换元法 令 或 ，注意 ，转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 通法三：辅助角法 用于 型。 通法四：齐次化切 用于 的齐次分式，令 ，注意 的取值范围。 识别特征：题干要求求最大值、最小值、值域、参数范围，或“恒成立”“有解”问题。 通法选择：先化简为“一个角、一个函数名”的形式；若出现平方项，优先降幂；若出现 与 同时出现，令 ；若为齐次分式，用 换元。 书写要求：换元必须写出新变量的取值范围；用二次函数求最值时，应说明对称轴与区间的位置关系。 常用结论、二级结论归纳 结论1：辅助角 的确定 对 有 识别特征：同角正弦、余弦的一次式合并。 使用条件： 的象限由点 所在象限确定，不能只写 。当 时， 在第一象限；当 时， 在第二象限；其余类推。 书写要求：写“设 满足 ”，再写合并结果。特殊角直接写出，非特殊角保留 。 结论2： 与 的联动 识别特征：题干同时出现 与 。 使用条件：令 ，则 ，且 若令 ，则 ，且 书写要求：换元后必须写出 的取值范围，再转化为二次函数问题。 结论3：正弦型函数的对称轴与对称中心 对 对称轴由 确定；对称中心由 确定，对称中心坐标为 。 识别特征：题干要求求对称轴、对称中心，或给出对称性反求参数。 使用条件：。若 ，先利用诱导公式化为正。 书写要求：对称轴写成 ；对称中心写成坐标形式，不能只写横坐标。 结论4：相邻对称轴、对称中心、零点的距离 对 ： 相邻两条对称轴之间的距离为 ； 相邻两个对称中心之间的距离为 ； 相邻对称轴与对称中心之间的距离为 ； 相邻两个零点之间的距离为 ； 相邻最高点与最低点横坐标之差为 。 识别特征：题干给出对称轴、对称中心、零点、最高点之间的距离，反求 或周期。 使用条件：函数为正弦型或余弦型，且给出的点在同一单调区间或相邻位置。若跨多个周期，应先确定相差几个 或 。 书写要求：写清“相邻”还是“相差 个周期”，再列方程。 结论5：图象变换的平移量 由 到 ： 因此平移量为 ，当 时向左，当 时向右。 识别特征：先伸缩后平移的图象变换题。 使用条件：必须先提出 ，再看 的加减量。不能把 直接当作平移量。 书写要求：写“将 的图象向左（右）平移 个单位”。 结论6：由最值点求参数 若 是 的最大值点，则 若 是最小值点，则 识别特征：题干给出最值点、对称轴、零点，反求 或 。 使用条件：必须结合 的范围取 ，不能直接取 。 书写要求：写出 ，再由范围确定 的取值。 结论7：单调区间的整体代换 求 的单调递增区间，令 则 的单调递增区间为 再解出 。 识别特征：求正弦型函数的单调区间。 使用条件：。若 ，先化为正，否则单调性会反向。 书写要求：解出 后写成区间形式，并注明 。若题目限定 ，应取 使区间与 有交集。 结论8：三角函数零点个数问题的图象法 求方程 在区间 上的零点个数，可令 先确定 的范围，再转化为 与水平线 的交点个数。 识别特征：题干要求零点个数、方程解的个数、图象交点个数。 使用条件：必须准确写出 的范围，并注意端点是否取到。 书写要求：写出 的范围，画单位圆或正弦曲线草图，说明交点个数，不能只写结论。 结论9：恒成立与有解问题的分离参数 若题干出现“对任意 ， 恒成立”，则 若出现“存在 ，”，则 识别特征：恒成立、有解、存在性、参数范围。 使用条件：先化简 ，求出在 上的最值。若参数不易分离，可转化为函数最值比较。 书写要求：写清“恒成立”对应最小值，“有解”对应最大值，不能混淆。 结论10：三角函数齐次式化切 若分式中分子、分母均为 的齐次式，可分子分母同除以 ，化为 的表达式。 识别特征：题干出现 或二次齐次分式。 使用条件：。若 可能成立，应单独讨论。 书写要求：先注明 ，再化切；若题目未保证，应补充讨论。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·北京·高考真题）设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)． 因为的最小正周期为，所以．故． 所以． 由题设，得． 故． 因为且，所以． (2)由（1）知． 函数的单调递减区间为． 由，得． 所以的单调递减区间为． 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 3．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 5．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 易错点速查清单 易错点1：辅助角 只由 确定，忽略象限 学生典型错误：由 直接取锐角，导致合并后的函数相位错误。 成因分析：正切值只确定直线方向，不能确定 的象限。 的符号共同决定象限。 纠正要求：写辅助角时同时写出 由 所在象限确定 。 易错点2：降幂后没有整理为“一个角、一个函数名” 学生典型错误：出现 后用降幂公式，但整理不彻底，仍含 与 的混合，无法求周期和单调区间。 纠正要求：降幂后继续用辅助角公式合并为 的标准形式，再求性质。 易错点3：图象平移量直接用 ，没有除以 学生典型错误：由 到 ，误以为平移 个单位。 成因分析：平移变换针对 本身，应先提出 ： 纠正要求：先伸缩后平移时，平移量为 ；先平移后伸缩时，平移量为 。 易错点4：横坐标伸缩倍数写反 学生典型错误：由 到 ，把横坐标“变为原来的 倍”与“变为原来的 倍”写反。 纠正要求： 时图象横向压缩，横坐标变为原来的 ； 时横向伸长，横坐标变为原来的 。纵坐标不变。 易错点5：求单调区间时没有把 整体代换 学生典型错误：直接对 套用 ，忘记解 的范围。 纠正要求：先令 ，写出 的单调区间，再解出 。若 ，先化为正。 易错点6：对称中心坐标只写横坐标，漏写纵坐标 学生典型错误：把对称中心写成 ，或漏掉纵向平移 。 纠正要求：对称中心为 ，必须写成坐标形式；对称轴写成直线 。 易错点7：由最值点求 时漏掉 学生典型错误：最大值点直接令 ，忽略 ，导致 只有一解或取错。 纠正要求：最大值点写 最小值点写 再由 的范围确定 。 易错点8：换元后漏写新变量范围 学生典型错误：令 后直接求二次函数最值，没有写 ，导致最值点取在区间外。 纠正要求：换元必须写新变量范围；二次函数求最值时说明对称轴与区间的位置关系。 易错点9：半角公式开方漏判符号 学生典型错误：使用 只取正号，没有判断 所在象限。 纠正要求：半角公式开方前先确定 的象限，再取符号；若用 ，需注意分母不为零。 易错点10：恒成立与有解的最值对应混淆 学生典型错误：把“恒成立”转化为最大值，把“有解”转化为最小值。 纠正要求：对任意 ， 恒成立，则 ；存在 ，，则 。写清“任意”对应最小值，“存在”对应最大值。 易错点11：单调区间开闭与 漏写 学生典型错误：单调区间不写 ，或把开区间、闭区间混用。 纠正要求：正弦型函数的单调区间通常写闭区间，并注明 ；若题目限定定义域，应取交集。 易错点12：齐次化切未讨论 学生典型错误：分式齐次式直接分子分母同除以 ，没有讨论 的情形。 纠正要求：先注明 ；若题目条件不能保证，应单独讨论 是否成立。 速记口诀 口诀一：化简方向 统一角，统一名，统一次数再变形； 平方先降幂，异名用辅助。 三角函数解答题的第一步是化简。优先统一角、统一函数名、统一次数；出现平方项先降幂，出现同角正弦余弦一次式用辅助角公式。 口诀二：辅助角 同角正余弦，合并根号和； 余弦定 ，正弦定 ，象限看符号。 对 ，合并为 ，其中 对应 ， 对应 ， 的象限由 确定。 口诀三：降幂 正弦平方半减余弦，余弦平方半加余弦； 降幂之后并一项，周期单调才好算。 降幂后继续用辅助角合并为标准正弦型函数。 口诀四：正弦型函数性质 周期二派除欧米伽，值域上下加减小 A； 对称轴半派加 派，对称中心 派加 。 对 ：周期 ，值域 ；对称轴由 确定，对称中心由 确定，纵坐标为 。 口诀五：单调区间 整体代换 先行，正弦增区半派间； 解出 写区间，不忘 属整数。 求单调区间先令 ，再套正弦函数的单调区间，解出 ，注明 。 口诀六：图象变换 先伸缩后平移，平移要除欧米伽； 先平移后伸缩，平移只加在角上。 先伸缩后平移时，平移量为 ；先平移后伸缩时，平移量为 ，伸缩只改变 的系数。 口诀七：由图象求解析式 最值定 与 ，周期定欧米伽； 特殊点代进去，范围定 定相位。 先由最大值、最小值求 ，再由周期求 ，最后代入最高点、最低点或零点求 ，结合 的范围确定 。 口诀八：最值与换元 换元先写新范围，二次最值看轴端； 恒成立找最小，有解问题找最大。 换元后必须写新变量范围；二次函数最值比较对称轴与区间端点；恒成立对应最小值，有解对应最大值。 口诀九：零点个数 零点个数用图象，换元之后看范围； 端点虚实要分清，交点个数即答案。 求零点个数先换元确定 的范围，再画正弦曲线或单位圆，数交点个数，注意区间端点是否取到。 典例讲解之会一题通一类 6．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知函数 ． (1)求 的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期 ，单调递增区间为 ； (2)值域为 ． 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【详解】（1） ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． （2）当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 7．（2026·广西南宁·一模）已知函数（），且函数的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)求在上的最大值与最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用周期求出，令，解出即可求解； （2）由，得，进而利用正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）由题意得：， 又，所以， 所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由（1）得， 又，得， 所以，， 所以的最大值为，最小值为. 8．（2026·四川遂宁·一模）已知函数，，其最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位得到的图象，求函数的最大值并求此时的取值集合． 【答案】(1)，，， (2)， . 【分析】（1）利用最小正周期的公式求出，利用正弦函数的图像和性质求解； （2）利用平移求出，利用正弦函数的图像和性质求解. 【详解】（1）由题意知最小正周期为，则， 单调递减区间满足：，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， （2）将函数图象向右平移个单位得到， ，，， ，， ，此时，， 解得，， 则函数的最大值为，此时的取值集合为. 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式得到，根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据可求得，进而求出，根据及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由题意得，即， 因为，所以， 所以， 所以 . 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1) 由图像的最值、周期、特殊点求三角函数解析式，平移时遵循 “左加右减、仅对x作用” 的规则;(2)三角方程区间内多解求和，先换元简化，结合正弦函数对称性判断解的分布与和，再回代计算原变量解的和. 【详解】（1）设函数的最小正周期为，由图象得，， 因为，由，解得， 将点代入，得， 又，解得，所以， 将图象向左平移个单位长度，得． （2）， ． 令，即． 当时，，令． 方程在区间内共有4个解，，，， 画出在的函数图象，如图： 满足，． 由，，， 解得，， 所以． 11．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的值； (2)设函数，求的值域与单调递减区间． 【答案】(1) (2) 值域为，单调递减区间为 【分析】（1）先通过降幂公式化简，结合周期公式求得，再利用余弦函数对称轴的性质求得，进而计算； （2） 先化简为标准余弦型函数，根据余弦函数性质求值域和单调递减区间。 【详解】（1）由倍角公式得， ，由最小正周期得，，解得。 因为是的对称轴，所以 即，得.由，取得。 从而得，，代入得， 故：。 （2） 代入的表达式得， 因为 ，所以。 ① 因为，故，得。 ② 余弦函数的单调递减区间为，令，从而有， 解得， 即单调递减区间为。 12．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，． (1)若 的最小正周期为，求的单调递减区间； (2)若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先用两角和与差公式与二倍角公式把化为一个余弦型函数，由最小正周期求出，再解不等式得单调递减区间； （2）换元，把“区间内恰有 4 个根”转化为区间右端点与的根的位置关系. 【详解】（1）， 所以. 由最小正周期 得，即. 令，解得，. 所以的单调递减区间为，. （2）方程 即. 令. 由， 得 . 在 上， 的根依次为 方程在内恰有4个根，等价于区间含前4个根而不含第 5 个根， 即，解得 . 所以的取值范围是. 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，代入已知点求出参数，再根据正弦函数单调区间列不等式即可得到递增区间； （2）依据三角函数图象平移规则得到新函数，再结合正弦图象与轴交点情况确定的范围即可. 【详解】（1）因为 ， 因为的图象过点，所以， 即，所以，得， 因为，所以取符合条件，所以， 令，则， 故的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， 得， 因为在上的图象与轴有且仅有3个交点， 即方程在上恰有3个解， 因为 ，则，所以 ， 解得，故的取值范围为. 14．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数最小正周期及所过点可得函数解析式； （2）由函数图像平移变换知识可得表达式，由题可得范围与值域保持一致，据此可得答案. 【详解】（1）函数的最小正周期为，，，解得. 又函数的图象过点，，解得. ，， . （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 方程在上有解， 的范围与在上的值域保持一致. ，. 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，，即， 15．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求函数的值域； （ⅱ）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先利用二倍角余弦公式、辅助角公式化简，再结合的最小正周期求出，即可求得的解析式； （2）先根据三角函数图象平移、伸缩变换规则求出函数的解析式， （ⅰ）先由的取值范围推出中角的取值范围，再结合正弦函数即可求出函数的值域； （ⅱ）先解方程得到根的通式，再结合正弦函数的对称性推导根的和的规律，计算出的取值后，再利用正切的和角公式求解． 【详解】（1） ， 因为，，所以，所以． （2）的图象向右平移，可得， 再把各点的横坐标缩小为原来的，可得到． （ⅰ）当时，，则， 故当时，的值域为． （ⅱ）化简方程，即为， 令， 则在有36个根，如下图所示： 其中，，，…，． 由，可得，， 故 ． 故 解答题专项题组A（基础回归） 16．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 故的最小正周期； （2）由，解得， 故的单调递增区间为. 17．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)若，求的值； (2)求在上的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1），所以. （2） ， 因为，所以. 令，得；令，得， 因此在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． （2）函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 19．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 20．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)若，求的最值及相应的取值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)当时，最大值为；当时，最小值为 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为后，根据周期公式求出最小正周期，并通过解不等式，求得单调递增区间； （2）通过换元令，根据确定，再结合正弦函数在此区间上的单调性，得到答案. 【详解】（1）， 所以； 令，解得， 故单调递增区间为. （2），则，， 当即时，最大值； 当即时，最小值. 21．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)当时，. (2)，. 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值； （2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围. 【详解】（1）由， ，则， 当，即时，. （2），则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 22．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知的最大值为3. (1)求常数的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的最值求解即可. （2）根据图形的平移变换得到的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】（1） . 又，所以的最大值为， 所以，解得. （2）由（1）知，. 函数的图象向右平移个单位长度得到. 再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以. 令，，则，， 所以的单调递增区间为. 23．（2026·重庆永川·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求； (2)将角的终边逆时针旋转得到角，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及终边上点的坐标关系求出，再求出、，利用诱导公式化简目标式并代入计算； （2）由旋转关系得，代入后用诱导公式和二倍角公式转化为关于的表达式，代入数值计算即可． 【详解】（1）由题意得，，， ，解得， ，，， . （2）由题意得， . 24．（26-27高三上·内蒙古·阶段检测）已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若，求函数图象的对称中心． 【答案】(1) (2) (3)对称中心为，． 【分析】（1）由结合即可求出； （2）根据在上有最大值，且无最小值，结合正弦函数图象即可求出的取值范围； （3）结合（2）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心． 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以． （2）由（1）得． 由，，得． 因为在内存在最大值，但不存在最小值， 所以由正弦函数的图象，得． 解得. 所以的取值范围为． （3）由，及（2）知，，则． 所以 ． 令，，解得，， 所以函数图象的对称中心为，． 25．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称轴方程； (2)若，求的零点个数； (3)当、，且时，有，求． 【答案】(1) (2)在 上有两个零点 (3)1 【分析】(1)先利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再求解；(2)利用换元法求解；(3)求出角的取值范围，再由得到求解. 【详解】（1）∵， 由解得， ∴ 的对称轴方程为， （2）令，则， 因为在上有两个零点， 所以 在 上有两个零点， （3）∵∴， ∵时，，∴， ∴，∴ 解答题专项题组B（能力提升） 26．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，． (1)若的最大值为6，求实数的值： (2)若，，，是的3个相邻的零点，且，，，成等差数列．求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先利用三角恒等变换化成正弦型函数，再根据正弦函数最大值列式求出； （2）先写出零点对应的相位，结合等差数列条件得到零点间距关系，进而求出，代回算出 【详解】（1）， 当取最大值时，取得最大值为， 由的最大值为，得，解得； （2）由（1）知， 令，整理得零点满足的方程为，设， 由，得，设，其中， 方程的解为或， 因此的三个相邻零点对应的相位（从小到大）为， 相邻零点的相位差分别为 对应横坐标的间距为相位差除以，即， 由成等差数列，根据等差中项性质得， 即，所以，所以，得， 解得，所以，即，解得，符合题设条件， 所以. 27．（2026·江苏淮安·一模）已知函数，. (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 【答案】(1)单调递增区间为. (2)选条件②或③时，均可得到；选条件①时，函数不存在. 【分析】（1）先利用和差角的正弦公式展开，再用三角恒等变换进行化简，最后利用周期公式求和整体换元求单调增区间即可. （2）先利用正弦函数的增区间求出的范围，再选择条件作答，选择①结合偶函数的性质可判断不存在，选择②直接代入求解确定唯一的，选择③结合正弦函数的对称轴，整体代入求解确定唯一的即可. 【详解】（1）∵ ， 又的最小正周期为，∴， 则， 令， 解得，即的单调递增区间为. （2）∵的单调递增区间为， 又在区间上单调递增， ∴，即必须取0， 且，又，∴， 选条件①：为偶函数 若为偶函数，则当时，取得最值， 但，∴不可能为偶函数，即条件①不成立； 选条件②： ∵，∴， 则， 当时，满足条件，此时. 选条件③：直线为图象的对称轴 代入对称轴公式得， 即，∵， ∴当时，满足条件，此时. 28．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）， 而，又得：． （2）由（1）知：，，由得： 得，， ，或， 解得：或，， 得：或，， 所以的解集为：. 29．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知函数， (1)求函数的单调递减区间 (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间； （2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围. 【详解】（1） 由，， 解得，， 故函数的单调递减区间为，． （2）由得， 则， 所以． 由得在上恒成立， 所以 解得，即m的取值范围是． 30．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，单调递增区间，； (2)选①，最小正周期； 选③，最小正周期． 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【详解】（1） ； 因为，则； ； 令，解得； 故的单调递增区间为，； （2）由（1）知，， 令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即， 解得，因为，则， 故，解得； ，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上， 则，即，，解得， 综上，，；，； 此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为， 则，解得， 因为，故，； ，的最小正周期． 31．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)若直线是的图象的一条对称轴，求的单调递增区间； (2)若函数的所有正零点从小到大排列构成数列，且，，构成等比数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数表达式，再利用直线是的图象的一条对称轴，求得即可； （2）先令即求得，或，，再利用且求得的表达式，最后求的前项和. 【详解】（1）因为， 又直线是的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，． 由，， 解得，， 所以的单调递增区间是． （2）令，即， 所以或，， 即，或，． 又因为，所以， 所以当时，； 当时，． 即，，． 又因为，，构成等比数列，所以， 即，解得． 所以，， 所以． 故 ． 32．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数的解析式和周期； （2）根据正弦函数的性质求解； （3）根据伸缩平移变换得到的图象，几何结合正弦函数的性质求参数范围. 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 33．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出即可. （2）由的三角函数表示，再列式并利用辅助角公式求解. 【详解】（1）观察函数图象，得函数的最小正周期，而， 解得，由，得， 又，则， 所以函数的解析式是. （2）设， 由函数的图象知，， 则， 则， 由，得， 整理得，即，则， 又，因此，解得， 所以. 34．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果； （2）借助正弦函数最值求解参数，再求解三角不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，所以， 所以的对称轴方程为. （2）由题意知，， 因为的最大值为1，即，所以， 由， 即，所以， 所以，即. 35．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 解答题专项题组C（思维拓展） 36．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，，函数，． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）能，或 【分析】（1）先化简，利用三角恒等变换将其转化为仅含、的形式，再整理为可判断单调性的结构，求导，其导函数在该区间上恒大于等于0，分离参数后转化为求对应函数在区间上的最值问题. （2）（ⅰ）代入，利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，其中,分析该二次函数在区间上的最大值点，结合最大值为列方程求解.（ⅱ）令，将方程转化为关于的二次方程，求解的可能取值后反解对应的的正根,假设正零点按从小到大排列为等差数列，根据等差数列的性质，结合三角函数的周期性和根的分布规律，推导的可能取值并验证是否符合条件. 【详解】（1）由， 可得， 整理得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 法一：令，则，因为，所以， 又由，所以在上恒成立，即，， 设，在上单调递减，只需，所以的取值范围为. 法二：设， 由，得． ， 因为，，所以， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 又因为，所以，所以的取值范围为. （2）当时，，令， 则，.         （ⅰ）因为，所以当时，， 由得，.      （ⅱ）令，得，函数，当时，． ①当或时，即或时，方程在上没有解，无零点； ②当时，即时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图， 则，，，所以该数列不是等差数列， ③当时，即时，方程在内恰有两个解，设方程的解为，且，，作出函数，，图象如下， 方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾， ④当时，即时，方程在内只有一个解，设方程的解为，且，作出函数，，图象如下， 方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾， ⑤若，即时，方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件； ⑥当时，即时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，， 所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，， 所以，所以该数列为等差数列， 综上所述，当或时，方程的正实数解即的正实数零点按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列. 37．（2026·陕西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求在上的所有零点； (3)若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 【答案】(1)； (2)唯一一个零点； (3)的最小值为. 【分析】（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数的值域确定整体值域； （2）利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数的值域求解零点； （3）通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而确定参数的最小值. 【详解】（1）代入得： 由，得，故， 从而，故的值域为 （2）当，时， 令，得 因为所以 当时，有且， 因为余弦函数在上单调递减，所以 化简得 又所以 即 由于，所以，故解得 因此在上的唯一零点为. （3）当时，取， 取，不满足条件，故； 当时，∵，而， ∴，使得， ∴，满足条件； 综上，正实数的最小值为. 38．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③，． 【分析】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 39．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求曲线的对称轴； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2) (3)当时，； 当，且为奇数时，. 【分析】（1）利用辅助角公式将其化简，再根据正弦函数的单调性求解单调区间； （2）设出的对称轴，根据对称的性质，求出对称轴，再证明； （3）分，和，结合导数求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得. 令，解得. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）当时，. 不妨设时，的对称轴方程为，由对称轴定义得， 令，得， 化简得，即，所以， 下面证明当时，恒成立， 因为 ， 所以的对称轴方程为. （3）当时，时，； 时，. 当时，，， 因为，且为奇数，单调递增，考虑一个周期，令， 当变化时，的变化如下表， 0 0 0 + 0 1 减 增 1 减 （接上表） 0 + 0 0 + 0 增 减 增 1 综上，当时，； 当，且为奇数时，. 40．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 41．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）的图象关于点成中心对称，证明如下： 由（1），， 则函数关于点成中心对称，证明如下： 由，可得，即函数的定义域为， 因， ， 则， 即函数的图象关于点成中心对称. （3）（i）； （ii）由，可得，化简得：， 因，则得，即，且，则， 要证，需证，即证， 因，不妨取，（若此时不等式成立，因，则易得时更成立）， 即需证，因，代入整理得， 设，则，由可得，于是可得， 即需证（*）. 设，则， 令，则， 所以在上单调递减，， 所以，即在上单调递增，又， 则，即（*）成立，故当时，得证. 【分析】（1）根据题意利用函数的周期性列式求出即得函数解析式； （2）先求出函数的定义域，再根据函数的对称性的定义证明，即得函数关于点成中心对称； （3）（i）由可得，由题意，函数与在上有2个交点，结合函数图象的单调性即可求得的取值范围；（ii）由可推得，要证，只需证，结合即需证，由代入需证，经换元后利用求导判断函数的单调性即可证明. 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期满足，则， 故； （2）略 （3）（i）由，求导得， 由可得，显然，可得， 设，可知该函数在上单调递增，在上单调递减， 且，如图，要使的导函数有两个零点，且， 则需使函数与在上有2个交点，即需使，解得，即的取值范围是.    （ii）略. 42．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)把 的图象上所有点向右平移个单位得到的图象； 再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【详解】（1）根据题意知 ， 根据正弦函数的周期公式， 所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为 ， 所以当时，函数的值域为 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题02 三角函数 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 5 2024/2025/2026高考真题 8 易错点速查清单 9 速记口诀 12 典例讲解之会一题通一类 13 解答题专项题组A（基础回归） 15 解答题专项题组B（能力提升） 17 解答题专项题组C（思维拓展） 20 公式定理汇总 一、同角三角函数基本关系与诱导公式 同角基本关系： 常用变形： 诱导公式统一记为“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇偶”指 的奇数倍或偶数倍，“符号”指把 看作锐角时原函数值的符号。 识别特征：题干中出现 、、 的混合关系，或出现 、 等角。 通法选择：已知 求 ，用平方关系；已知 求齐次式，用“弦化切”；出现诱导角，先化到同角再求值。 书写要求：由 平方求 时，应注明符号取舍依据，不能只写正根。 二、两角和与差公式、二倍角公式 和差角公式： 二倍角公式： 识别特征：题干中出现两角之和差、二倍角、平方项、，或需要把非特殊角化为特殊角。 通法选择：求值题优先“统一角、统一函数名、统一次数”；化简题优先消除角差异和函数名差异；出现 时，根据目标选择“平方差”“二倍余弦”“二倍正弦”三种形式之一。 书写要求：使用二倍角公式时写明选择的是哪一种形式；出现 时注明定义域条件。 三、降幂公式与半角公式 降幂公式： 半角公式： 识别特征：题干中出现 、、，或需要把二次式化为一次式。 通法选择：求周期、求单调区间、求最值前，若函数含平方项，优先降幂，化为 的形式。半角公式中正负号由半角所在象限确定，解答题中不能漏写符号判断。 书写要求：降幂后应整理为“一个角、一个函数名”的形式；半角开方必须写符号判断依据。 四、辅助角公式 其中 即 ，且 的象限由 确定。 也可写为 其中 。 识别特征：函数中出现同角的正弦与余弦的一次式之和，或化简后出现 。 通法选择：求周期、单调区间、对称轴、最值、值域前，优先用辅助角公式化为正弦型函数。辅助角 必须由 的符号共同确定，不能只由 确定。 书写要求：写清“设 ，且 满足……”，再写合并结果。特殊角可直接写出，非特殊角保留 并注明其三角函数值。 五、正弦型函数的图象与性质 对 有： 周期： 值域： 最值：最大值为 ，最小值为 。 单调递增区间：由 解出 。 单调递减区间：由 解出 。 对称轴：由 解出 。 对称中心：由 解出 ，对称中心为 。 识别特征：题干要求求周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值、值域，或给出这些性质反求参数。 通法选择：先化为 的标准形式，再用整体代换 。求单调区间和对称轴时，必须把 当作整体处理，不能直接对 套区间。 书写要求：单调区间应写成区间形式，并注明 ；对称轴写成直线方程；对称中心写成坐标形式。若题目限定 的范围，应在该范围内取 的取值，不能直接写全体。 六、三角函数图象变换 由 到 的常见变换： 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 识别特征：题干出现“由 的图象经过怎样变换得到”“横坐标伸长/缩短”“向左/向右平移”等表述。 通法选择：先确定变换顺序，再按顺序写变换量。先伸缩后平移时，平移量是 ，不是 ；先平移后伸缩时，平移量是 ，伸缩只作用于 。 书写要求：写清“将图象上各点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）”“再向左平移 个单位”等。平移方向遵循“左加右减”，但必须针对 本身。 七、由图象或性质确定解析式 对 ： 求 ：由最大值 和最小值 ， 求 ：由周期 或由相邻最高点与最低点横坐标之差为 ，相邻两个零点之差为 ，相邻最高点与相邻最低点之间为半个周期等确定。 求 ：代入一个已知特殊点，结合 的范围求解；也可由最高点、零点、对称轴位置直接列方程。 识别特征：题干给出图象、最高最低点、零点、对称轴、周期，或给出部分性质要求确定解析式。 通法选择：先求 ，再求 ，最后代入特殊点求 。求 时优先选择最高点或最低点，方程最简单；选择零点时要注意是上升零点还是下降零点。 书写要求：写出 的范围，并在该范围内取值；若有多解，应根据图象位置取舍。 八、三角方程与三角不等式 基本三角方程： 在解答题中，更常用“整体代换 单位圆或图象”处理： 先求 的通解，再由 解出 。 识别特征：题干要求解三角方程、求零点、求不等式解集、求零点个数。 通法选择：先化为一个角的一个三角函数值，再用整体代换。求零点个数时，优先用图象法或换元后讨论 在区间内的取值个数。 书写要求：通解必须写 ；若限定区间，应写出 的取值过程，不能只写最终结果。 九、三角函数最值与值域的常用通法 通法一：化为正弦型函数 利用正弦函数有界性求最值。 通法二：换元法 令 或 ，注意 ，转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 通法三：辅助角法 用于 型。 通法四：齐次化切 用于 的齐次分式，令 ，注意 的取值范围。 识别特征：题干要求求最大值、最小值、值域、参数范围，或“恒成立”“有解”问题。 通法选择：先化简为“一个角、一个函数名”的形式；若出现平方项，优先降幂；若出现 与 同时出现，令 ；若为齐次分式，用 换元。 书写要求：换元必须写出新变量的取值范围；用二次函数求最值时，应说明对称轴与区间的位置关系。 常用结论、二级结论归纳 结论1：辅助角 的确定 对 有 识别特征：同角正弦、余弦的一次式合并。 使用条件： 的象限由点 所在象限确定，不能只写 。当 时， 在第一象限；当 时， 在第二象限；其余类推。 书写要求：写“设 满足 ”，再写合并结果。特殊角直接写出，非特殊角保留 。 结论2： 与 的联动 识别特征：题干同时出现 与 。 使用条件：令 ，则 ，且 若令 ，则 ，且 书写要求：换元后必须写出 的取值范围，再转化为二次函数问题。 结论3：正弦型函数的对称轴与对称中心 对 对称轴由 确定；对称中心由 确定，对称中心坐标为 。 识别特征：题干要求求对称轴、对称中心，或给出对称性反求参数。 使用条件：。若 ，先利用诱导公式化为正。 书写要求：对称轴写成 ；对称中心写成坐标形式，不能只写横坐标。 结论4：相邻对称轴、对称中心、零点的距离 对 ： 相邻两条对称轴之间的距离为 ； 相邻两个对称中心之间的距离为 ； 相邻对称轴与对称中心之间的距离为 ； 相邻两个零点之间的距离为 ； 相邻最高点与最低点横坐标之差为 。 识别特征：题干给出对称轴、对称中心、零点、最高点之间的距离，反求 或周期。 使用条件：函数为正弦型或余弦型，且给出的点在同一单调区间或相邻位置。若跨多个周期，应先确定相差几个 或 。 书写要求：写清“相邻”还是“相差 个周期”，再列方程。 结论5：图象变换的平移量 由 到 ： 因此平移量为 ，当 时向左，当 时向右。 识别特征：先伸缩后平移的图象变换题。 使用条件：必须先提出 ，再看 的加减量。不能把 直接当作平移量。 书写要求：写“将 的图象向左（右）平移 个单位”。 结论6：由最值点求参数 若 是 的最大值点，则 若 是最小值点，则 识别特征：题干给出最值点、对称轴、零点，反求 或 。 使用条件：必须结合 的范围取 ，不能直接取 。 书写要求：写出 ，再由范围确定 的取值。 结论7：单调区间的整体代换 求 的单调递增区间，令 则 的单调递增区间为 再解出 。 识别特征：求正弦型函数的单调区间。 使用条件：。若 ，先化为正，否则单调性会反向。 书写要求：解出 后写成区间形式，并注明 。若题目限定 ，应取 使区间与 有交集。 结论8：三角函数零点个数问题的图象法 求方程 在区间 上的零点个数，可令 先确定 的范围，再转化为 与水平线 的交点个数。 识别特征：题干要求零点个数、方程解的个数、图象交点个数。 使用条件：必须准确写出 的范围，并注意端点是否取到。 书写要求：写出 的范围，画单位圆或正弦曲线草图，说明交点个数，不能只写结论。 结论9：恒成立与有解问题的分离参数 若题干出现“对任意 ， 恒成立”，则 若出现“存在 ，”，则 识别特征：恒成立、有解、存在性、参数范围。 使用条件：先化简 ，求出在 上的最值。若参数不易分离，可转化为函数最值比较。 书写要求：写清“恒成立”对应最小值，“有解”对应最大值，不能混淆。 结论10：三角函数齐次式化切 若分式中分子、分母均为 的齐次式，可分子分母同除以 ，化为 的表达式。 识别特征：题干出现 或二次齐次分式。 使用条件：。若 可能成立，应单独讨论。 书写要求：先注明 ，再化切；若题目未保证，应补充讨论。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·北京·高考真题）设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 2．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 3．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 5．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 易错点速查清单 易错点1：辅助角 只由 确定，忽略象限 学生典型错误：由 直接取锐角，导致合并后的函数相位错误。 成因分析：正切值只确定直线方向，不能确定 的象限。 的符号共同决定象限。 纠正要求：写辅助角时同时写出 由 所在象限确定 。 易错点2：降幂后没有整理为“一个角、一个函数名” 学生典型错误：出现 后用降幂公式，但整理不彻底，仍含 与 的混合，无法求周期和单调区间。 纠正要求：降幂后继续用辅助角公式合并为 的标准形式，再求性质。 易错点3：图象平移量直接用 ，没有除以 学生典型错误：由 到 ，误以为平移 个单位。 成因分析：平移变换针对 本身，应先提出 ： 纠正要求：先伸缩后平移时，平移量为 ；先平移后伸缩时，平移量为 。 易错点4：横坐标伸缩倍数写反 学生典型错误：由 到 ，把横坐标“变为原来的 倍”与“变为原来的 倍”写反。 纠正要求： 时图象横向压缩，横坐标变为原来的 ； 时横向伸长，横坐标变为原来的 。纵坐标不变。 易错点5：求单调区间时没有把 整体代换 学生典型错误：直接对 套用 ，忘记解 的范围。 纠正要求：先令 ，写出 的单调区间，再解出 。若 ，先化为正。 易错点6：对称中心坐标只写横坐标，漏写纵坐标 学生典型错误：把对称中心写成 ，或漏掉纵向平移 。 纠正要求：对称中心为 ，必须写成坐标形式；对称轴写成直线 。 易错点7：由最值点求 时漏掉 学生典型错误：最大值点直接令 ，忽略 ，导致 只有一解或取错。 纠正要求：最大值点写 最小值点写 再由 的范围确定 。 易错点8：换元后漏写新变量范围 学生典型错误：令 后直接求二次函数最值，没有写 ，导致最值点取在区间外。 纠正要求：换元必须写新变量范围；二次函数求最值时说明对称轴与区间的位置关系。 易错点9：半角公式开方漏判符号 学生典型错误：使用 只取正号，没有判断 所在象限。 纠正要求：半角公式开方前先确定 的象限，再取符号；若用 ，需注意分母不为零。 易错点10：恒成立与有解的最值对应混淆 学生典型错误：把“恒成立”转化为最大值，把“有解”转化为最小值。 纠正要求：对任意 ， 恒成立，则 ；存在 ，，则 。写清“任意”对应最小值，“存在”对应最大值。 易错点11：单调区间开闭与 漏写 学生典型错误：单调区间不写 ，或把开区间、闭区间混用。 纠正要求：正弦型函数的单调区间通常写闭区间，并注明 ；若题目限定定义域，应取交集。 易错点12：齐次化切未讨论 学生典型错误：分式齐次式直接分子分母同除以 ，没有讨论 的情形。 纠正要求：先注明 ；若题目条件不能保证，应单独讨论 是否成立。 速记口诀 口诀一：化简方向 统一角，统一名，统一次数再变形； 平方先降幂，异名用辅助。 三角函数解答题的第一步是化简。优先统一角、统一函数名、统一次数；出现平方项先降幂，出现同角正弦余弦一次式用辅助角公式。 口诀二：辅助角 同角正余弦，合并根号和； 余弦定 ，正弦定 ，象限看符号。 对 ，合并为 ，其中 对应 ， 对应 ， 的象限由 确定。 口诀三：降幂 正弦平方半减余弦，余弦平方半加余弦； 降幂之后并一项，周期单调才好算。 降幂后继续用辅助角合并为标准正弦型函数。 口诀四：正弦型函数性质 周期二派除欧米伽，值域上下加减小 A； 对称轴半派加 派，对称中心 派加 。 对 ：周期 ，值域 ；对称轴由 确定，对称中心由 确定，纵坐标为 。 口诀五：单调区间 整体代换 先行，正弦增区半派间； 解出 写区间，不忘 属整数。 求单调区间先令 ，再套正弦函数的单调区间，解出 ，注明 。 口诀六：图象变换 先伸缩后平移，平移要除欧米伽； 先平移后伸缩，平移只加在角上。 先伸缩后平移时，平移量为 ；先平移后伸缩时，平移量为 ，伸缩只改变 的系数。 口诀七：由图象求解析式 最值定 与 ，周期定欧米伽； 特殊点代进去，范围定 定相位。 先由最大值、最小值求 ，再由周期求 ，最后代入最高点、最低点或零点求 ，结合 的范围确定 。 口诀八：最值与换元 换元先写新范围，二次最值看轴端； 恒成立找最小，有解问题找最大。 换元后必须写新变量范围；二次函数最值比较对称轴与区间端点；恒成立对应最小值，有解对应最大值。 口诀九：零点个数 零点个数用图象，换元之后看范围； 端点虚实要分清，交点个数即答案。 求零点个数先换元确定 的范围，再画正弦曲线或单位圆，数交点个数，注意区间端点是否取到。 典例讲解之会一题通一类 6．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知函数 ． (1)求 的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 时，求的值域． 7．（2026·广西南宁·一模）已知函数（），且函数的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)求在上的最大值与最小值． 8．（2026·四川遂宁·一模）已知函数，，其最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位得到的图象，求函数的最大值并求此时的取值集合． 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 11．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的值； (2)设函数，求的值域与单调递减区间． 12．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，． (1)若 的最小正周期为，求的单调递减区间； (2)若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 14．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 15．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求函数的值域； （ⅱ）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，求的值. 解答题专项题组A（基础回归） 16．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 17．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)若，求的值； (2)求在上的单调区间. 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 19．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 20．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)若，求的最值及相应的取值. 21．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 22．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知的最大值为3. (1)求常数的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 23．（2026·重庆永川·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求； (2)将角的终边逆时针旋转得到角，求. 24．（26-27高三上·内蒙古·阶段检测）已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若，求函数图象的对称中心． 25．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称轴方程； (2)若，求的零点个数； (3)当、，且时，有，求． 解答题专项题组B（能力提升） 26．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，． (1)若的最大值为6，求实数的值： (2)若，，，是的3个相邻的零点，且，，，成等差数列．求实数的值． 27．（2026·江苏淮安·一模）已知函数，. (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 28．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 29．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知函数， (1)求函数的单调递减区间 (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 30．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 31．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)若直线是的图象的一条对称轴，求的单调递增区间； (2)若函数的所有正零点从小到大排列构成数列，且，，构成等比数列，求的前项和． 32．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 33．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 34．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 35．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 解答题专项题组C（思维拓展） 36．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，，函数，． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 37．（2026·陕西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求在上的所有零点； (3)若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 38．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 39．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求曲线的对称轴； (3)求的最大值和最小值. 40．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 41．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 42．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $