第三章 核心素养系列(二) 三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 核心叫集美系列 二) 三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题 对应学生用书P105 [命题动向] 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函 数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出 现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合 来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质 工热点1]解三角形中的结构不良问题 [奥例11在DosB=22c=3,②cosA- 所以5aw=号esinA=子XbX36×22=反，所 3 3 以b=1. sin(4+B)=3sinB,③ab=2E,cosA=子三组条 （(方法三)选⑧：ab=2W2,cosA= 3 件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答. 因为SABC= 2 hin C-2×2 Xsin C=-E,符 己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, sin C=1. 若△ABC的面积为W2,,求b. ◆[学审题]若选①：利用同角三角函数基本关系 又周为0<C<,所以C=登 式可求sinB的值，利用三角形的面积公式可求a ,0<A<r, 1 因为cosA= 的值，进而根据余弦定理可求b的值；若选②：利用 同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用正 所以nA=2,显B=如（-A)=sA 弦定理可求得c=3b,根据三角形的面积公式可求 1 b的值；若选③：根据三角形的面积公式可求sinC 3 =1,结合范国0<C<,可求C=受，利用同角三 根据正弦定理a sin A sin B,可得a=22b. 角函数基本关系式可求sinA的值，由sinB的值， 所以ab=2√2b=2√2，解得b=1. 根据正弦定理可得a=2√2b,进而解得b的值. ◆[通技法]本题考查解三角形、正弦定理和余弦 定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中 [解】（方法-）送①：osB=2巨， 3,c=3. 档题，解答此类题目应熟练掌握正、余弦定理及三 角形面积公式等知识，并做到灵活运用. 因为c0sB=2yE,0<B<, 3 1变式训练 所以sinB=3 1 1.(2024·昌平区模拟)已知△ABC中，号<cosA. 由Saw=2smB=×aX3X=-, (1)求证：B是钝角； 1 (2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个： 解得a=2√2. 0snA-号：ga=2:0r-8:0smC-g 由余弦定理得b2=a2十c2-2 accos B 请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值， =8+9-2X22×3×22=1. 3 解：(1)因为后<0sA,由正贫定理可将盟6 所以b=1. cosA,在三角形中，sinC=sin(A十B)=sin Acos B+ (方法二)选@：c0sA=分sim(A十B)=3snB cos Asin B,且sinB>0, 所以不等式整理为sin Acos B十cos Asin B<sinB 因为c0sA=号，0<A<,所以sinA=22 1 cosA,即sin Acos B<0,在三角形中可得sinA 31 >0, 因为A+B+C=π，所以sin(A十B)=sinC. 所以cosB<0, 所以sinC=3sinB,由正弦定理可得c=3b. 所以得证B为钝角； ·136· 第三章三角函数、解三角形 (2)(i)若满足①②③，则正弦定理可得a sin A 由2x-受≤2x-音≤2x十受（∈Z,得k红-晋 sinC,即2 √2 1 2 sin C 所以sinC= 21 ≤x≤kx+晋（∈Z),所以f(x)的单调遂增区间 2 是一x+]∈z 又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA=号，所以 (2)由1)知f)=2sinf2x-吾)十万-1， A=或A=3元 子x,而由(1)可得A=年， 把y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来 所以可得C-吾B=一A-C=x一至-晋 的2倍（级坐标不变），得到y=2im(-)十 7 √5-1的图像， 12r, 所以b=√a2十c2-2 accos B 再把得到的因像向左平移答个单位，得到y=2r十 √3-1的图像，即g(x)=2sinx十√3-1. 4+2-2×2×w2× 6-√2 =5+1; 4 所以g6) =2sin若+5-1=5. (ii)若满足①②④，由(1)B为钝角，A,C为锐角，及 ◆[防失误] 化asin x+bcos x=√Ja+bsin(.x+ sinA② 多nC8可得A不：C所以B9 2 p)时p的求法：①1ang=2;②p所在象限由(a,b) a 2π不符合B为纯角，故这种情况不成立； 点确定 ◆[通技法]利用辅助角公式asin x十cosx= (i)若满足②③④，由B为钝角，sinC=号，所以C √a+b·sin(x十p),把形如y=asin x+bcos x+ =晋，而a>c,所以A>C,这时B<号，不特合B k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求 三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对 为钝角的情况，所以这种情况不成立； 称中心等.其一般步骤： 综上所述：只有满足①②③时b=√3+1. 第一步：将f(.x)化为asin x十bcos x的形式； [热点2]三角函数的图像和性质（规范解答） 第二步：构造f(x)= [典例2]设f(x)=2W3sin(r-x)sinx-(sinx a+b cos a)2. (1)求f(x)的单调递增区间； 第三步：和差公式逆用f(x)=√a十bsin(x十p) (2)把y-f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原 (其中9为辅助角)： 来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移号 第四步：利用f(x)=√a十bsin(x十p)研究三角 函数的性质； 个单位，得到函数)y=gx)的图像，求g否)的值。 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题 ◆[学审题](1)将f(x)化为Asin(w.x十o)+b 规范. 的形式后，利用y=sinx的单调递增区间得出关于 ①化简时公式的准确应用是灵魂；②研究三角函数 x的不等式，不等式的解集即为所求；(2)根据三角 性质时注意整体思想的应用. 函数图像变换的方法，得出y=g(x)的图像对应的 日变式训练 解析式，再进行计算 2.(2024·合肥市模拟)已知函数f(x)=√3 sin xcos x ◆[学规范] [解](1)f(x)-2√3sin(r-x)sinx-(sinx-cosx)2 2os(2x-5) =23sin2a-(1-2sin xcos x) (1)求函数f(x)图像的对称轴方程； =3(1-cos 2x)+sin 2x-1 (2)将函数()图像向右平移平个单位，所得图像 =sin2.x-3cos2x+√3-1 对应的函数为g(x).当x∈[0，]时，求函数g(x) =2sin2x-}十-1 的值域. ·137· 高考总复习人教数学B版（新教材） 解：1fx)=3 sin ro-2cos(2z-5) 1 0<B<,nB=1-oB≤1-() sin 2-cossin 3 2 令2x-吾-号+kx,k∈7.解得x=答+经k∈7 .SAABC= .函数f(x)图像的对称轴方程为x= +经kez 3 △ABC的面积的最大值为√5. (2)起f(x)=sim（2x-君)的图像向右平移 ◆[通技法]纵观近年的高考试题，许多新颖别致 4 的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的，在 个单位，可得)=im2a一) 这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是 引2x-e[-答引 考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与 (2z-e[-1. 正、余弦定理来解决问题的能力，解决这类问题的 基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选 ∴ga)=日m2x-）e[-日] 择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化 变式训练 即当x∈[0，】时，函数g(x)的值城 3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b、c,面积 [] 为5，已知aos号+coms号-6. [热点3】解三角形与数列的综合问题 (1)求证：a、b、c成等差数列； [典例3]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,已知cos2B+cosB=1-cos Acos C. (2)若B=吾，S=45,求a, (1)求证：a,b,c成等比数列； 解：(1)证明：由正弦定理， (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值. ◆[学审题](1)根据正弦定理将角的问题转化为 得sin Acos十inCo号-音inB. 边的问题，由数列的概念得证；(2)利用均值不等式 sin A.1+cos C+sin C.1cos A 2 2 2sin B, 解决三角形中的面积最值问题. .sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B, [解](1)证明：在△ABC中，cosB=-cos(A+C). psin A+sin C+sin(A+C)=3sin B. 由已知，得(1-sinB)-cos(A十C) =1-cos Acos C, .'sin(A+C)=sin B, ..-sin B-(cos Acos C-sin Asin C) ∴.sinA+sinC=2sinB,即a+c=2b, =-cos Acos C, .a、b、c成等差数列. 化简，得sinB=sin Asin C.由正弦定理，得b (2)S= 2acsin B=3 =军ac=43,∴ac=16. =ac, .a,b,c成等比数列. b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac (2)由(1)及题设条件，得ac=4. =(a+c)2-3ac, cosB-atc-biate-ac=2ac-ac_1 由(1)得a+c=2b,.b=4b-48, 2ac 2ac 2ac .b2=16,即b=4. 当且仅当a=c时，等号成立 ·138· 第三章三角函数、解三角形 [热点4幻三角变换与解三角形的综合问题 工例4] sin 2B 《12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,已知A02B了 1)若C=,求B, 3 （2)2+的最小值。 [答题模板] (1)因为C= 要所以A,B∈0， ,所以cosB>0①，(1分)则 cos A sin 2B 1+sin A 1+cos 2B 2 2sin Bcos B-sinB@,(3分) 2cos B cos B [得分点①]正确 sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)= 判断cosB的正负得 即 -cos C-2 ③，(5分) 1分 ◆[得分点②]正 因为0<B<号，所以B=晋④.(6分) 6 确利用二倍角的正、 (2)第1步：变形化简 余弦公式化筒等式 得2分 由(1)可得sinB=-cosC>0,所以艺<C<x,0<B<受， P[得分点③]正 又sinB=-cosC=sin(C-2)所以B=C-2 确将sinB转化为关 于cosC的等式得2 即C=受+B,所以A=元-B-C=2-2B.⑤(7分) 第2步：选用定理 [得分点④]正确 故由正弦定理可得 sin2A+sin2B cos22B+1-cos2B 求得B得1分 c2 sin C cosB (2cos'B-1)2+1-cos'B=4cos'B+ 、2 -5⑥(9分) cos2B os2B ≥2√8-5=4√2-5⑦.(10分) 当且仅当cos2B= 时，等号成立 N [得分点⑤]正 确利用诱导公式将 第3步：得出结论 A,C用B表示得1 所以+的最小值为42-5⑧.12分) 分 [教材知识迁移与运用] sin 2B ◆[得分点⑥]正 1+cos 2B 条件 确利用正弦定理、诱 a2+b2 导公式、二倍角的余 弦公式化简等式得2 分 sin 2a=2sin acos a;cos 2a=2cos'a-1 教材 [得分点⑦]正确 知识 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等， 利用基本不等式得所 a b sin A sin B sin C 求式子的取值范围得 1分 sin 2B 2sin Bcos B sin B 迁移与 1+cos 2B 2cosB cos B [得分点⑧]正确 运用 由正弦定理可得Q+b -sin A+sinB 得到结论得2分 c sin C ·139· 高考总复习人教数学B版（新教材） 变式训练 (2)由sinA=3cosA, 4.已知在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c, 得osA=日inA-巴. 1 10, )sin B+e-)sin c-asin A-0. 所以sinB=sin(A+C)=3x2+0×2 2 2 (1)求角A的大小： 10 10 (2)若a=3,求b十c的取值范围. nBnC,解得AC=20, 25,由AC=AB 解：1)因为（号）inB+(e-会)inC--asin A 所以S△ABC= 2×5×210x30-15, 10 =0,由正弦定得(0合)b+〔e-会)-。=0， 设AB边上的高为九，则号AB·h=15,解得A=6. 化简得b2+c2-a2-bc=0, 故AB边上的高为6. 即c0sA-十4-专，所以A=营 2bc 破题策略 (2y由正弦定理，可得品BC一A 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、 sin 3 面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角 =2,所以b=2sinB,c=2sinC, 形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决。 -2(sin B-in C)2f sin B+sin] 在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角 度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示 2nB+sB+nB） 出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究 最值，常使用函数思想. =3sinB+√3cosB 变式训练 =25 SsinB+晋) 5.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°， 因为0<B<所以看<B+<。 6 AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; 即2<sinB+否1，所以6+e∈3,2， (2)若DC=22,求BC. [热点5]平面几何中的三角函数求值 解：如图： [典例5](2023·新课标I卷)已知在△ABC中，A 22 +B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. [解](1)因为A十B=3C,所以A十B=3(π-A -B),所以A十B=8不，所以C=至， a)在△ABD中，由正孩定理得：sm行 5 另外，由题意得：2sin(A-C)=sin(A十C), 2 Ep 2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos sin∠ADB' Asin C, 所以sinA=3cosA,变形得sin2A=9(1-sinA). n∠ADB三号，∠ADB<90°，∴cos∠ 故sinA=3y0 10 =√1-sin∠ADB=√23 ·140· 第三章三角函数、解三角形 (2):∠ADB+∠BDC= 日变式训练 2 os∠BDC=cos(-∠ADB=sin∠ADB, 6.(2024·凯里市模拟)已知a=(2sinx,cos2x),b= .cos∠BDC= DC2+BD2-BC2 (cosx,W3),函数f(x)=a·b. 2·BD·DC (1)求函数f(x)的单调递增区间； 2_8+25-BC ..BC=5. 5 2·5·25 (2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、 [热点6]三角函数与平面向量相结合 [典例6]已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分 (,若（会）2.C=答，且△AC外接圆的面积为 别是a,b,c,向量m=(cosB,cosC),n=(2a十c, 4π，求△ABC的周长. b),且m⊥n. 解：(1)由已知条件得f(x)=a·b=2 sin xcos+ (1)求角B的大小； √3cos2x (2)若b=√5，求a十c的范围. [解](1)：m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b), sin 2x+3cos 2x=2sin 且m⊥n, .(2a+c)cos B+bcos C=0, 由2kx-<2x+号<2kx+受， .'cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, .2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0. 得k元一 ≤<x+危∈乙， Ep 2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A. ”A∈(0，x),.sinA≠0，cosB=- 所以函数fx)的单调递增区间为[k红一登x+引： 2 0<B<B= k∈Z. (2)由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos 2r=a2+c2 2)由()-2im(A+)-2。 +c=a+o)-ac≥a+e-e生=是at 印sin(A+}-1, c)2,当且仅当a=c时取等号. 0<A<x营<A+<可得A= 1 ∴.(a十c)2≤4，故a+c≤2. 又a十c>b=√3，∴.a+c∈(W3,2].即a+c的取值 由C=行：知B=吾，因为△ABC外提园的面积 范围是(3,2]. 为4r, 破题策略 所以△ABC外接圆的半径r=2, (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常 是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数 由正弦定理知△ABC的周长为l=a十b十c 问题. =2rsin A+2rsin B+2rsin C (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定 理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响. =+号+ =4+25. ·141·