第4章 4 幂函数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．4　幂函数 1 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　幂函数的概念 思考1　符合怎样特征的函数是幂函数？ 提示：幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数x是自变量，指数α为常数；③只有一项． 思考2　幂函数与指数函数有什么区别？ 提示：幂函数的底数是自变量x，指数是常数；而指数函数的底数是常数，而指数是自变量x. [知识梳理] 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 返回导航 √ √ 【解析】　B项为指数函数； C中的函数的系数不为1； A，D为幂函数． 返回导航 (2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，则m＝________，n＝________． －3或1 返回导航 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 二　幂函数的性质与图象 [知识梳理] 1．五个幂函数的性质 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) R [0，＋∞) R [0，＋∞) 返回导航 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增 增 减 增 增 减 减 (1，1) 返回导航 2．五个常见幂函数的图象 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)若幂函数f(x)＝xm-2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m的值为(　　) A.0 B．1 C.2 D．0或1 √ 返回导航 解析：因为f(x)＝xm-2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2＜0，故m＜2.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f(x)＝x-2，f(－x)＝f(x)，符合题意； 当m＝1时，f(x)＝x-1，f(－x)≠f(x)，不符合题意． 综上，m＝0. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 利用幂函数的单调性解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求得参数范围，注意分类讨论思想的应用． 返回导航 √ [跟踪训练3] (1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B．a>c>b C.c>a>b D．b>c>a 解析：因为y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，所以20.2>0.40.2，即a>b，又因为0.40.2＝(0.42)0.1＝0.160.1，且y＝x0.1在[0，＋∞)上单调递增，所以0.160.1>0.150.1，即b>c，所以a>b>c. 返回导航 (－4，＋∞) 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 1．“m＝1”是“幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm在(0，＋∞)上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 返回导航 解析：若f(x)为幂函数，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，又m＝1或m＝2都满足f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故“m＝1”是“幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 √ 2．(教材P37习题4－4AT1改编)已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则f(x)的定义域为(　　) A.R B.(0，＋∞) C.[0，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 返回导航 √ 返回导航 4．已知幂函数y＝(m2－3)xm的图象不过原点，则实数m的值为__________． 解析：因为y＝(m2－3)xm为幂函数，所以m2－3＝1，解得m＝±2，当m＝2时，y＝x2过原点，不符合题意，舍去；当m＝－2时，y＝x-2不过原点，符合题意．综上所述，m＝－2. －2 返回导航 c＜a＜b 返回导航 1．已学习：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的性质与图象．(3)幂函数单调性的应用． 2．须贯通：解决与幂函数有关的问题，往往利用数形结合的思想． 3．应注意：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性． 返回导航 新课导入 学习目标 　　大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势． 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子，此后由英国数学家渥里斯(Wallis 1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了． 1.了解幂函数的概念． 2．掌握y＝xα(α＝－1，，1，2，3)的图象与性质． 3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 解析：设f(x)＝xα(α为常数)，因为＝3，所以＝2α＝3，即α＝log23， 所以f(x)＝xlog23，则f＝2－log23＝. 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 _____ _____ ______ ___________ __________ 值域 _____ ________ _______ _________ {y|y∈R且y≠0} 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 奇偶性 _______ _______ ________ ____________ ________ 单调性 ______函数 当x∈[0，＋∞)时，单调递__________； 当x∈(－∞，0]时，单调递_______ ________ 函数 _____ 函数 当x∈(0，＋∞)时，单调递_______； 当x∈(－∞，0)时，单调递______ 公共点 经过点__________ 解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1，y＝x或y＝x3)来判断． $