1.2解直角三角形（分层作业，11大题型）数学新教材北师大版九年级下册
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内容正文：
分层作业
1.2 解直角三角形
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 已知两边解直角三角形
题型02 已知一锐角和一边解直角三角形
题型03 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形
题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型05 在四边形中解直角三角形
题型06 解直角三角形的实际应用
B组 能力进阶
题型01 解一图多三角形的直角三角形
题型02 解非直角三角形
题型03 在平面直角坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的综合运用
C组 思维拔高
题型 动态问题与解直角三角形
已知两边解直角三角形题型01
1．在中，，，，则的长度为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
2．（24-25九年级上·广东阳江·月考）在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．在中，，，，则的值为___________
5．在Rt中，．
(1)若，解这个直角三角形．
(2)若，解这个直角三角形．
已知一锐角和一边解直角三角形题型02
1．在中，，已知和b，那么____．
2．在中，，则边的长为______
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在中，所对的边分别为a，b，c，若，则c的值为______．
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）是直角三角形，，，则的长为______．
5．在中，，，，求，和，．
已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形题型03
1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）中，，若， ，则的长为（ ）
A． B． C． D．8
2．在中，，，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．如图，在中，，，．求的周长．
5．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，，，，求的长和的余弦值．
构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型04
1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（ ）
A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm
2．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____．
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为______．
4．如图，在中，已知，，，求的面积．
5．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．
（, ，精确到1米）．
在四边形中解直角三角形题型05
1．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点为点F，连接AF，若，则CE=__________．
3．如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，求的长．
5．（2026·山西·模拟）阅读与思考
阅读下列材料，请完成后面的任务．
邻对等四边形
【概念理解】
有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形．
【问题解决】
问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)．
①菱形②矩形③平行四边形④正方形
问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：．
证明：如图2，延长至点，使得，连接，
任务：
(1)材料中问题1的“▲”处应填写____________．
(2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整．
(3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长．
解直角三角形的实际应用题型06
1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是___________（结果精确到，参考数据： ）
3．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，）
（1）求、之间的距离；
（2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．
4．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
5．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）
解一图多三角形的直角三角形题型01
1．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．5
2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，求的长． （ ）
A． B．25 C． D．50
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为________．
4．（24-25九年级上·陕西·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长．
5．如图，在中，，，，求的长．
解非直角三角形题型02
1．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．
3．如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ____________________．
4．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
在平面直角坐标系中解直角三角形题型03
1．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
2．如图，三角板ABO（∠BAO=60°）的直角顶点与原点重合，点A的坐标是（-1,0），现将该三角板向右平移，使得点A与点O重合，得到△OCB'，则点B'的坐标是（ ）
A．（1，） B． C．（，1） D．（1, 0）
3．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
4．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
5．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转，若,则点A的对应点的坐标为 ____________________．
解直角三角形的综合运用题型04
1．如图，在中，，，．以点A为圆心、适当长为半径画弧分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，在内两弧交于点F，射线交于点G，则点G到的距离是______．
2．如图，中，，点C是内点，，过点C作于E，交于点F，且，，交于G，则长______．
3．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形．
4．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；
(2)如图②，中，，若，求的值；
(3)如图③，中，，若， ．
5．【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
动态问题与解直角三角形题型
1．如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是_____．
3．（24-25八年级下·月考）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，．
(1)求小路的长；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值．
4．等腰中，，为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．
(1)如图，点与点重合，点落在线段上，平分，，求的度数；
(2)如图，，点，点分别为，的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(3)如图，点与点重合，点落在线段上，，，点，分别是线段，上两个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，在的右侧做等边，点为平面上一点，连接、，，当时，请直接写出的最小值．
5．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，等边三角形中，，点D为边上一动点（不与两端点重合），连接，E为边上一点，和交于点P，且满足．
小亮尝试结合学习函数的经验对线段的长度之间的关系进行了探究，请将下面的探究过程补充完整：
(1)和的数量关系是 ；
(2)根据点D在上的不同位置，画出相应图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
6.5
7.0
7.5
7.5
7.0
6.4
5.9
5.0
5.0
5.9
6.4
7.0
7.5
①表格中的________（精确到0.1，）；
②将线段的长度作为自变量x，的长度为x的函数，记为，请在平面直角坐标系中描出表格中的点，并绘制函数的图象；
(3)观察图象，请写出函数的两条性质；
(4)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合函数图象直接写出：当时，线段长度的近似值（精确到0.1）．
试卷第1页（共3页）
1/1
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分层作业
1.2 解直角三角形
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 已知两边解直角三角形
题型02 已知一锐角和一边解直角三角形
题型03 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形
题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型05 在四边形中解直角三角形
题型06 解直角三角形的实际应用
B组 能力进阶
题型01 解一图多三角形的直角三角形
题型02 解非直角三角形
题型03 在平面直角坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的综合运用
C组 思维拔高
题型 动态问题与解直角三角形
已知两边解直角三角形题型01
1．在中，，，，则的长度为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
【答案】D
【分析】在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用这个定理来计算斜边的长度．
【详解】解：在中，，根据勾股定理，，
已知，，则．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的内容，准确代入直角边长度进行计算．
2．（24-25九年级上·广东阳江·月考）在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、，
∴，，，，
∴，，，，只有C符合题意，
故选：C．
3．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的周长，底边长，可得腰长，根据勾股定理，可得底边上的高，根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】如图，
在中，，cm，周长为36cm，
则（cm），
作于点D，则cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出底边上的高是解题的关键．
4．在中，，，，则的值为___________
【答案】或
【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可．
【详解】如图
∵中，，，，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．
5．在Rt中，．
(1)若，解这个直角三角形．
(2)若，解这个直角三角形．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形的基本知识．
（1）利用求出的余弦值，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，进而求出长度.
（2）利用求出的正切，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，利用含直角三角形性质进而求出长度.
【详解】（1）解：在中，
，
.
（2）解：在中，
，
.
已知一锐角和一边解直角三角形题型02
1．在中，，已知和b，那么____．
【答案】
【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．
2．在中，，则边的长为______
【答案】
【分析】根据锐角三角函数定义即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC中，，
∴tan20°＝，
∴BC＝AC tan20°＝，
故答案为：
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，记住锐角三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在中，所对的边分别为a，b，c，若，则c的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）是直角三角形，，，则的长为______．
【答案】或
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是分类讨论．分和两种情况讨论，利用特殊角的锐角三角函数解直角三角形即可．
【详解】解：是直角三角形，，
存在和两种情况，
若，则，
，
若，则，
，
的长为或．
故答案为：或．
5．在中，，，，求，和，．
【答案】，，，
【分析】在中，只需根据三角函数的定义即可求出、，根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后根据特殊角的三角函数值就可得到，的值．
【详解】解：在中，
，，，
则有，，
，．
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦的定义、特殊角的三角函数值等知识，在直角三角形中，除直角外，只需知道两个元素至少有一条边，就可求出其它元素．
已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形题型03
1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）中，，若， ，则的长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查利用余弦求线段长度，解题的关键是判断斜边及邻边．根据直角三角形余弦定义即可求值．
【详解】解：由题意得，
，
∴ ，
故选D．
2．在中，，，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出．
【详解】解：在中，
，
．
，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
3．如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
4．如图，在中，，，．求的周长．
【答案】60
【分析】本题考查了三角函数的比值关系，勾股定理解直角三角形等知识，熟练掌握三角函数边的比值关系是解题的关键．
利用三角函数的比值关系列式运算出的长，再利用勾股定理求出的长度，即可求周长．
【详解】
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
5．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，，，，求的长和的余弦值．
【答案】6，．
【分析】本题考查了解直角三角形，在中，先利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义求出的余弦值，即可解答．
【详解】解：在中，
，
，
，
，的余弦值为．
构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型04
1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（ ）
A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm
【答案】D
【分析】过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.
【详解】如图，过A作AD⊥BF于D，
∵∠ABD=45°，AD=12，
∴=12，
又∵Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB=24，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
2．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____．
【答案】
【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，，根据即可求解．
【详解】过点作于，如图，
∠BFE＝30°，
，
∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键．
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为______．
【答案】2
【详解】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN=AH，连接EN．
∵∠EHD=∠BMD=∠EDB=90°，∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠EDH=90°，∴∠DBM=∠EDH，
∵DE=DB，∴△BMD≌△DHE，∴BM=DH，DM=EH，∵tan∠ADB==3，设DM=a，则BM=DH=3a，∵AB=BC，∠ABC=90°，BM⊥AC，∴AM=CM=BM=3a，∵AM=DH，∴AH=DM=EH=a，∴AH=HN=MN=a，DN=2a，CD=2a，∴CD=DN，∵EF=FC，∴DF=EN=a，∵AB=BC=12，∴AC=6a=12，∴a=2，∴DF=2．故答案为2．
4．如图，在中，已知，，，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，,
∴，
∴．
5．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．
（, ，精确到1米）．
【答案】旗杆的高度约为9米．
【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案．
【详解】解：过点作于点，
，，，，，
又，
，
，，，
答：旗杆的高度约为9米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键．
在四边形中解直角三角形题型05
1．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
故答案为：
2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点为点F，连接AF，若，则CE=__________．
【答案】
【分析】已知，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．
【详解】解：过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
∴∠FNE=∠BMF=90°
∴∠NFE+∠NEF=90°
由折叠得：EC=EF，BC=BF=，∠C=∠BFE=90°，
∴∠NFE+∠BFM=90°
∴∠MFB=∠NEF
∵
∴设FM=x，则AM=3x， ，
∴
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
解得：
∵
∴x=1
∴FM=1，AM=BM=3，
∵∠FNE=∠BMF=90°, ∠MFB=∠NEF
∴△BMF∽△FNE，
∴
∴
∴EF=
故答案为：
【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．
3．如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．
【答案】
（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD的面积=6cm2．
【分析】（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）解直角三角形求得菱形的边长，根据平行四边形的面积公式求得即可．
【详解】（1）略
（2）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABC=60°，AE=3cm，
∴AB==2cm，
∴BC=2cm，
∴四边形ABCD的面积=AE•BC=6cm2．
【点睛】考查了菱形的判定、解直角三角形以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．
4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的折叠，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键．
根据矩形与折叠的性质可得，，，由角的和差解得，则有，在中，由，即可求解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：．
5．（2026·山西·模拟）阅读与思考
阅读下列材料，请完成后面的任务．
邻对等四边形
【概念理解】
有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形．
【问题解决】
问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)．
①菱形②矩形③平行四边形④正方形
问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：．
证明：如图2，延长至点，使得，连接，
任务：
(1)材料中问题1的“▲”处应填写____________．
(2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整．
(3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长．
【答案】(1)②④；
(2)
证明：延长至点，使得，连接．
∵四边形是邻对等四边形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
(3)
【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义；
（2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明；
（3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度．
【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义，
①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
故答案为：②④．
（2）略
（3）解：∵四边形是邻对等四边形，
∴由（2）的结论可知，且．
，
．
在中，，
．
过点作于点，
在中，，，
．
在中，，，，
．
解直角三角形的实际应用题型06
1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是___________（结果精确到，参考数据： ）
【答案】2.667
【分析】本题考查解三角形的实际应用，取尺子O点正上方的点为D，根据题意可得，，根据正切函数的定义求解即可．
【详解】解：取尺子O点正上方的点为D，如图所示，
依题知，为等腰直角三角形，且，，
在中，
，即，
，
点C在尺上的读数约为，
故答案为：．
3．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，）
（1）求、之间的距离；
（2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．
【答案】（1）27m；
（2）结论：这辆汽车超速.
理由：，
∴汽车速度.
【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【详解】（1）在中，∵,
，
在中，,
,
，
（2）略
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】（1）2.3cm；（2）23°
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、CF，即可求出点D到直线AB的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【详解】解：（1）如图，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，
在Rt△CNB中，∠ABC＝60°，BC＝8cm，
∴CN＝CB•sin∠ABC＝8×≈6.92（cm），
∵∠BCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝70°，
∴∠DCF＝70°﹣30°＝40°，
在Rt△DCF中，∠DCF＝40°，CD＝6cm，
∴CF＝CD•cos40°≈6×0.77＝4.62（cm），
∵∠DMN＝∠MNF＝∠NFD＝90°，
∴四边形MNFD是矩形，
∴DM＝FN＝CN﹣CF＝6.92﹣4.62＝2.3（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′＝70°+20°＝90°，如图，
∵BC＝8cm，CD＝6cm，
∴＝＝0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′＝37°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝60°﹣37°＝23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合矩形的性质求解是解题的关键．
5．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
解一图多三角形的直角三角形题型01
1．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，，
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，求的长． （ ）
A． B．25 C． D．50
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为________．
【答案】18
【分析】本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．可以先求得的长，再计算的长．
【详解】解：在中，，，，
，
，
，，，
，
故答案为：18．
4．（24-25九年级上·陕西·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，先解得出，根据是的中点，得出，进而根据，设，，可得，求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
在中，
设，，
∴，即
解得，
∴
5．如图，在中，，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，得出，由勾股定理得，，解方程即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为．
在中，，，
，
在中，，，
，
设，则，由勾股定理得，，
解得或（舍去），
解非直角三角形题型02
1．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可．
【详解】解：，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．
【答案】15或10
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD=，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD-CD=4，
∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
3．如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ____________________．
【答案】
【分析】先证，，再由旋转的性质及已知条件求出，，然后由，求出，过点作于，过点作于，在中求出，进而求出，，由此可求出，，据此即可求出的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
过点作于，过点作于，如图所示：
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
在中，，，，，
∴，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)长为20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【详解】（1）
（2）作于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
在平面直角坐标系中解直角三角形题型03
1．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】B
【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标是（，），
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长．
2．如图，三角板ABO（∠BAO=60°）的直角顶点与原点重合，点A的坐标是（-1,0），现将该三角板向右平移，使得点A与点O重合，得到△OCB'，则点B'的坐标是（ ）
A．（1，） B． C．（，1） D．（1, 0）
【答案】A
【分析】解直角三角形求出OB的长度，再根据平移的性质即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
平移后，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的平移，解直角三角形，解题关键是熟练掌握基本知识．
3．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
4．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，
即（x+3）2+（-x）2=()2，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON=．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
5．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转，若,则点A的对应点的坐标为 ____________________．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、坐标与图形等知识点，画出旋转后的图形成为解题的关键．
先根据题意画出图形，再求得，再解直角三角形可得，最后确定坐标即可．
【详解】解：如图所示，将绕原点O顺时针旋转得到，
则，
∴，
∵点在第四象限，
∴点A的对应点A′的坐标为．
故答案为：．
解直角三角形的综合运用题型04
1．如图，在中，，，．以点A为圆心、适当长为半径画弧分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，在内两弧交于点F，射线交于点G，则点G到的距离是______．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质及定义，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，由题意可得，由作图可知，平分，推出，进而得到，最后根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
由作图可知，平分，
，
，
，
平分，，，
，
即点到的距离为，
故答案为：．
2．如图，中，，点C是内点，，过点C作于E，交于点F，且，，交于G，则长______．
【答案】或
【分析】由等腰三角形三线合一的性质，可得出， ，再证明和都是等腰直角三角形．由等腰三角形的性质可得出，过点C作交的长线于点M，由平行线的性质得出是等腰直角三角形，，再求出，解直角三角形，求出，再利用勾股定理求出，最后再根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵．，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形．
∴，
如下图，过点C作交的长线于点M，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定以及性质，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，掌握等腰直角三角形的判定以及性质是解题的关键．
3．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形．
【答案】，，．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角函数的定义．先根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形性质得出，根据三角函数定义得出，最后根据求出三边长即可．
【详解】解：在中，，
．
又，
，
，
，
．
，即，
解得，
则，
．
4．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ；
(2)如图②，中，，若，求的值；
(3)如图③，中，，若， ．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值；
（2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题；
（3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．
【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形，
∴．
（2）解：作于点，如图所示：
中，，
，
，
，
即．
（3）解：如图③所示，在上截取，作于点E，
中，，，
设，，则．
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形．
5．【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
【答案】
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）1；
（3）
【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键．
（1）证明，，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，作，得到，证明，，证明，得到，则，作于W，设，则，得到，得到，解方程即可；
（3）在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，证明是等边三角形，，，则，得到，同理（2）可得，
，则，作于V，则，得到，则，，得到，，得到，进一步即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图1，
在上截取，连接，作，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于W，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，，
同理（2）可得，
，
∴，
作于V，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
动态问题与解直角三角形题型
1．如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，动点函数的知识．根据图2知，，利用正切函数的定义求得的长，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据图2知，，
当时，，，
∵，
∴，
，
故选：C．
2．如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是_____．
【答案】1或
【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案．
【详解】解：，
设，，
点从点出发沿向点运动，到达点时停止，
有以下两种情况：
①当点在线段上运动时，过点作于，过点作于，如图1，
在中，，，，
，
∴由勾股定理得，，
四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
解得：或（负值舍去），
．
②当点在线段上运动时，连接，过点作于，于，如图2所示：
同理，设，则，为直角三角形，
依题意得：，，
，，
，
，
，
即，
在中，，
，
，，
，
，
解得：或（舍去），
，
综上所述：的长为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
3．（24-25八年级下·月考）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，．
(1)求小路的长；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值．
【答案】(1)小路的长为；
(2)12秒．
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴在中， ，
∴小路的长为；
（2）如图所示：过B作，
当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近．
∵，
∴，
即，
∴，
则，
即，
，
∵由题意可得：，
则，
当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近．
4．等腰中，，为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．
(1)如图，点与点重合，点落在线段上，平分，，求的度数；
(2)如图，，点，点分别为，的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(3)如图，点与点重合，点落在线段上，，，点，分别是线段，上两个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，在的右侧做等边，点为平面上一点，连接、，，当时，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)结论：，
证明：如图，连接并延长到，使，连接、，
∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形两底角相等结合三角形内角和等于列方程求解即可；
（2）连接并延长到，使，构造中位线可得，再由垂直平分，可得，，再结合已知导角得出，进而证明，由此可得，利用全等三角形的性质可得，由此即可得出结论．
（3）在 上构造辅助点 （使得 ），利用“一线三等角”模型构造全等三角形（ ）．得到 ，再结合已知证明，从而可得，在与成的定直线上， 的最小值就转化为了经典的几何模型：“定点到定直线的最短距离”，即 垂线段最短．，即当时，的值最小，再延长到，使，可得，进而将的最小值转化为，再结合两点之间线段最短即可求解．
【详解】（1）解：设，
由旋转可知：，即，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，即，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴．
（2）略
（3）解：在上取点，使，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由旋转可知：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在与成的定直线上，当时，的值最小，
∵，，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
延长到，使，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴当点T在上时，，此时取最小值，最小值为，
过点作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故的最小值为．
【点睛】几何最值问题的本质是“动中取静”．本题的解题精髓在于“轨迹定位”：当题目中出现满足特定角度关系的动点时，首先要判断其轨迹是“直线”还是“圆弧”．本题通过全等变换，将复杂的旋转生成点转化为“定角对定线”的直线轨迹，进而利用“垂线段最短”将动态问题静态化．这种“构造全等以确定轨迹，利用轨迹求解最值”的方法，是解决动点几何压轴题的高级技巧．
5．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，等边三角形中，，点D为边上一动点（不与两端点重合），连接，E为边上一点，和交于点P，且满足．
小亮尝试结合学习函数的经验对线段的长度之间的关系进行了探究，请将下面的探究过程补充完整：
(1)和的数量关系是 ；
(2)根据点D在上的不同位置，画出相应图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
6.5
7.0
7.5
7.5
7.0
6.4
5.9
5.0
5.0
5.9
6.4
7.0
7.5
①表格中的________（精确到0.1，）；
②将线段的长度作为自变量x，的长度为x的函数，记为，请在平面直角坐标系中描出表格中的点，并绘制函数的图象；
(3)观察图象，请写出函数的两条性质；
(4)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合函数图象直接写出：当时，线段长度的近似值（精确到0.1）．
【答案】(1)
(2)①；
②如图1所示.
(3)
解：由函数图象可得，
①此函数图象关于直线对称;
②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
③当时，函数有最小值.
(答案不唯一)
(4)（答案不唯一，左右）
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，函数图象的绘制和分析，熟练掌握相关性质和判定，函数图象的画法，根据函数图象进行分析是解题的关键．
（1）证明，即可得到；
（2）①当时，可得点为中点，点为中点，根据三线合一，得到，，，在中，，即可求解；② 利用描点法，先描点，再用平滑的曲线连接各点，即可画出函数的图象；
（3）结合函数图象，分析可得函数性质，①此函数图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；③当时，函数有最小值．(答案不唯一)
（4）当时，得到，即是求两个函数图象交点的纵坐标，画出函数图象，由图象可得（答案不唯一，左右）．
【详解】（1）解： 为等边三角形，
，，
又 ，
，
，
．
（2）解：① 当时，即点为中点，
，
点为中点，如图所示，
为等边三角形，点为中点，点为中点，
，，，，
，，，
，
，
在中，，
．
．
② 先描点，再用平滑的曲线连接各点画出函数的图象，略；
（3）略
（4）解：当时，
，
，
画出的图象，如图2.
当时，即是求两个函数图象交点的纵坐标，由图象可得（答案不唯一，左右）．
试卷第1页（共3页）
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