精品解析：广东惠州市惠州中学2026-2027学年高一第一学期阶段性考试数学试题

惠州中学2026-2027学年高一第一学期阶段性考试 数　学　试　题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤. 其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数集、有理数集、自然数集的标准定义，结合元素与对应数集的关系判断即可. 【详解】实数集：包含全体有理数与无理数； 有理数集：包含所有可表示为两个整数之比的数，即全体整数与分数； 自然数集：即非负整数集，元素为. ① 是有理数，属于实数范畴，因此，该关系正确； ② 是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数集，因此，该关系正确； ③ ，3是正整数，属于非负整数集，因此，该关系正确； ④ ，是无理数，不属于有理数集，因此的关系错误； ⑤ 0是非负整数，属于自然数集，因此，该关系正确. 综上，正确的关系为①②③⑤，共4个. 2. 集合用区间表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，用区间表示为. 3. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题，即将任意改为存在并否定原结论， 所以原命题的否定为. 4. 已知，则下列一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则；若，则；若，则.所以A错误； 对于B，若.则.所以B错误； 对于C，因为，所以不同时为零，所以， 又，所以，即，所以C正确； 对于D，若，则；若，则.所以D错误. 故选：C. 5. 不等式的解集是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或，解得或， 所以不等式的解集为或. 6. 下列每组函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项. 【详解】A．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； B．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误； C．与的定义域都为，，对应法则相同，故C正确； D．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故D错误； 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题考查判断两个函数是否是同一函数，判断时，注意考虑函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题. 7. 已知函数，，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，不妨设，由和求出，进而可求出结果. 【详解】由题意，不妨设， 因为， 由可得， 而，∴，故. 故选：B. 8. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立不等关系式,解出不等式即可，需注意这个前提条件 【详解】由题,,则,即 ,即 又每盏最低售价为15元, 故选B 【点睛】本题考查不等关系在应用题中的使用,需注意题中对变量的限制条件,考查解一元二次不等式 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列对应关系中，y是关于x的函数的有（　　） A. B. 如下表所示： x 1 2 3 4 y 2 4 3 3 A. B. C. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，B，D选项，对于任意的一个都可以找到唯一确定的一个与之对应，故A，B，D是y关于x的函数； 对于C选项，当时，或，故C不是y关于x的函数. 10. 已知集合，，下列说法正确的是（ ） A. 不存在实数使得 B. 当时， C. 当时， D. 存在实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定. 【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确. 选项B：当时，，不满足，故选项B错误. 若，则 ①当时，有，； ②当时，有此方程组无实数解； 所以若，则有，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 11. 已知，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为6 D. 若恒成立，则k的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，根据基本不等式及一元二次不等式的解法求解即可；选项B，采用特殊值法判断即可；选项C，根据基本不等式求解即可；选项D，根据不等式的性质及作差法得到，结合分离参数求解即可. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当时，等号成立. 令（），不等式转化为，即， 解得或（舍去，因为）， 即，故，当且仅当时取等号，A正确. 选项B：当时，若趋近于0时，趋近于，故该式的最小值必然小于1，B错误. 选项C：因为，则，当且仅当即时，等号成立. 又，解得，满足，故该式的最小值为6，C正确. 选项D：不等式对恒成立，等价于恒成立，故的最小值为该式的最大值. 又, 所以，则， 即，等号成立当且仅当，故的最小值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围. 【详解】不等式，解得， 依题意，，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知x，y满足，则的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】构造线性关系式，从而得，，再结合已知求目标式的范围. 【详解】设， 所以，解得，， 所以， 由已知条件，得，， 所以，即. 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知函数. （1）求，； （2）已知，求的值. 【答案】（1） ，. （2） 或 . 【解析】 【小问1详解】 由题可得，解得且，所以函数的定义域为. ，. 【小问2详解】 由， 当时，即，符合题意； 当时，令，由，可得，且， 令，且，方程化为，即， 因为是方程的根，所以上式分解得， 因为，所以，解得或， 因为，所以，即，解得， ，解得. 综上，的值为或. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为1，3，且，利用韦达定理运算求解即可； （2）分和两种情况，根据恒成立问题结合二次函数列式求解即可. 【小问1详解】 不等式的解集是， 即的两根为1，3，且， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，不等式. 若，则不等式即为，不恒成立，不合题意； 若，则由题意可得，解得； 综上所述：的取值范围是. 17. 求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【答案】 证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，， 设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【解析】 【分析】利用二次方程根与系数的关系结合充分条件、必要条件的定义即可证得结论成立. 【详解】略 18. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】（1） （2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解析】 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 19. 给定数集A，若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合. （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合A，B为闭集合，且，，求证：. 【答案】（1）因为，但是，所以不是闭集合； 任取，设， 则，所以，同理， 故B为闭集合； （2）不一定为闭集合，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合， 因为，但，因此不是闭集合， 所以A，B为闭集合，则不一定为闭集合； （3）反证法）若，则因为，存在，且，故， 同理，因为，存在，且，故， 因为，所以或. 若，则由为闭集合，则，与矛盾； 若，则由为闭集合，则，与矛盾； 综上所述：不成立，则 【解析】 【分析】（1）根据闭集合的定义判断即可； （2）举例子，，由，即可得结论； （3）利用反证法，假设，由条件可得存在，故，，故，可得或，与和为闭集合矛盾，即可求证. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2026-2027学年高一第一学期阶段性考试 数　学　试　题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤. 其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 集合用区间表示为（　　） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则下列一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 6. 下列每组函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列对应关系中，y是关于x的函数的有（　　） A. B. 如下表所示： x 1 2 3 4 y 2 4 3 3 A. B. C. 10. 已知集合，，下列说法正确的是（ ） A. 不存在实数使得 B. 当时， C. 当时， D. 存在实数使得 11. 已知，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为6 D. 若恒成立，则k的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 函数的定义域是_________． 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 14. 已知x，y满足，则的取值范围是____. 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知函数. （1）求，； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围. 17. 求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 18. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 19. 给定数集A，若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合. （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合A，B为闭集合，且，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $