第4章 4 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）
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教辅
内容正文：
课后达标检测
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√
1．已知幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则f(x)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C.(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：设幂函数f(x)＝xα，α为实数，因为f(x)的图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3，可得f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).
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又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选项C不符合题意，
y＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，故选项A符合题意．
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3．给出下面四个条件，幂函数y＝f(x)一定满足的条件为( )
A.f(m＋n)＝f(m)＋f(n)
B.f(m＋n)＝f(m)·f(n)
C.f(mn)＝f(m)·f(n)
D.f(mn)＝f(m)＋f(n)
解析：设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，A，B，D不一定成立．故选C.
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4．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A.n＜m＜0 B．m＜n＜0
C.n＞m＞0 D．m＞n＞0
解析：由题图可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
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5．下列命题正确的是( )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点
C.幂函数y＝x-2的定义域为[0，＋∞)
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
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解析：对于A，当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线除去(0，1)点，故A错误；
对于B，幂函数的图象都经过(1，1)点，当指数大于0时，都经过(0，0)点，当指数小于0时，不经过(0，0)点，故B错误；
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解析：对于A，f(x)的定义域是(0，＋∞)，故A不正确；
对于B，f(x)的值域是(0，＋∞)，故B正确；
对于C，f(x)的图象只在第一象限，故C正确；
对于D，f(x)是非奇非偶函数，故D不正确．
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7．已知函数y＝ax-2＋3(a＞0且a≠1)过定点P，且P点在幂函数f(x)的图象上，则f(3)的值为________．
解析：由y＝ax-2＋3知，函数过定点P(2，4)，设f(x)＝xn，则2n＝4，即n＝2，所以f(x)＝x2，故f(3)＝9.
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8．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f(x)＝__________________．
①f(x)为幂函数；②f(x)为偶函数；③f(x)在(－∞，0)上单调递减．
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b＜a＜c
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10．(13分)已知幂函数f(x)＝x9-3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上是增函数．
(1)求f(x)的解析式；(6分)
解：由幂函数f(x)＝x9-3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上是增函数，可得9－3m＞0，
解得m＜3，又m∈N＋，可得m＝1或m＝2，
若m＝1，则f(x)＝x6，图象不关于原点对称，舍去；
若m＝2，则f(x)＝x3，图象关于原点对称，且在R上是增函数，成立．则f(x)＝x3.
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(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)＜0的实数a的取值范围．(7分)
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11．若函数f(x)＝(m＋2)xa是幂函数，且其图象过点(2，4)，则函数g(x)＝loga(x＋m)的单调递增区间为( )
A.(－2，＋∞) B．(1，＋∞)
C.(－1，＋∞) D．(2，＋∞)
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13．(13分)已知幂函数f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；(5分)
解：由幂函数的定义得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当m＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
综上可知，m＝0.
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综上，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．
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15．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ＝____________．
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