精品解析：甘肃省渭源县第一中学2026-2027学年高三第一学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试试题 高三数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》第五章商功问题十七：今有羡除[注]，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？某科技兴趣小组通过3D打印制作如图所示的羡除模型，其中，四边形，，均为等腰梯形，且平面平面，若，，，与的距离为3，与的距离为7，则该模型的体积为（ ） 【注】羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为全等三角形的五面体． A. 28 B. 56 C. 84 D. 168 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有个实数根、、、，若，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题6分，共18分） 9. 在正方体中，棱长为，则下列正确的是（ ） A. 异面直线与互相垂直 B. 点分别为棱的中点，则四点共面 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点在直线上运动，点在直线上运动，则线段长度的最小值为 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 11. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线不经过第三象限 B. 曲线没有对称轴 C. 曲线与坐标轴在第一象限内围成图形的面积为 D. 若直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 三．填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.） 12. 若函数是奇函数，则______． 13. 在的展开式中，的系数为_________ 14. 将5名文旅讲解员分配到大理、丽江、香格里拉和西双版纳4个景区开展讲解工作，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则不同的分配方案共有______种． 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知向量，，函数． （1）求的单调增区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围． 16. 某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． （1）从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； （2）质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被确定时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． （1）求的方程； （2）设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 19. 已知函数，直线与曲线都相切. （1）求函数的导函数； （2）求实数的值； （3）记，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试试题 高三数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过求解分式不等式化简集合，再依据集合并集的运算规则计算. 【详解】对于不等式，可得，不等式两边同乘，不等号方向不变，得，所以，所以， 因为，所以 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的运算可得，再由复数的几何意义求复数的模可得. 【详解】因为，所以， 即，所以. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式，将齐次式转化为正切值，即可求解. 【详解】因为，，， 所以，,即， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用差角的正弦公式和同角的三角函数关系式求解. 【详解】由， 可得， 因， 则. 5. 已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等比中项性质求出等差数列的公差，再确定子数列的首项和公比，最后用等比数列前n项和公式计算前10项和. 【详解】由题意得等差数列的通项公式为，其中，. 由子数列为等比数列，且，取前三项得：， ，. 根据等比数列的等比中项性质，，代入得：， 展开整理得，解得（舍去）. 因此，， 即是首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列前项和公式得. 6. 《九章算术》第五章商功问题十七：今有羡除[注]，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？某科技兴趣小组通过3D打印制作如图所示的羡除模型，其中，四边形，，均为等腰梯形，且平面平面，若，，，与的距离为3，与的距离为7，则该模型的体积为（ ） 【注】羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为全等三角形的五面体． A. 28 B. 56 C. 84 D. 168 【答案】C 【解析】 【分析】把几何体分成四棱锥和三棱锥，求体积之和即可. 【详解】如图，连接，所求体积为四棱锥和三棱锥体积之和， 由于平面平面，与的距离为3， 而，平面，平面，故平面， 故三棱锥的高为3， 同理可得四棱锥的高为7， 故 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可得，，，结合数量积可得，即可得离心率. 【详解】由题得设O为坐标原点，，连接， 因为双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为，则，，， 又因为O为的中点，则， 可得，即，则， 可得，所以双曲线的离心率． 8. 已知函数，关于的方程有个实数根、、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，再结合韦达定理即可求解. 【详解】由，可得，解得，故函数的定义域为， 令，当时，，，函数在上单调递减，即函数的值域为， 当时，，，函数在上单调递增， 且，所以，即的值域为. 因为有个实数根、、、， 所以有两个大于的不等实根、， 画出函数的图象， 由图可知，，则；，则. 由得， 即，则，所以，则， 由，得，. 则，即，， 所以，解得. 由得，， 又因为，解得，所以. 二．多选题（每题6分，共18分） 9. 在正方体中，棱长为，则下列正确的是（ ） A. 异面直线与互相垂直 B. 点分别为棱的中点，则四点共面 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点在直线上运动，点在直线上运动，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；求得，结合向量的共面定理，可判断B；由三棱锥的三条侧棱两两垂直，得到三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求得外接球的半径，结合球的体积公式，可判断C；结合异面直线的距离公式，求得异面直线间的距离，可判断D. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，且正方体的棱长为， 对于A，由， 可得， 所以， 所以，所以异面直线与互相垂直，所以A正确； 对于B，因为分别为棱的中点， 可得， 可得， 设，即， 可得，解得，即， 由共面向量定理，可得共面，所以四点共面，所以B正确； 对于C，由三棱锥的三条侧棱两两垂直， 可得三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，可得，即， 所以三棱锥的外接球的体积为，所以C错误； 对于D，由直线和为异面直线，且， 可得， 设向量，其满足且， 可得，取，可得，所以， 根据异面直线间的距离公式，可得， 所以线段长度的最小值为，所以D正确. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A选项，变形为， 故圆的半径为，A正确； 对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确； 对于D选项，当时，直线的方程为， 由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误. 11. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线不经过第三象限 B. 曲线没有对称轴 C. 曲线与坐标轴在第一象限内围成图形的面积为 D. 若直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】按（1），；（2），；（3），；（4），四种情况分类讨论去绝对值，作图象.观察图象可知选项A正确，选项B不正确；计算可知曲线在第一象限内围成的图形面积为，所以选项C正确；由直线与图象的位置关系可知，当时，直线与有3个交点，所以选项D正确. 【详解】按4种情况分类讨论去绝对值： （1）当，时，， 此时曲线表示以为圆心，半径为的圆在第一象限部分的圆弧， 其中圆与轴的交点分别为，. （2）当，时，， 又，所以. 此时曲线表示射线. （3）当，时，， 又，，显然不成立. 所以曲线在第三象限无图象.所以选项A正确. （4）当，时，， 又，所以.此时曲线表示射线. 图象如下： B选项：观察图象可知图象关于对称或将方程中，互换，方程不变， 所以曲线关于对称，存在对称轴，所以选项B不正确. C选项：由图象知，曲线在第一象限与坐标轴围成的图形为半个圆和一个等腰直角三角形， 所以图形面积，所以选项C正确. D选项：由题知直线恒过， 当直线与圆弧相切时，由得或（舍）； 当直线与平行时，直线与曲线只有2个公共点； 当直线过时，直线与曲线只有2个公共点， 此时， 所以当时，直线与曲线有3个交点, 所以D正确. 三．填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.） 12. 若函数是奇函数，则______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为是上的奇函数，故，得. 又，则. 所以. 13. 在的展开式中，的系数为_________ 【答案】35 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解. 【详解】由于的通项为， ， 故的系数为 14. 将5名文旅讲解员分配到大理、丽江、香格里拉和西双版纳4个景区开展讲解工作，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则不同的分配方案共有______种． 【答案】240 【解析】 【分析】将5名讲解员分为4组，再将这4组讲解员分配到4个不同的景区，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】5名讲解员分配到4个景区，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则有2名讲解员分配到同一景区， 先选出2名讲解员捆绑为1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，所以不同的分配方案共有种. 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知向量，，函数． （1）求的单调增区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即得函数的值域与单调增区间； （2）根据条件先求出角，由正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角形面积公式与和角公式展开，结合角的范围确定正切值的范围即可确定面积的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，可得， 所以单调增区间为 【小问2详解】 由可得， 因，则，故，解得， 由正弦定理，，则， 于是的面积 ， 因为锐角三角形，则，解得，则， 故，即面积的取值范围为. 16. 某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． （1）从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； （2）质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被确定时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 数学期望 【解析】 【分析】（1）先通过全概率公式计算抽中不合格茶饼的总概率，再利用条件概率公式求解不合格茶饼来自乙车间的概率； （2）确定的所有可能取值，结合古典概型计算各取值对应的概率，得到分布列后计算数学期望． 【小问1详解】 解：设事件为“抽到的茶饼由甲车间生产”，事件为“抽到的茶饼由乙车间生产”，事件为“抽到的茶饼不合格”． 由题意得：， 根据全概率公式：， 根据条件概率公式：， 则所求概率为． 【小问2详解】 解：由题意，的所有可能取值为． 将2个不合格茶饼的检测位置视为从5个位置中任选2个，共种等可能的结果， 当时，两个不合格茶饼位于第1、2位，共1种情况，故； 当时，第3位为不合格茶饼，前2位恰好有1个不合格茶饼或者前3位全是合格品，共种情况，故； 当时，前3位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故； 的分布列为： 2 3 4 数学期望． 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）正方形中，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ，，又， ，又， ，， 又，， 又，，平面， 平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知，可得和，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，通过的余弦值为解出点坐标，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，， 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，，设点， ， ， ，， ， 设平面的法向量为， ，取， 又易知平面的法向量为， ， ，， ，解得或（舍）， 存在一点，且. 18. 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． （1）求的方程； （2）设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线的斜率为，则，， 所以． 又， 所以，即有，所以． （ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）根据离心率及椭圆长轴长求解即可； （2）（ⅰ）求出的斜率，利用求证；（ⅱ）设直线方程，联立椭圆方程，分别求出，可化为，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题知的最大值为，即， 又，所以，所以， 所以． 【小问2详解】 设，，则，． （ⅰ）略 （ii）设直线的方程为， 联立，解得， 所以. 直线的方程为． 由，得， 则，即， 所以， 所以，（当且仅当时等号成立）. 设外接圆半径为，外接圆半径为， 则，， 所以，即的最小值为8． 19. 已知函数，直线与曲线都相切. （1）求函数的导函数； （2）求实数的值； （3）记，求的最值. 【答案】（1）， （2） （3）最小值，无最大值 【解析】 【分析】（1）直接求导即可； （2）根据切点在切线上也在曲线上求参数； （3）求出导数根据函数单调性求最值. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 对，切线斜率，得切点横坐标；切点在上：得. 对，切线斜率，得切点横坐标；切点在切线上：，得. ，. 【小问3详解】 . . 时，故时，递减；时，递增. 处取最小值；无最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $