第八章 平面解析几何（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则曲线在处的切线方程是____________. 【答案】（或） 【详解】，则，又， 所以曲线在处的切线方程是，即. 2．椭圆上有一点A在x轴上方，，分别为椭圆的左右焦点，则的周长为________ 【答案】 【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得：，所以的周长为. 3．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【详解】在抛物线中，，得. 焦点坐标为，焦点在轴上， 根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 4．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 5．平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【详解】设， 由， 可得， 即， 由题意知，直线 上的任一点不在圆内部， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 6．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【详解】令，，解得，故， 因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的离心率为. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 【答案】 【详解】在椭圆中，，，则，即、，    因为椭圆和直线都关于原点对称，易知点、也关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 故. 8．已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 9．如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，点分别在线段上，，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形材料，则矩形面积最大时，的长为___________．（精确到0.1） 【答案】 【详解】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 正方形边长为，由，得， 曲线是以（轴）为对称轴的抛物线，设抛物线方程为， 将，代入：，解得， 抛物线方程：，整理得， 设，则点，直线交抛物线于， 矩形的长，矩形的高， 矩形面积：， 求导：， 令，即，整理得， ， 由一元二次方程求根公式： ， 得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以为极大值点，也是区间上的最大值点， ， 故矩形面积最大时，的长为. 10．已知点，，定义为点A和点B之间的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 由对称性，两条曲线分居直线两侧，对任意分别在两条曲线上的点，根据点到直线的距离性质，两点间距离不小于两点到直线的距离之和，又由两曲线关于对称，它们到直线的最小距离相等，记为，因此， 等号成立当且仅当线段，且分别为两条曲线上切线平行于的切点. 已知的最小值为，因此，解得单条曲线到直线的最小距离为. 对反函数求导，得切线斜率为， 令切线斜率等于1（与直线平行），即，解得， 反函数定义域为，由于恒成立，因此该切点在定义域内，存在性成立， 将代入反函数，得切点纵坐标， 即切点的坐标为. 切点到直线（即）的距离即为，由点到直线距离公式为 ，结合，列方程， 化简得，解得或. 若曲线与直线有公共点（含相切），则可取重合于该公共点，此时镜像距离为，与题设“最小值为”矛盾，故需舍去. 当时，反函数为（），令，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减，所以，取得最大值为， 又当时，，由零点存在定理，存在零点，即曲线与有公共点，不符合题意，舍去； 当时，反函数为（），令，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减，所以，取得最大值为， 因此恒成立，曲线与无公共点，符合题意. 综上，. 11．清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______．    【答案】 【详解】母线长为，即，开口直径为，即， 如图，设是母线的中点，是中线，又也是中线， 设，则是重心，设的中点为，即椭圆的中心， 设，，，作平面平面，，，． 对椭圆如图建系，，故，， 根据平行四边形的性质，知，， 于是，，． 12．在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【详解】由题知，设， 易知过，，三点的圆的圆心在直线上， 又过，，三点的圆在点处的切线与轴平行， 所以切线方程为，且圆心在直线上，所以， 又直线，由，得到， 整理得到，又，所以，则点， 所以，整理得到，所以， 解得或， 又，所以. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，两条直线分别为：和，所以斜率均存在，且乘积为：，所以两直线垂直，所以充分性成立； 当时，易得两直线分别为：和，明显不垂直；当时，若两直线垂直，则，解得：，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 14．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 15．已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 16．平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（     ）． A．①成立；②成立 B．①成立；②不成立 C．①不成立；②成立 D．①不成立；②不成立 【答案】C 【详解】①所有椭圆都具有性质：不成立； 椭圆是有界图形，取离椭圆足够远的外部点，若 是椭圆上两点的中点，则不可能离椭圆太远； 若椭圆上一点是的中点，则线段， 由于都在有界椭圆上，也只能在有界范围内，因此取足够远的点时，找不到满足条件的所以椭圆不一定具有性质； ②所有抛物线都具有性质：成立； 用抛物线标准方程 证明如下，设不在抛物线上的点，则 ， 1. 当在抛物线内部（）时： 设为弦的中点，设，代入抛物线方程并利用中点公式消元， 可得关于 的一元二次方程： 其判别式 ，故存在两个不同实根，即存在满足条件的； 2. 当在抛物线外部（）时： 设为线段的中点（即在抛物线上），由中点公式得坐标为 ， 代入抛物线方程消去可得关于的二次方程： 其判别式 ，存在实根，且（否则与不在抛物线上矛盾），故不重合； 推广：其他开口方向及位置的抛物线，均可由标准抛物线 通过平移、旋转、对称变换得到， 而这些变换均保持“中点”关系不变. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线过点且它的一个法向量为，直线 (1)写出直线的方程， 并求当时，与的夹角θ； (2)若∥，求实数a的值，并求此时直线到直线的距离d． 【详解】（1）因为直线的一个法向量为，所以直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率，又直线过点, 直线的方程为，即， 当时，，斜率为， 所以，， 即；……（7分） （2）因为，可化为， 若，，得， 则，即， 所以.……（14分） 18．（14分）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为.……（7分） （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为.……（14分） 19．（14分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，.……（7分） （2）由，解得，得， 由，解得，得， 所以.……（14分） 20．（18分）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【详解】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离.……（5分） （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或.……（11分） （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：.……（18分） 21（18分）．设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； (3)若面积是面积的5倍，求的值． 【详解】（1）由题意，动点到点的距离之和为定值，且, 所以动点的轨迹为椭圆，且， 故， 所以所求椭圆的方程为.……（5分） （2）因为，，，且， ∴直线的斜率为，直线的斜率为， ∴直线的方程为，直线的方程为， 由，得， ∴（舍去）或， 此时，， ∴， 由，得， ∴（舍去）或，此时， ∴； 据已知，， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 令，得，即. ∴与轴交点的位置与无关. 点N的坐标为.……（12分） （3），，， ，∴，∴， ∴， ∵， ∴整理方程得，即， 又有，∴，∴，∴为所求．……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则曲线在处的切线方程是____________. 2．椭圆上有一点A在x轴上方，，分别为椭圆的左右焦点，则的周长为________ 3．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 4．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 5．平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 6．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 8．已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 9．如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，点分别在线段上，，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形材料，则矩形面积最大时，的长为___________．（精确到0.1） 10．已知点，，定义为点A和点B之间的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为，则实数a的值为________． 11．清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______．    12．在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 14．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 15．已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 16．平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（     ）． A．①成立；②成立 B．①成立；②不成立 C．①不成立；②成立 D．①不成立；②不成立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线过点且它的一个法向量为，直线 (1)写出直线的方程， 并求当时，与的夹角θ； (2)若∥，求实数a的值，并求此时直线到直线的距离d． 18．（14分）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 19．（14分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 20．（18分）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 21（18分）．设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； (3)若面积是面积的5倍，求的值． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第八章平面解析几何（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第712题每题5分，共54分.） 1.x-y=0(或y=x) 2.4+2V3 3.2 4.y=3或V3x-y+3-V3=0 5.（m,-8-10W2[-8+102,t) 20 6.3 7.3 8.2 3v17 3 9.2.2 10.-2 11.17 12.3 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 A C C C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分） 17.(14分) 【详解】（1)因为直线的一个法向量为L2) 所以直线4的一个方向向量为2，) 所以直线1的斜率k=一{ 2,又直线1过点A(2,1), 直线1的方程为y-1=x-2),即x+2y-4=0 当a=-2时，4：3x-2y=6,斜率为2， 3 22 所以tan0 -8 37 1+22 Cos0=- 1V65, 6565 65 0=arccos- 即 65;…(7分) 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :x+2y-4=0Z2:3x+ay=6 3x+ay-6=0 (2)因为 可化为 3-0+6 若11l,i2-4,得a=6 :3x+6y-6=0x+2y-2=0 则 ，即 wu-以.25 VP+22 5…(14分) 18.(14分) x+y-2=0 [x=2 【详解】(1)由3x-y-6=0解得y=0,则圆心为(2,0)，半径为√5， 圆C的标准方程为x-2+y=5…(7分) (2)设P).0(x) 由PM=20N.可得8-，)=28-x- x=2x-8 则=2y，又点P在圆C上，所以(x-2)}+=5, 即(2x-10+4y2=5,化简得x-5列+y2-】 4, 一点0的轨迹方程为x-5+2= 4…(14分) 19. (14分) 新情境 (0,-1) 【详解】(1)因为椭圆的一个焦点 和短轴的两个顶点 2,0叭与-2,0) 可得c=l,b=2,即a2-5, 而以半个锅两的方程为片+号=1（之0： 圆弧经过椭圆的一个焦 F0,-)和短轴的两个顶点2,0叭与(2,0)， 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设圆弧方程为+0y-=r,(y<0) 利用1-小r=P+,解钢1，所以r 2 用2+-草0<0 x=3-V4 4 (2)由 解得-3④， 得4 y=x 4 [25 x= + 3 白4+020，解得，25，得2525 y=x y= 3 3,3 所以A=2 5 ≈3.31 …(14分) 20.(18分) 【解】d由题知26=5。c=6,右猛点为原.0 渐近线方程为’=±5x W2x3-0 d =2 根据双曲线对称性不妨取、2x-y=0:则右焦点到渐近线的距离(V2+(- …(5分) (2)设P,%X>0%>0),则=2x-2.EF=3 若1PE=3,5+y+22-2=9,解得6=/4) 3, 者P阳=Pm,则气分，代入双自线方程解得=-是<0，不后， 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若Pm-3化-2+2x-2=9:解得气了 -1+V317 综上，点P的横坐标为3或3…(11分) (3)易知直线的斜率存在，故设直线I的方程为y=:+1, 2 y=+1得(2-2)x2+2+3=0: 令△=-8k2+24>0且K2-2≠0，得0≤K2<3且K2≠2， 2k 3 设A0K,B,),则+5=-2,5=-2， OA.0B=5+4=伏2+x5+5+5)+1=2+-2+ 5 Γk2-2 k2-2 当0<2时，01.05≤-当2<<3时，01.0B>7 所以O1.OB的取值范国为：（←o2U,+o)…(18分） B 21(18分)同 【详解】(4)由题意，动点P(川到点F(5,0,5.0)的距窝之和为定值4，且F=25<4, P(x,y 所以动点 的轨迹为椭圆，且2a=4,2c=2V5 故b=d2-c2=4-3=1, 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 所以所求椭圆的方程为4+严=1 …(5分) (2)因为A0,),B0,-,M(m2,且m≠0， “直线4M的斜率为= 2m,直线BM的斜率为6=，3 1 2m 六直线AM的方程为y=- 3 mx+l,直线BM的方程为y=2m -1 2m [x2 +y2=1 4 由 y=- 得 x+1 2m (m2+1)x2-4mx=0 4m 小x=0(舍去)或x= m2+1? 此时，y=-1.4m +1=m2-1 2mm2+1m2+1 4mm2-1 E ∴.m2+1'm2+1, x2 +y2=1 4 由3，得 s -x-1 2m (m2+9)x2-12mx=0 12m 六x=0（舍去)或x= m+9,此时y= 3.12m-1=9m 2mm2+9m2+9’ 12m9-m2 m2+9'm2+9; 据已知m≠0，m2≠3， m2-19-m2 .直线 的斜率k=19+=m+3m2-3到。m2+3 4m12m -4m(m2-3) 4m, EF 1+m29+m2 直改肉方程为y哥品 m2+1, 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令x=0, 得y=2, N(0,2) 即 ∴.EF与y轴交点的位置与m无关， 0,2) 点N的坐标为 …(12分) (3)Sw-M4MFsn∠AME,Sm-Esin∠BME,∠AMF=∠BME: 5MA MB 5SAANF =SAmE :5MAMF=MBIME,ME MF, 5m m .4m mti-m 12m 9+m2-m, m≠0， 115 二整理方程得m+1m2+91,即(m2-3m2-)=0, 又有m*5,六-340，六=1，小m=l为所求.…(18分 6/6