内蒙古自治区包头市第四中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

包头四中2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A．或 B． C． D． 3．已知曲线：，设p：，q：曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 5．圆：截直线：的最短弦长为（ ） A．1 B． C．4 D．8 6．如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为线段上的点，且，过，，的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线：（a为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于椭圆：，下列选项正确的是（ ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 10．已知圆：，圆：，，分别是圆与圆上的动点，则有（ ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，的取值范围为 D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于 11．已知点在圆上运动，则下列结论正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．过三点，，的圆的标准方程为______． 13．正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为______． 14．点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知圆． （1）求的取值范围． （2）已知直线与圆交于，两点，且． ①求；②求过点的圆的切线方程． 16．（15分）已知在平面直角坐标系中，点，，满足的动点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点、、，当在曲线上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值； 17．（15分）已知椭圆方程，，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于，两点，若（为原点）的面积为，求的方程． 18．（17分）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． （1）求证：平面； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $包头四中2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题答案 考试时长：120分钟 满分：150分 出题人：李春晖 审题人：康鹤方 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 单选题 1 2 3 4 6 6 7 8 答案 D C B B C A D A 多选题 9 10 11 答案 BD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. (x-2)2+(y-1)2=5 13.14 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 15.13分)四，8)®0m=4:②x=4或3+4y-4=0 【详解】（山）（方法)由题恋得M:(x-2+0-2=8-m,则8-m>0, 得m<8,所以m的取值范围为o,8)） (方法二)由 D2+E2-4F=(-4)2+(-4)2-4m>0 得m<8,所以m的取值范围为 -∞，8) 第1页共8页 d-2+2-2-2 (2)①由题意得M(2,2)到1的距离“√P+1P 则M的径为+=2=8-m 得m=4. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为x=4. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为)=（红-4）2，即：-y-4-2=0 12k-2-4k-2=2 由Vk2+12 得、3 4, 所以所求的切线方程为少=-子 -4x+1,即3x+4y-4=0 综上，过点4-2)的圆M的切线方程为=4或3x+4少-4=0 16.(15分)1)+y=4 (2②)m+M=160 【供山设老Pp=P附5o.兰d】 a可2. 2+y2= 整理得 ,所以曲线E的方程为 2+y2=4 (②由题意，设点P(x川 则P4=(x+2y+-2,Pg=(c+2y+0-6.PC-(x-4}++2y 所以P4+P+PC=(x+2+0-2+(x+2+0y-6+x-4++2y 第2页共8页 =3(x2+y2）-12y+68=12+68-12y=80-12y, 又因为P(x八在曲线+少=4上，所以2≤y≤2. 当y=2时.P4+P8+PC取得最小值，m=56: 当y=2时，P+Pa+PC取得最大值，M=104, 因此m+M=160」 r.y 1.5分》m4+考-1am5x-y-5=0段r+y-5-0 x2,y2 【详解】)题意可知.椭圆E7+尔-1a>b>0).且，b=3 E c va-b2 va-3 1 又因为离心率为2，可得-a。a a2, x2 y2 解得口=4，所以椭圆E的方程为4十了 E:x+y =1 (2)由椭圆43，可得c=V匠-B=1,则右焦点为F1,0), 由题意知，直线！的斜率不为零（否则不能构成△OAB),设l的方程为x=my+1, x=my+l 父+’=1，整理得到3m2+4)y+6mv-9=0, 联立方程组4+3 第3页共8页 可得A=(6m'-43m2+4)x(-9)=141+m)>0 6m 9 设A(x,y),B(x,为)，则片+h=3m+44=- 3m2+4, =V1+m 36m2 36 V3m2+4 121+m2) 所以4B=1+m2√y+)'-4yy2 3m2+4= 3m2+4 -1 1 d= 又由点0到直线1的距离V1+(←m)+m, 1121+m2）x1_6+m_45 故0B的面积5omd-×3+4+-+-智。 √5V1+m22 得3m2+45,75m2+75=43m2+4)}2,36m+21m2-11=0, n2工广m2一12（舍），所以V灯 解得3或 3 所以的程为x二3或、中 3少+1 即直线'的方程为5x-少-5=0或6x+y-5=0 或 18.(17分)(1) 因为∠C=90°，则AC⊥BC, 且DE∥BC,可得AC⊥DE, ,△ADE 将a1DE沿DE折起到△ 的位置，始终有 DE⊥ADDE⊥CD ADOCD=D AD,CDC ACD ACD 因为 平面 ,所以DE上平面 ACC ACD DE⊥AC 由 平面 ,可得 CCD CDODE-D CD.DEE BCDE 平面 所以C 平面BCDE ) 第4页共8页 10 (2）20 14 (3)8 【详解】(1)略 (2)由(1)可知， AC CD CB B两两垂直，翻折前，因为DE/BC,且CD=2, DE AD 4 2 所以AD=4:BCAC63,所以DE-子8C-2, 3 翻折后D4 由勾股定理得4C=V4D-CD-V4P-2=23 所以以C为原点，直线CD,CB,C4分别为，)，2轴建立如下空间直角坐标系， ZA A M B D 则C(00,0),4(00,2.D20,0),M0,).B03,0).E(2,20) 可得CM=(.0,M-(（3,5.E=(2,-1,0) m.CM=2=0 设平面BMC的法向量m=(x,片，)，则m-MB=-x+3y-√3z,=0, 令名，则=-5，片=0，可得m=(50, n.MB=-x2+3y2-3z2=0 设平面BME的法向量万=(3，，马)，则：BE=2x-=0 ) 第5页共8页 %1,则为-2,3 ,可-2 可得c0sm,方= mn 1V10 m-同2×2102i020, 5 10 所以二面角C-MB-E的余弦值为20 (3)由2)可知B所=(0，-325)，BE-(2,-1,0),4D-(20,-25) p.B4=-3y+23z3=0 设平面4BE的法向量万=(x,y,乙)则方·BE=2x-为=0 令1，则5=2，名=5，可得=(2,5列】 且BM=B4+4D=(0,-3,25+A2,0-25)=(2-3,25-23 ABE 因为直线BM与平面 线面角为， 则sinB=cosi,BM= p.BM BM 42 √2 √2 2V2×V1622-24+21 2124 2 42,64 8 +16 +7 当且仪当时，等号成立， 14 所以sinB的最大值为8. 19.(17分) (I)取PA的中点F,连接EF,BF, 第6页共8页 D 又E为pD的中点，则B那MD,且F=AD 2 又△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD,BC=AB=2, 则BC-D,BCHIAD:所以EF1/BC:AEF=BC 所以四边形BCEF是平行四边形，所以CEIIBF, 又CEC平面PAB,BFc平面PAB,所以CE∥平面PAB. Q0白题在，2红-(PB+∠PD+∠A4D)-。 又△PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形， 则∠PMD-子，BAD=子，所以∠PMB=,即AB⊥PA 又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD, 又ABC平面ABCD,故平面ABCD⊥平面PAD ②取AD的中点O,连接PO,CO,则PO⊥AD,CO⊥AD, 又平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCDO平面PAD=AD,所以PO⊥平面ABCD, 所以以O为坐标原点，直线OC,OD,OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ZA D =V4?-22=2V5 则B(2,-20）,P00,25),C(2,0.0).E0,13).A0,-2,0) 第7页共8页 所以BF-(22,2.BE=(2,3).P-0,225)4c=(2,20) 因为点Q在直线BP上， 不妨设B0=1BF=1(-22,2)=(-2,2,25) 所以®=B0-B距=-(-2+2,21-3,23-5) [mAP=2yo+23zo=0 设m=(x,o,)是平面PAC的法向量，则m-4AC=2x,+2以=0， 取=5，则%=3,6=3，即m=(3-35)】 假设存在点P,使得B01平面P4C,则®m -2+2_21-3_2w5-V3 所以3 -3 3, 但此方程组无解，故不存在点Q,使得EQ1平面PAC. 第8页共8页包头四中2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮 贴条形码区 擦干净 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书 写无效 5.保持答卷清洁、完整 正确填涂 ■缺考标记☐ 一、 单选题本题共8小题，每题5分，共40分. 1 AB口C四D5AB□GD ABC回D6AB口CD 3 AB口CD7A▣B□C回D 4 AB口CD8ABCD 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分， 9AB□CD 10 [A][B][CD] 11A▣B□CD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分， 12 13 14 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无级 四、解答题：本题共5小题，共77分 15(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效 口口口■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无饭 16(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口口■ ■ 请在各趣的答趣区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17(15分) 请在各趣目的答趣区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效 ■ 口口■口 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18(17分) D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 口口■口 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答梁无饭 19(17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ▣▣■口 ■ 包头四中大型考试命题双向细目表 考试类型 期中 年级 高二 科目 数学 命（审）题人： 李春晖 2026 年 10 月 28 日 题 号 能力层次 分值 知识点 识 记 理 解 掌 握 运 用 分值合计 1 直线的一般式方程，两直线垂直，斜率的定义 √ 5 2 直线的一般式方程，两直线平行的充要条件 √ 5 3 椭圆的标准方程，判断条件 √ 5 4 空间中向量法求点到直线距离 √ 5 5 过圆内一点的最短弦长，直线过定点 √ 5 6 空间中向量法求点到面的距离 √ 5 7 直线过定点，过定点直线与线段相交求斜率范围，不等式的性质 √ 5 8 椭圆与圆的综合，椭圆的定义，三角形相似，求离心率，余弦定理 √ 5 9 椭圆的简单几何性质的应用 √ 6 10 两个圆的位置关系，公共弦所在直线方方程 √ 6 11 与圆有关的最值问题，斜率问题，截距问题，点与圆位置关系 √ 6 12 待定系数法、几何法求圆的标准方程 √ 5 13 空间向量线性运算，数量积运算，异面直线所成角 √ 5 14 椭圆方程，椭圆范围，点与圆位置关系及最值问题 √ 5 15 圆的一般方程，直线与圆相交，过圆外一点求圆的切线方程 √ 13 16 直接法求轨迹方程，阿氏圆，圆上点到圆外一点距离的最值问题 √ 15 17 求椭圆方程，直线与椭圆位置关系，点到直线距离公式，弦长公式 √ 15 18 立体几何折叠问题，线面垂直，二面角平面角，直线与平面所成的角，二次函数求最值 √ 17 19 线面平行，立体几何动点问题，立体几何新定义 √ 17 分值合计 150分 预测难度 0.6 预测均分 85—90分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $