数学一模模拟·一轮巩固卷03（全国二卷通用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即，因此. 2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数除法运算，共轭复数概念得出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 3．已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面角的定义判断两个命题的推出关系，判断充分性、必要性是否成立即可. 【详解】直线与平面所成角是直线与它在平面内的射影所成的角，取值范围为. 验证充分性：若：若或，则或，两直线与所成角均为，相等； 若，则，两直线与所成角均为，相等； 若与斜交，则也与斜交，两直线方向向量平行，方向向量与平面法向量的夹角相等，对应线面角相等. 因此充分性成立。 验证必要性：若与平面所成角相等，两直线不一定平行；例如圆锥的任意两条母线与底面所成角均相等，但两条母线为相交关系，不满足平行，故必要性不成立. 综上，“”是“直线与平面所成的角相等”的充分不必要条件. 4．（热点）已知单位向量、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，、为单位向量，则， ，， 因为，两边平方得， 展开得，代入得，解得， 因为，故. 5．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【详解】设圆柱底面半径，轴截面为正方形，则圆柱的高． 所以外接球的直径，所以. 可得球表面积为，圆柱侧面积为， 所以，所以外接球表面积是圆柱侧面积的倍． 6．若，其中是实数，则的最大值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】令，则可得． 由二项式定理，可得展开式的第项为， 其中． 令，因此对应系数． 分别计算时对应系数：，，， ，，． 故的最大值为10． 7．（新考法）已知关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（  ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】令由题知，故函数图象关于直线对称，进而根据对称性得. 【详解】令，， 因为， 所以函数图象关于直线对称， 因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 所以函数图象与直线的交点个数为奇数个， 所以根据对称性，必为方程的解，即， 所以. 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即，此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新考法）已知 是公比不为的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先设原数列公比为（），依次检验四个选项，选项A在时出现0，不是等比数列；选项B相邻两项的公比为，选项C相邻两项的公比也是，选项D相邻两项的公比为，三项都不为0，因此BCD都成立． 【详解】已知是公比不为的等比数列， 设公比为（），则． 选项A、， ， 当时，， 则全部等于0， 因为等比数列不能含有0， 所以不是等比数列，选项A错误； 选项B、因为， 所以，， 因为相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以一定是等比数列，选项B正确； 选项C、因为，，相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以、、成等比数列，选项C正确； 选项D、因为，，相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以、、成等比数列，选项D正确． 10．已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，圆与轴相切 B．当时，圆与圆内切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 【答案】CD 【分析】选项A：求圆心到轴距离，和半径比大小，判断圆与 轴位置关系； 选项B：算出半径、圆心距，对比半径和差，判断两圆位置关系；选项C：点在圆内，最短弦垂直，结合勾股定理算弦长；选项D：两圆方程相减，得到公共弦直线方程. 【详解】由圆的一般方程配方得标准方程：， 可知圆圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径， 两圆心距. 选项A：当时，，圆心到轴的距离为2，不等于半径3，因此圆与轴相交， A错误. 选项B：当时，，两圆半径均为5， ，两圆相交，B错误. 选项C：点满足，在圆内部， 过圆内一点的最短弦是垂直于该点与圆心连线的弦， 弦长为，C正确. 选项D：由，化简得， 即直线的方程，D正确. 11．已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由抛物线方程确定焦点与准线；A利用抛物线定义及三角形不等式求最值；B构造过焦点的特殊直线进行判断；C联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积求斜率；D通过交点参数的乘积求线段长度积的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，所以. 对于A，过作准线的垂线，垂足为. 由抛物线定义可知，故 当时，、、三点依次共线，两个等号同时成立，最小值为，A正确. 对于B，取过焦点的直线，则交点为、. 任取准线上一点，则，，所以 当时，均为锐角，满足条件的点有无穷多个，B错误. 对于C，过的竖直线与抛物线无交点，水平线与抛物线只有一个交点. 因此直线的斜率存在且不为零，设其方程为. 联立抛物线方程，整理得 记两交点为、，由，得， 由韦达定理得，. 又（），所以 因此 由，得，即. 此时方程判别式为，确有两个不同交点，C正确. 对于D，若直线不垂直于轴，设其斜率为，则的方程为. 因直线与抛物线交于两点，故. 令，则. 代入得 记交点、对应的两根为、，则. 又，，所以 若直线垂直于轴，则，与抛物线交于和，此时 因此最小值为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 13．（新情境）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （4   7   10  13  16  ⋯） （7   12  17  22  27  ⋯） （10  17  24  31  38  ⋯） （13  22  31  40  49  ⋯） （16  27  38  49  60  ⋯） （⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯） 则“正方形筛子”中位于第20行的第10个数是______． 【答案】430 【分析】先看列，结合等差数列可得第20行的第一个数为，再看行，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】先看列，第一列的数字为，可得为等差数列，公差， 则， 故第20行的第一个数为， 再看行，第一行的数字是加3递增，第二行是加5递增，第三行是加7递增，，第行是加递增，则第20行是加递增， 所以第20行的第10个数是． 14．（新情境）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 【答案】 / ； 【分析】首先将二十四等边体补全为正方体，再求体积，并结合正方体求线面角的正切值. 【详解】如图， 连结正方体的棱的中点得到二十四等边体，此几何体的棱长为，所以正方体的棱长为2， 此二十四等边体是由正方体切去8个相同的三棱锥后得到的，此三棱锥的侧棱长为1，其两两垂直， 所以二十四等边体的体积; 因为平面，所以和平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正切值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； (2)将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解析】（1）零假设：成年人是否经常参加体育锻炼与年龄无关； ，，，，， ， ，依据小概率的独立性检验，零假设不成立， 即认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关. （2）设事件：抽到经常参加体育锻炼的成年人；：抽到不经常参加体育锻炼的成年人； 事件此人愿意报名参加城市运动会群众项目. ，，，， . 16．在中，角的对边分别为，已知 (1)求的值； (2)若，求和的值. 【解析】（1）已知， 展开左侧得：， 移项整理得：， 设外接圆半径为，由正弦定理， 将角化边得：， 由余弦定理，代入得： （2）由(1)知，且， 由同角三角函数基本关系得：， 已知，由正弦定理得，代入得：， 因为，所以，由大边对大角得， 故为锐角，因此：， 由二倍角公式计算得：， 17．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F−ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值． 【解析】（1）连接， 因为为中点，，所以， 因为， 所以与均为等边三角形， 则，则． 因为，平面，所以，平面． 因为平面，所以． （2）①， ． ， ，又平面， 平面．如图所示，以点为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． ， 则，当时，， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，取，所以； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②因为，所以点的轨迹是过且平行于的直线， 直线与平面平行， 故，所以三棱锥的体积为定值， 又点到平面的距离为， 又， 所以（定值）． 18．已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． (1)求的方程； (2)设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 【解析】（1）由题知的最大值为，即， 又，所以，所以， 所以． （2）设，，则，． （ⅰ）（ⅰ）设直线的斜率为，则，， 所以． 又， 所以，所以．   （ii）设直线的方程为， 联立，解得， 所以 直线的方程为． 由，得， 则，即， 所以， 所以， （当且仅当时等号成立） 设外接圆半径为，外接圆半径为， 则，， 所以，即的最小值为8． 19．（新考法）已知，设集合． (1)若，求； (2)若，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． 【解析】（1）由题知，且，所以． (2)（i）由题知点是函数与的图象的交点， 所以，且． 由，故， 由，两边取自然对数得．① 由及换底公式得：，所以．② 由①②得． （ii）令，则，当时，． 易得在上单调递减，在上单调递增． 由（i）知，不妨设． 令，,则, 所以单调递减，所以 所以，所以， 又因为，，且在上单调递增． 所以，所以，证毕． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD CD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．430 14．/； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）零假设：成年人是否经常参加体育锻炼与年龄无关； ，，，，， ， ，依据小概率的独立性检验，零假设不成立， 即认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关.（6分） （2）设事件：抽到经常参加体育锻炼的成年人；：抽到不经常参加体育锻炼的成年人； 事件此人愿意报名参加城市运动会群众项目. ，，，，（10分） .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）已知， 展开左侧得：， 移项整理得：， 设外接圆半径为，由正弦定理， 将角化边得：，（3分） 由余弦定理，代入得：（5分） （2）由(1)知，且， 由同角三角函数基本关系得：， 已知，由正弦定理得，代入得：，（8分） 因为，所以，由大边对大角得， 故为锐角，因此：，（10分） 由二倍角公式计算得：， （15分） 17．（15分） 【解析】（1）连接， 因为为中点，，所以， 因为， 所以与均为等边三角形， 则，则． 因为，平面，所以，平面． 因为平面，所以．（4分） （2）①， ． ， ，又平面， 平面．如图所示，以点为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．（6分） ， 则，当时，， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，取，所以；（8分） 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（10分） ②因为，所以点的轨迹是过且平行于的直线， 直线与平面平行， 故，所以三棱锥的体积为定值， 又点到平面的距离为，（13分） 又， 所以（定值）．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题知的最大值为，即， 又，所以，所以， 所以．（3分） （2）设，，则，． （ⅰ）（ⅰ）设直线的斜率为，则，， 所以．（5分） 又， 所以，所以．  （8分） （ii）设直线的方程为， 联立，解得，（10分） 所以 直线的方程为． 由，得， 则，即， 所以， 所以，（13分） （当且仅当时等号成立） 设外接圆半径为，外接圆半径为， 则，， 所以，即的最小值为8．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题知，且，所以．（3分） (2)（i）由题知点是函数与的图象的交点， 所以，且．（5分） 由，故， 由，两边取自然对数得．① 由及换底公式得：，所以．② 由①②得．（8分） （ii）令，则，当时，． 易得在上单调递减，在上单调递增．（10分） 由（i）知，不妨设． 令，,则, 所以单调递减，所以 所以，所以，（14分） 又因为，，且在上单调递增． 所以，所以，证毕．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（热点）已知单位向量、满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．若，其中是实数，则的最大值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（新考法）已知关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（  ） A． B．4 C． D．6 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新考法）已知 是公比不为的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 10．已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，圆与轴相切 B．当时，圆与圆内切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 11．已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 13．（新情境）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （4   7   10  13  16  ⋯） （7   12  17  22  27  ⋯） （10  17  24  31  38  ⋯） （13  22  31  40  49  ⋯） （16  27  38  49  60  ⋯） （⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯） 则“正方形筛子”中位于第20行的第10个数是______． 14．（新情境）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； (2)将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分） 在中，角的对边分别为，已知 (1)求的值； (2)若，求和的值. 17．（15分） 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F−ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． (1)求的方程； (2)设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 19．（17分） （新考法）已知，设集合． (1)若，求； (2)若，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（热点）已知单位向量、满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．若，其中是实数，则的最大值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（新考法）已知关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（  ） A． B．4 C． D．6 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新考法）已知 是公比不为的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 10．已知圆：，圆：，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，圆与轴相切 B．当时，圆与圆内切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，设圆与圆的交点为，，则直线的方程为 11．已知抛物线：的焦点为，是上一动点，点，动直线与交于，两点，准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．若直线经过点，则准线上满足为锐角的点恰有个 C．若直线经过点，且，则直线的斜率为 D．若直线经过点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 13．（新情境）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （4   7   10  13  16  ⋯） （7   12  17  22  27  ⋯） （10  17  24  31  38  ⋯） （13  22  31  40  49  ⋯） （16  27  38  49  60  ⋯） （⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯） 则“正方形筛子”中位于第20行的第10个数是______． 14．（新情境）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）．若它的所有棱长都为，则该二十四等边体的体积为________；与平面所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； (2)将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分） 在中，角的对边分别为，已知 (1)求的值； (2)若，求和的值. 17．（15分） 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F−ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． (1)求的方程； (2)设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 19． （17分） （新考法）已知，设集合． (1)若，求； (2)若，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) F A C E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．________；__________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $