专题14 因式分解 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
专题14因式分解同步培优讲义
✺知识框架
1.互逆关系：因式分解与整式乘法互为逆变形
2.因式分解概念：把多项式化为几个整式乘积的形式
3.提公因式法：确定公因式，提取公因式完成分解
4.公式法：运用平方差、完全平方公式分解因式
5.分解流程：先提公因式，再套用公式，分解至不能再分解
✺学习目标
1.理解因式分解的定义，明晰因式分解与整式乘法的互逆关系。
2.能够准确确定公因式，熟练运用提公因式法分解多项式。
3.掌握平方差、完全平方公式，运用公式法分解符合形式的多项式。
4.遵循因式分解的一般步骤，规范书写，保证分解彻底。
5.熟练进行代数式恒等变形，提升综合运算能力。
✺题型归纳
题型1.判断是否是因式分解
题型2.已知因式分解的结果求参数
题型3.公因式
题型4.提公因式法分解因式
题型5.判断能否用公式法分解因式
题型6.平方差公式分解因式
题型7.完全平方公式分解因式
题型8.综合运用公式法分解因式
题型9.综合提公因式和公式法分解因式
题型10.因式分解在有理数简算中的应用
题型11.十字相乘法
题型12.分组分解法
题型13.因式分解的应用
题型14.课堂小练
✺知识清单
知识点01因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也称分解因式。
因式分解与整式乘法互为逆变形：整式乘法是由积化为和差，因式分解是由和差化为积。
分解结果必须是整式相乘，不含分式，且每一个因式都不能继续分解。
知识点02提公因式法
多项式各项都含有的相同因式，叫做公因式。
若多项式各项含有公因式，可以把公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种方法叫做提公因式法。
公因式确定方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项共有的相同字母；相同字母取最低次幂。
符号要点：多项式首项为负时，一般先提出负号，括号内各项同步变号。
知识点03平方差公式（因式分解）
公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
结构特征：多项式为两项；两项均可写成平方形式；两项符号相反。
知识点04完全平方公式（因式分解）
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
文字表述：两数的平方和，加上（或减去）两数积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。
结构特征：多项式为三项；其中两项是平方项且同为正；中间项是两数乘积的2倍，符号可正可负。
知识点05因式分解一般步骤
一提：优先提取公因式；
二套：再对剩余因式套用合适公式；
三查：检查每一个因式，直到不能再分解为止。
✺题型精讲
题型1.判断是否是因式分解
1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解．
B、左边是多项式，右边，与左边相等，且为几个整式的积的形式，是因式分解．
C、右边含有加法运算，不是整式乘积的形式，不是因式分解．
D、左右两边均为整式乘积，属于符号恒等变形，不是因式分解．
2．下列各式从左到右是因式分解的是_______．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【答案】③④⑥
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
3．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
题型2.已知因式分解的结果求参数
1．已知多项式因式分解后是，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解m，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果．
【详解】解：，
根据题意可得，
可得，
解得．
2．如果因式分解得，则__________．
【答案】
【分析】将因式分解结果展开，对比对应项系数即可求出的值．
【详解】解：将展开，得：
，
∵，
∴对比对应项系数可得．
3．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为（），得，
，
则，
，
解得，，
∴另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)另一个因式为，的值为
(2)另一个因式为，的值为
【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可；
（2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可.
【详解】（1）解：设另一个因式为，得
，
则，
∴，
解得：，
∴另一个因式为的值为．
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
，
解得：，
∴另一个因式为的值为．
题型3.公因式
1．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可．
【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2，
各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1，
∴该多项式的公因式为．
2．单项式和的公因式是______．
【答案】
【详解】解：首先确定系数的最大公约数，和的最大公约数是；
再确定两个单项式都含有的相同字母，可得都含有和；
接着取相同字母的最低次幂，的次数分别为和，取次数，的次数分别为和，取次数；
将三部分结果相乘，得到公因式为．
3．找出的公因式．
【答案】
【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得．
【详解】解：系数取3和6的最大公约数3，字母取相同的字母．指数取相同字母的最低次数，的最低次数是1．
所以的公因式为．
题型4.提公因式法分解因式
1．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容．
分解因式：．
解：
………… ①
………… ②
其中，从①到②所依据的运算律是 ．
下列回答错误的是（ ）
A．①处依据的是 B．②处的结果是
C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解
【答案】D
【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项．
【详解】对选项A，由，
可得，A正确．
对选项B，提取公因式，
得，B正确．
对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确.
对选项D，的各因式均不能继续分解，
故该多项式无法再分解，D错误．
2．因式分解：__________．
【答案】
【分析】观察多项式的两项结构，确定公共因式，通过提公因式法完成因式分解．
【详解】多项式的两项分别为、，
两项系数的最大公约数为1，共含有的字母为和，的最低次幂为，的最低次幂为，
两项的公因式为，
提取公因式后，剩余的因式部分为，
原式因式分解结果为．
3．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解）．
(1)求式子中、的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
【答案】(1)，
(2)把代入，得其值为0，
则多项式可分解为的形式，
用上述方法可求得：，，
所以，
．
解法二：把代入，得其值为0，
则多项式可分解为的形式，
用上述方法可求得：，，
所以，
．
【分析】（1）根据恒等式的性质，解答即可；
（2）根据“试根法”分解多项式的基本步骤，解答即可．
【详解】（1）解：在等式中，
令，得，
令，得，
解得，；
（2） 解：略．
题型5.判断能否用公式法分解因式
1．下列各多项式中不能用公式法分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意；
B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意；
C、不能用公式法分解，符合题意；
D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意；
故选：C．
2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个．
【答案】4
【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可．
【详解】解：，不能分解因式；
，能用公式法分解因式；
，不能分解因式；
，能用公式法分解因式；
，能用公式法分解因式；
，能用公式法分解因式；
故答案为：4．
3．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式
(2)可以，分解为
(3)不可以，因为不是平方差形式
(4)可以，分解为
【分析】本题考查利用平方差公式分解因式：
（1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解．
【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（2）解：可以用平方差公式分解因式，
；
（3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（4）解：可以用平方差公式分解因式，
．
题型6.平方差公式分解因式
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项．
【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解；
B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征；
C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解；
D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解．
2．如果，那么括号内的整式是___________.
【答案】
【分析】利用平方差公式将等式右边式子变形为，即可求解．
【详解】解：，
可知括号内的整式是．
3．【课内链接】
我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解．
【拓展新知】
利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”．
【理解新知】
配方法的应用．例如：
(1)利用配方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)如图，四边形中，．若，则四边形面积的最大值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）利用配方法和平方差公式分解因式；
（2）先配方，再利用偶次方的非负性质求最小值；
（3）先由已知结合完全平方公式得出四边形面积为：，即可求最大值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴当时，多项式有最小值；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴当时，四边形面积有最大值8．
题型7.完全平方公式分解因式
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先排除等式右边不是整式积形式的选项，再验证剩余选项是否符合要求．
【详解】解：A选项，的右边不是整式的积的形式，不是因式分解．
B选项，的右边含分式，不是整式的积的形式，不是因式分解．
C选项，的变形是因式分解．
D选项，的变形是整式乘法，不是因式分解．
2．若多项式，则A的最小值是_______．
【答案】13
【分析】利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，结合完全平方式的非负性求解最小值．
【详解】解： ．
．
．
∵，．
∴当两个完全平方式的值均为0时，取得最小值．
∴的最小值为．
3．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学从第二步到第三步的变形过程中，运用了因式分解的______；
A．提公因式法 B．平方差公式
C．两数和的平方公式 D．两数差的平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)不彻底，
(3)
【分析】（1）观察因式分解的过程可得答案；
（2）最后一步还可以用完全平方公式进行因式分解，据此可得结论；
（3）模仿题目中的过程进行因式分解．
【详解】（1）解：观察可知，该同学从第二步到第三步的变形过程中，运用了完全平方公式分解因式；
（2）解：由题意得，该同学因式分解的结果不彻底，还可以利用完全平方公式分解因式，即可分解为；
（3）解：
设，
原式
．
题型8.综合运用公式法分解因式
1．下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】A.不能用公式法分解因式，故错误；
B.，正确；
C. 不能用公式法分解因式，故错误；
D.不能用公式法分解因式，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．
2．因式分解：________．
【答案】
【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果
【详解】解：
3．【综合与实践】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，∴当时，有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：___________，代数式的最小值为___________；
(2)若，当___________时，y有最___________值（填大或小），值是___________；
(3)已知a，b，c是的三边长，，且c是中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)；
(2)1；大；
(3)
【分析】（1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值．
（2）利用完全平方公式化简，求出该式子有最大值，求出结果即可；
（3）将题中式子进行变形，得到两个完全平方式的和为0，根据完全平方公式的非负性求出，再由三角形的三边关系求解即可．
【详解】（1）解：
；
，
，
当时，有最小值，最小值是；
（2）
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是；
（3）解：
∵
∴
∴
∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边
∴，
∴．
题型9.综合提公因式和公式法分解因式
1．对于任意整数n，多项式都能被（ ）整除．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】把所给多项式先利用平方差公式分解因式，再提取公因数分解因式即可得到答案．
【详解】解：
，
∵n为整数，
∴为整数，
∴一定能被4整除，
∴对于任意整数n，多项式都能被4整除．
2．分解因式：_______．
【答案】
【详解】解：．
3．因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型10.因式分解在有理数简算中的应用
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两个因数凑成整百数与2的和差，利用平方差公式简化计算．
【详解】解：．
2．计算：_____．
【答案】
4
【分析】运用完全平方公式简化计算，观察式子变形后符合完全平方公式，代入计算即可得到答案．
【详解】解：原式
．
3．运用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)13600
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型11.十字相乘法
1．下列算式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
2．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____．
【答案】或
【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p．
【详解】解：∵可以因式分解为，且，
∴，
∵均为整数，
∴或或或或或或或，
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
综上所述，满足条件的的值是或．
3．阅读材料
材料1
将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：①；②．
材料2
因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把因式分解．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①因式分解：；
②因式分解：．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可；
②令，然后利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：①把“”看成一个整体，令
∴
；
②把看成一个整体，令
∴
．
题型12.分组分解法
1．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题．
【详解】解：设，
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键．
2．分解因式：___________．
【答案】
【分析】将原式分组，把含的二次项分为一组，先用完全平方公式变形，再用平方差公式分解因式．
【详解】解：
．
3．因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
题型13.因式分解的应用
1．如图，边长为，的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．70 B．120 C．35 D．24
【答案】A
【分析】根据长方形周长和面积公式得出和的值，利用提公因式法分解因式，代入求值即可.
【详解】解：∵长方形的周长为，面积为
则，
∴
∴
2．已知， ， 则=_________．
【答案】
【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：对所求式子因式分解得：
，
把，代入式子得：
原式．
3．材料一：，则或．即：或．
材料二：因式分解是一种恒等变形，如：，则．我们可以根据变形前后的对应关系，求出相应量的值．
根据材料完成下列问题：
(1)若，则__________，__________．
(2)若，则__________，__________．
(3)若，且为四个连续的自然数，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）先计算，可得，，再进一步求解即可；
（2）先计算，可得，；
（3）先计算，可得，，结合为四个连续的自然数，设，则，，，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵
，
而，
∴，
∴，，
∴.
（3）解：∵
，
∵，，
∴，，
∵为四个连续的自然数，
设，则，，，
∴，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：或（舍去），
∴，则，，，
∴.
✺课堂小练
一、单选题
1．下列从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过“结果是否为整式的积”排除形式不符的选项，再验证剩余选项的变形是否正确．
【详解】解：A选项：不是因式分解，错误．
B选项：右边为，不是整式的积的形式，错误．
C选项：提取公因式，得，变形正确，符合因式分解要求，正确．
D选项：提取公因式，得，与选项结果不符，错误．
2．已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
，
故选：C．
3．将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式．
【详解】解：∵ ，
∴ ①③符合条件；
∵ ，
∴ ②符合条件；
∵ ，
∴ ④符合条件；
∵ ，
∴ ⑤符合条件；
故答案为D．
4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法是解题关键．
对各多项式进行因式分解，检查是否含有因式．
【详解】解：∵ A、 ，不含有，符合题意；
B、，含有，不符合题意；
C、，含有，不符合题意；
D、，含有，不符合题意；
∴结果中不含有因式的是A．
故选：A．
二、填空题
5．写出下列多项式的最大公因式：
（1）：_____．
（2）：_____．
（3）：_____．
【答案】 2
【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键．
对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式．
【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为；
（2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为；
（3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为．
故答案为：；；．
6．分解因式：___________．
【答案】
【详解】解：
．
7．甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________．
【答案】
【分析】甲看错时，其分解结果展开后的一次项系数为正确的；乙看错时，其分解结果展开后的常数项为正确的，据此求出、后代入计算即可．
【详解】解：∵ 甲分解时看错了，未看错，
∴ 甲的分解结果展开后的一次项系数等于正确的，
∵ ，
∴ ；
∵ 乙分解时看错了，未看错，
∴ 乙的分解结果展开后的常数项等于正确的，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
三、解答题
8．分解因式和计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
9．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式
解：将看成一个整体，令，则原式________，
将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤：________；
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式对换元后的式子因式分解即可；
（2）将看作整体换元，先化简式子，再因式分解，最后还原即可．
【详解】（1）解：根据完全平方公式，；
（2）解：令，
则原式
，
将代回，得原式．
10．阅读与思考
下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务．
因式分解的新方法
问题：如何将多项式和分解因式？
回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下：
拆项法：
……（▲）
……（★）
添项法：
……
任务：
(1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______．
(2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整．
(3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式：
①；
②．
【答案】(1)加法交换律；平方差公式
(2)
原式
．
(3)①；②
【分析】（1）根据题意解答即可；
（2）根据题中思路利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（3）①根据题意利用拆项添项法，并结合提公因式法和平方差公式进行因式分解；
②根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
【详解】（1）解：根据题意可得材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是加法交换律；
材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为平方差公式．
（2）略
（3）解：①
．
②原式
．
试卷第1页（共3页）
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专题14因式分解同步培优讲义
✺知识框架
1.互逆关系：因式分解与整式乘法互为逆变形
2.因式分解概念：把多项式化为几个整式乘积的形式
3.提公因式法：确定公因式，提取公因式完成分解
4.公式法：运用平方差、完全平方公式分解因式
5.分解流程：先提公因式，再套用公式，分解至不能再分解
✺学习目标
1.理解因式分解的定义，明晰因式分解与整式乘法的互逆关系。
2.能够准确确定公因式，熟练运用提公因式法分解多项式。
3.掌握平方差、完全平方公式，运用公式法分解符合形式的多项式。
4.遵循因式分解的一般步骤，规范书写，保证分解彻底。
5.熟练进行代数式恒等变形，提升综合运算能力。
✺题型归纳
题型1.判断是否是因式分解
题型2.已知因式分解的结果求参数
题型3.公因式
题型4.提公因式法分解因式
题型5.判断能否用公式法分解因式
题型6.平方差公式分解因式
题型7.完全平方公式分解因式
题型8.综合运用公式法分解因式
题型9.综合提公因式和公式法分解因式
题型10.因式分解在有理数简算中的应用
题型11.十字相乘法
题型12.分组分解法
题型13.因式分解的应用
题型14.课堂小练
✺知识清单
知识点01因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也称分解因式。
因式分解与整式乘法互为逆变形：整式乘法是由积化为和差，因式分解是由和差化为积。
分解结果必须是整式相乘，不含分式，且每一个因式都不能继续分解。
知识点02提公因式法
多项式各项都含有的相同因式，叫做公因式。
若多项式各项含有公因式，可以把公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种方法叫做提公因式法。
公因式确定方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项共有的相同字母；相同字母取最低次幂。
符号要点：多项式首项为负时，一般先提出负号，括号内各项同步变号。
知识点03平方差公式（因式分解）
公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
结构特征：多项式为两项；两项均可写成平方形式；两项符号相反。
知识点04完全平方公式（因式分解）
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
文字表述：两数的平方和，加上（或减去）两数积的2倍，等于这两数和（或差）的平方。
结构特征：多项式为三项；其中两项是平方项且同为正；中间项是两数乘积的2倍，符号可正可负。
知识点05因式分解一般步骤
一提：优先提取公因式；
二套：再对剩余因式套用合适公式；
三查：检查每一个因式，直到不能再分解为止。
✺题型精讲
题型1.判断是否是因式分解
1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式从左到右是因式分解的是_______．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
3．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
题型2.已知因式分解的结果求参数
1．已知多项式因式分解后是，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
2．如果因式分解得，则__________．
3．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为（），得，
，
则，
，
解得，，
∴另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
题型3.公因式
1．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．单项式和的公因式是______．
3．找出的公因式．
题型4.提公因式法分解因式
1．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容．
分解因式：．
解：
………… ①
………… ②
其中，从①到②所依据的运算律是 ．
下列回答错误的是（ ）
A．①处依据的是 B．②处的结果是
C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解
2．因式分解：__________．
3．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解）．
(1)求式子中、的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
题型5.判断能否用公式法分解因式
1．下列各多项式中不能用公式法分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个．
3．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型6.平方差公式分解因式
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么括号内的整式是___________.
3．【课内链接】
我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解．
【拓展新知】
利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”．
【理解新知】
配方法的应用．例如：
(1)利用配方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)如图，四边形中，．若，则四边形面积的最大值为______．
题型7.完全平方公式分解因式
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若多项式，则A的最小值是_______．
3．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学从第二步到第三步的变形过程中，运用了因式分解的______；
A．提公因式法 B．平方差公式
C．两数和的平方公式 D．两数差的平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
题型8.综合运用公式法分解因式
1．下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．因式分解：________．
3．【综合与实践】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，∴当时，有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：___________，代数式的最小值为___________；
(2)若，当___________时，y有最___________值（填大或小），值是___________；
(3)已知a，b，c是的三边长，，且c是中最长的边，求c的取值范围．
题型9.综合提公因式和公式法分解因式
1．对于任意整数n，多项式都能被（ ）整除．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．分解因式：_______．
3．因式分解：
(1)；
(2)
题型10.因式分解在有理数简算中的应用
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：_____．
3．运用简便方法计算：
(1)；
(2)．
题型11.十字相乘法
1．下列算式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____．
3．阅读材料
材料1
将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：①；②．
材料2
因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把因式分解．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①因式分解：；
②因式分解：．
题型12.分组分解法
1．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．分解因式：___________．
3．因式分解：
(1)；
(2)
题型13.因式分解的应用
1．如图，边长为，的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．70 B．120 C．35 D．24
2．已知， ， 则=_________．
3．材料一：，则或．即：或．
材料二：因式分解是一种恒等变形，如：，则．我们可以根据变形前后的对应关系，求出相应量的值．
根据材料完成下列问题：
(1)若，则__________，__________．
(2)若，则__________，__________．
(3)若，且为四个连续的自然数，若，求的值．
✺课堂小练
一、单选题
1．下列从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤
4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．写出下列多项式的最大公因式：
（1）：_____．
（2）：_____．
（3）：_____．
6．分解因式：___________．
7．甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________．
三、解答题
8．分解因式和计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
9．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式
解：将看成一个整体，令，则原式________，
将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤：________；
(2)因式分解：．
10．阅读与思考
下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务．
因式分解的新方法
问题：如何将多项式和分解因式？
回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下：
拆项法：
……（▲）
……（★）
添项法：
……
任务：
(1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______．
(2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整．
(3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式：
①；
②．
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