内蒙古赤峰市松山区2026-2027学年高二上学期期中学业质量检测数学试卷

2026—2027学年第一学期期中学业质量检测 高二数学试题 2026.11 （人教A版必修二第九章、第十章；选择性必修一第一章） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B D C C D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ABD ABC ； ②④ 四、解答题详解（共77分） 15．（本小题满分13分） 【解析】（1）（4分） 由各组的频率之和为1，得组的频率 （2分） 该组区间的长度为2，其对应小长方形的高为 （4分） （2）（4分） 各组区间的中点值依次为1，3，5，7，9，对应频率依次为0.10，0.20，0.30，0.25，0.15 （1分） 所以 （3分） 即估计这100名学生每周锻炼时间的平均数约为5.30小时 （4分） （3）（5分） 样本中每周锻炼时间不少于6小时即落在和两组内， （1分） 其频率之和为 （3分） 用样本频率估计总体比例，可得该校“达标”人数约为（人） （4分） 答：估计该校高一年级约有400名学生“达标” （5分） 16．（本小题满分15分） 【解析】（1）（4分） 用列举法．设甲胜记“甲”，乙胜记“乙”．三局两胜制下，比赛的可能进程（全部列举）为： {甲甲，乙乙，甲乙甲，甲乙乙，乙甲甲，乙甲乙}． （1分） “甲以2∶0获胜”即前两局甲连胜两局， （2分） 由每局比赛结果相互独立，得． （3分） 答：甲以2∶0赢得比赛的概率为 （4分） （2）（5分） 比赛进行了三局，当且仅当前两局两人各胜一局 （1分） 前两局两人各胜一局，包含“第一局甲胜、第二局乙胜”与“第一局乙胜、第二局甲胜”两种情形， （2分） 故所求概率 （4分） 答：比赛进行了三局的概率为 （5分） （3）（6分） 甲赢得比赛，包含“甲以2∶0获胜”与“甲以2∶1获胜”两个互斥事件 （1分） 由（1）知甲以2∶0获胜的概率为 （2分） “甲以2∶1获胜”即前两局两人各胜一局且第三局甲获胜，由（2）及独立性，其概率为 （4分） 所以甲赢得比赛的概率 （5分） 答：甲赢得比赛的概率为 （6分） 17．（本小题满分15分） 【解析】（1）（4分） 连接，，设 （1分） 因为底面是菱形，所以 （2分） 因为底面，底面，所以 （3分） 又，，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 （4分） （2）（5分） 因为菱形的边长为，，所以，且对角线， 以为原点，，所在直线分别为轴、轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系 （1分） 则，，，， （2分） ，， 设平面的法向量为，由，令，得，，故取 （3分） ，， （4分） 设直线与平面所成的角为，则 （5分） 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）（6分） 由（2）知，，，，， 设平面的法向量为，由，令，得，， 故取 （2分） 由（2）知平面的法向量为， （3分） ， 所以， （4分） 由图可知，二面角为钝二面角， （5分） 所以二面角的余弦值为 （6分） （方法二：综合几何法） （2）用等体积法求点到平面的距离．由，， 得； （1分） ． （2分） （3分） 又，故． （4分） 又，故． （5分） （3）由对称性，、在直线上的垂足重合，设垂足为． 分别在平面、内作、， （2分） 则为二面角的平面角． （3分） 计算得，， （4分） 由余弦定理： （5分） 故二面角的余弦值为 （6分） 18．（本小题满分17分） 【解析】（1）（4分） 抽样比为 （2分） 应抽取男生（名），应抽取女生（名） （4分） 答：应抽取男生40名，女生20名 （2）（6分）用列举法． 记名男生为，，，，名女生为，． （1分） 从6名学生中任取2名的全部等可能结果为，，，，，（全为男生，6种）； ，，，，，，，（一男一女，8种）； （全为女生，1种）． 共种． （4分） 其中至少有1名女生的有种， （5分） 故所求概率． （6分） 答：抽到的2名学生中至少有1名女生的概率为 （3）（7分） 样本中周末参加社区志愿服务时间超过10小时的频率为， （2分） 用该频率估计：从该校高一年级中任取1名学生，其周末参加社区志愿服务时间超过10小时的概率为 （3分） 随机选取3名学生，“至少有1名学生志愿服务时间超过10小时”的对立事件为“3名学生志愿服务时间都不超过10小时”，其概率为 （6分） 故所求概率 （7分） 答：所求概率为0.271 19．（本小题满分17分） 【解析】 本题建系方式不唯一．下面给出学生最容易想到的五种建系方式及其对应的完整解答；无论采用哪种方式，只要推理正确、结果一致，均按文末的统一评分标准给分． 方法一 以为原点，所在直线为轴（原点取在顶点处，轴沿底面边，轴沿侧棱） （1）（5分） 如图19-1，以为原点，所在直线为轴，在平面内过点作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系． （1分） 因为是边长为的正三角形，所以，，． （2分） 又因为平面，，所以，，． （3分） ，由，得． （5分） （2）（6分） 由（1）知，，，所以，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，，即． （2分） 因为平面，所以平面的一个法向量为． 设二面角的大小为，由图知为锐角，故． （3分） 令，由得，则． （4分） 因为在上单调递增，所以随的增大而增大，故． （5分） 又为锐角，，所以． 即二面角的余弦值的取值范围为． （6分） （3）（6分） 由（1）知，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，，即，． （2分） 又，所以，． （3分） 设直线与平面所成的角为，则． （4分） 令，得，两边平方化简得，即． （5分） 因为，所以，解得，符合题意． 故存在点，当时，直线与平面所成的角为． （6分） 方法二 以的中点为原点，所在直线为轴 （对称建系：正三角形关于中线对称，取中点为原点可使，的坐标互为相反数；此时第（2）问中二面角的棱恰为轴，法向量的一个分量直接为．） （1）（5分） 如图19-2，取的中点为原点，射线为轴正方向，直线为轴（射线为轴正方向），过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系． （1分） 因为是边长为2的正三角形，所以，， 故，，． （2分） 由平面，，得，，． （3分） ，由，得． （5分） （2）（6分） 由（1）知，，，所以，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 解得；令，则，即． （2分） 平面的一个法向量为． 设二面角的大小为，由图知为锐角，故． （3分） 令，由得，则，它在上单调递增． （4分） 所以． （5分） 又，故，即二面角的余弦值的取值范围为． （6分） （3）（6分） 由（1）知，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，，即，． （2分） 又，所以， ． （3分） 设直线与平面所成的角为，则． （4分） 令，两边平方化简得，即． （5分） 由得．故存在点，当时，直线与平面所成的角为 （6分） 方法三 以为原点，所在直线为轴 （以为轴时，平面恰为坐标平面，第（3）问的法向量可直接写出，是四种方式中第（3）问运算量最小的一种．注意：按右手系确定轴正方向后，点的纵坐标为负．） （1）（5分） 如图19-3，以为原点，射线为轴正方向，在平面内过点作的垂线为轴（按右手系确定其正方向），所在直线为轴，建立空间直角坐标系． （1分） 则，；因为，，按右手系点位于轴下方一侧， 故． （2分） 由平面，，得，，． （3分） ，由，得． （5分） （2）（6分） 由（1）知，，，所以，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，代入第二式得，即，故． （2分） 平面的一个法向量为．设二面角的大小为，由图知为锐角， 故． （3分） 令，由得，则，它在上单调递增． （4分） 所以． （5分） 又，故，即二面角的余弦值的取值范围为． （6分） （3）（6分） 由（1）知，． （1分） 因为，，，四点的纵坐标均为，所以平面即坐标平面，其一个法向量可直接取为，． （2分） 又，，． （3分） 设直线与平面所成的角为，则． （4分） 令，两边平方化简得，即． （5分） 由得．故存在点，当时，直线与平面所成的角为 （6分） 方法四 以为原点，所在直线为轴 （以为原点、为轴时，第（2）问中二面角的棱恰为轴，平面的法向量第一个分量为；且原点取在，使的坐标与点的坐标相同，便于第（3）问计算．） （1）（5分） 如图19-4，以为原点，射线为轴正方向，在平面内过点作的垂线为轴（按右手系确定其正方向，点在轴正方向一侧），过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系． （1分） 则，；因为，，所以． （2分） 由平面，，得，，． （3分） ，由，得． （5分） （2）（6分） 由（1）知，，，所以，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 解得；令，则，即． （2分） 平面的一个法向量为．设二面角的大小为，由图知为锐角， 故． （3分） 令，由得，则，它在上单调递增． （4分） 所以． （5分） 又，故，即二面角的余弦值的取值范围为． （6分） （3）（6分） 由（1）知，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，，即，． （2分） 又，所以， ． （3分） 设直线与平面所成的角为，则． （4分） 令，两边平方化简得，即． （5分） 由得．故存在点，当时，直线与平面所成的角为． （6分） 方法五 以的中点为原点，射线为轴正方向，射线为轴正方向 （中点对称建系：因为为正三角形，为的中点时既是中线又是高，故， 从而，三条坐标轴自然两两垂直，建系合法．此时，关于原点对称，动点的纵坐标恒为（始终在坐标平面内），第（2）（3）问的向量式最简洁．） （1）（5分） 如图19-5，取的中点为原点，射线为轴正方向，射线为轴正方向，过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系． （1分） （说明三轴两两垂直：为的中点，为正三角形，故，即；又平面，故轴同时垂直于轴，轴．） 因为，，所以，，． （2分） 由平面，，得，，． （3分） ，由，得，即． （5分） （2）（6分） 由（1）知，，，所以，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得， 令，则，，即． （2分） 因为平面，所以平面的一个法向量为． 设二面角的大小为，由图知为锐角，故． （3分） 令，由得，则． （4分） 因为在上单调递增，所以随的增大而增大，故． （5分） 又为锐角，，所以． 即二面角的余弦值的取值范围为． （6分） （3）（6分） 由（1）知，． （1分） 设平面的一个法向量为，由，，得，令， 则，，即，． （2分） 又，所以，． （3分） 设直线与平面所成的角为，则． （4分） 令，得，两边平方化简得，即． （5分） 因为，所以，解得，符合题意． 故存在点，当时，直线与平面所成的角为． （6分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中学业质量检测 高二数学试题 2026.11 （人教A版必修二第九章、第十章；选择性必修一第一章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5mm黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用0.5mm签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．某中学对全校1000名学生最喜欢的体育运动项目进行调查，绘制了如图所示的不完整的扇形统计图（图中圆心处的空白处表示全校学生总数）．已知喜欢足球的学生有100人，则喜欢“其他”项目的学生有（ ） A．150人 B．180人 C．200人 D．250人 2．已知一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，7，9，11，13，15，则这组数据的第75百分位数是（ ） A．9 B．11 C．11.5 D．12 3．在平行六面体中，为与的交点，，，，则与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 4．某校为了解高二学生每天的课外阅读时间，随机抽取了100名学生进行调查，将他们每天的课外阅读时间（单位）整理成频率分布直方图，其中，，，，五组的频率依次为0.10，0.25，0.30，0.20，0.15．则可估计这100名学生每天课外阅读时间的中位数为（ ） A． B． C． D． 5．在棱长为的正方体中，为棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人进行射击训练，各射击5次，成绩（单位：环）如下：甲：8，9，9，10，9；乙：7，10，9，9，10．记甲、乙成绩的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．下面三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球： 游戏1：袋中装1红1白，取1个球，取到红球甲胜； 游戏2：袋中装2红2白，依次取2个球，两球同色甲胜； 游戏3：袋中装3红1白，依次取2个球，两球同色甲胜． 设甲在三个游戏中获胜的概率分别为，，，则他们之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．直角中，，，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高一年级共有1000名学生，为了解学生的课外阅读时间，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到样本数据．下列说法正确的是（ ） A．该校每名学生被抽到的可能性相等 B．样本数据的平均数一定能准确反映总体的平均水平 C．若将样本数据整理成频率分布直方图，则各小长方形的面积之和为1 D．用样本估计总体时，样本容量越大，估计的结果一般越准确 10．已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若，则 11．在棱长为的正方体中，点是体对角线上的动点（含端点），则（ ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．对任意点，直线与直线都互相垂直 D．二面角的大小的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，则________，________． 13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个不同的数字，则这3个数字能作为三角形的三边长的概率为________． 14．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法： ①点可以是棱的中点；②线段的最大值为；③点的轨迹是正方形；④点轨迹的长度为． 其中所有正确说法的序号是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 某中学为了解高一年级1000名学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每周的锻炼时间（单位：小时），将其分为5组：，，，，，得到频率分布直方图（横轴为每周锻炼时间，纵轴为）．已知组的频率为0.10，组的频率为0.20，组的频率为0.25，组的频率为0.15． （1）求组的频率，并写出该组对应小长方形的高（纵轴数值）； （2）估计这100名学生每周锻炼时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该校规定每周锻炼时间不少于6小时为“达标”．根据样本数据，估计该校高一年级1000名学生中“达标”的人数． 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束）． （1）求甲以2∶0赢得比赛的概率； （2）求比赛进行了三局的概率； （3）求甲赢得比赛的概率． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，且． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 某中学高一年级有男生400名、女生200名．为了解学生周末参加社区志愿服务的情况，学校采用分层随机抽样的方法从该年级学生中抽取60名学生进行调查． （1）求应抽取的男生、女生的人数； （2）调查结果显示，抽取的60名学生中有6名学生周末参加社区志愿服务的时间超过10小时，其中男生4名、女生2名．从这6名学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到的2名学生中至少有1名女生的概率； （3）用（2）样本中周末参加社区志愿服务时间超过10小时的频率估计概率．从该校高一年级全体学生中随机选取3名学生，求其中至少有1名学生周末参加社区志愿服务时间超过10小时的概率． 19．（本小题满分17分） 如图，在三棱柱中，是边长为的正三角形，平面，．点是棱上的动点（不与端点重合），且． （1）建立适当的空间直角坐标系，求点与点的坐标（点的坐标用表示）； （2）求二面角的余弦值的取值范围； （3）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $