3.1.1 函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 函数的定义 设 A、B 是两个非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与它对应，那么就称对应关系 f 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 其中 x 叫做自变量，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值。x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 对应的 y 的值组成的集合 叫做函数的值域。值域是集合 B 的子集，即值域 B。 理解定义要抓住两个关键词：一是"任意"，即 A 中每个 x 都要有象，不能有"漏网之鱼"；二是"唯一"，即一个 x 只能对应一个 y。如下图所示，"一对一"与"多对一"都可以构成函数，而"一对多"不能构成函数。 图 1 三种对应关系与函数概念 2. 函数的三要素与同一函数 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。其中值域由定义域和对应关系共同确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同（与表示变量的字母无关）。三要素中只要有一个不同，两个函数就不同。 3. 区间 设 a、b 是两个实数，且 a<b。我们规定用一些记号表示数的集合： 类型 记号 集合表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 或 两个端点中一个取到、一个取不到 无穷区间 、 等 含 的一端一律写成开 这里 a、b 叫做区间的端点。注意： 不是一个数，只是一个记号，表示"无限延伸"，所以含 的一端永远取不到，必须用小括号。 4. 具体函数定义域的求法 求用解析式表示的函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值集合。限制条件来自解析式的结构，常考的四类列表如下： 解析式特征 限制条件 示例 分式 分母 ： 偶次根式 被开方数 ： 零次幂 底数 ： 实际/几何背景 自变量符合实际意义 时间 、边长 等 各限制条件必须同时满足，取交集即为定义域。最终答案必须写成集合或区间的形式，在数轴上画图核对端点开闭（空心点不取，实心点取到）。此外还有一条黄金法则：化简解析式必须在原定义域内进行——先化简后求定义域，会把限制条件"化丢"。 图 2 定义域在数轴上的表示：空心点不取，实心点取到 5. 抽象函数的定义域（重点） 不给出具体解析式、只用记号 表示对应关系的函数叫做抽象函数，它的定义域问题只依赖一条核心原则——"同括号同域"：记号 中，无论括号里装的是 、 还是 ，括号内"整体"的取值范围都必须落在 本身的定义域内。同时牢记：定义域永远指"自变量 x"的取值范围，不是括号内整体的取值范围。常见三类问题及解法如下。 类型一（正方向）：已知 的定义域为 ，求 的定义域。解法：令 ，解这个关于 的不等式，解集就是 的定义域。原理：括号内整体 扮演了原来 的角色，它必须落在 的"合法输入"范围 内。 类型二（逆方向）：已知 f(g(x)) 的定义域为 [c,d]，求 f(x) 的定义域。解法：f(x) 的定义域就是括号内整体在给定条件下的取值范围——把 x∈[c,d] 代入 g(x)，求出 g(x) 的值域（利用 g 的图象升降情况或配方），这个值域就是 f(x) 的定义域。注意与类型一的方向恰好相反：类型一是"由 f 的域限制 x"，类型二是"由 x 的范围算出 f 的域"。 类型三（双重抽象）：已知 的定义域，求 的定义域。解法：分两步走，先按类型二由 的条件求出 本身的定义域（中转站），再按类型一令 解出 。"先还原 的域，再限制新的括号整体"，中间不要跳步。 6. 函数的值域（初步） 值域是所有函数值组成的集合，"先定义域、后值域"是求值域的总原则：定义域一动，值域跟着变，所以求任何函数的值域都必须先盯住定义域。本节先掌握最基础的观察法——由基本函数的值域直接推出： 基本函数 值域 推论举例 （x∈R） 的值域为 （x≥0） 的值域为 的值域为 （x≠0） 的值域为 一次函数 x∈[m,n]） 区间端点值之间的连续段 （）值域 复合结构（如 ）与分式、根式结构的系统求法，见"3.2.1 专题1：函数求值域问题方法汇总"，那里有九种方法的完整总结。 二、典型例题 例 1 函数概念的正误辨析 下列各组对应中，能构成函数的是（ ） ① A=，B=，对应关系：每个数都对应 4； ② A=，B=，对应关系：取平方后加 3，但 2 没有规定象； ③ A=，B=，对应关系：取平方； ④ A=，B=，对应关系：取平方根。 【分析】紧扣"任意 x 有唯一确定的 y"逐条检验。 【解】①中每个 x 都对应 4，属于"多对一"，是函数；②中 2 没有象，不满足"任意"，不是函数；③每个 x 的平方唯一确定，是函数；④正数的平方根有两个，一个 x 对应两个 y，不满足"唯一"，不是函数。故选①③。 【点评】"多对一"可以是函数，"一对多"一定不是函数；A 中元素不允许"无象"。 例 2 具体函数的定义域 求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）。 【解】（1）由 得 ，定义域为 。 （2）需 且 ，即 且 ，定义域为 。 （3）需 且 ，即 且 ，定义域为 。 【点评】先列条件再取交集；答案必须写成集合或区间的形式。 例 3 求函数值 已知 ，求 、、 与 。 【解】；； 由 得 。 【点评】求 就是把整个 代入，注意先算内层。 例 4 判断是否为同一函数 下列各组函数中，哪些表示同一函数？ （1） 与 ；（2） 与 ； （3） 与 ；（4） 与 。 【解】（1） 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数。（2） 要求 ，而常函数 的定义域为 ，不是同一函数。（3）两个函数的定义域都是 ，对应关系也相同，字母不同不影响，是同一函数。（4）由根式性质 ，两函数定义域都是 、对应关系相同，是同一函数。故（3）（4）是同一函数。 【点评】判断同一函数只看两件事：定义域是否相同、对应关系是否相同。化简解析式时必须先在原定义域内进行，防止"先化简后判断"出错。 例 5 抽象函数定义域：三类问题逐一体会 （1）已知 的定义域为 ，求 与 的定义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域； （3）已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解】（1）类型一。令 得 ， 的定义域为 ；令 即 ，得 ， 的定义域为 。 （2）类型二。定义域 是自变量 x 的范围：当 时，括号内整体 的范围是 ，这就是 本身的定义域 。 （3）类型三。先还原 的定义域：由 的定义域 ，当 时 ，故 的定义域为 。再限制新括号：令 ，得 ，故 的定义域为 。 【点评】三问分别对应"正、逆、双"三条路线，共同的尺子只有一条：括号内整体必须落在 的定义域内。最易错的是第（2）问的方向——把 直接当成 的定义域就错了。 例 6 值域初步：先定义域后值域 求下列函数的值域：（1）（）；（2）；（3）（）。 【解】（1）配方得 ，值域为 ； （2）定义域为 ，，故 ，值域为 ； （3）在 [1,3] 上，x 越大，1x 越小，故 13≤1x≤1，值域为 [13,1]。 【点评】对比： 在 的范围内值域是两段，但限定 后只剩一段——定义域不同，值域完全不同，这正是"先定义域后值域"的含义。 三、易错警示 1. 忽视"任意"与"唯一"：A 中元素必须都有象，且象唯一，二者缺一不可。 2. 值域与集合 B 混为一谈：值域 B，B 可以比值域大。 3. 区间端点开闭写错：含 的端点必须写小括号；写定义域时漏掉个别限制条件。 4. 判断同一函数时先化简后判断，如把 化成 再比较，丢掉了定义域的限制。 5. 求 的定义域时，误把 的范围当成 x 的范围；反过来求 的定义域时，又忘了取 的值域而不是直接照抄已知区间。两类方向相反的问题最容易张冠李戴，做题先问自己："已知的是谁的域，求的又是谁的域"。 四、方法小结 问题类型 核心方法 判断对应是否为函数 检验"任意 x 有唯一 y" 判断是否为同一函数 定义域、对应关系逐一比对 求具体函数定义域 分母非零、偶次根非负、零次幂底非零、符合实际，再取交集 已知 域求 域 解 （正方向） 已知 域求 域 求 在给定 x 范围上的值域（逆方向） 双重抽象 先还原 的域，再限制新括号整体 值域初步 先定定义域，再观察/配方/用单调性；系统方法见 3.2.1 专题1 【考点精讲练】 考点一　由图像和解析式判断是否是函数关系 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·河南周口·期中）若函数定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念，定义域、值域与函数图象之间的关系判断即可. 【详解】对于A，由定义域为可知，图象在轴上的范围必须为，排除A. 对于C，存在一个对应多个的情况,不是函数图象，排除C. 对于D，由的值域为，可知D图在轴上的范围必须为，故排除D. 对于B，由图象知，在内的每个值，在内有唯一值与之对应， 并且在内的每个值，在内的有值与之对应，B是. 【例2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列四个方程中表示是的函数的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】依据函数定义中“定义域内任意对应唯一确定的”的核心要求，逐一验证四个方程即可完成判断． 【详解】对方程，变形得，对任意，都有唯一确定的对应，故是的函数； 对方程，变形得，对任意，都有唯一确定的对应，故是的函数； 对方程，变形得，当时，一个对应和两个值，不满足唯一确定性，故不是的函数； 对方程，变形得，定义域为， 对任意在定义域内，都有唯一确定的对应，故是的函数； 综上，①②④符合函数定义． 【变式训练2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【答案】1 【分析】根据函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域是， 则根据函数的定义知函数的图像与直线的交点个数为1. 故答案为：1. 【变式训练3】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）下列两个集合间的对应关系中，是从到的函数的有（   ） A．，，中的数的平方 B．，，中的数的开方 C．，，中的数的倒数 D．，，中的数的倍 【答案】AD 【分析】根据函数的定义，即可判断四个选项. 【详解】对于A，集合中有，，，每一个元素在集合中都有唯一一个元素对应，所以满足函数关系，选项A正确； 对于B，元素开方有两个值，一对多，不满足函数关系，选项B错误； 对于C，集合中元素没有倒数，在集合中无元素对应，不满足函数关系，选项C错误； 对于D，集合中每一个元素的倍，集合中都有唯一一个元素对应，满足函数关系，选项D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 【答案】D 【详解】集合不是数集，所以A错误； 对于集合中的实数，在集合中没有元素与它对应，所以B错误； 对于，没有意义，所以C错误； 对于，都有与对应，所以D正确. 【提升练2】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在和处有两条竖直渐近线，即函数定义域为， 对于A，定义域为，与图相矛盾，故A错误； 对于B， 函数值大于零，故B错误． 对于D，fx=1x−1 的图象不关于 y 轴对称，与已知图象矛盾，故D错误； 故图象对应的解析式可能是C选项. 【提升练3】（26-27高一上·全国·单元测试）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，值域不满足，A错误； 对于B，定义域、值域，且每一个x都有唯一的y与之对应，B正确； 对于C，定义域、值域，且每一个x都有唯一的y与之对应，C正确； 对于D，在上每一个x都有两个y与之对应，该图象不是函数的图象，D错误. 【提升练4】（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能情况数为________． 【答案】31 【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题. 【详解】由题意可知， 是集合到集合的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【详解】（1）中的任一元素按照对应关系，在中都有唯一确定的元素与之对应，故此对应关系是集合到集合的函数． （2）中的元素在中没有对应元素，故此对应关系不是集合到集合B的函数． （3）中元素负数没有平方根，故在中没有对应的元素，且不一定是整数， 故此对应关系不是集合到集合的函数． （4）对于集合中任意一个实数，按照对应关系， 在集合中都有唯一一个确定的数与它对应，故是集合到集合的函数． 考点二　求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知的定义域为，求的定义域（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域约束、二次根式与分式有意义的条件列不等式组，求解解集的交集即可得到结果. 【详解】的定义域为，要使函数有意义，需同时满足且，解得 ，故的定义域为. 【例2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．函数与函数是同一函数 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数满足，则 【答案】AC 【详解】A选项，由题意得，解得且， 故定义域为，A正确； B选项，函数的定义域为R，函数的定义域为， 故两函数不是同一函数，B错误； C选项，由得，故的定义域为，C正确； D选项，，且， 故，D错误 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，由，解得， 所以函数的定义域为. 【变式训练2】（26-27高一上·陕西渭南·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据偶次算术平方根被开方数非负、分式分母不为零的约束列不等式组，求解交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： 对于二次根式，被开方数需非负，即，解得； 对于分式，分母不能为0，即，解得； 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 【变式训练3】（26-27高一上·重庆北碚·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．与表示同一函数 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．的定义域为 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BD 【分析】A：利用同一函数的定义进行判断；B：利用复合函数定义域的求解方法，列不等式计算；C：结合根式、分式有意义的限制条件，求解函数定义域； D：利用一元二次不等式的解集与二次函数及对应方程根的关系，借助韦达定理得到系数关系，代入求解新的一元二次不等式. 【详解】选项A：同一函数要求定义域、对应法则均相同.的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，A错误； 选项B：的定义域为，则需满足，解不等式得，即的定义域为，B正确； 选项C：有意义需满足且，等价于且，解得定义域为，C错误； 选项D：因为不等式的解集为，所以二次函数开口向下，即， 且该不等式对应的一元二次方程的两个实根为，. 由韦达定理得，解得. 代入不等式，得. 因为，两边同时除以，得，解得，D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）使有意义的的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．− 【答案】C 【分析】根据被开方数非负，分母需不为求解即可. 【详解】由题意可得， 解得或. 【提升练2】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据被开方数非负，求解一元二次不等式即可． 【详解】由 得，即，解得 ， 所以函数 的定义域为 ，故 A正确． 【提升练3】（26-27高一上·安徽滁州·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．已知的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AB 【分析】选项A先求内层整体范围，再求新定义域；选项B同一函数要求定义域、对应法则都相同；选项C分离常数求分式函数值域；选项D方程组法求函数解析式. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域，即， 所以函数的定义域为， 对：， 即函数定义域是，A 错误； 因为函数的定义域为；的定义域为. 两个函数的定义域不同，不是同一函数，B错误； 因为变形得：， 因为，则，所以，故，C正确； 已知，消元解得，D正确. 【提升练4】（26-27高一上·河南周口·期中）函数的定义域是___________. 【答案】 【详解】要使函数有意义，需同时满足， 由，得； 由，得或. 取两个条件的交集得函数的定义域为. 【提升练5】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 考点三　已知函数的定义域求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用被开方数恒非负，即二次函数的最小值不小于零即可求解． 【解答】已知函数 的定义域为 ，则对任意实数成立， 所以 ，即 ，解得 ， 实数 的取值范围是，故D正确. 【例2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若fx的值域为[0,+∞)，则m∈(12,+∞) D．若fx在12,+∞上图象上升（y随x的增大而增大），则0<m≤12 【答案】ABD 【分析】结合二次函数的性质，分别求解函数定义域、值域、图象升降对应的参数取值范围，逐一判断各选项即可得出答案. 【详解】选项A：若的定义域为，则对任意恒成立. 当时，恒成立，符合要求； 当时，需满足，解得，综上故A正确; 选项B：若的定义域为，则不等式的解集为，可得，解得，故B正确； 选项C：若的值域为，则函数的值域包含区间，此时需满足，解得，故C错误； 选项D：若fx在12,+∞上图象上升（y随x的增大而增大），则fx在12,+∞上有定义，又函数y=mx2−mx+3的对称轴为x=12，需满足{m>0m×122−m×12+3≥0，得m∈(0,12]，故D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得在上恒成立. 当时，则不等式可化为，在上恒成立； 当时，由在上恒成立，可得， 解得. 综上可知. 【变式训练2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】定义域为 等价于 对一切实数 恒成立，用判别式列不等式即可求解． 【详解】由题意 对任意 恒成立， 所以 ，即 ，解得 ． 【变式训练3】（26-27高一上·河南周口·期中）下列各项中，与表示的函数相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】函数相等需满足：定义域相同，且对应法则相同（化简后解析式相同），逐项计算并判断即可得. 【详解】A.定义域为；，对应法则不同，错误； B.与，变量符号不影响，定义域均为，对应法则相同，正确； C.定义域为；定义域为，定义域不同，错误； D.，定义域为；定义域为，正确. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，则恒成立. 当时，满足题意. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 【提升练2】（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对任意，分母都有意义且不为零，故需满足恒成立，对进行分类讨论即可. 【详解】由题意，对任意，都有恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，符合题意； 当时，使 的解集为， 有，解得. 综上所述，的取值范围是. 【提升练3】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A：定义域为， ，对应法则不同，不是同一函数，故A错误； 对于B：定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C：定义域为， 定义域为，化简后，当时，，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故C正确； 对于D：定义域为， 定义域为，自变量只是符号不同，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故D正确. 【提升练4】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】函数 的定义域为，则对恒成立，分当和时两种情况讨论即可. 【详解】函数 的定义域为，则对恒成立，故当时显然成立， 当时，则，解得，综合得实数的取值范围是. 【提升练5】（26-27高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据分式、根式的性质求定义域即可； （2）问题转化为在实数集上恒成立，分类讨论研究恒成立即可. 【详解】（1）由题意有， 解得或或． 故函数的定义域为． （2）因为的定义域为，所以在实数集上恒成立． 若时，要使恒成立，则有且， 即，解得； 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以，即实数的取值范围. 考点四　同一函数的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，与的定义域不同， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于B，与的定义域不同， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于C，，而， 前者定义域为，后者为，故两者表示不同函数； 对于D，，故的定义域相同，对应法则相同， 故两者为同一函数. 【例2】（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．与表示同一个函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数的值域为． D．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 【答案】BC 【分析】求出两个函数的定义域，定义域不同可判断A；根据函数的定义可判断B；利用换元法求值域可判断C；根据抽象函数值域的意义可判断D. 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为， 所以与不是同一函数，故A错误； 对于B：根据函数的定义可知函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C：令，则， 所以，因为， 所以，故C正确； 对于D：当 取遍 R 时， 也取遍 R，故 取到的函数值与 完全相同，因此 的值域不变，仍为 (0,1)，并非 (1,2)，故 D 错误．综上，故选：BC. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对B，，解析式不同，不是同一个函数，故B错误； 对C，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 对D，，定义域与解析式都相同，是一个函数，故D正确 【变式训练2】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法中正确的序号是_____. ①已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为. ②与表示同一函数. ③函数的值域为. ④定义在上的函数满足，则. ⑤设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件. 【答案】①③④ 【分析】①直接用待定系数法可得；②根据同一函数的定义可得；③用换元法求函数的值域可得； ④通过构造方程组求函数的解析式可得；⑤通过特殊分析法判断即可. 【详解】对于①：设，.则， 因，所以，解得或， 所以或，所以的解析式可能为正确，故①正确； 对于②：因的定义域为，而的定义域为， 所以与的定义域不同，所以与是不同的函数，故②错误； 对于③：令t=1−x，则t≥0，x=1−t2，所以y=2(1−t2)+4t =−2t2+4t+2 =−2(t−1)2+4，是关于t的二次函数，且开口向下，在[0,1]上y随t的增大而增大，在(1,+∞)上y随t的增大而减小， 所以即时，，所以函数的值域为，故③正确； 对于④：由，且定义域为，所以用替换得，， 联立，解得，故④正确； 对于⑤：当时，， 此时等价于，所以，所以“”不是“”的充要条件.故⑤错误. 故答案为：①③④. 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．函数和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D．若函数满足，则的解析式为 【答案】ABD 【分析】分析两个函数的定义域和对应法则可判断A；利用换元法结合二次函数图象求值域可判断B，利用一元二次不等式在R上恒成立的条件可判断C；利用方程组法求函数解析式可判断D. 【详解】选项A：两个函数的定义域均为，且对任意，恒有， 二者对应法则完全一致，因此表示同一个函数，A正确； 选项B：先求定义域：需满足，得，即函数的定义域为， y=4−x和y=−x​在0,4上图象都是下降的（y随x的增大而减小），因此fx在0,4上y随x的增大而减小， ，， 因此函数值域为，B正确； 选项C：定义域为，等价于二次式对所有实数恒成立， 该二次函数开口向上，只需判别式，解得，即，C错误； 选项D：将原式中的替换为，得， 联立两个方程消去得，化简得，D正确. 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 与 表示同一函数 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：，其定义域为 ，与 的定义域、对应关系均相同，故是同一函数，D正确． 【提升练2】（25-26高一上·安徽淮南·期中）下列各组函数中是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】逐一分析各项函数定义域和对应关系即可求解. 【详解】对A，由得函数定义域为，由得函数定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对B，函数定义域为，函数定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对C，函数定义域为，且，函数定义域为， 所以两函数定义域相同，对应关系一样，是同一函数，故C正确； 对D，函数和定义域均为，但， 所以两函数定义域相同，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C 【提升练3】（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【详解】选项A：的定义域为； 由根式乘法法则化简得，的定义域也为，定义域、对应法则均相同，是同一个函数，A正确. 选项B：函数定义域为，说明对任意恒成立. 当时，原式化为，恒成立，符合条件； 当时，需判别式，解得； 当时，二次函数开口向下，不可能恒非负. 综上的取值范围是，选项漏掉了，B错误. 选项C：由，得，因此， 函数的值域为，而非，C错误. 选项D：已知①， 将替换为，得 ②. ①②，消去：， ，解得，D正确. 【提升练4】（25-26高一上·四川巴中·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．若函数，则 C．函数与函数表示同一函数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【分析】选项A，根据两函数的定义域不同，判断不是同一函数；选项B，利用换元法，即可求出fx的解析式；选项C，根据两函数的定义域判断是否为同一函数；选项D，根据函数fx的定义域，即可求解f2x的定义域 【详解】对于A，函数的定义域是，函数的定义域是， 两函数的定义域不同，不是同一函数，选项A错误； 对于B，设，，则，所以， 即，选项B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，选项C错误； 对于D，函数的定义域为时，令，解得， 所以函数的定义域为，选项D正确． 故选：BD. 【提升练5】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】BD 【分析】根据函数的三要素逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且，函数的定义域为， 定义域相同且对应关系一致，所以是同一函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且， 函数与函数的定义域且对应关系一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：BD. 考点五　求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 【答案】C 【分析】对于AB，由赋值法结合题意可判断选项正误；对于C，由方程组法可得解析式，据此可判断选项正误；对于D，由换元法可得解析式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，由题可得，又， 则，则，故C正确； 对于D，因，则， 从而，则，故D错误. 【例2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．已知函数，则 B．与是同一函数 C．若函数的定义域是，则函数的定义域是 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】A用换元法求解析式；B看定义域与对应关系；C注意“括号里”的范围；D先求根号内式子的取值范围． 【详解】解：A：令，则， ，，正确； B：，与的定义域、对应关系都相同，是同一函数，正确； C：，，即的定义域为， 由得，即定义域为，错误； D：，且当或时取到一切非负值， 的值域为，正确． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 【答案】C 【分析】将条件变形为 ，令 ，把抽象函数问题转化为求 . 【详解】令 ，则 . 由 得 . 对正整数 ，由 逐次递推，得 . 所以 ，从而 . 【变式训练2】（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知定义域为的函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ACD 【详解】，A正确；的值域是，C正确，B错误；因为，所以，由的值域是， 得或或，由，，，合并得，D正确. 【变式训练3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列命题中，真命题的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若，则 C．已知，则（） D．函数的值域为 【答案】BC 【分析】对A选项直接判断两个函数的定义域不同可得；对B选项先计算，再计算可得；对C选项直接用换元求函数解析式可得；对D选项由二次函数性质及不等式性质计算可得. 【详解】选项A：两个函数为同一函数要求定义域、对应法则均相同. 函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与函数定义域不同，不是同一函数，A错误； 选项B：因为，所以， 因此，B正确； 选项C：令，则，且即， 代入原式得，故，C正确； 选项D：，故，则， 因此，值域为，D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别令、、和，代入运算，即可得答案. 【详解】令，则，解得或， 当时，令，则，解得， 令，则，矛盾， 则， 又，且，所以， 令，则，所以. 【提升练2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【提升练3】（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（   ） A． B． C．f(x)的最小值为−1D．f(x)的值域为[−1,+∞) 【答案】BCD 【分析】采用赋值法求解，通过对x,y赋予特殊值先计算特殊点的函数值，排除错误选项，再推导得到fx的解析式，进一步验证函数的最值、值域，判断剩余选项是否正确. 【详解】令，得，得或． 令，得，则，所以，A错误． 令，得，所以，B正确． 令x=1,y=x，得f(1)f(x)=f(x)−1−x2+2=0，则f(x)=x2−1，其图象是开口向上的抛物线，最小值为−1， 的值域为，C，D均正确． 【提升练4】（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，故D正确． 【提升练5】（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将代入得， 再将代入得，故； （2）和有意义需满足且，即； 又 ，， 两式相加得； （3）的定义域为，且， 故满足外层函数的定义域要求， 所以 ， 其定义域为， 因此的取值范围为所有不等于1的实数，即值域为. 考点六　求简单函数值域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，，则函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，其图像开口向上，对称轴为 ， 又，则为最小值. 时，两端点，，离对称轴较远，故为最大值， 故函数的值域为 . 【例2】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）下列函数中值域为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】选项A，当时，，当时,. 选项C，，故错误. 选项B，. 选项D，，故正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离常数，利用. 【详解】.因为，所以，故， 【变式训练2】（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）函数，的值域是_________． 【答案】 【分析】将函数配方后，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 当时，；当时，. 函数，的值域是. 【变式训练3】（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A：的定义域与值域都是，相同； B：的定义域与值域都是，相同； C：的定义域为，值域为，不同； D：的定义域与值域都是，相同． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元转化为一元二次函数求最值. 【详解】函数的定义域为， 令，则，当且仅当时取等号. 由二次函数的性质可知，函数的值域为， 所以函数的值域是. 【提升练2】（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，，， 所以，即的值域为. 【提升练3】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）以下命题正确的是（     ） A．的最小值为2 B．若一次函数满足，则 C．函数的值域为 D．若函数，则对，，不等式恒成立 【答案】BCD 选项A：换元法，再利用作差法与52比较大小求最值； 选项B：利用待定系数法求出函数解析式，然后求； 选项C：利用换元法转化为二次函数求值域问题； 选项D：利用作差法比较大小即可. 【详解】选项A：令，则，可化为， 由作差法，当t≥2时，t+1t−52=2t2−5t+22t=(2t−1)(t−2)2t≥0，故t+1t≥52，且当t=2时取等号， 当时，，即原式的最小值为，选项A错误； 选项B：设一次函数， 则， 故，解得：，故， ，选项B正确； 选项C：令，则，. 原函数变形为， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，， 当时，， 故函数的值域为，选项C正确； 选项D：对，，， ， ， 故不等式恒成立，选项D正确. 【提升练4】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，通过平方去根号将函数转化为含二次式的形式，结合的取值范围求得的取值范围，进而得到的最值，最后计算比值. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得. 平方去根号化简： 显然，对两边平方得： 由得，因此， 故，代入得。 结合，得，即，因此最大值，最小值， 故： . 【提升练5】（26-27高一上·河南·阶段检测）若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． (1)判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是 理由如下：方法一：对于任意的，若，则， 所以，因为不是的子集， 所以不是自身在区间上的“—相伴函数” 方法二：当时，，解得， 所以当时，不存在，使得，即不是自身在区间上的“—相伴函数” (2)． (3)． 【分析】（1）方法一：先根据定义列出等式，算出对应的范围，发现不是的子集，因此不满足相伴函数的要求； 方法二：举特殊值计算说明即可； （2）变形得到，由的值域包含于解不等式锁定的范围，进而求出最大值； （3）转化为，求出的取值区间，结合的一个函数值只能对应唯一的条件，列出不等式求出t的范围. 【详解】（1）略 （2）对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，解得． 因为，， 所以，所以． 解得或，．又因为，所以，且不同时为． 所以当，时，取得最大值，最大值为． （3）对于任意，总存在唯一的，使得成立， 则，即． 因为， 所以． 因为，，所以当时，，当时，， 所以其图象如图． 又因为总存在唯一的，使得成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 考点七　求抽象函数值域 【例题精讲】 【例1】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 【例2】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A．f(0)=0　　B．f(2)=4　　C．f(−1)=2　　D．f(3)=8 【答案】AB 【详解】令 x=y=0，得 f(0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0，A 正确；f(2)=f(1)+f(1)=4，B 正确；由 f(0)=f(1)+f(−1)=0，得 f(−1)=−2，C 错误；f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6，D 错误．故选：AB. 【基础巩固练】 【变式训练1】（24-25高一上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 【变式训练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由自变量取值范围一致可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 当 取遍 时， 取遍 ， 与 取到相同的函数值，所以值域不变，即 的值域为 ． 故答案为：，. 【变式训练3】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，，则下列说法正确的是（　　） A．f(1)=0　　B．f(4)=2　　C．f(8)=2　　D．f(16)=3 【答案】AB 【详解】令 x=y=1，得 f(1)=f(1)+f(1)，即 f(1)=0，A 正确；f(4)=f(2)+f(2)=2，B 正确；f(8)=f(2)+f(4)=1+2=3，C 错误；f(16)=f(4)+f(4)=2+2=4，D 错误．故选：AB. 【能力提升练】 【提升练1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数定义域与值域的求法，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，而函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 【提升练2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元转化为一元二次函数求最值. 【详解】函数的定义域为， 令，则，当且仅当时取等号. 由二次函数的性质可知，函数的值域为， 所以函数的值域是. 【提升练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合A=xy=1−x2，B=yy=1−x2，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 又，所以，所以. 【提升练4】已知函数 的定义域为 ，值域为 ，若 ，则 的定义域为________，值域为________． 【答案】； 【详解】由 得 ，故 的定义域为 ；当 在定义域内变化时， 取遍 ，所以 的值域仍是 ，再整体减 ，得 的值域为 ． 【提升练5】已知函数 f(x) 的定义域为 R，对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且 f(1)=3．求 f(0) 与 f(2) 的值． 【答案】f(0)=1，f(2)=5 【详解】令 x=y=0，得 f(0)=f(0)+f(0)−1，即 f(0)=1；令 x=y=1，得 f(2)=f(1)+f(1)−1=5． 考点八　已知函数值域求参或定义域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）设，若函数，当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据反比例函数y=6x的图象在(0,+∞)上y随x的增大而减小，结合定义域与值域的对应关系列方程求解a. 【详解】反比例函数y=6x的比例系数为6>0，其图象在区间(0,+∞)上y随x的增大而减小， 已知，当时，函数最大值在左端点处取得，最小值在右端点处取得，即，， 由，得， 解得，符合的条件， 因此. 【例2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．和表示同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的定义域为，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A：根据同一函数的定义判断； B：先由定义域求得作用范围，再列不等式求出的定义域； C：利用求出分母的范围，进而得到函数的值域； D：定义域为，即根号内式子恒非负，分类讨论可求得参数范围. 【详解】对于A， 的定义域是，而的定义域是全体实数， 定义域不同，故A错误； 对于B，已知的定义域为，即，因此， 于是函数的定义域是. 对于，需满足，解得， 即的定义域为，B正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C正确； 对于D， 定义域为，等价于被开方数对所有实数恒成立， 若，不等式化为，不恒成立，舍去； 若，则，解得， 综上，的取值范围是，D正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知函数，其值域是，则其定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意或，所以或， 所以或，解得或， 所以函数的定义域是. 【变式训练2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 【答案】 【分析】先求出函数值为和对应的自变量取值，再根据值域要求确定集合的元素限制，计数符合条件的子集个数. 【详解】令， ， ， 令， ， 或， 由的值域为， 中一定有，与至少有一个， 满足条件的可能为，，，共个. 【变式训练3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）函数在上的值域是，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】， 对称轴为，， 函数在上的值域是， 则必须在区间内，可得， 当时，解得， 解得或， 要保证最小值恰为（不更低），左端点处需满足， ， 则且，实数的取值范围为， 即实数的取值集合为. 【提升练2】（24-25高一上·云南红河·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据函数的定义确定．，只要在定义域中，中至少有一个，中至少有一个即可． 【详解】值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况. 故选：C． 【提升练3】（24-25高一上·广东广州·期中）已知，定义域为，值域为T.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．若，则函数的定义域为 B．若值域，则满足条件的函数有3个 C．若，函数且，则 D．若，关于x的方程有4个不同的实根，则 【答案】AB 【分析】对于A选项，应用抽象函数定义域求法即可判断选项；对于B选项，可以根据函数的值域，反推函数定义域，进而判断选项；对于C选项，根据已知条件，根据换元法求得的解析式，进而求解参数的值并判断选项；对于D选项，根据函数解析式结合图象变换，画出图像，根据函数图像求得参数的取值范围，进而判断选项. 【详解】对于A选项，已知函数的定义域, 则在函数中，有，解得：， 故函数的定义域为，故A选项正确； 对于B选项，已知函数的值域，则函数定义域可以是，，， 因此满足条件的函数有3个，故B选项正确； 对于C选项，有题意可知：， 令，得：， 已知，得：，解得：，故C选项错误； 对于D选项，已知，令，根据图象变换可得： 在的图象如图所示： 如图易知，由于，因此若有4个不同的实数根，则， 故D选项错误. 故选：AB 【提升练4】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 【答案】9 【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同，分析得出定义域的所有可能情况，即可得到答案． 【详解】由，解得， 由，解得或， 由，解得或， 即定义域内一定有0，－1和1至少有一个，－2和2至少有一个，则定义域所有可能为， ，，，，，， ，，， 即值域为的“孪生函数”共有9个. 【提升练5】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数是定义在闭区间上的单调函数，且值域恰好为，，则称为“能量函数”，若此时，则称为“正能量函数”. (1)已知函数是定义在上的能量函数，求； (2)已知是定义在上的正能量函数，求实数，. 【答案】(1)，或； (2)，. 【分析】（1）根据函数是定义在上的能量函数，求得的值域，然后结合在上的单调性即可求得的解析式； （2）先求出在上的值域，根据是正能量函数，判断出区间在二次函数的对称轴的同一侧，然后结合在上的单调性列出关于，的方程组即可求得. 【详解】（1）因为是定义在上的能量函数，所以的值域为， 当时，不合题意，舍去； 当时，在上是单调函数，所以，或， 即，或，解得，或， 所以，或； （2）因为是定义在上的正能量函数，所以的值域为， 依题在上是单调函数，且对称轴为， 若在上单调递减，则，此时不满足，不合题意； 若在上单调递增，则，所以，即， 解得或，， 因为且，所以，. 【真题回顾】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 函数的概念 【基础回顾】 一、知识要点 1. 函数的定义 设 A、B 是两个非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与它对应，那么就称对应关系 f 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 其中 x 叫做自变量，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值。x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 对应的 y 的值组成的集合 叫做函数的值域。值域是集合 B 的子集，即值域 B。 理解定义要抓住两个关键词：一是"任意"，即 A 中每个 x 都要有象，不能有"漏网之鱼"；二是"唯一"，即一个 x 只能对应一个 y。如下图所示，"一对一"与"多对一"都可以构成函数，而"一对多"不能构成函数。 图 1 三种对应关系与函数概念 2. 函数的三要素与同一函数 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。其中值域由定义域和对应关系共同确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同（与表示变量的字母无关）。三要素中只要有一个不同，两个函数就不同。 3. 区间 设 a、b 是两个实数，且 a<b。我们规定用一些记号表示数的集合： 类型 记号 集合表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 或 两个端点中一个取到、一个取不到 无穷区间 、 等 含 的一端一律写成开 这里 a、b 叫做区间的端点。注意： 不是一个数，只是一个记号，表示"无限延伸"，所以含 的一端永远取不到，必须用小括号。 4. 具体函数定义域的求法 求用解析式表示的函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值集合。限制条件来自解析式的结构，常考的四类列表如下： 解析式特征 限制条件 示例 分式 分母 ： 偶次根式 被开方数 ： 零次幂 底数 ： 实际/几何背景 自变量符合实际意义 时间 、边长 等 各限制条件必须同时满足，取交集即为定义域。最终答案必须写成集合或区间的形式，在数轴上画图核对端点开闭（空心点不取，实心点取到）。此外还有一条黄金法则：化简解析式必须在原定义域内进行——先化简后求定义域，会把限制条件"化丢"。 图 2 定义域在数轴上的表示：空心点不取，实心点取到 5. 抽象函数的定义域（重点） 不给出具体解析式、只用记号 表示对应关系的函数叫做抽象函数，它的定义域问题只依赖一条核心原则——"同括号同域"：记号 中，无论括号里装的是 、 还是 ，括号内"整体"的取值范围都必须落在 本身的定义域内。同时牢记：定义域永远指"自变量 x"的取值范围，不是括号内整体的取值范围。常见三类问题及解法如下。 类型一（正方向）：已知 的定义域为 ，求 的定义域。解法：令 ，解这个关于 的不等式，解集就是 的定义域。原理：括号内整体 扮演了原来 的角色，它必须落在 的"合法输入"范围 内。 类型二（逆方向）：已知 f(g(x)) 的定义域为 [c,d]，求 f(x) 的定义域。解法：f(x) 的定义域就是括号内整体在给定条件下的取值范围——把 x∈[c,d] 代入 g(x)，求出 g(x) 的值域（利用 g 的图象升降情况或配方），这个值域就是 f(x) 的定义域。注意与类型一的方向恰好相反：类型一是"由 f 的域限制 x"，类型二是"由 x 的范围算出 f 的域"。 类型三（双重抽象）：已知 的定义域，求 的定义域。解法：分两步走，先按类型二由 的条件求出 本身的定义域（中转站），再按类型一令 解出 。"先还原 的域，再限制新的括号整体"，中间不要跳步。 6. 函数的值域（初步） 值域是所有函数值组成的集合，"先定义域、后值域"是求值域的总原则：定义域一动，值域跟着变，所以求任何函数的值域都必须先盯住定义域。本节先掌握最基础的观察法——由基本函数的值域直接推出： 基本函数 值域 推论举例 （x∈R） 的值域为 （x≥0） 的值域为 的值域为 （x≠0） 的值域为 一次函数 x∈[m,n]） 区间端点值之间的连续段 （）值域 复合结构（如 ）与分式、根式结构的系统求法，见"3.2.1 专题1：函数求值域问题方法汇总"，那里有九种方法的完整总结。 二、典型例题 例 1 函数概念的正误辨析 下列各组对应中，能构成函数的是（ ） ① A=，B=，对应关系：每个数都对应 4； ② A=，B=，对应关系：取平方后加 3，但 2 没有规定象； ③ A=，B=，对应关系：取平方； ④ A=，B=，对应关系：取平方根。 【分析】紧扣"任意 x 有唯一确定的 y"逐条检验。 【解】①中每个 x 都对应 4，属于"多对一"，是函数；②中 2 没有象，不满足"任意"，不是函数；③每个 x 的平方唯一确定，是函数；④正数的平方根有两个，一个 x 对应两个 y，不满足"唯一"，不是函数。故选①③。 【点评】"多对一"可以是函数，"一对多"一定不是函数；A 中元素不允许"无象"。 例 2 具体函数的定义域 求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）。 【解】（1）由 得 ，定义域为 。 （2）需 且 ，即 且 ，定义域为 。 （3）需 且 ，即 且 ，定义域为 。 【点评】先列条件再取交集；答案必须写成集合或区间的形式。 例 3 求函数值 已知 ，求 、、 与 。 【解】；； 由 得 。 【点评】求 就是把整个 代入，注意先算内层。 例 4 判断是否为同一函数 下列各组函数中，哪些表示同一函数？ （1） 与 ；（2） 与 ； （3） 与 ；（4） 与 。 【解】（1） 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数。（2） 要求 ，而常函数 的定义域为 ，不是同一函数。（3）两个函数的定义域都是 ，对应关系也相同，字母不同不影响，是同一函数。（4）由根式性质 ，两函数定义域都是 、对应关系相同，是同一函数。故（3）（4）是同一函数。 【点评】判断同一函数只看两件事：定义域是否相同、对应关系是否相同。化简解析式时必须先在原定义域内进行，防止"先化简后判断"出错。 例 5 抽象函数定义域：三类问题逐一体会 （1）已知 的定义域为 ，求 与 的定义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域； （3）已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解】（1）类型一。令 得 ， 的定义域为 ；令 即 ，得 ， 的定义域为 。 （2）类型二。定义域 是自变量 x 的范围：当 时，括号内整体 的范围是 ，这就是 本身的定义域 。 （3）类型三。先还原 的定义域：由 的定义域 ，当 时 ，故 的定义域为 。再限制新括号：令 ，得 ，故 的定义域为 。 【点评】三问分别对应"正、逆、双"三条路线，共同的尺子只有一条：括号内整体必须落在 的定义域内。最易错的是第（2）问的方向——把 直接当成 的定义域就错了。 例 6 值域初步：先定义域后值域 求下列函数的值域：（1）（）；（2）；（3）（）。 【解】（1）配方得 ，值域为 ； （2）定义域为 ，，故 ，值域为 ； （3）在 [1,3] 上，x 越大，1x 越小，故 13≤1x≤1，值域为 [13,1]。 【点评】对比： 在 的范围内值域是两段，但限定 后只剩一段——定义域不同，值域完全不同，这正是"先定义域后值域"的含义。 三、易错警示 1. 忽视"任意"与"唯一"：A 中元素必须都有象，且象唯一，二者缺一不可。 2. 值域与集合 B 混为一谈：值域 B，B 可以比值域大。 3. 区间端点开闭写错：含 的端点必须写小括号；写定义域时漏掉个别限制条件。 4. 判断同一函数时先化简后判断，如把 化成 再比较，丢掉了定义域的限制。 5. 求 的定义域时，误把 的范围当成 x 的范围；反过来求 的定义域时，又忘了取 的值域而不是直接照抄已知区间。两类方向相反的问题最容易张冠李戴，做题先问自己："已知的是谁的域，求的又是谁的域"。 四、方法小结 问题类型 核心方法 判断对应是否为函数 检验"任意 x 有唯一 y" 判断是否为同一函数 定义域、对应关系逐一比对 求具体函数定义域 分母非零、偶次根非负、零次幂底非零、符合实际，再取交集 已知 域求 域 解 （正方向） 已知 域求 域 求 在给定 x 范围上的值域（逆方向） 双重抽象 先还原 的域，再限制新括号整体 值域初步 先定定义域，再观察/配方/用单调性；系统方法见 3.2.1 专题1 【考点精讲练】 考点一　由图像和解析式判断是否是函数关系 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·河南周口·期中）若函数定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列四个方程中表示是的函数的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．③④ D．①②④ 【变式训练2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【变式训练3】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）下列两个集合间的对应关系中，是从到的函数的有（   ） A．，，中的数的平方 B．，，中的数的开方 C．，，中的数的倒数 D．，，中的数的倍 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 【提升练2】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）一个函数图象如图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·全国·单元测试）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【提升练4】（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能情况数为________． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 考点二　求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知的定义域为，求的定义域（    ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．函数与函数是同一函数 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数满足，则 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·陕西渭南·期中）函数的定义域为________． 【变式训练3】（26-27高一上·重庆北碚·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．与表示同一函数 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．的定义域为 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）使有意义的的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．− 【提升练2】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·安徽滁州·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．已知的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【提升练4】（26-27高一上·河南周口·期中）函数的定义域是___________. 【提升练5】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 考点三　已知函数的定义域求参数 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若fx的值域为[0,+∞)，则m∈(12,+∞) D．若fx在12,+∞上图象上升（y随x的增大而增大），则0<m≤12 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【变式训练3】（26-27高一上·河南周口·期中）下列各项中，与表示的函数相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·广东揭阳·阶段检测）函数的定义域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【提升练2】（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【提升练4】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【提升练5】（26-27高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 考点四　同一函数的判断 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．与表示同一个函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数的值域为． D．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法中正确的序号是_____. ①已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为. ②与表示同一函数. ③函数的值域为. ④定义在上的函数满足，则. ⑤设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件. 【变式训练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）下列叙述正确的是（    ） A．函数和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D．若函数满足，则的解析式为 【能力提升练】 【提升练1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 与 表示同一函数 【提升练2】（25-26高一上·安徽淮南·期中）下列各组函数中是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【提升练3】（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【提升练4】（25-26高一上·四川巴中·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．若函数，则 C．函数与函数表示同一函数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【提升练5】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 考点五　求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山西太原·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知，则 D．已知，则 【例2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．已知函数，则 B．与是同一函数 C．若函数的定义域是，则函数的定义域是 D．函数的值域为 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 【变式训练2】（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知定义域为的函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【变式训练3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）下列命题中，真命题的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若，则 C．已知，则（） D．函数的值域为 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【提升练2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（   ） A． B． C．f(x)的最小值为−1D．f(x)的值域为[−1,+∞) 【提升练4】（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【提升练5】（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 考点六　求简单函数值域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·全国·期中）已知 ，，则函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）下列函数中值域为的是（     ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）函数，的值域是_________． 【变式训练3】（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）以下命题正确的是（     ） A．的最小值为2 B．若一次函数满足，则 C．函数的值域为 D．若函数，则对，，不等式恒成立 【提升练4】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 【提升练5】（26-27高一上·河南·阶段检测）若对于任意，总存在唯一的，使得成立，我们就称函数是函数在区间上的“—相伴函数”． (1)判断函数是否是自身在区间上的“—相伴函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在上的“—相伴函数”，求实数的取值范围． 考点七　求抽象函数值域 【例题精讲】 【例1】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A．f(0)=0　　B．f(2)=4　　C．f(−1)=2　　D．f(3)=8 【基础巩固练】 【变式训练1】（24-25高一上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 【变式训练3】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，，则下列说法正确的是（　　） A．f(1)=0　　B．f(4)=2　　C．f(8)=2　　D．f(16)=3 【能力提升练】 【提升练1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【提升练2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合A=xy=1−x2，B=yy=1−x2，则A∩B=（ ） A． B． C． D． 【提升练4】已知函数 的定义域为 ，值域为 ，若 ，则 的定义域为________，值域为________． 【提升练5】已知函数 f(x) 的定义域为 R，对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且 f(1)=3．求 f(0) 与 f(2) 的值． 考点八　已知函数值域求参或定义域 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）设，若函数，当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【例2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．和表示同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的定义域为，则实数的取值范围为 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知函数，其值域是，则其定义域是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 【变式训练3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）函数在上的值域是，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【提升练2】（24-25高一上·云南红河·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【提升练3】（24-25高一上·广东广州·期中）已知，定义域为，值域为T.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．若，则函数的定义域为 B．若值域，则满足条件的函数有3个 C．若，函数且，则 D．若，关于x的方程有4个不同的实根，则 【提升练4】（26-27高一上·安徽合肥·阶段检测）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 【提升练5】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数是定义在闭区间上的单调函数，且值域恰好为，，则称为“能量函数”，若此时，则称为“正能量函数”. (1)已知函数是定义在上的能量函数，求； (2)已知是定义在上的正能量函数，求实数，. 【真题回顾】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $