20.3 二次根式的加减（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

同学们，认真学习，不只是为 在的每一分专注，都会化作以后选 自己。 学 ?分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现 的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的 华东师大版（新教材）数学九年级上册 第二十章二次根式 20.3二次根式的加减 授课教师： 班 级：9年级 ()班 11/05/2026 时 间 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤 笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 学习目标 理解同类二次根式的概念，掌握二次根式 了解二次根式的混合运算可类比整式的混 合运算； 3 能熟练地进行二次根式混合运算· 加减运算的方法； 合运算及数的混 情境导入 在七年级上册第2章，我们学习了同类项与 合并同类项。 像2a与3a、3mn与一4mn这样，所含字母相同，并且相同字 母的指数都相等的项叫做同类项， 合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的 系数，字丹和字母的指数保持不变。 回顾训练 3x-(-2x) 5x 解：3x-(-2x)=3x+2x=5x. 探究新知 同类二次根式 观察下列二次根式有什么共同特征： (1入2-25 25175g5 每组的二次根式的被开方数相同 ● 探究新知 下列根式又有什么共同特征？ 3)2,⑧⑧，V32,0.5, 经过化简后，各根式 被开方数相同，像这 样的几个二次根式被 称为同类二次根式· 三 2 Vis 三 = 4 0.5 三 1-2 3-2 2 探究新知 (1)说出2√5 的三个同类二次 根睿案不唯一，专 如V45,N80,-√20 (2)下列各式中哪些是同类二次根式？ va0品5号aw6y品 答：与品是同类二次式万55号 2V8ab与6h, 是同类二次根式 2b 先化成最简 二次根式， 再作判断. 同类二次根式； 探究新知 2 二次根式的加减法则及运用 例1计算：3√2+3-2V2-3√3. 解：3V2+V3-22-3√5 =(3V2-2V2)+(3-3vV3) =√2-23. 探究新知 思考：计算：√⑧+√18+√12. 分析 先将各二次根式化简： V8=√4x2=V4×√2=2W2 /18=V9x2=V9xV2=32 √12= √4×3=V4×3=2√3 解⑧+√18+√12 =22+3√2+23（化成最简 =5V2+2N3 (合向类 次根 探究新知 思考：如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： (1)化为最简二次根式 (2)系数相加减 (3)二次根式不变 O 探究新知 类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？ 二次根式的加减法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二 次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根 式)进行合并. 一化 二找 三合并 探究新知 例2计算：(1)N27-V12+V45; 解：(1)N27-√12+√45 =33-2√3+3√5 =3+35. +切- +2-V⑧ 25 V2+4W2-3N2 2 〔任小a 7 V2. 2 探究新知 1.计算：()V48-v2 (2)V6a+v36a 解：（①）V48-12=43-25 (2)N16a+√36a=4va+6a (4-2)N3=25 =(4+6)Na=10Na 探究新知 2.计算：（①）V24-V6+√3=√27， (2)√80-25-1 解：(1)V24-6+V3-√27=2V6 =√6 ②0-25-5=0-25 5 9 5 √6+√5-33 2v3 =45-2V5-5 5 探究新知 思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出 什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被 开方数相同). 整式的加减的实质是合并同类项， ma+na-(m+n)a 探究新知 3 二次根式的混合运算方法 计算： (1)8+V3)×V6 (2)4v2-3V6)÷2v2. 思考：（1)中，先计算什么？后计算什么， 最后的目标是什么？(2)呢？ 探究新知 1)6⑧+V3)×V6 (2)4V2-3v6)÷2V2 与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减； 对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次 根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 对于（2)：先算除，再化简，若有相同的二次 根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式 解：(1)（√⑧+V3)× =V48+V18=4 思考：（1)中， 第一步的依据是： 第二步的依据是： 第三步的依据是： 探究新知 N6=V⑧xN6+V5xN6 3+3V2: 每一步的依据是什么？ 分配律或多项式乘单项式； 二次根式乘法法侧； 二次根式化简. 探究新知 解：(2)(4√2-3√6)÷2V2 =4W2+2N2-36÷2W2=2-5. 思考：(2)中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式除以单项式法测； 第二步的依据是：二次根式除法法测. 举一反三 知识点1同类二次根式 1.下列二次根式中，是同类二次根式的是( A. 与、 a a3c B.Va3b2与Vab b h C.V2a与v4a3 D与a 2.[成都锦江区期中]若V12和最简二次根式 二次根式，则m可以为(A〉 A.3 B.4 C.5 D.6 A /2m-3是同类 返回 举一反三 知识点2二次根式的加减运算 3.下列运算正确的是(A A.√a+V4a=3va B.V⑧-V2= C.4+V16=4V16 D.3V2-2V2 v6 =1 返回 探究新知 3计算()- 解)6 x√2 =6x2-g2 =62-层2 =23- 2 23 2)(2+21-2)· 2)(2+21-2 =2-2、2+√2-√2x√2 =2-2√2+V2-2 =-√2. 探究新知 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整 式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法 则、乘法公式仍然适用. 平方差公式：(a+b)(a-b)=2- b2; (a+b)2=2+2ab+ 完全平方公式： a±by=2-2ab+ b2; 例3 计算： (1(V2+1)(V2 解：(1)(2+1)(V2 =(2)2-12 =2-1 =1. 探究新知 -1): (2(V2-1)2 -1) (2)(V2-1)2 =(2)2-2×V2×1+12 =3-2V2. 探究新知 4.计算： (1)(2V2-1)2 解：(1)原式(2V2)2-2×2√2×1+12=9-4v2. 2)(2-3)5+v7)(V2+3); (2)原式=(V2-√3)(2+V3)(5+V) =[(2P-(W3]5+7) =-(5+V7)=-V5-√7. 随堂练习 基础过关(P11) 1.计算： (1)2V3-V3+3w图 (2)5V3 4 3V3 解：(1)原式=V3+ (2)原式 4 7V3 4 3V75 =5V3-3V25×3 =5V3-15V5 =-10v3 22+ 241 随堂练习 基础过 2.计算： (1)(3+V2)(3-V2) 解：(1)原式=(W3)2-(V2)2 =3一2 关(P11) (2)(V3- (2)原式=(V3 :5 √2)2 P+(W2-2×V3×V2 2√6 21 随堂练 习 能力提升 3.若最简二次根式V4+2a与v2 值为( C A.2 B. 4 C.-1 D.1 解：根据题意，得4+2a=2 解得a=-1 是同类二次根式 则a的 22 元 随堂练习 能力提升 4.计算： (1)(V2-V3)(5+V7) (2)(5+3)(V5+2) 解：①)原式(V2-√3)（√2+√5）(5+ =[(W2}-(3]5+万列 =-(5+√7) =-√5-√7. (V2+V③) V7)(2(5+3)(√5+2) =(5)2+25+3V5+6 =5+5V5+6 =11+5√5 2 举一反三 4. 母题教P2习题T如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长 为V⑧π，宽为V2π的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相 接围成一个圆形，则该圆的面积是( B A.12π B.18π C.24π D.36元 返回 举一反三 5. 母题教材P2习题T计算： ()2v8+18-V32: 【解】原式 =4V2+×32-×4V2=4v2+V2 4 (2)3v2-2亚-4日+3v, 原式=3V2-4v3-V2+12√3=2V2+ 3V2=2V2. 8v3. 举一反三 ()v2+os-(后+⑥， 原式26+竖-安-V6=V6 高 举一反三 知识点3二次根式的混合运算 6.化简2√⑧-V2(V2+4)的结果为( A.-2 B.V2-4 C.-4 D 7. 新视角规律探究题 观察下列等式： ①3-2V2=(V2-1)2; ②5-2V6=(V3-V2)2; ③7-2V12=(V4-V3)2; 请你写出第⑥个等式： 13-2V42 A) 8V2-4 (V7-V6)2 返回 举一反三 8.计算： (1) V20+V5 √45 【解】原式= 25+v5 3V5 片x0=1 (2)(5)2+V(-5)z÷(-)+5v8 原式=5+5×(-2)+10V2-8V2= V2. -2V32, 2V2-5. 返回 课堂小结 1.同类二次根式的定义. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 2.二次根式加减运算的步骤： ()把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减， 作为结果的系数，根号及根号内部都不变. 谢谢观看 THANKS