专题09 乘法公式（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中训练题

专题09 乘法公式（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型2 平方差公式与几何图形】 7 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 11 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 18 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 27 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 35 【题型7 整式的混合运算】 40 【题型1 】 1．设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ， ， ∴，．① ，故①正确． ②，故②正确． ③ ，故③正确． ④ ，即，故④正确． 2．下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、中无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、中既无相同项，也无互为相反的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、中两项均互为相反数，无相同项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为，互为相反项为与，能用平方差公式计算，符合题意． 3．现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ． 4．算式结果的个位数字是_______． 【答案】6 【分析】利用平方差公式逐步化简连乘部分得到原式的最简幂次形式，结合2的正整数次幂的个位数字循环规律求解最终的个位数字． 【详解】解：连乘部分可反复使用平方差公式化简： 先计算前两项的乘积：， 将上一步结果与第三项相乘：， 将上一步结果与第四项相乘：， 观察上述过程可知，每乘完一个形如的因式，最终结果中2的指数会变为原来的2倍，因此当乘完最后一个因式时，连乘部分的结果为， 即原式整体为； 寻找2的正整数次幂的个位数字规律： ，个位数字为2； ，个位数字为4； ，个位数字为8； ，个位数字为6； ，个位数字回到2； 由此可知2的正整数次幂的个位数字以4为周期循环，循环序列为2，4，8，6； ∵ ， ∴ 的个位数字与循环序列的第4个数字一致，为6． 5．若，，则代数式______________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对因式分解，再代入、的值计算，简化运算． 【详解】解：根据平方差公式可得： ， ，， ， ， ． 6．设，则的末尾数字是________． 【答案】 5 【分析】本题利用平方差公式化简求出的表达式，再通过找的正整数次幂末尾数字的循环规律，计算得到的末尾数字． 【详解】给原式乘以，原式的值不变，结合平方差公式化简得： ， 观察的正整数次幂的末尾数字规律： ，末尾数字为； ，末尾数字为； ，末尾数字为； ，末尾数字为； ，末尾数字为； 可得的正整数次幂的末尾数字以为一个周期循环，周期为． 因为，余数为，因此的末尾数字为． 则的末尾数字为． 因为的末尾数字为，因此的末尾数字为． 7．解决下列问题： (1)用平方差公式计算：； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】 8．的三边长，，． (1)的周长可表示为 （请用含有的代数式来表示）； (2)当a分别取和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长，若不存在，请说出理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 当时，存在，周长为；当时，不存在， 理由： 当时，，，， ，， 当时，存在，； 当时，，，， ， 当时，不存在； 综上所述，当时，存在，周长为；当时，不存在，理由是； (3) 【分析】（1）根据三角形周长等于三边之和，列代数式合并同类项即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别判断即可； （3）根据三角形全等，对应的边相等，列出等量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：， 的周长可表示为； （2）略 （3）解：， ，， ，， ， 即， ， ，，， ， 即， 将代入得：， ． 9．计算与化简求值． (1)计算：． (2)化简并求值：，其中． 【答案】(1) (2)；1 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时，原式． 【题型2 】 10．观察下面图形，从图到图用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式几何意义，通过两种图形面积相等推导公式． 【详解】图①长方形面积：， 图②正方形挖去小正方形面积：， 两图形面积相等，故． 11．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 12．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则两正方形的面积之差为．两个阴影三角形与的底分别为、，且，高分别为与，由三角形面积公式，阴影面积，由阴影面积为即可求出面积差． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵四边形与四边形都是正方形，且点在线段上，点在线段上， ∴，， ∴，． ∵点在的延长线上，且， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为； ∵于点，点在上， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为． ∴阴影部分的面积为， ∴， 即大正方形与小正方形的面积之差为． 【点睛】本题考查正方形的性质与三角形面积的计算，考查割补思想的应用．解题关键是发现两个阴影三角形的底相等（），而高分别为两正方形的边长（与），从而阴影面积，故两正方形的面积之差等于阴影面积的倍，无需分别求出边长即可求解． 13．为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． (1)用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； (2)若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 【答案】(1)绿化部分的面积为 (2)绿化所需要的总费用为元 【分析】（1）绿化部分的面积等于长方形场地的面积减去长方形的乒乓球场地面积； （2）将，代入（1）求出的代数式，求出绿化面积，再乘以每平方米的花费即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 绿化的面积为： 答：绿化部分的面积为； （2）解：当，时，， （元）， 答：绿化所需要的总费用为元． 14．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【答案】(1)；； (2)； (3)①B； ②； (4)． 【分析】（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①利用两次平方差公式求解即可； ②利用两次平方差公式求解即可； （4）将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为； （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：； （3）①解：原式， ∵，， ∴； ②解：原式 ； （4）解： ． 【题型3 】 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】针对同底数幂乘法的选项，使用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，判断运算是否正确．针对合并同类项的选项，使用合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，判断运算是否正确．针对积的乘方的选项，使用积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，判断运算是否正确．针对完全平方公式的选项，使用完全平方和公式展开，判断运算是否正确． 【详解】A：，错误． B：，错误． C：，正确． D：，错误． 16．如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（     ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：①根据图1、2不能得，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③如图所示，可看作边长为的正方形的面积，图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意； 故选：D． 17．已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把原式变形为，由得到平方和为. 又由即可求出答案． 【详解】解：将每个完全平方展开，得 分别合并同类项，个常数1相加得，故 原式． ∵ 的值为1或， ∴ ，即平方和为． ∵ ， ∴ 原式． 18．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得请你再给赋不同的值，可计算得__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式赋值法或完全平方展开，两种方法均可求解． 【详解】方法一（赋值法）： 令，，得； 令，，即， 移项计算得． 方法二（展开对比）： ， 得， ． 19．已知a，b，n均为正整数． （1）若，则_____； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 _____个． 【答案】 【分析】第一问通过估算的相邻整数范围，匹配给定不等式条件求解n的值，第二问将带根号的不等式转化为平方数界定的正整数取值范围，分别计算满足条件的a、b的个数，再求两者的数量差． 【详解】解：（1）∵，且，n为正整数， ∴； （2）∵a，b，n均为正整数，且，， ∴对不等式两边同时平方，可得，． ∵正整数a的取值为大于、小于的所有整数， ∴满足条件的a的个数为． ∵正整数b的取值为大于、小于的所有整数， ∴满足条件的b的个数为， ∴满足条件的a的个数比b的个数少． 20．我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：，，，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当时，“比肩数”为______；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为______． 【答案】 【分析】根据“比肩数”的定义，两个连续正整数中较小数为时，较大数为，代入定义式计算化简即可． 【详解】解：当时，相邻的较大正整数为， 根据“比肩数”的定义计算得： ， 因此时，“比肩数”为． 推导含的代数式时，较大的连续正整数为， 代入定义得：． 展开并化简：． 21．已知：，． (1)求； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)∵， 又， ∴， 即， ∴． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）略 22．小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． (1)求绿化的面积S；（用含a、b的式子表示，并化简） (2)若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1) (2)完成绿化共需要4920元． 【分析】（1）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （2）将，，代入（1）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，时， ， 元， 答：完成绿化共需要4920元． 23．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形.用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______. (2)【知识迁移】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值.设，，则，. ∴. 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值. (3)【解决问题】已知，求的值； (4)【迁移应用】有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片摆成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形.若图2和图3中阴影部分的面积分别为9和56，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求图4阴影部分的面积. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过观察图形可用两种方法表示该大正方形的面积，即可得到数学等式； （2）设，，则，，再代入完全平方公式，解得，即可求解； （3）由已知先给方程两边同除以得到，再两边平方，利用完全平方公式得：，继续平方即可求出的值； （4）首先设两个正方形的边长为，，由图2求出，再根据图3求出，进而求出，然后表示出图4的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】（1）解：观察图形用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是； （2）解：设，，则，， ∵完全平方公式， ∴代入，，得， 解得， ∴， 即的值为； （3）解：由题意知：， ∵， ∴， ∴=16，即， ∴ ∴=144， ∴； （4）解：正方形，的边长各为，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图3中阴影部分的面积为， ∴， 解得：或（舍去）； 图4阴影部分的面积为：， . 【题型4 】 24．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 25．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形先求出，进而根据丙图求解即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：，即， ∴， 由乙得：， ∴，．， ∴， ∴， 由丙得知：． 26．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】设，用含的代数式将表示出来，再根据长方形的面积与完全平方公式的变形求解． 【详解】解：设， ∵，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵两个正方形的面积， ， ∴两个正方形的面积． 27．已知，，那么等于_______． 【答案】19 【分析】借助完全平方公式将待求式变形为含已知、的表达式，通过整体代入完成计算． 【详解】解：根据完全平方公式可得 ∴移项变形可得． ∵已知，． ∴． 28．如果，那么的值为_________． 【答案】 【分析】将两边平方，利用完全平方公式结合已知的求出的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵， ∴，展开得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 【答案】 【分析】根据定义得，结合是数位数字（，），可得只能，，再按要求分别计算即可． 【详解】解：∵ ，两个数位数字的和最大为 ∴ 只能，，即，． 要使四位自然数最小，优先让千位最小． 当时，，不符合是一位数的要求，舍去； 当时，，符合要求，接下来优先让百位最小； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，因此最小的“对称数”为． ∵ ， ∴ ， 将、代入得： ， 化简得：，配方得：， ∵ 平方为非负数，为整数 ∴ ，，得， ∴，，故，验证符合所有条件． 30．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求代数式转化为含已知、的组合形式，代入数值计算． （2）先计算的取值，再开平方得到的结果． 【详解】（1）解： （2）解： 因此 31．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）根据题目给出的新定义运算及完全平方公式构造方程求解即可； （2）先根据新定义求得进而得，结合已知条件求得，进而求解即可； （3）先表示出各个图形面积，利用割补法：，再结合前面得到的整体代入计算． 【详解】（1）解：， ， ∵是一个完全平方式，即是完全平方式 ； （2）解：， ， 化简得， ，即， ，即， ， ∴，即， ∴， 当时，方程减去方程得 ， 解得； 当时，方程减去方程得 ， 解得； 综上，的值为或； （3）解：，，，，，，，，， ∴ ， ∵， ． 32．阅读材料： 若实数x满足，求代数式的值． 解：设，，则， ∴． ∴． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为 ； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）设，则，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设，则，再根据完全平方公式的变形求解即可； （3）由题意得，，，根据阴影部分的面积可得，设，则，，再根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴ ； （2）解：设，则， ∴， ∴ ； （3）解：由题意得，，， ∵阴影部分的面积是4， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴正方形和正方形的面积和为． 【题型5 】 33．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 34．如图摆放两个正方形、卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为25，则阴影部分的面积为（     ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据题意得到，，将阴影部分的面积表示出来，用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：如图构造最大的正方形， 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， ∵，两个正方形面积之和为25， ∴，， 阴影部分的面积 ． 35．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 36．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 37．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图1，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：________________； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足 ，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等面积法建立等式即可； （2）根据求解即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的边长为，故面积为； 而大正方形由个一样的长方形和一个小正方形组成，小正方形的边长为，长方形的长、宽分别为，故大正方形的面积又可以表示为个一样的长方形面积和一个小正方形面积之和，故大正方形的面积为， 因此得到等式为； （2）解：由完全平方公式变形可得， ； （3）解：， 则， 所以 ． 38．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）利用完全平方公式和整式的加减运算可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）设，，则，再根据已知条件得，然后根据完全平方公式的变形运算解答即可； （）①根据图形面积解答即可；②由①的结论得，即得，进而得到，再根据得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：①由图可得，； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式是___________（填代号）． A．    B． C．    D． (2)如图，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在延长线上，点在延长线上，连接，若，两正方形面积之和为，求的面积． (3)如图，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为，阴影部分面积为，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1)C (2)6 (3)56 【分析】（1）根据题目条件，结合正方形面积公式和长方形面积公式求解即可； （2）根据题目可知，，，根据完全平方和公式可求得，又根据题目可知是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题目可知，，，根据完全平方公式和平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，则， 根据左侧图形，阴影部分的面积为， 根据右侧图形，阴影部分的面积为， 即，故选C； （2）解：由题可知，，， ∵四边形是正方形， ∴， 则是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 则； （3）解：由题可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则面积差为． 【题型6 】 40．要使是完全平方式，那么的值为（     ） A． B．5或 C． D．或7 【答案】B 【分析】将原式对应完全平方公式的结构，根据中间项的两种符号情况列方程求解值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ ，即， 当时，，； 当时，，， ∴的值为5或． 41．若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（     ） A．3或9 B．3或4 C．或6 D．或9 【答案】D 【分析】先合并同类项，再根据完全平方式的结构特征列方程求解． 【详解】解：合并同类项得， ∵ 该多项式是完全平方式，且， ∴ ， 即或， 解得或． 42．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推导两个连续正奇数的平方差的性质，再逐一分析三个说法的正确性． 【详解】解：设两个连续正奇数为和（为正整数）， 则它们的平方差为，故所有均为的正整数倍． ①由上述推导，是两个连续正奇数的平方差，必为的整数倍，故①正确； ②当时，，且，均为的正整数倍． 设，（为正整数，），则，即． 满足条件的有：，共组，对应个整式，故②正确； ③当时，，已知，故，且，均为的倍数． 设（为正整数，因），则，由得。 因是的倍数，除以余，故除以余，即为奇数，可取，对应． 时，，舍去； 时，，舍去； 时，，结合且是的倍数，得． 此时即，又，解得，． 多项式为完全平方式，则． 时，，结合且是的倍数，得或． 时，，，解得，，则． 时，，，解得，，则． 所有的和为，故③错误． 综上，正确的有个． 43．若多项式是完全平方式，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，交叉项系数需满足对应等量关系，据此建立关于的方程求解． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴． 当时，解得． 当时，解得． 综上，的值为或． 44．关于x的整式是一个完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据平方项确定完全平方式的两个底数，再根据完全平方公式的乘积二倍项计算的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得，． 45．如果是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，那么的值为________． 【答案】 9或81 【分析】根据完全平方式的性质求出的可能值，再根据多项式乘法展开，由不含一次项得到的值，代入计算即可. 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或. 展开得： . ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得. 当，时，. 当，时，. 即的值为9或81. 46．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案； （3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 整式的混合运算】 47．对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“A操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“B操作”．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“A操作”用“”表示，连续次相同的“B操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目对A操作和B操作的定义，按照操作顺序逐步利用整式的混合运算法则计算化简即可解答． 【详解】解：∵ 初始整式为 ，操作顺序为，即先进行3次A操作，再进行2次B操作，最后进行1次A操作． ∴ 3次A操作后结果为：， 第一次B操作替换后得：， 第二次B操作，再次替换为得：， 最后进行1次A操作：， 所以最终化简结果为． 48．对代数式中的式子1，，，，，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26； 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①式子添加的指数1或者2，则其运算结果最多为关于x的二次整式；②找出一个符合题意的即可；③设“增幂操作”的表达式为，要使得运算结果为常数，则必须满足，再枚举求解即可． 【详解】解：①式子添加的指数1或者2， ∴其运算结果最多为关于x的二次整式； ∴不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式， 故①正确； ② ， ∴至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为，故②正确； ③设“增幂操作”的表达式为， 要使得运算结果为常数，则必须满足， 则，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ∴所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为，故③错误； 综上所述，正确的有2个． 49．已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据已知，且，逐个验证每个结论，判断正确性． 【详解】三个实数，，满足，且， ①若，则，即，①正确. ②若，则，， 将代入得：， 整理得，即，②正确. ③若，根据平方差公式得， ，，即， ，即，③正确. ④若，则， ， ， ，解得，故④错误. 综上，正确结论的序号是①②③． 50．一个各个数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个四位数是“顶格”数．例如：四位数5312，因为，所以5312是“顶格数”．按照这个规定，最小的“顶格数”是___________；一个“顶格数”，记，．若能被7整除，是整数，则满足条件的M的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题根据“顶格数”的定义，找最小数时从高位到低位依次取最小符合条件的数，再根据已知条件结合整除性质化简，找最大数时从高位到低位依次取最大符合条件的数即可求解. 【详解】第一空，求最小的“顶格数”： 四位数，各数位不为，故，且满足. 要使四位数最小，需千位最小，取，再使百位最小，取，再使十位最小，取，代入得，解得，符合各数位不为，故最小的“顶格数”为． 第二空，求满足条件的最大： 由，得. 因为能被整除，故，为正整数. 由，得，即，计算可得： 当时，，解得； 当时，，解得； 其余值均不能使为整数且符合取值范围，故或. 当时，，因为，不符合要求，舍去. 因此只有，此时. 化简：， 因为是整数，故整除. 由得，故，即整除. 要使最大，需尽可能大，因为，，故最大为，再使尽可能大： 时，，，无意义，舍去； 故最大取，此时，，整除，符合要求. 此时取最大值，，各数位均不为， 故． 51．先化简，再求值：，其中，满足，. 【答案】，3 【分析】展开中括号内的整式并合并同类项，完成整式除法化简后代入给定的，值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当，时，原式． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用完全平方公式、多项式乘多项式展开，再去括号合并同类项； （2）多项式除以单项式，每一项分别除以单项式，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 53．已知的展开式中不含和项． (1)求与的值； (2)在（1）的条件下，先化简，再求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）展开多项式，令、项系数为0，列方程组求参数． （2）先化简原式；再代入求值． 【详解】（1）解： 由于展开式中不含、项 解得，． （2）解： ； ∵， ∴原式 ． 54．按要求解答下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)； (2)，． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 当，时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 乘法公式（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型2 平方差公式与几何图形】 2 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 5 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 7 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 10 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 13 【题型7 整式的混合运算】 14 【题型1 】 1．设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 4．算式结果的个位数字是_______． 5．若，，则代数式______________． 6．设，则的末尾数字是________． 7．解决下列问题： (1)用平方差公式计算：； (2)化简： 8．的三边长，，． (1)的周长可表示为 （请用含有的代数式来表示）； (2)当a分别取和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长，若不存在，请说出理由； (3)若，，，求的值． 9．计算与化简求值． (1)计算：． (2)化简并求值：，其中． 【题型2 】 10．观察下面图形，从图到图用式子表示为（     ） A． B． C． D． 11．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 12．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 13．为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． (1)用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； (2)若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 14．如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【题型3 】 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 16．如图，小龙同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（     ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 17．已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得请你再给赋不同的值，可计算得__________． 19．已知a，b，n均为正整数． （1）若，则_____； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 _____个． 20．我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：，，，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当时，“比肩数”为______；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为______． 21．已知：，． (1)求； (2)试说明：． 22．小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． (1)求绿化的面积S；（用含a、b的式子表示，并化简） (2)若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 23．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形.用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______. (2)【知识迁移】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值.设，，则，. ∴. 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值. (3)【解决问题】已知，求的值； (4)【迁移应用】有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片摆成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形.若图2和图3中阴影部分的面积分别为9和56，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求图4阴影部分的面积. 【题型4 】 24．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 25．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．76 B．77 C．78 D．79 26．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 27．已知，，那么等于_______． 28．如果，那么的值为_________． 29．一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 30．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 31．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 32．阅读材料： 若实数x满足，求代数式的值． 解：设，，则， ∴． ∴． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为 ； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ． 【题型5 】 33．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 34．如图摆放两个正方形、卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为25，则阴影部分的面积为（     ） A．18 B．16 C．14 D．12 35．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 36．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 37．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图1，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：________________； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足 ，求的值； 38．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 39．如图，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式是___________（填代号）． A．    B． C．    D． (2)如图，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在延长线上，点在延长线上，连接，若，两正方形面积之和为，求的面积． (3)如图，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为，阴影部分面积为，求这两个正方形的面积之差． 【题型6 】 40．要使是完全平方式，那么的值为（     ） A． B．5或 C． D．或7 41．若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（     ） A．3或9 B．3或4 C．或6 D．或9 42．已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 43．若多项式是完全平方式，则的值为________． 44．关于x的整式是一个完全平方式，则________． 45．如果是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，那么的值为________． 46．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 【题型7 整式的混合运算】 47．对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“A操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“B操作”．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“A操作”用“”表示，连续次相同的“B操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为（   ） A． B． C． D． 48．对代数式中的式子1，，，，，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26； 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 49．已知三个实数，，满足，且，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是________（填序号） 50．一个各个数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个四位数是“顶格”数．例如：四位数5312，因为，所以5312是“顶格数”．按照这个规定，最小的“顶格数”是___________；一个“顶格数”，记，．若能被7整除，是整数，则满足条件的M的最大值是___________． 51．先化简，再求值：，其中，满足，. 52．计算： (1)； (2)． 53．已知的展开式中不含和项． (1)求与的值； (2)在（1）的条件下，先化简，再求的值． 54．按要求解答下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $