3.1.2 函数的表示法 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 人教A版 · 必修第一册 · 第三章 函数的表示法 解析法 · 列表法 · 图象法——三种方式刻画同一个函数 情境导入 方法比较 例题精讲 课堂练习 小结作业 主讲教师：__________ 班级：__________ 日期：__________ 3.1.2 学习目标 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 02 / 17 1 了解解析法、列表法、图象法三种表示方法，能结合情境选择合适的表示方式；（重点） 2 掌握描点法作图的基本步骤，能画出简单函数（含分段函数）的图象；（重点） 3 理解分段函数是一个函数，会求分段函数的函数值；初步了解映射的概念。（难点） 核心素养指向：数学抽象 · 直观想象 · 数学运算 3.1.2 情境导入 · 函数就在身边 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 03 / 17 场景一 列车票价表 车站公示的票价表：出发站到各到达站的票价一目了然，查表即得。 到站 票价/元 南京 180 杭州 220 上海 260 用表格表示对应关系 场景二 气温自动记录仪 用图象记录变化过程 场景三 自由落体运动 物体从高处自由下落，下落高度 h（m）随时间 t（s）确定，物理公式给出： h = 4.9t2 (t ≥ 0) 用数学表达式刻画规律，可以精确计算任意时刻的高度。 观察 ｜ 表格、图象、表达式——同一个函数可以有不同的表示方式，各有各的用处。 3.1.2 三种表示方法及其特点 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 04 / 17 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 y = f(x) 简明、准确，便于推理与计算； 适合理论研究，如 s = 350t。 理论分析的首选 列表法 列出表格，直接给出自变量与函数值的对应 查表即得 不需计算，直接读出函数值； 适合自变量个数有限的情况。 实用查询的首选 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 看图说话 直观形象，变化趋势一目了然； 适合刻画连续变化的过程。 观察趋势的首选 要点 ｜ 三种方法不是对立的，同一函数可以同时用多种方式表示、互相补充。 3.1.2 例题精讲 · 例1 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 05 / 17 例 1 某种笔记本每本 5 元，购买 x 本（x∈{1, 2, 3, 4, 5}），需付款 y 元。 试用解析法、列表法、图象法把这三种方式表示出来。 解析法 y = 5x，x∈{1, 2, 3, 4, 5} 强调：定义域必须写全，缺一不可 列表法 x/本：1 2 3 4 5；y/元：5 10 15 20 25 一行查表，直接读值 图象法 五个离散的点 (1,5)、(2,10)、(3,15)、(4,20)、(5,25) 定义域是离散点集 ⇒ 图象是散点 点拨 ｜ 同一个函数，三种表示刻画的是同一个“对应关系”；解析式后面的定义域不能丢。 3.1.2 描点法画函数图象 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 06 / 17 ① 列表：选取有代表性的 x 值 ② 描点：在坐标系中点出 (x, f(x)) ③ 连线：按趋势光滑连接各点 例：画 y = |x − 1| 的图象 x -1 0 1 2 3 y 2 1 0 1 2 先去绝对值：x ≥ 1 时 y = x − 1；x < 1 时 y = 1 − x； 图象是两条射线组成的“V”形折线； 折点 (1, 0) 必须画准。 3.1.2 分段函数 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 07 / 17 定义 在函数定义域的不同部分，对应关系用不同的式子表示，这样的函数叫分段函数。 分段函数是一个函数，不是几个函数！ 定义域：各段自变量取值集合的并集； 值域：各段函数值集合的并集； 画图象：在各段内分别作图，分段点处标明实心点或空心点； 求值：先判断 x 落在哪一段，再代入哪一段的解析式。 三段对应关系拼成一个函数的图象（本题各段在分段点处相连，交点画实心） 3.1.2 例题精讲 · 例2 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 08 / 17 例 2 某市出租车：3 km 以内（含 3 km）收费 8 元；超过 3 km 后，超出部分每千米加收 2 元。 行驶里程 x km（0 < x ≤ 9），车费 y 元，写出 y 与 x 的函数解析式，并求行驶 5 km 的车费。 解 按 3 km 分界，分两段写： y = 8，0 < x ≤ 3； y = 8 + 2(x − 3)，3 < x ≤ 9。 x = 5 落在第二段： y = 8 + 2×(5 − 3) = 12（元） 1 读题找分界点 2 分段写解析式 3 标注每段定义域 4 代入求值并检验 归纳 ｜ 计费类问题几乎都是分段函数模型。 3.1.2 例题精讲 · 例3 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 09 / 17 例 3 已知分段函数 f(x) = x + 2（x < −1）；f(x) = x2（−1 ≤ x ≤ 2）；f(x) = 6 − x（x > 2）。 求 f(−2)、f(1)、f(3) 与 f(f(−2)) 的值。 f(−2) −2 < −1，代入第一段：f(−2) = −2 + 2 = 0 f(1) 1∈[−1, 2]，代入第二段：f(1) = 12 = 1 f(3) 3 > 2，代入第三段：f(3) = 6 − 3 = 3 f(f(−2)) f(−2) = 0，先内后外：f(f(−2)) = f(0) = 02 = 0 方法 ｜ 求分段函数值的关键：先看 x 属于哪一段，再代入对应解析式；“嵌套”求值先内后外。 3.1.2 已知 f(x+1)，求 f(x) 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 10 / 17 例 4 已知 f(x + 1) = x2 − 2x，求 f(x)。 解法一 · 换元法 令 t = x + 1，则 x = t − 1（t∈R）； f(t) = (t − 1)2 − 2(t − 1) = t2 − 4t + 3； 所以 f(x) = x2 − 4x + 3，x∈R。 解法二 · 配凑法 把右边配凑成含 (x+1) 的式子： f(x+1) = (x+1)2 − 4(x+1) + 3； 所以 f(x) = x2 − 4x + 3。 归纳 ｜ 求解析式常用方法：换元法（令 t 整体替换）、配凑法、待定系数法（已知函数类型时设式子）。 3.1.2 拓展 · 映射的概念 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 11 / 17 定义 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个映射，记作 f: A→B。 映射与函数的关系 映射的对应方式：一对一、多对一（一对多不行）； 函数是特殊的映射：A、B 都是非空数集； 也就是说：函数一定是映射，映射不一定是函数。 映射 函数 函数 ⊂ 映射（数集→数集的映射） 口诀 ｜ 判断映射只需两条：A 中元素“人人有对应”＋“对应唯一”。 3.1.2 课堂练习 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 12 / 17 练习 1 函数 y = |x| + 1 的图象与 y 轴的交点坐标是 ____________。 练习 2 已知 f(x) = 2x + 1（x < 0）；f(x) = x2 + 1（x ≥ 0）。求 f(−1) 与 f(2) 的值。 练习 3 某快递：首重 1 kg 收 8 元，续重每千克加收 3 元，重量 x kg（1 < x ≤ 5）。写出费用 y（元）与 x 的关系式，并求重 3 kg 的快递费用。 练习 4 已知 f(x + 1) = x2 + 2x，求 f(x)。 要求 ｜ 独立完成，时间 6 分钟；完成后同桌互换检查。 3.1.2 课堂练习 · 参考答案 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 13 / 17 1 (0, 1) x = 0 时 y = |0| + 1 = 1。 2 f(−1) = −1，f(2) = 5 −1 < 0 代入第一段：2×(−1) + 1 = −1；2 ≥ 0 代入第二段：2² + 1 = 5。 3 y = 3x + 5（1 < x ≤ 5）；x = 3 时 y = 14 元 超出首重 (x − 1) kg：y = 8 + 3(x − 1) = 3x + 5。 4 f(x) = x2 − 1 令 t = x + 1，x = t − 1：f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) = t² − 1。 3.1.2 易错警示 · 这些坑别踩 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 14 / 17 坑 1 把分段函数当成几个函数 分段函数是一个函数；定义域是各段的并集，值域也是并集。 坑 2 分段点处虚实不分 解析式带等号的一段，图象端点画实心；不带的画空心。 坑 3 求 f(x+1) 时不换元 把 x+1 整体设为 t，反解出 x 再代入；直接“代回去”必错。 坑 4 画图象随手连线 描点法要按数据趋势连线：折线段画直，曲线要平滑，端点要对齐。 3.1.2 课堂小结 · 知识结构 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 15 / 17 三种表示法 解析法 · 列表法 图象法 描点作图 列表 → 描点 → 连线 分段标虚实 分段函数 一个函数；定义域、 值域取各段并集 求解析式 换元法 · 配凑法 待定系数法 映射（拓展） 任意 x 有唯一 y； 函数是特殊映射 一句话总结 表示法是函数的“外衣”——解析式便于计算、表格便于查询、图象便于观察；分段函数只是把不同的“外衣”穿在同一个函数的不同段上。 3.1.2 作业布置 第三章 · 函数的概念与性质 函数的表示法 · 人教A版必修第一册 16 / 17 必做 教材 习题 3.1 复习巩固：第 3、5 题； 把例 1 笔记本问题三张图誊抄到笔记本。 选做 教材 习题 3.1 综合运用：第 10 题； 思考：分段函数的图象能是连续曲线吗？举例说明。 预习 预习 3.2.1 单调性与最大（小）值； 想一想：怎样用数学语言说清“y 随 x 的增大而增大”？ 提醒 ｜ 下次课前收齐必做部分；预习任务请写在课本空白处。 本节课到此结束 函数是有“性格”的——先看升降 下节预告 3.2.1 单调性与最大（小）值 3.1.2 函数的表示法 $