17.1 用提公因式法分解因式 高频考点讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 学习目标和重难点 1、理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。 2、能准确找出多项式各项的公因式，掌握提公因式法的基本步骤。 3、能用提公因式法进行因式分解，体会整体思想在提取公因式中的应用。 重点：因式分解的概念；确定公因式的方法；用提公因式法分解因式。 难点：准确确定公因式的系数、字母及指数，特别是首项系数为负时符号的处理；提取公因式后括号内各项的符号变化与漏项问题；理解因式分解是"和差化积"的变形，与整式乘法区分开来。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 因式分解的概念 题型2 提公因式法分解因式 题型3 提公因式法分解因式的应用 题型4 用平方差公式分解因式 题型5 平方差公式分解因式的应用 题型6 完全平方公式分解因式 题型7 完全平方公式分解因式的应用 题型8 综合提公因式与公式法分解因式 题型9 十字相乘法分解因式 题型10 分组分解法分解因式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 易错点拨 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【针对训练】 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【答案】C 【解答】解：A．am+bm+c＝m（a+b）+c，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B．（2x+1）2＝4x2+4x+1，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），是因式分解，故本选项符合题意； D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 【答案】C 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项错误； B、不是因式分解，故本选项错误； C、是因式分解，故本选项正确； D、不是因式分解，故本选项错误； 故选：C． 【典例2】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【变式2】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　35　 ． 【答案】35． 【解答】解：（x+5）2＝x2+10x+25＝x2+mx+n， 则m＝10，n＝25， 那么m+n＝10+25＝35， 故答案为：35． 知识点02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 易错点拨 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【针对训练】 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【解答】解：2x2﹣4xy+2x＝2x（x﹣2y+1）． 故选：C． 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 【答案】D 【解答】解：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+2+1）， 故选：D． 【典例2】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【答案】（1）5ab（ab2﹣4b+1）； （2）3（x﹣y）2（x+y）． 【解答】解：（1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y） ＝3（x﹣y）2（x+y）． 【变式2】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 【答案】（1）4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5（x﹣2y）3（x+4y）． 【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3 ＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3 ＝5（x﹣2y）3（x+4y）． 高频考题典例精析 【题型1 因式分解的概念】 【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 【题型2 提公因式法分解因式】 【例2】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【详解】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 【变式2-1】与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 【例3】已知为有理数，则整式的值（    ） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 【答案】A 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【详解】原式，即不是负数， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【变式3-1】若 ,那么 = . 【答案】0 【分析】直接提取公因式a1999，进而分解因式得出答案． 【详解】∵a2+a+1=0， ∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【题型4 用平方差公式分解因式】 【例4】小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解， 又因为该指数为不大于10的正整数， ∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 【变式4-1】因式分解： (1) (2) 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． （1）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可； （2）用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 【例5】已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式是解题的关键．先利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断． 【详解】解：， ，，为一个三角形的三边长， 即． 故选：A． 【变式5-1】若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程和利用平方差公式分解因式，学生们熟练掌握二元一次方程的计算和平方差公式的计算即可． 把代入原方程组得，解出与，再进一步即可求出答案． 【详解】解：把代入原方程组 得， ∴两个方程相加得：即， 两个方程相减得：， ∴， 故答案选D． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【例6】若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 【变式6-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 【例7】已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解： ，，， ，，， ， 故选：C． 【变式7-1】已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查因式分解的应用，用求差比较法比较大小，掌握比较大小的常用方法是关键． 【详解】解：， ，即， 故选：C． 【题型8 综合提公因式与公式法分解因式】 【例8】因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先用积的乘方计算然后再提公因式，最后再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 【变式8-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【题型9 十字相乘法分解因式】 【例9】对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式9-1】下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，将多项式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为． 【详解】解：， 故选：C． 【题型10 分组分解法分解因式】 【例10】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 【变式10-1】分解因式： 【答案】 【分析】采用分组分解法分解因式即可． 【详解】 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键． 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． B． 的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． C． 属于因式分解，符合题意． D． 的左边是单项式，不是多项式，单项式不能进行因式分解，不符合题意． 2．把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 4．把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式． 将原多项式提取公因式计算即可． 【详解】解：， 即余下的部分是， 故选：B． 5．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 6．若将多项式因式分解得，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先将因式分解后的乘积展开，根据多项式相等时对应系数相等，即可求解的值． 【详解】解：展开右侧的因式乘积： ， 又， 两个多项式对应系数相等，常数项满足， 解得：． 7．多项式中各项的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，先求多项式各项系数的最大公约数，再找各项含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式的两项为和， 系数部分：5和10的最大公约数是5， 字母部分：两项都含有字母m和n，m的最低次幂是1，n的最低次幂是1， ∴公因式为． 8．因式分解：____________． 【答案】 【分析】观察多项式的两项，找到公因式，用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 9．因式分解：_________． 【答案】 【分析】题目主要考查因式分解，先将原式变形，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 10．若多项式可因式分解为，则的值为________． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，通过对比系数得到和的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知，． ， ． ， ． 11．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式，再将代入求解即可． 【详解】解：， ∴ ． 12．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 13．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，错误； 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，正确； 选项C中，右边是差的形式，不是整式乘积，不符合定义，C错误； 选项D中，变形是整式乘法，将乘积化为多项式，与因式分解变形方向相反，不符合定义，D错误. 14．若实数x满足，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键． 由可得，把所求代数式中分解成与相加，然后代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 15．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 16．已知关于的多项式有一个因式为，则的值__________； 【答案】14 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 17．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是将所求式子进行恒等变形，构造出已知条件的形式．由可得，将变形为，再利用整体代入法求解即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 18．分解因式： ______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，由已知等式变形得，再变形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 22．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 23．若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 24．已知，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 25．已知，满足，，则_________． 【答案】2 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 27．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求k的值． 解：是多项式的一个因式， ∴设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． (1)若是整式的一个因式，求m的值 (2)若整式是的因式，求的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）设（为整式），则可得当时，，代入计算即可； （2）设（为整式），则可得当时，，代入可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入计算算术平方根即可得． 【详解】（1）解：∵是整式的一个因式， ∴设（为整式）， 当，即时，则有， 将代入得：， 解得． （2）解：∵整式是的因式， ∴设（为整式）， 当，即时，则有， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 用提公因式法分解因式 学习目标和重难点 1、理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。 2、能准确找出多项式各项的公因式，掌握提公因式法的基本步骤。 3、能用提公因式法进行因式分解，体会整体思想在提取公因式中的应用。 重点：因式分解的概念；确定公因式的方法；用提公因式法分解因式。 难点：准确确定公因式的系数、字母及指数，特别是首项系数为负时符号的处理；提取公因式后括号内各项的符号变化与漏项问题；理解因式分解是"和差化积"的变形，与整式乘法区分开来。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 因式分解的概念 题型2 提公因式法分解因式 题型3 提公因式法分解因式的应用 题型4 用平方差公式分解因式 题型5 平方差公式分解因式的应用 题型6 完全平方公式分解因式 题型7 完全平方公式分解因式的应用 题型8 综合提公因式与公式法分解因式 题型9 十字相乘法分解因式 题型10 分组分解法分解因式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 易错点拨 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【针对训练】 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 【典例2】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【变式2】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　 　 ． 知识点02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 易错点拨 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【针对训练】 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 【典例2】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【变式2】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 高频考题典例精析 【题型1 因式分解的概念】 【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整 【题型2 提公因式法分解因式】 【例2】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2-1】与的公因式是 ． 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 【例3】已知为有理数，则整式的值（    ） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 【变式3-1】若 ,那么 = . 【题型4 用平方差公式分解因式】 【例4】小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式4-1】因式分解： (1) (2) 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 【例5】已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【变式5-1】若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【题型6 完全平方公式分解因式】 【例6】若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 【例7】已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【变式7-1】已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【题型8 综合提公因式与公式法分解因式】 【例8】因式分解： ． 【变式8-1】因式分解： ． 【题型9 十字相乘法分解因式】 【例9】对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为 ． 【变式9-1】下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【题型10 分组分解法分解因式】 【例10】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式10-1】分解因式： 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 4．把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 5．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若将多项式因式分解得，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．多项式中各项的公因式是_____． 8．因式分解：____________． 9．因式分解：_________． 10．若多项式可因式分解为，则的值为________． 11．已知，求的值． 12．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 13．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 14．若实数x满足，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 15．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 16．已知关于的多项式有一个因式为，则的值__________； 17．若，则________． 18．分解因式： ______． 19．若，，用含的代数式表示，则______． 20．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 21．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 22．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 23．若，则的值是__________． 24．已知，那么___________． 25．已知，满足，，则_________． 26．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 27．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求k的值． 解：是多项式的一个因式， ∴设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． (1)若是整式的一个因式，求m的值 (2)若整式是的因式，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $